Минор (линейная алгебра) - Minor (linear algebra)

В линейной алгебре , минор из матрицы А является определяющим фактором некоторой меньшей квадратной матрицы , срезал A пути удаления одного или несколько из ее строк и столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц ( первые миноры ), требуются для вычисления матричных сомножителей , которые, в свою очередь, полезны для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц.

Определение и иллюстрация

Первые несовершеннолетние

Если представляет собой квадратную матрицу, то незначительные вступления в я - й строки и J - го столбца (также называется ( я , J ) незначительные , или первый минор ) является определяющим фактором в подматрицы , образованный удалением я ю строка и j- й столбец. Это число часто обозначают M _{i, j} . Кофактор ( i , j ) получается умножением младшего на . ${\ Displaystyle (-1) ^ {я + j}}$

Чтобы проиллюстрировать эти определения, рассмотрим следующую матрицу 3 на 3,

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ - 1 & 9 & 11 \\\ end {bmatrix}}}

Чтобы вычислить минор M _2,3 и кофактор C _2,3 , мы находим определитель вышеуказанной матрицы с удаленными строкой 2 и столбцом 3.

{\ displaystyle M_ {2,3} = \ det {\ begin {bmatrix} 1 & 4 & \ Box \\\ Box & \ Box & \ Box \\ - 1 & 9 & \ Box \\\ end {bmatrix}} = \ det {\ begin {bmatrix} 1 & 4 \\ - 1 & 9 \\\ end {bmatrix}} = 9 - (- 4) = 13}

Таким образом, кофактор записи (2,3) равен

{\ Displaystyle \ C_ {2,3} = (- 1) ^ {2 + 3} (M_ {2,3}) = - 13.}

Общее определение

Пусть A - матрица размера m × n, k - целое число с 0 < k ≤ m и k ≤ n . К × к незначительному из А , называемые также незначительный определителем порядка к части А , или, если т = п , ( п - к ) й минору определитель из А (слово «детерминант» часто опускается, а слово «степень» иногда используется вместо «порядок») - это определитель матрицы размером k × k, полученной из A путем удаления m - k строк и n - k столбцов. Иногда этот термин используется для обозначения K × K матрица , полученная из A , как указано выше (путем удаления м - K строк и п - K столбцов), но эта матрица должна называться (квадрат) подматрицы из А , в результате чего термин «второстепенный» относится к определителю этой матрицы. Для матрицы A, как указано выше, имеется всего миноров размера k × k . Минор нулевого порядка часто определяется равным 1. Для квадратной матрицы, то нулевой минор только определитель матрицы. ${\ Displaystyle {м \ выбрать k} \ cdot {п \ выбрать k}}$

Пусть и будут упорядоченными последовательностями (в естественном порядке, как это всегда предполагается, когда речь идет о минорах, если не указано иное) индексов, назовите их I и J соответственно. Младший, соответствующий этому выбору индексов, обозначается или или или или или (где обозначает последовательность индексов I и т. Д.), В зависимости от источника. Кроме того, в литературе используются два типа обозначений: под второстепенным, связанным с упорядоченными последовательностями индексов I и J , некоторые авторы подразумевают определитель матрицы, которая сформирована, как указано выше, путем взятия элементов исходной матрицы из строк , чьи индексы в I и столбцов, индексы в J , тогда как некоторые другие авторы подразумевают под минор , ассоциированной с I и J определитель матрицы , составленной из исходной матрицы путем удаления строк в I и столбцы J . Какое обозначение используется, всегда следует проверять из соответствующего источника. В этой статье мы используем широкое определение выбора элементов из рядов I и столбцов J . Исключительный случай - это случай первого минора или ( i , j ) -минора, описанного выше; в этом случае исключительное значение является стандартным во всей литературе и также используется в этой статье. ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq m}$ ${\ displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} <\ cdots <j_ {k} \ leq n}$ ${\ displaystyle \ det \ left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, \ ldots, k} \ right)}$ ${\ displaystyle \ det _ {I, J} A}$ ${\ displaystyle \ det A_ {I, J}}$ ${\ displaystyle [A] _ {I, J}}$ ${\ displaystyle M_ {I, J}}$ ${\ Displaystyle M_ {i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {k}, j_ {1}, j_ {2}, \ ldots, j_ {k}}}$ ${\ Displaystyle M _ {(я), (j)}}$ ${\ Displaystyle (я)}$ ${\ Displaystyle M_ {я, j} = \ det \ left (\ left (A_ {p, q} \ right) _ {p \ neq i, q \ neq j} \ right)}$

Дополнение

Дополнение B _{ijk ..., pqr ...} минора M _{ijk ..., pqr ...} квадратной матрицы A образовано определителем матрицы A, из которой все строки ( ijk ... ) и столбцы ( pqr ... ), связанные с M _{ijk ..., pqr ...} , были удалены. Дополнение первого минора элемента a _ij является просто этим элементом.

Заявления несовершеннолетних и кофакторов

Кофакторное разложение определителя

Кофакторы занимают видное место в формуле Лапласа для разложения детерминантов, которая представляет собой метод вычисления больших детерминантов через меньшие. Для матрицы размера n × n определитель матрицы A , обозначенный как det ( A ), может быть записан как сумма сомножителей любой строки или столбца матрицы, умноженная на элементы, которые их сгенерировали. Другими словами, определение разложения кофактора по j- му столбцу дает: ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ ${\ displaystyle C_ {ij} = (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}$

{\ displaystyle \ \ det (\ mathbf {A}) = a_ {1j} C_ {1j} + a_ {2j} C_ {2j} + a_ {3j} C_ {3j} + \ cdots + a_ {nj} C_ { nj} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}

Расширение кофактора по i- й строке дает:

{\ displaystyle \ \ det (\ mathbf {A}) = a_ {i1} C_ {i1} + a_ {i2} C_ {i2} + a_ {i3} C_ {i3} + \ cdots + a_ {in} C_ { in} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} C_ {ij} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} (- 1) ^ {i + j} M_ {ij}}

Обратная матрица

Можно записать обратную обратимую матрицу , вычислив ее сомножители, используя правило Крамера , как показано ниже. Матрица, образованная всеми кофакторами квадратной матрицы A , называется кофакторной матрицей (также называемой матрицей кофакторов или, иногда, коматриксом ):

{\ displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & \ cdots & C_ {1n} \\ C_ {21} & C_ {22} & \ cdots & C_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ C_ {n1} & C_ {n2} & \ cdots & C_ {nn} \ end {bmatrix}}}

Тогда обратное к A - это транспонирование матрицы кофакторов, умноженное на обратную величину определителя A :

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ operatorname {det} (\ mathbf {A})}} \ mathbf {C} ^ {\ mathsf {T}}.}

Транспонированная матрица кофактора называется adjugate матрица (также называемой классическим сопряженным ) из A .

Вышеупомянутая формула может быть обобщена следующим образом: Пусть и будут упорядоченными последовательностями (в естественном порядке) индексов (здесь A - это матрица размера n × n ). потом ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ ldots <i_ {k} \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq j_ {1} <j_ {2} <\ ldots <j_ {k} \ leq n}$

{\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} = \ pm {\ frac {[\ mathbf {A}] _ {J ', I'}} {\ det \ mathbf { A}}},}

где I ′ , J ′ обозначают упорядоченные последовательности индексов (индексы имеют естественный порядок величины, как указано выше), дополняющих I , J , так что каждый индекс 1, ..., n появляется ровно один раз в I или I ' , но не в обоих (аналогично для J и J' ) и обозначает определитель подматрицы A , образованного путем выбора строки индекса устанавливается I и столбцов множества индексов J . Также . Простое доказательство можно дать, используя произведение клина. В самом деле, ${\ displaystyle [\ mathbf {A}] _ {I, J}}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {A}] _ {I, J} = \ det \ left ((A_ {i_ {p}, j_ {q}}) _ {p, q = 1, \ ldots, k} \ верно)}$

{\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}) = \ pm (\ mathbf {A} ^ {- 1 } e_ {j_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (\ mathbf {A} ^ {- 1} e_ {j_ {k}}) \ wedge e_ {i '_ {1}} \ wedge \ ldots \ клин е_ {i '_ {nk}},}

где - базисные векторы. Действуя А с обеих сторон, мы получаем ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$

{\ displaystyle [\ mathbf {A} ^ {- 1}] _ {I, J} \ det \ mathbf {A} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}) = \ pm (e_ { j_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (e_ {j_ {k}}) \ wedge (\ mathbf {A} e_ {i '_ {1}}) \ wedge \ ldots \ wedge (\ mathbf {A } e_ {i '_ {nk}}) = \ pm [\ mathbf {A}] _ {J', I '} (e_ {1} \ wedge \ ldots \ wedge e_ {n}).}

Знак может быть разработан , чтобы быть , таким образом , знак определяется суммами элементов в I и J . ${\ displaystyle (-1) ^ {\ sum _ {s = 1} ^ {k} i_ {s} - \ sum _ {s = 1} ^ {k} j_ {s}}}$

Другие приложения

Для матрицы размера m × n с действительными элементами (или элементами из любого другого поля ) и рангом r существует по крайней мере один ненулевой минор r × r , в то время как все более крупные миноры равны нулю.

Мы будем использовать следующие обозначения для миноров: если A - матрица размера m × n , I - подмножество {1, ..., m } с k элементами, а J - подмножество {1, ..., n } с K элементов, то мы будем писать [ ] _Я_,_J для K × K минор A , что соответствует строкам с индексом в I и столбцах с индексом в J .

Если I = J , то [ A ] _{I , J} называется главным минором .
Если матрица, соответствующая главному минору, является квадратичной левой верхней частью большей матрицы (т. Е. Состоит из матричных элементов в строках и столбцах от 1 до k ), то главный минор называется ведущим главным минором (из порядок k) или угловой (основной) минор (порядка k) . Для квадратной матрицы размера n × n существует n старших главных миноров.
Базисный минор матрицы является определителем квадратной подматрицы , который максимального размера с ненулевым определителем.
Для эрмитовых матриц ведущие главные миноры могут использоваться для проверки на положительную определенность, а главные миноры могут использоваться для проверки на положительную полуопределенность . См . Критерий Сильвестра для более подробной информации.

И формула для обычного матричного умножения, и формула Коши – Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A - матрица размера m × n , B - матрица размера n × p , I - подмножество {1, ..., m } с k элементами, а J - подмножество {1, ..., p } с k элементами. потом

{\ displaystyle [\ mathbf {AB}] _ {I, J} = \ sum _ {K} [\ mathbf {A}] _ {I, K} [\ mathbf {B}] _ {K, J} \ ,}

где сумма распространяется на все подмножества K из {1, ..., n } с k элементами. Эта формула является прямым расширением формулы Коши – Бине.

Подход полилинейной алгебры

Более систематическое, алгебраическое рассмотрение миноров дается в полилинейной алгебре с использованием произведения клина : k -миноры матрицы являются элементами k- го внешнего степенного отображения.

Если столбцы матрицы соединяются вместе k за раз, миноры k × k появляются как компоненты полученных k -векторов. Например, миноры 2 × 2 матрицы

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & \! \! - 1 \\ 2 & 1 \\\ end {pmatrix}}}

равны −13 (из первых двух строк), −7 (из первой и последней строки) и 5 (из последних двух строк). Теперь рассмотрим продукт клина

{\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1} +3 \ mathbf {e} _ {2} +2 \ mathbf {e} _ {3}) \ wedge (4 \ mathbf {e} _ {1} - \ mathbf {e} _ {2} + \ mathbf {e} _ {3})}

где два выражения соответствуют двум столбцам нашей матрицы. Используя свойства продукта клина, а именно его билинейность и чередование ,

{\ Displaystyle \ mathbf {е} _ {я} \ клин \ mathbf {е} _ {я} = 0,}

и антисимметричный ,

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ wedge \ mathbf {e} _ {j} = - \ mathbf {e} _ {j} \ wedge \ mathbf {e} _ {i},}

мы можем упростить это выражение до

{\ displaystyle -13 \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {2} -7 \ mathbf {e} _ {1} \ wedge \ mathbf {e} _ {3} +5 \ mathbf {e} _ {2} \ wedge \ mathbf {e} _ {3}}

где коэффициенты согласуются с ранее вычисленными минорами.

Замечание о разных обозначениях

В некоторых книгах вместо кофактора используется термин « добавка» . Более того, он обозначается как A _ij и определяется так же, как кофактор:

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {ij} = (- 1) ^ {i + j} \ mathbf {M} _ {ij}}

В этих обозначениях обратная матрица записывается так:

{\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ det (M)}} {\ begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {21} & \ cdots & A_ {n1} \ \ A_ {12} & A_ {22} & \ cdots & A_ {n2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {1n} & A_ {2n} & \ cdots & A_ {nn} \ end {bmatrix }}}

Имейте в виду , что придаток не adjugate или сопряженный . В современной терминологии термин «сопряженный» матрицы чаще всего относится к соответствующему сопряженному оператору .

Смотрите также

Подматрица

Languages

In other projects