Внешняя производная - Exterior derivative

На дифференцируемом многообразии , то внешняя производная расширяет понятие дифференциала функции к дифференциальным формам более высокой степени. Внешняя производная была впервые описана в его текущей форме Эля Картанна в 1899. Это позволяет естественному, не зависящее от метрики обобщения теоремы Стокса , теоремы Гаусса и теорем Грина из векторного анализа.

Если дифференциальная $к$ -форме понимаются как измерение потока через бесконечно малые $к$ - параллелоэдр в каждой точке многообразия, то его внешняя производную можно рассматривать как измерения чистого потока через границу $(к + 1)$ - параллелоэдр в каждой точке.

Определение

Внешняя производная дифференциальной формы степени $k$ (также дифференциальной $k-формы$ или просто $k-формы$ для краткости) является дифференциальной формой степени $k + 1$ .

Если $F$ является гладкой функцией (а $0$ -форма), то внешняя производная $F$ является дифференциальным из $F$ . То есть, $DF$ является уникальной $1$ -форма такого , что для любого гладкого векторного поля $X$ , $DF$ $($ $X$ $) =$ $d$ $Х$ $е$ , где $d$ $Х$ $е$ является производной по направлению от $F$ в направлении $X$ .

Внешнее произведение дифференциальных форм (обозначается тем же символом $\land$ ) определяется как их поточечный внешний продукт .

Существует множество эквивалентных определений внешней производной общей $k$ -формы.

В терминах аксиом

Внешняя производная определяется как уникальное $ℝ-$ линейное отображение $k$ -форм в $(k + 1)$ -формы, которое имеет следующие свойства:

$DF$ является дифференциальным из $F$ для $0$ -формы $F$ .
$d (df) = 0$ для $0$ -формы $f$ .
$d (α \land β) = dα \land β + (-1) p (α \land dβ),$ где $α$ - $p$ -форма. Иными словами, $d$ является первообразом степени $1$ на внешней алгебре дифференциальных форм.

Второе определяющее свойство имеет место в более общем виде: $d (dα) = 0$ для любой $k$ -формы $α$ ; короче $d 2 = 0$ . Третье определяющее свойство подразумевает, как частный случай, что если $f$ является функцией, а $α$ a является $k$ -формой, то $d$ $($ $fα$ $) =$ $d$ $($ $f$ $\land$ $α$ $) =$ $df$ $\land$ $α$ $+$ $f$ $\land$ $dα,$ поскольку функция является $0$ - форма, скалярное умножение и внешнее произведение эквивалентны, когда один из аргументов является скаляром.

По местным координатам

В качестве альтернативы можно полностью работать в локальной системе координат $(x 1, ..., x n)$ . Координатные дифференциалы $dx 1, ..., dx n$ образуют основу пространства единичных форм, каждая из которых связана с координатой. Для мультииндекса $I = (i 1, ..., i k)$ с $1 \leq i p \leq n$ для $1 \leq p \leq k$ (и обозначение $dx i 1 \land ... \land dx i k$ со злоупотреблением обозначениями $dx I$ ) внешняя производная (простой) $k$ -формы

{\ displaystyle \ varphi = g \, dx ^ {I} = g \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge dx ^ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} }

над $ℝ n$ определяется как

{\ displaystyle d {\ varphi} = {\ frac {\ partial g} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {I}}

(с использованием соглашения о суммировании Эйнштейна ). Определение внешней производной линейно распространяется на общую $k$ -форму

{\ displaystyle \ omega = f_ {I} \, dx ^ {I},}

где каждый из компонентов мультииндекса $я$ пробегаю по всем значениям в ${1, ..., n}$ . Обратите внимание, что всякий раз, когда $i$ равно одному из компонентов мультииндекса $I,$ тогда $dx i \land dx I = 0$ (см. Внешний продукт ).

Определение внешней производной в локальных координатах следует из предыдущего определения в терминах аксиом . В самом деле, при этом $к$ -форма $φ$ , как определено выше,

{\ displaystyle {\ begin {align} d {\ varphi} & = d \ left (g \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ right) \\ & = dg \ wedge \ left (dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ right) + g \, d \ left (dx ^ {i_ {1}} \ клин \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ right) \\ & = dg \ wedge dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} + g \ sum _ {p = 1} ^ {k} (- 1) ^ {p-1} \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {p-1}} \ wedge d ^ { 2} x ^ {i_ {p}} \ wedge dx ^ {i_ {p + 1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \\ & = dg \ wedge dx ^ {i_ {1} } \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \\ & = {\ frac {\ partial g} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \\\ конец {выровнено}}}

Здесь мы интерпретировали $g$ как $0$ -форму, а затем применили свойства внешней производной.

Этот результат распространяется непосредственно на общую $k$ -форму $ω$ следующим образом:

{\ displaystyle d \ omega = {\ frac {\ partial f_ {I}} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {I}.}

В частности, для $1$ -формы $ω$ компоненты $dω$ в локальных координатах равны

{\ displaystyle (d \ omega) _ {ij} = \ partial _ {i} \ omega _ {j} - \ partial _ {j} \ omega _ {i}.}

Внимание : есть два соглашения относительно значения . Большинство современных авторов придерживаются соглашения, что ${\ Displaystyle dx ^ {я_ {1}} \ клин \ cdots \ клин dx ^ {i_ {k}}}$

{\ displaystyle \ left (dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i_ {1) }}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i_ {k}}}} \ right) = 1.}

в то время как в более старых текстах, таких как Кобаяши и Номидзу или Хельгасон

{\ displaystyle \ left (dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i_ {1) }}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i_ {k}}}} \ right) = {\ frac {1} {k!}}.}

В терминах инвариантной формулы

В качестве альтернативы может быть дана явная формула для внешней производной $k$ -формы $ω в$ паре с $k + 1$ произвольными гладкими векторными полями $V 0, V 1, ..., V k$ :

{\ displaystyle d \ omega (V_ {0}, \ ldots, V_ {k}) = \ sum _ {i} (- 1) ^ {i} d _ {{} _ {V_ {i}}} \ left ( \ omega \ left (V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k} \ right) \ right) + \ sum _ {i <j} (- 1 ) ^ {i + j} \ omega \ left (\ left [V_ {i}, V_ {j} \ right], V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots , {\ hat {V}} _ {j}, \ ldots, V_ {k} \ right)}

где $[V i, V j]$ обозначает скобку Ли, а шляпа обозначает пропуск этого элемента:

{\ displaystyle \ omega \ left (V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k} \ right) = \ omega \ left (V_ {0}, \ ldots, V_ {i-1}, V_ {i + 1}, \ ldots, V_ {k} \ right).}

В частности, когда $ω$ является $1$ $-формой,$ имеем $dω$ $($ $X$ $,$ $Y$ $) =$ $d$ $X$ $($ $ω$ $($ $Y$ $)) -$ $d$ $Y$ $($ $ω$ $($ $X$ $)) -$ $ω$ $([$ $X$ $,$ $Y$ $])$ .

Примечание. В соответствии с соглашениями, например, Кобаяши – Номидзу и Хельгасона, формула отличается в несколько раз. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/к + 1$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} d \ omega (V_ {0}, \ ldots, V_ {k}) = {} & {1 \ over k + 1} \ sum _ {i} (- 1) ^ { i} \, d _ {{} _ {V_ {i}}} \ left (\ omega \ left (V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, V_ {k } \ right) \ right) \\ & {} + {1 \ over k + 1} \ sum _ {i <j} (- 1) ^ {i + j} \ omega \ left ([V_ {i}, V_ {j}], V_ {0}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {i}, \ ldots, {\ hat {V}} _ {j}, \ ldots, V_ {k} \ right ). \ end {выравнивается}}}

Примеры

Пример 1. Рассмотрим $σ = U де 1 \land дх 2$ больше $1$ -форма базиса $дх 1, ..., дй п$ для скалярного поля $¯u$ . Внешняя производная:

{\ displaystyle {\ begin {align} d \ sigma & = du \ wedge dx ^ {1} \ wedge dx ^ {2} \\ & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ right) \ wedge dx ^ {1} \ wedge dx ^ {2} \\ & = \ sum _ {i = 3} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ wedge dx ^ {1} \ wedge dx ^ {2} \ right ) \ конец {выровнено}}}

Последняя формула, в которой суммирование начинается с $i = 3$ , легко следует из свойств внешнего продукта . А именно, $dx i \land dx i = 0$ .

Пример 2. Пусть $σ = u dx + v dy$ - $1$ -форма, определенная над $ℝ 2$ . Применяя приведенную выше формулу к каждому члену (рассмотрим $x 1 = x$ и $x 2 = y$ ), мы получаем следующую сумму:

{\ displaystyle {\ begin {align} d \ sigma & = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {2} {\ frac {\ partial u} {\ partial x ^ {i}}} dx ^ { i} \ wedge dx \ right) + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {2} {\ frac {\ partial v} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {i} \ клин dy \ right) \\ & = \ left ({\ frac {\ partial {u}} {\ partial {x}}} \, dx \ wedge dx + {\ frac {\ partial {u}} {\ partial { y}}} \, dy \ wedge dx \ right) + \ left ({\ frac {\ partial {v}} {\ partial {x}}} \, dx \ wedge dy + {\ frac {\ partial {v}) } {\ partial {y}}} \, dy \ wedge dy \ right) \\ & = 0 - {\ frac {\ partial {u}} {\ partial {y}}} \, dx \ wedge dy + {\ frac {\ partial {v}} {\ partial {x}}} \, dx \ wedge dy + 0 \\ & = \ left ({\ frac {\ partial {v}} {\ partial {x}}} - {\ frac {\ partial {u}} {\ partial {y}}} \ right) \, dx \ wedge dy \ end {align}}}

Теорема Стокса о многообразиях

Если $M$ - компактное гладкое ориентируемое $n$ -мерное многообразие с краем, а $ω$ - $(n - 1)$ -форма на $M$ , то обобщенная форма теоремы Стокса утверждает, что:

{\ displaystyle \ int _ {M} d \ omega = \ int _ {\ partial {M}} \ omega}

Наглядно, если один думает о $М$ разделенной на бесконечно малые области, и один добавляет поток через границу всех регионов, внутренние границы все отменить, оставив полный поток через границу $М$ .

Другие свойства

Закрытые и точные формы

$К$ -форма $ω$ называется закрытым , если $д £ = 0$ ; закрытые формы являются ядром из $г$ . $ω$ называется точным, если $ω = dα$ для некоторой $(k - 1)$ -формы $α$ ; Точные формы являются изображениями из $г$ . Поскольку $d 2 = 0$ , каждая точная форма замкнута. Пуанкаре лемма утверждает , что в стягиваемом области, верно и обратное.

когомологии де Рама

Поскольку внешняя производная $d$ обладает тем свойством, что $d 2 = 0$ , ее можно использовать в качестве дифференциала (кограницы) для определения когомологий де Рама на многообразии. $К$ -м когомологий де Рама (группы) есть векторное пространство замкнутых $K$ -форм по модулю точных $K$ -форм; как отмечалось в предыдущем разделе, лемма Пуанкаре утверждает, что эти векторные пространства тривиальны для стягиваемой области при $k > 0$ . Для гладких многообразий , интеграция форм дает естественный гомоморфизм когомологий де Рама к сингулярным когомологиям над $ℝ$ . Теорема де Рама показывает, что это отображение на самом деле является изоморфизмом, далеко идущим обобщением леммы Пуанкаре. Как предполагает обобщенная теорема Стокса, внешняя производная является «двойственной» граничному отображению на особых симплексах.

Натуральность

Внешняя производная естественна в техническом смысле: если $f$ $:$ $M$ $\to$ $N$ - гладкое отображение, а $Ω$ $k$ - контравариантный гладкий функтор, который ставит в соответствие каждому многообразию пространство $k$ -форм на многообразии, то следующая диаграмма коммутирует

так $д (е * ω) = е * дп$ , где $F$ $*$ обозначает откат из $F$ . Это следует из того $х$ $*$ $& omega$ $(\cdot)$ , по определению, $ω$ $($ $F$ $*$ $(\cdot))$ , $е$ $*$ является прямым образом из $F$ . Таким образом, $d$ - естественное преобразование из $Ω$ $k$ в $Ω$ $k$ $+1$ .

Внешняя производная в векторном исчислении

Большинство операторов векторного исчисления являются частными случаями понятия внешнего дифференцирования или тесно связаны с ним.

Градиент

Гладкая функция $F$ $:$ $M$ $\to ℝ$ на реальный дифференцируемом многообразии $М$ является $0$ -формой. Внешняя производная этой $0$ -формы - $1$ -форма $df$ .

Когда определено внутреннее произведение $⟨\cdot, \cdot⟩$ , градиент $\nabla f$ функции $f$ определяется как уникальный вектор в $V$ , так что его внутреннее произведение с любым элементом $V$ является производной по направлению от $f$ вдоль вектора, т. Е. такой, что

{\ displaystyle \ langle \ nabla f, \ cdot \ rangle = df = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \, dx ^ {я}.}

То есть,

{\ displaystyle \ nabla f = (df) ^ {\ sharp} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {i}}} \, \ left (dx ^ {i} \ right) ^ {\ sharp},}

где $♯$ обозначает упомянутый ранее музыкальный изоморфизм $♯ : V * \to V$ , индуцированный скалярным произведением.

$1$ -форма $ДФА$ является сечением кокасательного расслоения , что дает локальное линейное приближение к $е$ в кокасательном пространстве в каждой точке.

Расхождение

Векторное поле $V = (v 1, v 2, ..., v n)$ на $ℝ n$ имеет соответствующую $(n - 1)$ -форму

{\ displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {V} & = v_ {1} \ left (dx ^ {2} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n} \ right) -v_ {2} \ left (dx ^ {1} \ wedge dx ^ {3} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n} \ right) + \ cdots + (- 1) ^ {n-1} v_ {n} \ left (dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n-1} \ right) \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {(i-1)} v_ {i } \ left (dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i-1} \ wedge {\ widehat {dx ^ {i}}} \ wedge dx ^ {i + 1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n} \ right) \ end {выровнено}}}

где означает пропуск этого элемента. ${\ displaystyle {\ widehat {dx ^ {i}}}}$

(Например, при $п = 3$ , то есть в трехмерном пространстве, $2$ -форма $ω V$ является локально смешанное произведение с $V$ .) Интеграл от & $omega V$ над гиперповерхности является поток из $V$ над этой гиперповерхности.

Внешняя производная этой $(n - 1)$ -формы есть $n$ -форма

{\ displaystyle d \ omega _ {V} = \ operatorname {div} V \ left (dx ^ {1} \ wedge dx ^ {2} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n} \ right).}

Завиток

Векторное поле $V$ на $ℝ n$ также имеет соответствующую $1-$ форму

{\ displaystyle \ eta _ {V} = v_ {1} \, dx ^ {1} + v_ {2} \, dx ^ {2} + \ cdots + v_ {n} \, dx ^ {n}.}

Локально, $η V$ является скалярным произведением с $V$ . Интеграл от $η V$ вдоль пути - это работа, проделанная против $- V на$ этом пути.

При $п = 3$ , в трехмерном пространстве, внешняя производная от $1$ -формы $п V$ представляет собой $2$ -форма

{\ displaystyle d \ eta _ {V} = \ omega _ {\ operatorname {curl} V}.}

Инвариантные формулировки операторов в векторном исчислении

Стандартные операторы векторного исчисления могут быть обобщены для любого псевдориманова многообразия и записаны в безкоординатной записи следующим образом:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} \ operatorname {grad} f & \ Equiv & \ nabla f & = & \ left (df \ right) ^ {\ sharp} \\\ operatorname {div} F & \ Equiv & \ nabla \ cdot F & = & {\ star d {\ star} {\ mathord {\ left (F ^ {\ flat} \ right)}}} \\\ operatorname {curl} F & \ Equiv & \ nabla \ times F & = & \ left ({\ star} d {\ mathord {\ left (F ^ {\ flat} \ right)}} \ right) ^ {\ sharp} \\\ Delta f & \ Equiv & \ nabla ^ {2} f & = & {\ star} d {\ star} df \\ && \ nabla ^ {2} F & = & \ left (d {\ star} d {\ star} {\ mathord {\ left (F ^ {\ flat} \ right)}} - {\ star} d {\ star} d {\ mathord {\ left (F ^ {\ flat} \ right)}} \ right) ^ {\ sharp}, \\\ end {array} }}

где $⋆$ - звездный оператор Ходжа , $♭$ и $♯$ - музыкальные изоморфизмы , $f$ - скалярное поле, а $F$ - векторное поле .

Обратите внимание, что выражение для $curl$ требует, чтобы $♯$ действовала на $⋆ d (F ♭)$ , что является формой степени $n - 2$ . Естественное обобщение $♯$ к $к$ -формы произвольной степени позволяет это выражение имеет смысл для любого $п$ .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Картан, Эли (1899). "Sur Определенные выражения différentielles et le problème de Pfaff" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Серия 3 (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. 16 : 239–332. ISSN 0012-9593 . JFM 30.0313.04 . Проверено 2 фев 2016 .
Конлон, Лоуренс (2001). Дифференцируемые многообразия . Базель, Швейцария: Birkhäuser. п. 239. ISBN. 0-8176-4134-3.
Дарлинг, RWR (1994). Дифференциальные формы и связи . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 35. ISBN 0-521-46800-0.
Фландрия, Харлей (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications. п. 20. ISBN 0-486-66169-5.
Лумис, Линн Х .; Штернберг, Шломо (1989). Расширенный расчет . Бостон: Джонс и Бартлетт. стр. 304 -473 (гл. 7-11). ISBN 0-486-66169-5.
Раманан, С. (2005). Глобальное исчисление . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
Спивак, Михаил (1971). Исчисление на многообразиях . Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN 9780805390216.
Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3

внешние ссылки

«Производная - это не то, что вы думаете» . Алеф Ноль . 3 ноября 2020 г. - через YouTube .

Languages

In other projects