Когомологии де Рама - De Rham cohomology

Векторное поле, соответствующее замкнутой, но не точной дифференциальной форме на проколотой плоскости , показывает, что когомологии де Рама этого пространства нетривиальны.

В математике , когомологии де Рама (имя Жорж де Рама ) представляет собой инструмент , принадлежащий как к алгебраической топологии и дифференциальной топологии , способный выразить основную топологическую информацию о гладких многообразиях в форме , особенно приспособленной для расчета и представления бетонов классов когомологий . Это теория когомологий, основанная на существовании дифференциальных форм с заданными свойствами.

Каждая точная форма закрыта, но обратное не всегда верно. С другой стороны, существует связь между нарушением точности и наличием «дырок». Группы когомологий де Рама представляют собой набор инвариантов гладких многообразий, которые делают указанное выше соотношение количественным, и будут обсуждаться в этой статье.

Концепция интегрирования форм имеет фундаментальное значение в дифференциальной топологии, геометрии и физике, а также дает один из наиболее важных примеров когомологий , а именно когомологии де Рама , которые (грубо говоря) точно измеряют степень, в которой основная теорема исчисление терпит неудачу в высших измерениях и на общих многообразиях.
-  Теренс Тао , Дифференциальные формы и интеграция

Определение

Комплекс де Рама является коцепной комплекс из дифференциальных форм на некотором гладком многообразии М , с внешней производной как дифференциал:

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {2} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {3} (M) \ to \ cdots,}$

где Ω ⁰ ( M ) - пространство гладких функций на M , Ω ¹ ( M ) - пространство 1 -форм и т. д. Формы, которые являются образом других форм при внешней производной , плюс постоянная функция 0 в Ω ⁰ ( M ) , называются точными, а формы, внешняя производная которых равна 0 , называются замкнутыми (см. Замкнутые и точные дифференциальные формы ); соотношение d ² = 0 означает, что точные формы закрыты.

Напротив, закрытые формы не обязательно точны. Иллюстративным случаем является круг как многообразие, а 1- форма, соответствующая производной угла от опорной точки в ее центре, обычно записывается как dθ (описывается в Замкнутых и точных дифференциальных формах ). Не существует функции θ, определенной на всей окружности, такой, что dθ была бы ее производной; увеличение на 2 π при однократном обходе круга в положительном направлении влечет за собой многозначную функцию θ . Удаление одной точки окружности позволяет избежать этого, одновременно изменяя топологию многообразия.

Идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы определить классы эквивалентности замкнутых форм на многообразии. Две замкнутые формы α , β ∈ Ω ^k ( M ) классифицируются как когомологичные, если они отличаются точной формой, т. Е. Если α - β точное. Эта классификация индуцирует отношение эквивалентности на пространстве замкнутых форм в Ω ^k ( M ) . Затем определяется k -я группа когомологий де Рама как множество классов эквивалентности, то есть множество замкнутых форм в Ω ^k ( M ) по модулю точных форм. ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$

Заметим, что для любого многообразия M, состоящего из m несвязных компонент, каждая из которых связна , имеем

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {0} (M) \ cong \ mathbb {R} ^ {m}.}$

Это следует из того факта , что любая гладкая функция на М с нулевой производной всюду по отдельности постоянна на каждом из компонент связности M .

Вычисленные когомологии де Рама

Часто можно найти общие когомологии де Рама многообразия, используя упомянутый выше факт о нулевых когомологиях и последовательности Майера – Виеториса . Другой полезный факт состоит в том, что когомологии де Рама являются гомотопическим инвариантом. Хотя вычисления не приводятся, ниже приведены вычисленные когомологии де Рама для некоторых общих топологических объектов:

П -сферы

Для n -сферы , а также вместе с произведением открытых интервалов имеем следующее. Пусть n > 0, m ≥ 0 и I - открытый вещественный интервал. потом ${\ Displaystyle S ^ {п}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {n} \ times I ^ {m}) \ simeq {\ begin {cases} \ mathbb {R} & k = 0 {\ text {или }} k = n, \\ 0 & k \ neq 0 {\ text {and}} k \ neq n. \ end {cases}}}$

П -тор

-Тор является декартово произведение: . Аналогично, учитывая здесь, получаем ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}} _ {n}}$${\ Displaystyle п \ geq 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (T ^ {n}) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n \ choose k}.}$

Мы также можем найти явные образующие для когомологий де Рама тора непосредственно с помощью дифференциальных форм. Для фактормногообразия и дифференциальной формы мы можем сказать, что оно является -инвариантным, если задан любой диффеоморфизм, индуцированный , мы имеем . В частности, прообраз любой формы на это -инвариантный. Кроме того, откат - это инъективный морфизм. В нашем случае дифференциальных форм являются -инвариантными так . Но обратите внимание, что for не является инвариантной -формой. Это с инъективностью означает, что ${\ displaystyle \ pi: от X \ до X / G}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (X)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ cdot g: X \ to X}$${\ displaystyle (\ cdot g) ^ {*} (\ omega) = \ omega}$${\ Displaystyle X / G}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} / \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {п}}$${\ displaystyle d (x_ {i} + k) = dx_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i} + \ alpha}$${\ Displaystyle \ альфа \ в \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle [dx_ {i}] \ in H_ {dR} ^ {1} (T ^ {n})}$

Поскольку кольцо когомологий тора порождается , взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители когомологий де Рама тора. ${\ displaystyle H ^ {1}}$

Проколотое евклидово пространство

Проколотое евклидово пространство просто с удалением начала координат. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^ {2} & n = 1, k = 0 \\\ mathbb {R} & n> 1, k = 0, n-1 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {ases}}.}$

Лента Мебиуса

Мы можем сделать вывод из того , что лента Мебиуса , М , может быть деформация втянута в 1 (т.е. реальной единичной окружности) -сфера, что:

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M) \ simeq H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {1}).}$

Теорема де Рама

Стокса теорема является выражением двойственности между когомологий де Рама и гомологии из цепей . Это говорит о том , что спаривание дифференциальных форм и цепочек, через интеграцию, дает гомоморфизм из когомологий де Рама для особых групп когомологий теорема де Рама , доказанную Жорж де Рама в 1931 году, утверждает , что для гладкого многообразия М , это отображение на самом деле изоморфизм . ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$ ${\ displaystyle H ^ {k} (M; \ mathbb {R}).}$

Точнее, рассмотрим карту

${\ displaystyle I: H _ {\ mathrm {dR}} ^ {p} (M) \ to H ^ {p} (M; \ mathbb {R}),}$

определяется следующим образом: для любого пусть I ( ω ) - элемент, который действует следующим образом: ${\ displaystyle [\ omega] \ в H _ {\ mathrm {dR}} ^ {p} (M)}$${\ Displaystyle {\ текст {Hom}} (H_ {p} (M), \ mathbb {R}) \ simeq H ^ {p} (M; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle H_ {p} (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int _ {c} \ omega.}$

Теорема де Рама утверждает, что это изоморфизм между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями.

Внешнее произведение придает прямую сумму этих групп с кольцевой структурой. Дальнейший результат теоремы состоит в том, что два кольца когомологий изоморфны (как градуированные кольца ), где аналогичное произведение на особых когомологиях является чашечным произведением .

Теоретико-пучковый изоморфизм де Рама

Когомологии де Рама изоморфные к когомологиям Чеха , где является пучок из абелевых групп определяется для всех подключенных открытых множеств , так и для открытых множеств таких , что группа морфизм задаются тождественным отображением на и где является хорошим открытым покрытием из (т.е. всех открытых множеств в открытой крышке являются стягивают в точку, и все конечные пересечения множеств либо пусто , либо стягиваются в точку). Другими словами, это постоянный пучок, заданный связкой постоянного назначения предпучка . ${\ Displaystyle Н ^ {*} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle U \ подмножество M}$${\ Displaystyle U, V}$${\ Displaystyle U \ подмножество V}$${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}: {\ underline {\ mathbb {R}}} (V) \ to {\ underline {\ mathbb {R}}} (U)}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$

Другими словами, если это компактное многообразие C ^{m +1} размерности , то для каждого существует изоморфизм ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k \ leq m}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M) \ cong {\ check {H}} ^ {k} (M, {\ underline {\ mathbb {R}}})}$

где левая часть - это -я группа когомологий де Рама, а правая часть - когомологии Чеха для постоянного пучка со слоем${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Доказательство

Пусть обозначим пучок ростков из -формы на (с пучком функций на ). По лемме Пуанкаре следующая последовательность пучков точна (в категории пучков): ${\ displaystyle \ Omega ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Omega ^ {0}}$${\ displaystyle C ^ {m + 1}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ underline {\ mathbb {R}}} \ to \ Omega ^ {0} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^ {1} \, \ xrightarrow {d} \, \ Омега ^ {2} \, \ xrightarrow {d} \ dots \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^ {m} \ to 0.}$

Эта последовательность теперь разбивается на короткие точные последовательности

${\ displaystyle 0 \ to d \ Omega ^ {k-1} \, {\ xrightarrow {\ subset}} \, \ Omega ^ {k} \, {\ xrightarrow {d}} \, d \ Omega ^ {k } \ до 0.}$

Каждый из них индуцирует длинную точную последовательность в когомологиях. Поскольку пучок функций на многообразии допускает разбиение единицы , пучковые когомологии исчезают при . Таким образом, сами длинные точные последовательности когомологий в конечном итоге разделяются на цепочку изоморфизмов. На одном конце цепочки находятся когомологии Чеха, а на другом - когомологии де Рама. ${\ displaystyle C ^ {m + 1}}$${\ Displaystyle Н ^ {я} (\ Омега ^ {к})}$${\ displaystyle i> 0}$

Связанные идеи

Когомологии де Рама вдохновили множество математических идей, включая когомологии Дольбо , теорию Ходжа и теорему Атьи – Зингера об индексе . Однако даже в более классических контекстах теорема вдохновила на ряд разработок. Во-первых, теория Ходжа доказывает, что существует изоморфизм между когомологиями, состоящими из гармонических форм, и когомологиями де Рама, состоящими из замкнутых форм по модулю точных форм. Это опирается на соответствующее определение гармонических форм и теорему Ходжа. Для получения дополнительной информации см. Теорию Ходжа .

Гармонические формы

Если M - компактное риманово многообразие , то каждый класс эквивалентности в содержит ровно одну гармоническую форму . То есть каждый член данного класса эквивалентности замкнутых форм может быть записан как ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ омега = \ альфа + \ гамма}$

где точно и гармонично: . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$

Любая гармоническая функция на связном компактном римановом многообразии является константой. Таким образом, этот конкретный репрезентативный элемент можно понимать как экстремум (минимум) всех когомологически эквивалентных форм на многообразии. К примеру, на 2 - тора , то можно представить себе постоянную 1 -форму как тот , где все «волосы» расчесывают аккуратно в том же направлении (и все «волос» , имеющей такую же длину). В этом случае имеется два когомологически различных гребенки; все остальные - линейные комбинации. В частности, это означает , что первое число Бетти в течение 2 -х -тор это два. В более общем смысле, на -мерном торе можно рассматривать различные расчесывания -форм на торе. Можно выбрать такие комбинации, которые можно использовать для формирования базисных векторов ; -й число Бетти для группы когомологий де Рамы для -тора таким образом выбрать . ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle Т ^ {п}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle H _ {\ текст {dR}} ^ {k} (T ^ {n})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Точнее, для дифференциального многообразия M можно снабдить его некоторой вспомогательной римановой метрикой . Тогда лапласиан определяется как ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$

с по внешней производной и в кодифференциал . Лапласиане является однородным (в классификации ) линейного дифференциального оператора , действующего на внешней алгебре из дифференциальных форм : мы можем смотреть на его действия на каждом компоненте степени отдельно. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle k}$

Если это компактное и ориентированные , то размерность в ядре лапласиана , действующих на пространстве K -форм тогда равна (по теории Ходжи ) к де Раме группы когомологий в степени : лапласовскому выхватывает уникальную гармоническую форму в каждый класс когомологий замкнутых форм . В частности, пространство всех гармонических -форм на изоморфно . Размерность каждого такого пространства конечна и задается -м числом Бетти . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H ^ {k} (M; \ mathbb {R}).}$${\ displaystyle k}$

Разложение Ходжа

Пусть - компактное ориентированное риманово многообразие . В разложении Ходжа утверждает , что любая форма на однозначно распадается в сумму трех L ² компонентов: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ омега = \ альфа + \ бета + \ гамма,}$

где точно, совоточно и гармонично. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

Один говорит , что форма со-замкнутой , если и со-точным , если для какой - либо форме , а также, что является гармоническим , если лапласиан равен нулю, . Это следует из того, что точные и совпадающие формы ортогональны; тогда ортогональное дополнение состоит из замкнутых и совместно замкнутых форм, то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется по отношению к внутреннему произведению L ² на : ${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ дельта \ бета = 0}$${\ displaystyle \ beta = \ delta \ eta}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$${\ Displaystyle \ Omega ^ {к} (М)}$

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {M} \ alpha \ wedge {\ star \ beta}.}$

Используя пространства Соболева или распределения , разложение может быть расширено, например, до полного (ориентированного или нет) риманова многообразия.

Смотрите также

• Теория Ходжа
• Интегрирование вдоль волокон (для когомологий де Рама продвижение вперед дается интегрированием )

Цитаты

использованная литература

внешние ссылки

• Идея когомологий де Рама в проекте Mathifold
• "Когомологии Де Рама" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]