Абстрактная алгебра - Abstract algebra

Изображение кубика Рубика
В перестановках из кубика Рубика образуют группу , фундаментальную концепцию в рамках абстрактной алгебры.

В алгебре , которая представляет собой широкий раздел математики , абстрактная алгебра (иногда называемая современной алгеброй ) - это изучение алгебраических структур . Алгебраические структуры включают группы , кольца , поля , модули , векторные пространства , решетки и алгебры . Термин абстрактная алгебра был придуман в начале 20 века, чтобы отличить эту область исследования от более старых частей алгебры, а точнее от элементарной алгебры , использования переменных для представления чисел в вычислениях и рассуждениях.

Алгебраические структуры и связанные с ними гомоморфизмы образуют математические категории . Теория категорий - это формализм, позволяющий унифицированным способом выражать свойства и конструкции, схожие для различных структур.

Универсальная алгебра - это смежный предмет, изучающий типы алгебраических структур как отдельные объекты. Например, структура групп - это единый объект универсальной алгебры, который называется многообразием групп .

История

Как и в других разделах математики, конкретные задачи и примеры сыграли важную роль в развитии абстрактной алгебры. В конце девятнадцатого века многие, а возможно, и большинство из этих проблем были так или иначе связаны с теорией алгебраических уравнений . Основные темы включают:

Многочисленные учебники по абстрактной алгебре начинаются с аксиоматических определений различных алгебраических структур, а затем переходят к установлению их свойств. Это создает ложное впечатление, будто в алгебре сначала появились аксиомы, а затем они послужили мотивацией и основой для дальнейшего изучения. Истинный порядок исторического развития был почти прямо противоположным. Например, гиперкомплексные числа девятнадцатого века имели кинематическую и физическую мотивацию, но затрудняли понимание. Большинство теорий, которые сейчас признаны частями алгебры, начинались как собрания разрозненных фактов из различных областей математики, приобрели общую тему, которая служила ядром, вокруг которого были сгруппированы различные результаты, и, наконец, стали объединены на основе общего набора концепции. Архетипический пример этого прогрессивного синтеза можно увидеть в истории теории групп .

Ранняя теория групп

На раннем этапе развития теории групп было несколько нитей, которые, говоря современным языком, приблизительно соответствуют теории чисел , теории уравнений и геометрии .

Леонард Эйлер рассмотрел алгебраические операции над числами по модулю integer- модульной арифметики -in его обобщения в малых теоремах Ферма . Эти исследования были значительно продвинуты Карлом Фридрихом Гауссом , который рассмотрел структуру мультипликативных групп вычетов по модулю n и установил многие свойства циклических и более общих абелевых групп, которые возникают таким образом. В своих исследованиях композиции бинарных квадратичных форм Гаусс явно сформулировал ассоциативный закон композиции форм, но, как и Эйлер до него, он, похоже, больше интересовался конкретными результатами, чем общей теорией. В 1870 году Леопольд Кронекер дал определение абелевой группы в контексте идеальных групп классов числового поля, обобщив работу Гаусса; но похоже, что он не связывал свое определение с предыдущей работой над группами, особенно группами перестановок. В 1882 году, рассматривая тот же вопрос, Генрих М. Вебер осознал эту связь и дал аналогичное определение, которое включало свойство сокращения, но опускало существование обратного элемента , которого было достаточно в его контексте (конечные группы).

Перестановки были изучены Жозефом-Луи Лагранжем в его статье 1770 года Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Мысли об алгебраическом решении уравнений), посвященной решениям алгебраических уравнений, в которой он ввел резольвенты Лагранжа . Целью Лагранжа было понять, почему уравнения третьей и четвертой степени допускают формулы для решений, и он определил в качестве ключевых объектов перестановки корней. Важным новым шагом, предпринятым Лагранжем в этой статье, был абстрактный взгляд на корни, то есть как символы, а не как числа. Однако он не учел состав перестановок. По счастливой случайности, первое издание книги Эдварда Уоринга « Meditationes Algebraicae»Размышления об алгебре» ) появилось в том же году, а расширенная версия была опубликована в 1782 году. Варинг доказал основную теорему о симметричных многочленах и специально рассмотрел связь между корнями уравнение четвертой степени и его резольвентная кубика. Mémoire sur la résolution des équations ( Памятка о решении уравнений ) Александра Вандермонда (1771) развил теорию симметрических функций под несколько другим углом, но, как и Лагранж, с целью понимания разрешимости алгебраических уравнений.

Кронекер утверждал в 1888 году, что изучение современной алгебры началось с этой первой работы Вандермонда. Коши совершенно ясно заявляет, что Вандермонд имел приоритет перед Лагранжем в этой замечательной идее, которая в конечном итоге привела к изучению теории групп.

Паоло Руффини был первым, кто разработал теорию групп перестановок , и, как и его предшественники, также в контексте решения алгебраических уравнений. Его цель состояла в том, чтобы установить невозможность алгебраического решения общего алгебраического уравнения степени выше четырех. На пути к этой цели он ввел понятие порядка элемента группы, сопряженности, циклического разложения элементов групп перестановок и понятия примитивного и импримитивного, а также доказал некоторые важные теоремы, связывающие эти понятия, такие как

если G - подгруппа в S 5 , порядок которой делится на 5, то G содержит элемент порядка 5.

Однако он обошелся без формализации понятия группы или даже группы перестановок. Следующий шаг был сделан Эваристом Галуа в 1832 году, хотя его работа оставалась неопубликованной до 1846 года, когда он впервые рассмотрел то, что сейчас называется свойством замыкания группы перестановок, которое он выразил как

если в такой группе есть замены S и T, то есть замена ST.

Теория групп подстановок получила дальнейшее далеко идущее развитие в руках Огюстена Коши и Камиллы Жордана , как благодаря введению новых понятий, и, в первую очередь, огромного количества результатов о специальных классах групп подстановок и даже некоторых общих теорем. Среди прочего, Джордан определил понятие изоморфизма , все еще в контексте групп перестановок, и, кстати, именно он широко использовал термин группа .

Абстрактное понятие группы впервые появилось в работах Артура Кэли в 1854 году. Кэли понял, что группа не обязательно должна быть группой перестановок (или даже конечной ), а может вместо этого состоять из матриц , алгебраические свойства которых, такие как умножение и обратное, он систематически исследовал в последующие годы. Намного позже Кэли вернется к вопросу о том, являются ли абстрактные группы более общими, чем группы перестановок, и установит, что на самом деле любая группа изоморфна группе перестановок.

Современная алгебра

В конце 19 - начале 20 вв. Произошел сдвиг в методологии математики. Абстрактная алгебра возникла примерно в начале 20 века под названием современная алгебра . Его изучение было частью стремления к большей интеллектуальной строгости в математике. Первоначально предположения в классической алгебре , от которых зависит вся математика (и большая часть естественных наук ), приняли форму аксиоматических систем . Не довольствуясь установлением свойств конкретных объектов, математики начали обращать внимание на общую теорию. Формальные определения некоторых алгебраических структур начали появляться в 19 веке. Например, результаты о различных группах перестановок стали рассматриваться как примеры общих теорем, касающихся общего понятия абстрактной группы . На первый план вышли вопросы структуры и классификации различных математических объектов.

Эти процессы происходили во всей математике, но особенно ярко проявились в алгебре. Формальное определение посредством примитивных операций и аксиом было предложено для многих основных алгебраических структур, таких как группы , кольца и поля . Таким образом, такие вещи, как теория групп и теория колец, заняли свое место в чистой математике . Алгебраические исследования общих полей Эрнстом Стейницем и коммутативных, а затем и общих колец Дэвидом Гильбертом , Эмилем Артином и Эмми Нётер , основанные на работах Эрнста Куммера , Леопольда Кронекера и Ричарда Дедекинда , которые рассматривали идеалы в коммутативных кольцах, и из Георга Фробениуса и Исая Шур , касающиеся теории представлений групп, пришел определить абстрактную алгебру. Эти достижения последней четверти 19 века и первой четверти 20 века были систематически изложены в « Современной алгебре» Бартеля ван дер Вардена , двухтомной монографии, опубликованной в 1930–1931 годах, которая навсегда изменила для математического мира значение термина слово алгебра от теории уравнений к теории алгебраических структур .

Базовые концепты

Абстрагируясь от различных деталей, математики определили различные алгебраические структуры, которые используются во многих областях математики. Например, почти все изучаемые системы представляют собой множества , к которым применимы теоремы теории множеств . Те множества, на которых определена определенная бинарная операция, образуют магмы , к которым применимы концепции, касающиеся магм, а также концепции, касающиеся множеств. Мы можем добавить дополнительные ограничения на алгебраическую структуру, такие как ассоциативность (для образования полугрупп ); тождество и обратное (для формирования групп ); и другие более сложные конструкции. С дополнительной структурой можно было бы доказать больше теорем, но общность уменьшилась. «Иерархия» алгебраических объектов (с точки зрения общности) создает иерархию соответствующих теорий: например, теоремы теории групп могут использоваться при изучении колец (алгебраических объектов, которые имеют две бинарные операции с определенными аксиомами), поскольку кольцо группа над одной из своих операций. В целом существует баланс между степенью общности и богатством теории: более общие структуры обычно имеют меньше нетривиальных теорем и меньше приложений.

Алгебраические структуры между магмами и группами . Например, моноиды - это полугруппы с идентичностью.

Примеры алгебраических структур с одной бинарной операцией :

Примеры, включающие несколько операций, включают:

Приложения

Из-за своей общности абстрактная алгебра используется во многих областях математики и науки. Например, алгебраическая топология использует алгебраические объекты для изучения топологий. Гипотеза Пуанкаре , доказанная в 2003 году, утверждает, что фундаментальная группа многообразия, кодирующая информацию о связности, может использоваться для определения того, является ли многообразие сферой или нет. Алгебраическая теория чисел изучает различные числовые кольца, которые обобщают множество целых чисел. Используя инструменты алгебраической теории чисел, Эндрю Уайлс доказал Великую теорему Ферма .

В физике группы используются для представления операций симметрии, а использование теории групп может упростить дифференциальные уравнения. В калибровочной теории требование локальной симметрии может использоваться для вывода уравнений, описывающих систему. Группы, описывающие эти симметрии, являются группами Ли , и изучение групп Ли и алгебр Ли многое раскрывает о физической системе; например, количество носителей силы в теории равно размерности алгебры Ли, и эти бозоны взаимодействуют с силой, которую они опосредуют, если алгебра Ли неабелева.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Александр-Теофиль Вандермонд" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  2. ^ Schumm, Брюс (2004), Deep Down вещи , Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-7971-X

Источники

внешние ссылки