Кососимметричная матрица - Skew-symmetric matrix

В математике , особенно в линейной алгебре , кососимметричная (или антисимметричная, или антиметрическая ) матрица - это квадратная матрица , транспонирование которой равно ее отрицательному значению . То есть удовлетворяет условию

С точки зрения элементов матрицы, если обозначает запись в -й строке и -м столбце, то кососимметричное условие эквивалентно

Пример

Матрица

кососимметричен, потому что

Характеристики

Всюду мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат полю , характеристика которого не равна 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0 , где 1 обозначает мультипликативную единицу, а 0 - аддитивную единицу данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица - это то же самое, что и симметричная матрица .

  • Сумма двух кососимметричных матриц кососимметрична.
  • Скалярное кратное кососимметричной матрицы является кососимметричным.
  • Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, поэтому ее след равен нулю.
  • Если - действительная кососимметричная матрица и является действительным собственным значением , то , то есть ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы не являются действительными.
  • Если реальная кососимметрична матрица, то есть обратимый , где единичная матрица.
  • Если - кососимметричная матрица, то является симметричной отрицательной полуопределенной матрицей .

Структура векторного пространства

В результате первых двух свойств, указанных выше, набор всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство . Пространство кососимметричных матриц имеет размерность

Обозначим через пространство матриц. Кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов над главной диагональю ); симметричная матрица определяется скаляров (количество записей на или выше главной диагонали). Обозначим через пространство кососимметричных матриц и пространство симметричных матриц. Если тогда

Обратите внимание, что и Это верно для каждой квадратной матрицы с элементами из любого поля , характеристика которого отличается от 2. Тогда, поскольку и

где обозначает прямую сумму .

Обозначим стандартным

скалярным произведением на . Вещественная матрица кососимметрична тогда и только тогда, когда

Это также эквивалентно для всех (одно следствие очевидно, другое - простое следствие для всех и ).

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , кососимметрия - это свойство, которое зависит только от линейного оператора и выбора

внутреннего продукта .

кососимметричные матрицы могут использоваться для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц.

Детерминант

Позвольте быть кососимметричной матрицей.

Определитель из удовлетворяет

В частности, если нечетно, и поскольку основное поле не имеет характеристики 2, определитель обращается в нуль. Следовательно, все кососимметричные матрицы нечетной размерности сингулярны, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат получил название

теоремы Якоби в честь Карла Густава Якоби (Eves, 1980).

Чётный случай более интересен. Оказывается, определитель for even может быть записан как квадрат

многочлена от элементов , что было впервые доказано Кэли:

Этот многочлен называется пфаффианом функции и обозначается . Таким образом, определитель реальной кососимметричной матрицы всегда неотрицателен. Однако этот последний факт можно элементарно доказать следующим образом: собственные значения вещественной кососимметричной матрицы являются чисто мнимыми (см. Ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение той же кратности; следовательно, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии с его кратностью, сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом.

Число различных членов в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка рассматривалось еще Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за отмены это число довольно мало по сравнению с числом членов общей матрицы порядка , которое есть . Последовательность (последовательность

A002370 в OEIS )
1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0,…

и он закодирован в экспоненциальной производящей функции

Последняя поддается асимптотике (при четном)

Количество положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего числа, хотя их разница принимает все большие и большие положительные и отрицательные значения по мере увеличения (последовательность

A167029 в OEIS ).

Перекрестное произведение

Кососимметричные матрицы размером три на три могут использоваться для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц. Рассмотрим векторы и Затем, определяя матрицу

перекрестное произведение можно записать как

Это можно сразу проверить, вычислив обе части предыдущего уравнения и сравнив каждый соответствующий элемент результатов.

У одного действительно есть

т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три может быть отождествлен с перекрестным произведением трех векторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются алгеброй Ли группы вращений, это объясняет связь между трехмерным пространством , перекрестным произведением и трехмерными вращениями. Подробнее о бесконечно малых поворотах можно найти ниже.

Спектральная теория

Поскольку матрица похожа на собственное транспонирование, они должны иметь одинаковые собственные значения. Отсюда следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда попадают в пары ± λ (за исключением нечетномерного случая, когда имеется дополнительное непарное собственное значение 0). Согласно спектральной теореме для реальной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чисто мнимыми и, таким образом, имеют форму, в которой каждое из них является действительным.

Вещественные кососимметричные матрицы являются нормальными матрицами (они коммутируют со своими сопряженными ) и, таким образом, подчиняются спектральной теореме , которая утверждает, что любая вещественная кососимметричная матрица может быть диагонализована унитарной матрицей . Поскольку собственные значения реальной кососимметричной матрицы мнимые, диагонализовать их с помощью действительной матрицы невозможно. Однако можно любую кососимметричную матрицу привести к блочно-диагональной форме с помощью специального ортогонального преобразования . В частности, каждая действительная кососимметричная матрица может быть записана в виде где ортогонален и

для реального положительно определенного . Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ± λ

k i . В нечетномерном случае Σ всегда имеет хотя бы одну строку и столбец нулей.

В более общем смысле, каждая комплексная кососимметричная матрица может быть записана в форме где является унитарным и имеет блочно-диагональную форму, указанную выше, с все еще действительной положительно определенной матрицей . Это пример разложения Юла сложной квадратной матрицы.

Кососимметричные и знакопеременные формы

Кососимметрическая форма на

векторном пространстве над полем произвольной характеристики определяются быть билинейной формой

так что для всех в

Это определяет форму с желаемыми свойствами для векторных пространств над полями характеристики, не равной 2, но в векторном пространстве над полем характеристики 2 определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является его собственным аддитивным обратным .

Если векторное пространство находится над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2, мы можем определить переменную форму как билинейную форму, такую, что для всех векторов в

Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из

откуда

Форма билинейной будет представлена матрицей таким образом, что после того , как на основе из выбран, и наоборот в матрице на приводит к форме отправки , чтобы для каждого из симметричных, кососимметричной и чередующейся формы, представляющая собой матрицы симметричны, перекос -симметричный и чередующийся соответственно.

Бесконечно малые вращения

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к действительной ортогональной группе в единичной матрице; формально специальная ортогональная алгебра Ли . В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения .

Еще один способ сказать это , что пространство кососимметрических матриц образует алгебру Ли из группы Ли Скоба Ли на этом пространстве задаются с помощью коммутатора :

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

Тогда матричная экспонента кососимметричной матрицы является ортогональной матрицей :

Образ экспоненциального отображения алгебры Ли всегда лежит в компоненте связности группы Ли, содержащей единичный элемент. В случае группы Ли эта связная компонента является специальной ортогональной группой, состоящей из всех ортогональных матриц с определителем 1. Так что определитель будет иметь +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что любую ортогональную матрицу с единичным определителем можно записать как экспоненту некоторой кососимметричной матрицы. В частном важном случае размерности экспоненциальное представление для ортогональной матрицы сводится к хорошо известной полярной форме комплексного числа единичного модуля. Действительно, если специальная ортогональная матрица имеет вид

с . Следовательно, положив и можно написать

что в точности соответствует полярной форме комплексного числа единичного модуля.

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка также может быть получено, исходя из того факта, что в размерности любая специальная ортогональная матрица может быть записана как где ортогональна, а S - это блочно-диагональная матрица с блоками порядка 2 плюс одна матрица порядка 1, если нечетный; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица  S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы указанной выше формы, так что экспонента кососимметричной матрицы И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочной диагонализацией для кососимметричной матрицы. симметричные матрицы, подразумевает блочную диагонализацию для ортогональных матриц.

Без координат

По сути (т. Е. Без использования координат) кососимметричные линейные преобразования в векторном пространстве со скалярным произведением могут быть определены как бивекторы в пространстве, которые являются суммами простых бивекторов ( 2-лопастей ) . Соответствие задается формулой map где - ковектор, двойственный вектору ; в ортонормированных координатах это и есть элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации завитка векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малое вращение или «завиток», отсюда и название.

Кососимметризуемая матрица

Матрица называется косо-симметризуемое , если существует обратимый диагональную матрицу такую , что кососимметричен. Для реальных матриц иногда добавляется условие наличия положительных элементов.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки