Грассманиан - Grassmannian

В математике , то грассманиан Гр ( к , V ) является пространством , что параметризует все K - мерные линейные подпространства по п - мерном векторном пространстве V . Например, грассманиан Гр (1, V ) является пространством линий через начало координат в V , так же , как проективное пространство одного измерения , чем понизить V .

Когда V - вещественное или комплексное векторное пространство, грассманианы - это компактные гладкие многообразия . В целом они имеют структуру гладкого алгебраического многообразия размерности${\ displaystyle k (nk).}$

Самая ранняя работа по нетривиальному грассманиану принадлежит Юлиусу Плюккеру , который изучал множество проективных прямых в проективном 3-пространстве, эквивалентном Gr (2, R ⁴ ), и параметризовал их с помощью того, что сейчас называется координатами Плюккера . Позже Герман Грассманн ввел это понятие в целом.

Обозначения грассманиана различаются между авторами; Обозначения включают Gr _K ( V ) , Gr ( K , V ) , Gr _К ( п ) , или Gr ( K , п ) , чтобы обозначить грассманиан к -мерном подпространств п - мерного векторного пространства V .

Мотивация

Придавая набору подпространств некоторого векторного пространства топологическую структуру, можно говорить о непрерывном выборе подпространства или открытых и закрытых наборах подпространств; придавая им структуру дифференциального многообразия, можно говорить о гладком выборе подпространства.

Естественный пример - касательные расслоения гладких многообразий, вложенных в евклидово пространство . Предположим, что у нас есть многообразие M размерности k, вложенное в R ⁿ . В каждой точке x в M касательное пространство к M можно рассматривать как подпространство касательного пространства к R ⁿ , которое является просто R ⁿ . Отображение, сопоставляющее x его касательное пространство, определяет отображение из M в Gr ( k , n ) . (Для этого мы должны сдвинуть касательное пространство в каждом x ∈ M так, чтобы оно проходило через начало координат, а не через x , и, следовательно, определяло k -мерное векторное подпространство. Эта идея очень похожа на отображение Гаусса для поверхностей в трехмерном пространстве.)

Эту идею с некоторыми усилиями можно распространить на все векторные расслоения над многообразием M , так что каждое векторное расслоение порождает непрерывное отображение из M в подходящим образом обобщенный грассманиан - хотя, чтобы показать это, необходимо доказать различные теоремы вложения. Затем мы обнаруживаем, что свойства наших векторных расслоений связаны со свойствами соответствующих отображений, рассматриваемых как непрерывные. В частности, мы обнаруживаем, что векторные расслоения, индуцирующие гомотопические отображения в грассманиан, изоморфны. Здесь определение гомотопии опирается на понятие непрерывности и, следовательно, на топологию.

Низкие габариты

Для к = 1 , грассманиан Гр (1, п ) является пространством линий через начало координат в п - пространстве, так же , как проективное пространство из п - 1 измерений.

При k = 2 грассманиан - это пространство всех двумерных плоскостей, содержащих начало координат. В евклидовом трехмерном пространстве плоскость, содержащая начало координат, полностью характеризуется единственной линией, проходящей через начало координат, которая перпендикулярна этой плоскости (и наоборот); следовательно, пространства Gr (2, 3) , Gr (1, 3) и P ² ( проективная плоскость ) могут быть отождествлены друг с другом.

Простейшим грассманианом, не являющимся проективным пространством, является Gr (2, 4) .

Геометрическое определение грассманиана как множества

Пусть V быть п - мерное векторное пространство над полем K . Грассманиан Гр ( к , V ) представляет собой множество всех к мерному линейному подпространству V . Грассманиан также обозначается Gr ( k , n ) или Gr _k ( n ) .

Грассманиан как дифференцируемое многообразие

Для того, чтобы наделить грассманиан Gr _K ( V ) со структурой дифференцируемого многообразия, выберем базис для V . Это эквивалентно отождествлению его с V = K ⁿ со стандартным базисом, обозначенным , рассматриваемым как векторы-столбцы. Тогда для любого k -мерного подпространства w ⊂ V , рассматриваемого как элемент Gr _k ( V ) , мы можем выбрать базис, состоящий из k линейно независимых векторов-столбцов . В однородных координатах элемента W ∈ Gr _к ( V ) состоят из компонентов п × к прямоугольной матрице W максимального ранга, I - й вектор - столбец является . Поскольку выбор базиса произвольный, две такие прямоугольные матрицы максимального ранга W и представляют один и тот же элемент w ∈ Gr _k ( V ) тогда и только тогда, когда для некоторого элемента g ∈ GL ( k , K ) общей линейной группы обратимых k × K матрицы с элементами из K . ${\ Displaystyle (е_ {1}, \ точки, е_ {п})}$${\ displaystyle (W_ {1}, \ dots, W_ {k})}$${\ displaystyle W_ {i}, \ quad i = 1, \ dots, k}$${\ displaystyle {\ tilde {W}}}$${\ displaystyle {\ tilde {W}} = Wg}$

Теперь определим координатный атлас. Для любой матрицы W размера n × k мы можем применить элементарные операции со столбцами, чтобы получить ее сокращенную форму эшелона столбцов . Если первые k строк W линейно независимы, результат будет иметь вид

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ & 1 \\ && \ ddots \\ &&& 1 \\ a_ {1,1} & \ cdots & \ cdots & a_ {1, k} \\\ vdots &&& \ vdots \\ a_ {nk, 1} & \ cdots & \ cdots & a_ {nk, k} \ end {bmatrix}}.}$

( П - к ) × K матрица = ( _IJ ) определяет , ш . В общем, первые k строк не обязательно должны быть независимыми, но для любого W , ранг которого равен , существует упорядоченный набор целых чисел, такой, что подматрица, состоящая из -й строк W , неособа. Мы можем применить операции со столбцами, чтобы уменьшить эту подматрицу до идентичности, а оставшиеся записи однозначно соответствуют w . Следовательно, мы имеем следующее определение: ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle 1 \ Leq i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \ Leq N}$${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ displaystyle i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}$

Для каждого упорядоченного множества целых чисел , пусть множество матриц Ш которого к × к подматрица неособа, где J й строкой является я _J й строку W . Координатная функция on затем определяется как карта, которая отправляет W в прямоугольную матрицу ( n - k ) × k , строки которой являются строками матрицы, дополнительной к . Выбор однородной координатной матрицы W, представляющей элемент w ∈ Gr _k ( V ) , не влияет на значения координатной матрицы, представляющей w в координатной окрестности . Более того, координатные матрицы могут принимать произвольные значения, и они определяют диффеоморфизм из на пространство K -значных ( n - k ) × k матриц. ${\ Displaystyle 1 \ Leq i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \ Leq N}$${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ Displaystyle п \ раз к}$${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ displaystyle A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ displaystyle WW_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle (я_ {1}, \ точки, я_ {к})}$${\ displaystyle A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ displaystyle A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$

На перекрытии

${\ displaystyle U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} \ cap U_ {j_ {1}, \ dots, j_ {k}}}$

любых двух таких координатных окрестностей значения координатной матрицы связаны соотношением перехода

${\ displaystyle A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} = A ^ {j_ {1}, \ dots, j_ {k} } W_ {j_ {1}, \ dots, j_ {k}},}$

где оба и обратимы. Отсюда дается атлас Gr _k ( V ) . ${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ Displaystyle W_ {j_ {1}, \ dots, j_ {k}}}$${\ displaystyle (U_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}, A ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}})}$

Грассманиан как однородное пространство

Самый быстрый способ придать грассманиану геометрическую структуру - это выразить его как однородное пространство . Во- первых, напомним , что линейная группа GL ( V ) действует транзитивно на г - мерных подпространств V . Следовательно, если H является стабилизатором любого из подпространств при этом действии, мы имеем

Гр ( г , V ) = GL ( V ) / Н .

Если основным полем является R или C, а GL ( V ) рассматривается как группа Ли , то эта конструкция превращает грассманиан в гладкое многообразие . Также становится возможным использовать другие группы для создания этой конструкции. Для этого фиксирует скалярное произведение на V . Над R , один заменяет GL ( V ) со стороны ортогональной группы O ( V ) , а также ограничение на ортонормрепер, получает тождество

Gr ( r , n ) = O ( n ) / (O ( r ) × O ( n - r )) .

В частности, размерность грассманиана равна r ( n - r ) .

Более C , один заменяет GL ( V ) с помощью унитарной группы U ( V ) . Это показывает, что грассманиан компактен . Эти конструкции также делают грассманиан в метрическом пространстве : Для подпространства W из V , пусть Р _Ш проекция V на W . потом

${\ Displaystyle d (W, W ') = \ lVert P_ {W} -P_ {W'} \ rVert,}$

где || ⋅ || обозначает операторную норму , является метрикой на Gr ( r , V ) . Точное используемое внутреннее произведение не имеет значения, потому что другое внутреннее произведение даст эквивалентную норму для V и, следовательно, даст эквивалентную метрику.

Если основное поле k произвольно и GL ( V ) рассматривается как алгебраическая группа, то эта конструкция показывает, что грассманиан является неособым алгебраическим многообразием . Из существования вложения Плюккера следует, что грассманиан полон как алгебраическое многообразие. В частности, Н является параболическая подгруппа в GL ( V ) .

Грассманиан как схема

В области алгебраической геометрии грассманиан можно построить как схему , выразив ее как представимый функтор .

Представимый функтор

Пусть будет квазикогерентным пучок на схеме S . Зафиксируем натуральное число r . Тогда каждой S -схеме T грассманов функтор ставит в соответствие множество фактормодулей ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {T}: = {\ mathcal {E}} \ otimes _ {O_ {S}} O_ {T}}$

локально свободен ранга г на Т . Обозначим это множество через . ${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (г, {\ mathcal {E}} _ {T})}$

Этот функтор представим в виде разделенной S -схемы . Последний является проективным, если конечно порожден. Когда S - спектр поля k , то пучок задается векторным пространством V, и мы восстанавливаем обычное грассманово многообразие двойственного пространства к V , а именно: Gr ( r , V ^∗ ) . ${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (г, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$

По построению грассманова схема совместима с заменами базы: для любой S -схемы S ′ существует канонический изоморфизм

${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}) \ times _ {S} S '\ simeq \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}} _ {S'}) }$

В частности, для любой точки s множества S канонический морфизм { s } = Spec ( k ( s )) → S индуцирует изоморфизм слоя в обычный грассманиан над полем вычетов k ( s ) . ${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (г, {\ mathcal {E}}) _ {s}}$${\ displaystyle \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}} \ otimes _ {O_ {S}} k (s))}$

Универсальная семья

Поскольку грассманова схема представляет собой функтор, она имеет универсальный объект , который является объектом ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {Gr} \ left (r, {\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}})} \ right),}$

и, следовательно, фактор-модуль группы , локально свободный от ранга r над . Фактор-гомоморфизм индуцирует замкнутое погружение из проективного расслоения : ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr} (г, {\ mathcal {E}})}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (г, {\ mathcal {E}})}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {G}})}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {G}}) \ to \ mathbf {P} \ left ({\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}) })} \ right) = \ mathbf {P} ({\ mathcal {E}}) \ times _ {S} \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}).}$

Для любого морфизма S -схем:

${\ Displaystyle Т \ к \ mathbf {Gr} (г, {\ mathcal {E}}),}$

это закрытое погружение вызывает закрытое погружение

${\ displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {G}} _ {T}) \ to \ mathbf {P} ({\ mathcal {E}}) \ times _ {S} T.}$

Наоборот, любое такое замкнутое погружение происходит из сюръективного гомоморфизма O _T -модулей из в локально свободный модуль ранга r . Следовательно, элементы являются в точности проективными подрасслоениями ранга r в ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {T}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (г, {\ mathcal {E}}) (T)}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {E}}) \ times _ {S} T.}$

При таком отождествлении, когда T = S - спектр поля k и задается векторным пространством V , множество рациональных точек соответствует проективным линейным подпространствам размерности r - 1 в P ( V ) , а образ поля в ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (г, {\ mathcal {E}}) (к)}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} ({\ mathcal {G}}) (к)}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} (V) \ times _ {k} \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}})}$

это набор

${\ Displaystyle \ {(х, v) \ in \ mathbf {P} (V) (k) \ times \ mathbf {Gr} (r, {\ mathcal {E}}) (k) \ mid x \ in v \}.}$

Вложение Плюккера

Вложение Плюккера - это естественное вложение грассманиана в проективизацию внешней алгебры Λ ^k V : ${\ Displaystyle \ mathbf {Gr} (к, V)}$

${\ displaystyle \ iota: \ mathbf {Gr} (k, V) \ to \ mathbf {P} \ left (\ Lambda ^ {k} V \ right).}$

Предположим , что W является к - мерное подпространство п - мерного векторного пространства V . Для того, чтобы определить , выбрать базис { ш ₁ , ..., ш _к } из W , и пусть будет клином произведение этих базисных элементов: ${\ displaystyle \ iota (W)}$${\ displaystyle \ iota (W)}$

${\ Displaystyle \ iota (W) = [w_ {1} \ клин \ cdots \ клин w_ {k}].}$

Другой базис для W даст другое произведение клина, но эти два произведения будут отличаться только ненулевым скаляром (определителем изменения базисной матрицы). Поскольку правая часть принимает значения в проективном пространстве, она определена правильно. Чтобы увидеть, что это вложение, обратите внимание, что можно восстановить W из диапазона множества всех векторов w, таких что . ${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle \ iota}$${\ Displaystyle ш \ клин \ йота (W) = 0}$

Координаты Плюккера и отношения Плюккера

Плюккеровское вложение грассманиана удовлетворяет очень простым квадратичным соотношениям, называемым отношениями Плюккера . Они показывают , что грассмановы встраивает как алгебраическое подмногообразие Р (Л ^K V ) и дать еще один способ построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Плюккера, зафиксируем базис { e ₁ , ..., e _n } в V и пусть W будет k -мерным подпространством в V с базой { w ₁ , ..., w _k }. Пусть ( w _{i 1} , ..., w _in ) - координаты w _i относительно выбранного базиса V , пусть

и пусть { W ₁ , ..., W _n } - столбцы . Для любой упорядоченной последовательности из положительных целых чисел, пусть будет определитель матрицы с колоннами . Множество называется плюккеровскими координатами элемента грассманиана (относительно базиса { e ₁ , ..., e _n } пространства V ). Они являются линейными координатами изображения в соответствии с картой плюккеровой, по отношению к основе внешнего мощности Л ^K V , индуцированной основой { е ₁ , ..., е _п } из V . ${\ displaystyle {\ mathsf {W}}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \ Leq N}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$${\ Displaystyle к \ раз к}$${\ displaystyle W_ {i_ {1}}, \ dots, W_ {i_ {k}}}$${\ displaystyle \ {W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}: 1 \ leq i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \ leq n \}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ iota (W)}$${\ displaystyle W}$

Для любых двух упорядоченных последовательностей и из и положительных целых чисел, соответственно, следующие однородные уравнения справедливы и определяют образ

Gr ( K , V ) при вложении плюккеровом: ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} \ cdots <i_ {k-1} \ leq n}$${\ Displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} \ cdots <j_ {k + 1} \ leq n}$${\ displaystyle k-1}$${\ displaystyle k + 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ ell = 1} ^ {k + 1} (- 1) ^ {\ ell} W_ {i_ {1}, \ dots, i_ {k-1}, j _ {\ ell}} W_ {j_ {1}, \ dots, {\ widehat {j _ {\ ell}}}, \ dots j_ {k + 1}} = 0,}$

где обозначает последовательность с опущенным членом . ${\ displaystyle j_ {1}, \ ldots, {\ widehat {j _ {\ ell}}}, \ ldots j_ {k + 1}}$${\ displaystyle j_ {1}, \ ldots, j_ {k + 1}}$${\ displaystyle j _ {\ ell}}$

Когда dim ( V ) = 4 и k = 2 , простейший грассманиан, который не является проективным пространством, все вышеизложенное сводится к одному уравнению. Обозначая координаты P (Λ ^k V ) через W ₁₂ , W ₁₃ , W ₁₄ , W ₂₃ , W ₂₄ , W ₃₄ , образ Gr (2, V ) при отображении Плюккера определяется одним уравнением

Ш ₁₂ Ш ₃₄ - Ш ₁₃ Ш ₂₄ + Ш ₂₃ Ш ₁₄ = 0.

В общем, однако, требуется гораздо больше уравнений, чтобы определить плюккеровское вложение грассманиана в проективное пространство.

Грассманиан как вещественное аффинное алгебраическое многообразие

Обозначим через Gr ( r , R ⁿ ) грассманиан r -мерных подпространств в R ⁿ . Обозначим через M ( n , R ) пространство вещественных матриц размера n × n . Рассмотрим набор матриц A ( r , n ) ⊂ M ( n , R ), определяемый посредством X ∈ A ( r , n ), тогда и только тогда, когда выполняются три условия:

• Х представляет собой оператор проектирования: Х ² = Х .
• Х является симметричным: Х ^т = Х .
• X имеет след r : tr ( X ) = r .

( Т , п ) и Гр ( г , Р ^п ) гомеоморфны, с соответствием установленным путем отправки X ∈ A ( т , п ) в пространстве столбцов матрицы X .

Двойственность

Каждый г - мерное подпространство W из V определяет ( п - г ) -мерное фактор - пространство V / W из V . Это дает естественную короткую точную последовательность :

0 → W → V → V / W → 0 .

Взяв двойственное к каждому из этих трех пространств и линейных преобразований, получаем включение ( V / W ) ^∗ в V ^∗ с фактором W ^∗ :

0 → ( V / W ) ^∗ → V ^∗ → W ^∗ → 0 .

Использование естественного изоморфизма конечномерного векторного пространства с его двойным двойным показывает, что повторное взятие двойственного восстанавливает исходную короткую точную последовательность. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между r -мерными подпространствами в V и ( n - r ) -мерными подпространствами в V ^∗ . В терминах грассманиана это канонический изоморфизм

Gr ( r , V ) → Gr ( n - r , V ^∗ ) .

Таким образом, выбор изоморфизма V с V ^∗ определяет (неканонический) изоморфизм Gr ( r , V ) и Gr ( n - r , V ) . Изоморфизм V с V ^∗ эквивалентен выбору скалярного произведения , и относительно выбранного скалярного произведения этот изоморфизм грассманианов переводит r -мерное подпространство в его ( n - r ) -мерное ортогональное дополнение .

Клетки Шуберта

Детальное изучение грассманианов использует разложение на подмножества, называемые ячейками Шуберта , которые впервые были применены в перечислительной геометрии . Клетки Шуберта для Gr ( r , n ) определяются в терминах вспомогательного флага : возьмем подпространства V ₁ , V ₂ , ..., V _r , где V _i ⊂ V _{i + 1} . Затем мы рассматриваем соответствующее подмножество Gr ( r , n ) , состоящее из W, имеющего пересечение с V _i размерности не менее i , i = 1, ..., r . Манипуляции с ячейками Шуберта - это исчисление Шуберта .

Вот пример техники. Рассмотрим задачу определения эйлеровой характеристики грассманиана r -мерных подпространств в R ⁿ . Зафиксируем 1- мерное подпространство R ⊂ R ⁿ и рассмотрим разбиение Gr ( r , n ) на те r -мерные подпространства в R ^n, которые содержат R, и те, которые не содержат . Первое - это Gr ( r - 1, n - 1), а второе - это r -мерное векторное расслоение над Gr ( r , n - 1) . Это дает рекурсивные формулы:

${\ displaystyle \ chi _ {r, n} = \ chi _ {r-1, n-1} + (- 1) ^ {r} \ chi _ {r, n-1}, \ qquad \ chi _ { 0, n} = \ chi _ {n, n} = 1.}$

Если разрешить это рекуррентное соотношение, получится формула: χ _{r, n} = 0 тогда и только тогда, когда n четно, а r нечетно. Иначе:

${\ displaystyle \ chi _ {r, n} = {\ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor \ choose \ lfloor {\ frac {r} {2}} \ rfloor}.}$

Кольцо когомологий комплексного грассманиана

Каждая точка комплексного грассманова многообразия Gr ( r , n ) определяет r- плоскость в n -пространстве. Расслоение этих самолетов над грассманианом один прибывает в векторе расслоения Е , обобщающий тавтологическое пучок из в проективном пространстве . Аналогичным образом ( п - г ) -мерные ортогональные дополнения этих плоскостей дают ортогональный вектор расслоения F . Интеграл когомологии из грассманианов генерируются, как кольцо , с помощью классов Черны из Е . В частности, все интегральные когомологии имеют четную степень, как в случае проективного пространства.

Эти генераторы подчиняются ряду отношений, которые определяют кольцо. Определяющие соотношения легко выразить для более широкого набора генераторов, который состоит из Черны классов E и F . Тогда соотношения просто утверждают, что прямая сумма расслоений E и F тривиальна. Функториальность полных классов Черна позволяет записать это отношение в виде

${\ Displaystyle c (E) c (F) = 1.}$

Квантовые когомологии кольцо рассчитывались Виттеном в The Verlinde Алгебры и когомологии Грассманиана . Генераторы идентичны образующим классического кольца когомологий, но верхнее соотношение заменено на

${\ displaystyle c_ {k} (E) c_ {nk} (F) = (- 1) ^ {nr}}$

отражая существование в соответствующей квантовой теории поля инстантона с 2 n фермионными нуль-модами, который нарушает степень когомологии, соответствующей состоянию, на 2 n единиц.

Связанная мера

Когда V - n -мерное евклидово пространство, можно определить равномерную меру на Gr ( r , n ) следующим образом. Пусть θ _n - единичная мера Хаара на ортогональной группе O ( n ), и зафиксируем W в Gr ( r , n ) . Тогда для множества A ⊆ Gr ( r , n ) определим

${\ displaystyle \ gamma _ {r, n} (A) = \ theta _ {n} \ {g \ in \ operatorname {O} (n): gW \ in A \}.}$

Эта мера инвариантна относительно действий из группы O ( n ) , то есть γ _{r, n} ( gA ) = γ _{r, n} ( A ) для всех g из O ( n ) . Поскольку θ _n (O ( n )) = 1 , имеем γ _{r, n} ( Gr ( r , n )) = 1 . Более того, γ _{r, n} - мера Радона относительно топологии метрического пространства и равномерна в том смысле, что каждый шар одного и того же радиуса (относительно этой метрики) имеет одну и ту же меру.

Ориентированный грассманиан

Это многообразие, состоящее из всех ориентированных r -мерных подпространств в R ⁿ . Это двойное покрытие Gr ( r , n ) и обозначается:

${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {Gr}}} (r, n).}$

Как однородное пространство это можно выразить как:

${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n) / (\ operatorname {SO} (r) \ times \ operatorname {SO} (nr)).}$

Приложения

Коллекторы Грассмана нашли применение в задачах компьютерного зрения для распознавания лиц и распознавания форм на основе видео. Они также используются в технике визуализации данных, известной как большой тур .

Грассманианы позволяют вычислять амплитуды рассеяния субатомных частиц с помощью положительной грассманианской конструкции, называемой амплитуэдром .

Решение уравнений Кадомцева – Петвиашвили может быть выражено в виде бесконечномерных многообразий Грассмана, где уравнение КП является просто соотношением Плюккера . Положительные многообразия Грассмана могут использоваться для получения аналогичных решений солитонного решения уравнения КП.

Смотрите также

• Исчисление Шуберта
• Для примера использования грассманианов в дифференциальной геометрии см. Карту Гаусса и в проективной геометрии см. Координаты Плюккера .
• Многообразия флагов являются обобщениями грассманианов, и многообразия Штифеля тесно связаны.
• Учитывая выделенный класс подпространств, можно определить грассманианы этих подпространств, такие как лагранжиан грассманиан .
• Грассманианы обеспечивают классифицирующие пространства в K-теории , в частности классифицирующее пространство для U ( n ) . В гомотопической теории схем грассманиан играет аналогичную роль для алгебраической K-теории .
• Аффинный грассманиан
• Расслоение Грассмана
• Граф Грассмана

Заметки

1. ^ Ли 2012 , стр. 22, пример 1.36.ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFLee2012 ( помощь )
2. ^ Шафаревич 2013 , с. 42, пример 1.24.
3. ↑ Milnor & Stasheff (1974) , стр. 57–59.
4. ^ Гротендик, Александр (1971). Éléments de géométrie algébrique . 1 (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8., Глава I.9
5. ^ EGA , II.3.6.3.
6. ^ Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 211, ISBN 0-471-05059-8, Руководство по ремонту  1288523 , Zbl  0836.14001
7. ^ Паван Турага, Ашок Веерарагаван, Рама Челлаппа: Статистический анализ многообразий Штифеля и Грассмана с приложениями в компьютерном зрении , CVPR 23–28 июня 2008 г., Конференция IEEE по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2008 г., ISBN  978-1-4244-2242- 5. С. 1–8 ( аннотация , полный текст )
8. ^ Аркани-Хамед, Нима; Трнка, Ярослав (2013). «Амплитуэдр». Журнал физики высоких энергий . 2014 (10). arXiv : 1312.2007 . Bibcode : 2014JHEP ... 10..030A . DOI : 10.1007 / JHEP10 (2014) 030 . S2CID  7717260 .
9. ^ Chakravarty, S .; Кодама Ю. (июль 2009 г.). «Солитонные решения уравнения КП и приложение к мелководным волнам». Исследования по прикладной математике : 83–151. DOI : 10.1111 / j.1467-9590.2009.00448.x .
10. ↑ Сато, Микио (октябрь 1981 г.). «Солитонные уравнения как динамические системы на бесконечномерных грассмановых многообразиях (случайные системы и динамические системы)» .数 理 解析 研究所 講究. С. 30–46.
11. ↑ Кодама, Юдзи; Уильямс, Лорен (декабрь 2014 г.). «Солитоны КП и полная положительность для грассманиана». Inventiones mathematicae : 637–699. DOI : 10.1007 / s00222-014-0506-3 .
12. ^ Хартнетт, Кевин. «Неожиданное путешествие математика по физическому миру» . Журнал Quanta . Проверено 17 декабря 2020 года .
13. ^ Морель, Фабьен; Воеводский, Владимир (1999). " ^1- гомотопическая теория схем" (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 90 (90): 45–143. DOI : 10.1007 / BF02698831 . ISSN  1618-1913 . Руководство по ремонту  1813224 . S2CID  14420180 . Проверено 5 сентября 2008 ., см. раздел 4.3., стр. 137–140

Рекомендации

• Хэтчер, Аллен (2003). "Векторные расслоения и K-теория" (2.0 изд.). Цитировать журнал требует |journal=( помощь ) раздел 1.2
• Милнор, Джон В .; Сташеф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Анналы математических исследований. 76 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08122-0. см. главы 5–7
• Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия: первый курс . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97716-3.
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников по математике . 218 (Второе изд.). Нью-Йорк Лондон: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771 .
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-65595-1.
• Шафаревич, Игорь Р. (2013). Основная алгебраическая геометрия 1 . Springer Science . ISBN 978-0-387-97716-4.