Слабая топология - Weak topology

В математике , слабая топология является альтернативным термином для некоторых начальных топологий , часто на топологических векторных пространств или пространств линейных операторов, например в гильбертовом пространстве. Этот термин чаще всего используется для начальной топологии топологического векторного пространства (такого как нормированное векторное пространство ) относительно его непрерывного двойственного . Остальная часть статьи будет посвящена этому случаю, который является одной из концепций функционального анализа .

Подмножества топологического векторного пространства можно назвать слабо замкнутыми (соответственно, слабо компактными и т. Д.), Если они замкнуты (соответственно компактны и т. Д.) Относительно слабой топологии. Аналогично, функции иногда называют слабо непрерывными (соответственно, слабо дифференцируемыми , слабо аналитическими и т. Д.), Если они непрерывны (соответственно дифференцируемые , аналитические и т. Д.) Относительно слабой топологии.

История

Начиная с начала 1900-х годов Давид Гильберт и Марсель Рис широко использовали слабую конвергенцию. Первые пионеры функционального анализа не ставили конвергенцию норм выше слабой конвергенции и часто считали слабую конвергенцию предпочтительной. В 1929 г. Банах ввел слабую сходимость для нормированных пространств, а также ввел аналогичную слабую * сходимость . Слабая топология также называется топологией faible и schwache Topologie .

Слабая и сильная топологии

Позвольте быть топологическим полем , а именно полем с такой топологией , что сложение, умножение и деление непрерывны . В большинстве приложений будет либо поле комплексных чисел, либо поле действительных чисел с известными топологиями. ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Слабая топология относительно спаривания

И слабая топология, и слабая топология * являются частными случаями более общей конструкции для спариваний , которую мы сейчас опишем. Преимущество этой более общей конструкции состоит в том, что любое определение или доказанный результат применим как к слабой топологии, так и к слабой * топологии, тем самым делая ненужными многие определения, формулировки теорем и доказательства. Это также причина того, почему слабую * топологию также часто называют «слабой топологией»; потому что это просто пример слабой топологии в контексте этой более общей конструкции.

Предположим, что ( X , Y , b ) - это пара векторных пространств над топологическим полем (т.е. X и Y - векторные пространства над и b  : X × Y → - билинейное отображение ). ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Обозначение. Для всех x ∈ X пусть b ( x , •): Y →${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ обозначает линейный функционал на Y, определенный как y ↦ b ( x , y ) . Аналогично, для всех y ∈ Y пусть b (•, y ): X →${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ определяется как x ↦ b ( x , y ) .

Определение. Слабая топология на X , индуцированной Y (и б ) является самой слабой топологии на X , обозначим через а ( Х , Y , б ) или просто σ ( X , Y ) , что делает все отображения б (•, у ): X →${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ непрерывный, так как у пробегает Y .

Слабая топология на Y теперь автоматически определяется, как описано в статье Двойная система . Однако для наглядности сейчас повторим.

Определение. Слабая топология на Y , индуцированное X (и б ) является самой слабой топологией на Y , обозначим через а ( У , Х , б ) или просто σ ( Y , X ) , что делает все отображения Ь ( х , •): Y →${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ непрерывно, а х пробегает X .

Если поле имеет абсолютное значение | ⋅ | , То слабая топология σ ( X , Y , б ) на X индуцируется семейством полунорм , р _у  : Х → , определяется ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

p _y ( x ): = | b ( x , y ) |

для всех у ∈ Y и X ∈ X . Это показывает, что слабые топологии локально выпуклы .

Предположение. В дальнейшем мы будем предполагать, что это либо действительные числа, либо комплексные числа .${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Каноническая двойственность

Рассмотрим теперь частный случай , когда Y представляет собой векторное подпространство алгебраического сопряженного пространства в X (т.е. векторное пространство линейных функционалов на X ).

Существует спаривание, обозначаемое или , называемое каноническим спариванием , билинейное отображение которого является каноническим оценочным отображением , определяемым для всех и . В частности, обратите внимание, что это просто еще один способ обозначения ie . ${\ Displaystyle (Х, Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$${\ displaystyle (X, Y)}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle х, х '\ rangle = х' (х)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x '\ in Y}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, х '\ rangle}$${\ displaystyle x '}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, х '\ rangle = х' (\ cdot)}$

Предположение. Если Y является векторным подпространством алгебраического сопряженного пространства в X , то мы будем считать , что они связаны с каноническим спариванием ⟨ X , Y ⟩ .

В этом случае слабая топология на X (соответственно слабая топология на Y ), обозначенная через 𝜎 ( X , Y ) (соответственно через 𝜎 ( Y , X ) ), является слабой топологией на X (соответственно на Y ) относительно канонического спаривания ⟨ X , Y ⟩ .

Топологии σ ( X , Y ) является исходной топологией из X относительно Y .

Если Y - векторное пространство линейных функционалов на X , то непрерывный двойственный к X относительно топологии σ ( X , Y ) в точности равен Y ( Рудин, 1991 , теорема 3.10)

Слабая и слабая * топологии

Пусть X - топологическое векторное пространство (TVS) над , то есть X - векторное пространство, снабженное топологией, так что сложение векторов и скалярное умножение являются непрерывными. Мы называем топологией, в которой X начинается с исходной , начальной или данной топологии (читателя предостерегают от использования терминов « начальная топология » и « сильная топология » для обозначения исходной топологии, поскольку они уже имеют хорошо известные значения, поэтому их использование может вызвать путаницу). Мы можем определить, возможно, другую топологию на X, используя топологическое или непрерывное двойственное пространство , которое состоит из всех линейных функционалов из X в базовое поле , непрерывных относительно данной топологии. ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Напомним , что это каноническое отображение оценка определяется для всех и , где , в частности, . ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle х, х '\ rangle = х' (х)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x '\ in X ^ {*}}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, x '\ rangle = x' (\ cdot) = x '}$

Определение. Слабая топология на X является слабой топологией на X относительно канонического спаривания . То есть, это самая слабая топология на X, делающая все карты непрерывными, поскольку простирается .${\ displaystyle \ langle X, X ^ {*} \ rangle}$${\ displaystyle x '= \ langle \ cdot, x' \ rangle: X \ to \ mathbb {K}}$${\ displaystyle x '}$${\ displaystyle X ^ {*}}$

Определение : Слабая топология на${\ displaystyle X ^ {*}}$ - это слабая топология на относительно канонического спаривания . То есть, это самая слабая топология делает все карты непрерывно, а х пробегает X . Эта топология также называется слабой * топологией .${\ displaystyle X ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ langle X, X ^ {*} \ rangle}$${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ displaystyle \ langle x, \ cdot \ rangle: X ^ {*} \ to \ mathbb {K}}$

Ниже мы дадим альтернативные определения.

Слабая топология, индуцированная непрерывным двойственным пространством

В качестве альтернативы, слабая топология TVS X является начальной топологией по отношению к семейству . Другими словами, это самая грубая топология на X такая, что каждый элемент остается непрерывной функцией . ${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ displaystyle X ^ {*}}$

Предбаза для слабой топологии является совокупностью множеств вида , где и U представляет собой открытое подмножество основного поля . Другими словами, подмножество X открыто в слабой топологии тогда и только тогда, когда оно может быть записано как объединение (возможно, бесконечного множества) множеств, каждое из которых является пересечением конечного числа множеств формы . ${\ Displaystyle \ phi ^ {- 1} (U)}$${\ displaystyle \ phi \ in X ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ phi ^ {- 1} (U)}$

С этой точки зрения слабая топология - это грубейшая полярная топология ; подробности см. в слабой топологии (полярная топология) .

Слабая конвергенция

Слабая топология характеризуется следующим условием: сеть в X сходится в слабой топологии к элементу x из X тогда и только тогда, когда сходится к in или для всех . ${\ displaystyle (х _ {\ lambda})}$${\ displaystyle \ phi (х _ {\ lambda})}$${\ Displaystyle \ фи (х)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ phi \ in X ^ {*}}$

В частности, если - последовательность в X , то слабо сходится к x, если ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$

${\ displaystyle \ varphi (x_ {n}) \ to \ varphi (x)}$

при n → ∞ для всех . В этом случае принято писать ${\ displaystyle \ varphi \ in X ^ {*}}$

${\ displaystyle x_ {n} {\ overset {\ mathrm {w}} {\ longrightarrow}} x}$

или, иногда,

${\ displaystyle x_ {n} \ rightharpoonup x.}$

Прочие свойства

Если X снабжен слабой топологией, то сложение и скалярное умножение остаются непрерывными операциями, а X является локально выпуклым топологическим векторным пространством .

Если X - нормированное пространство, то двойственное пространство само является нормированным векторным пространством с использованием нормы ${\ displaystyle X ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ | \ phi \ | = \ sup _ {\ | x \ | \ leq 1} | \ phi (x) |.}$

Эта норма приводит к топологии, называется сильной топологией , на . Это топология равномерной сходимости . Равномерная и сильная топологии обычно различны для других пространств линейных отображений; см. ниже. ${\ displaystyle X ^ {*}}$

Слабая * топология

Слабая топология * - важный пример полярной топологии .

Пространство X может быть вложено в его двойное двойственное X ** с помощью

${\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {cases} T_ {x}: X ^ {*} \ to \ mathbb {K} \\ T_ {x} (\ phi) = \ phi (x) \ end {cases} }}$

Таким образом , это инъективное линейное отображение, хотя и не обязательно сюръективное (пространства, для которых это каноническое вложение сюръективно, называются рефлексивными ). Слабейший- * топология на это слабая топология , индуцированная изображением . Другими словами, это самая грубая топология такая, что отображения T _x , определенные с помощью from, в основное поле или остаются непрерывными. ${\ displaystyle T: X \ to X ^ {**}}$${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ Displaystyle T: T (X) \ подмножество X ^ {**}}$${\ Displaystyle Т_ {х} (\ фи) = \ фи (х)}$${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Слабая * конвергенция

Сетка в сходится к в слабой * топологии , если она сходится точечно: ${\ displaystyle \ phi _ {\ lambda}}$${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ фи _ {\ лямбда} (х) \ к \ фи (х)}$

для всех . В частности, последовательность из сходится к условию , что ${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle \ phi _ {п} \ в X ^ {*}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ фи _ {п} (х) \ к \ фи (х)}$

для всех х ∈ X . В этом случае пишут

${\ displaystyle \ phi _ {n} {\ overset {w ^ {*}} {\ to}} \ phi}$

при n → ∞ .

Слабую * сходимость иногда называют простой сходимостью или поточечной сходимостью . Действительно, это совпадает с поточечной сходимостью линейных функционалов.

Характеристики

Если X - сепарабельное (т. Е. Имеет счетное плотное подмножество) локально выпуклое пространство и H - ограниченное по норме подмножество его непрерывного сопряженного пространства, то H, наделенное слабой топологией * (подпространства), является метризуемым топологическим пространством. Если X - сепарабельное метризуемое локально выпуклое пространство, то слабая * топология на непрерывном сопряженном пространстве X сепарабельна.

Свойства на нормированных пространствах

По определению, слабая топология * слабее, чем слабая топология на . Важный факт о слабой * топологии является теоремой Банаха-Алаогл : если X нормирован, то замкнутый единичный шар в слабом * - компактный (более общо, полярном в окрестностях точки 0 в X слабо * -compact ). Кроме того, замкнутый единичный шар в нормированном пространстве X компактно в слабой топологии тогда и только тогда , когда X является рефлексивным . ${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ displaystyle X ^ {*}}$

В более общем смысле, пусть F - локально компактное поле со значениями (например, действительные числа, комплексные числа или любая из p-адических систем счисления). Пусть X нормированное топологическое векторное пространство над F , совместим с абсолютным значением в F . Тогда в топологическом двойственном пространстве X непрерывных F -значных линейных функционалов на X все замкнутые по норме шары компактны в слабой * топологии. ${\ displaystyle X ^ {*}}$

Если X - нормированное пространство, то подмножество непрерывного двойственного пространства слабо * компактно тогда и только тогда, когда оно слабо * замкнуто и ограничено по норме. Это означает, в частности, что, когда X - бесконечномерное нормированное пространство, то замкнутый единичный шар в начале координат в двойственном пространстве X не содержит никакой слабой * окрестности 0.

Если X - нормированное пространство, то X сепарабельно тогда и только тогда, когда слабая * топология на замкнутом единичном шаре метризуема, и в этом случае слабая * топология метризуема на ограниченных по норме подмножествах . Если в нормированном пространстве X есть двойственное пространство, которое сепарабельно (относительно топологии двойственной нормы), то X обязательно сепарабельно. Если X - банахово пространство , то слабая * топология не метризуема на всем из, если X не конечномерно. ${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ displaystyle X ^ {*}}$${\ displaystyle X ^ {*}}$

Примеры

Гильбертовы пространства

Рассмотрим, например, разницу между сильной и слабой сходимостью функций в гильбертовом пространстве L ² ( )${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ . Сильная сходимость последовательности к элементу ψ означает, что ${\ Displaystyle \ psi _ {к} \ в L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ psi _ {k} - \ psi | ^ {2} \, {\ rm {d}} \ mu \, \ to 0}$

при k → ∞ . Здесь понятие сходимости соответствует норме на L ² .

Напротив, слабая конвергенция требует лишь того, чтобы

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ bar {\ psi}} _ {k} f \, \ mathrm {d} \ mu \ to \ int _ {\ mathbb {R} ^ {п}} {\ bar {\ psi}} е \, \ mathrm {d} \ mu}$

для всех функций F ∈ L ² (или, более типично, все е в плотном подмножестве из L ² , такие как пространство пробных функций , если последовательность { ψ _к } ограничена). Для заданных тестовых функций соответствующее понятие сходимости соответствует только топологии, используемой в . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Например, в гильбертовом пространстве L ² (0, π) последовательность функций

${\ displaystyle \ psi _ {k} (x) = {\ sqrt {2 / \ pi}} \ sin (kx)}$

образуют ортонормированный базис . В частности, (сильный) предел , как к → ∞ не существует. С другой стороны, по лемме Римана – Лебега слабый предел существует и равен нулю. ${\ displaystyle \ psi _ {k}}$

Распределения

Обычно пространства распределений получают , формируя сильное двойственное пространство пробных функций (таких как гладкие функции с компактным носителем на ). В альтернативной конструкции таких пространств, можно взять слабую двойное пространство пробных функций внутри гильбертова пространства , например, L ² . Таким образом, можно рассмотреть идею оснащенного гильбертова пространства . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Слабая топология, индуцированная алгебраическим двойственным

Предположим, что X - векторное пространство, а X ^# - алгебраическое двойственное пространство к X (т. Е. Векторное пространство всех линейных функционалов на X ). Если X наделен слабой топологией, индуцированной X ^#, то непрерывным двойственным пространством X является X ^# , каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве X , каждое векторное подпространство X замкнуто и имеет топологическое дополнение .

Операторские топологии

Если Х и Y являются топологические векторные пространства, пространство L ( X , Y ) из непрерывных линейных операторов F  : X  →  Y может нести множество различных возможных топологий. Именование таких топологий зависит от типа топологии, используемой в целевом пространстве Y для определения операторной сходимости ( Yosida 1980 , IV.7 Топологии линейных отображений). В общем, существует огромное множество возможных операторных топологий на L ( X , Y ) , именование которых не совсем интуитивно понятно.

Например, сильная операторная топология на L ( X , Y ) - это топология поточечной сходимости . Например, если Y - нормированное пространство, то эта топология определяется полунормами, индексируемыми x ∈ X :

${\ Displaystyle е \ mapsto \ | е (х) \ | _ {Y}.}$

В более общем смысле, если семейство полунорм Q определяет топологию на Y , то полунормы p _{q , x} на L ( X , Y ), определяющие сильную топологию, задаются формулами

${\ displaystyle p_ {q, x}: f \ mapsto q (f (x)),}$

индексируется д ∈ Q и х ∈ Х .

В частности, см. Слабую операторную топологию и слабую * операторную топологию .

Смотрите также

• Компакт Эберлейна , компакт в слабой топологии
• Слабая сходимость (гильбертово пространство)
• Топология оператора слабой звезды
• Слабая сходимость мер
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Расплывчатая топология

Рекомендации

Библиография

• Конвей, Джон Б. (1994), Курс функционального анализа (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97245-5
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Педерсен, Герт (1989), Анализ сейчас , Springer, ISBN 0-387-96788-5
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Уиллард, Стивен (февраль 2004 г.). Общая топология . Courier Dover Publications. ISBN 9780486434797.
• Йосида, Косаку (1980), Функциональный анализ (6-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8