Универсальная собственность - Universal property

Типовая схема определения универсального морфизма.

В теории категорий , разделе математики , универсальное свойство является важным свойством, которому удовлетворяет универсальный морфизм (см. Формальное определение ). Универсальные морфизмы также можно рассматривать более абстрактно , как начальные или терминальные объекты одного категории разделителей (см Связи с запятой категориями ). Универсальные свойства встречаются в математике почти повсюду, и поэтому точная теоретико-категориальная концепция помогает указать на сходство между различными разделами математики, некоторые из которых могут даже показаться несвязанными.

Универсальные свойства могут неявно использоваться в других областях математики, но абстрактное и более точное определение их можно изучить в теории категорий.

В этой статье дается общее описание универсальных свойств. Чтобы понять концепцию, полезно сначала изучить несколько примеров, которых много: все свободные объекты , прямое произведение и прямая сумма , свободная группа , свободная решетка , группа Гротендика , пополнение Дедекинда – МакНейла , топология произведения , Стоун – Чех компактификация , тензорное произведение , обратный предел и прямой предел , ядро и коядро , откат , выталкивание и эквалайзер .

Мотивация

Прежде чем дать формальное определение универсальных свойств, мы предложим некоторые мотивы для изучения таких конструкций.

  • Конкретные детали данной конструкции могут быть беспорядочными, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, можно забыть обо всех этих деталях: все, что нужно знать о конструкции, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся короткими и элегантными, если использовать универсальное свойство, а не конкретные детали. Например, тензорная алгебра из векторного пространства немного больно на самом деле построить, но используя его универсальное свойство делает его гораздо легче иметь дело с.
  • Универсальные свойства определяют объекты однозначно с точностью до уникального изоморфизма . Следовательно, один из способов доказать, что два объекта изоморфны, - это показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.
  • Универсальные конструкции функториальны в природе: если один может осуществлять строительство для каждого объекта в категории С , то получается функтор на C . Кроме того, этот функтор является сопряженным справа или слева функтору U, используемому в определении универсального свойства.
  • Универсальные свойства встречаются в математике повсюду. Понимая их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех этих конструкциях и избежать повторения одного и того же анализа для каждого отдельного случая.

Формальное определение

Чтобы понять определение универсальной конструкции, важно посмотреть на примеры. Универсальные конструкции не были определены на пустом месте, а были, скорее, определены после того, как математики начали замечать закономерность во многих математических конструкциях (см. Примеры ниже). Следовательно, определение может сначала не иметь смысла для одного, но станет ясным, когда его свяжут с конкретными примерами.

Позвольте быть функтором между категориями и . Далее пусть быть объектом , в то время как и являются объектами .

Таким образом, функтор карты , и в к , и в .

Универсальный морфизм из в единственной паре , в котором имеет следующее свойство, обычно называемое как универсальное свойство . Для любого морфизма вида in существует единственный морфизм в такой, что следующая диаграмма коммутирует :

Типовая схема определения универсального морфизма.

Мы можем дуализировать это категориальное понятие. Универсальный морфизм в это единственная пара , которая удовлетворяет следующим универсальным свойством. Для любого морфизма вида in существует единственный морфизм в такой, что следующая диаграмма коммутирует:

Самая важная стрелка здесь? '"` UNIQ - postMath-0000010E-QINU` "'?  что устанавливает универсальное свойство.

Обратите внимание, что в каждом определении стрелки перевернуты. Оба определения необходимы для описания универсальных конструкций, которые появляются в математике; но они также возникают из-за присущей теории категорий двойственности. В любом случае мы говорим, что пара, которая ведет себя, как указано выше, удовлетворяет универсальному свойству.

Связь с категориями запятых

Универсальные морфизмы можно описать более кратко как начальные и конечные объекты в категории запятых.

Позвольте быть функтором и объектом . Затем напомним, что категория запятой - это категория, в которой

  • Объекты - это пары формы , где - объект в
  • Морфизмом To задается морфизма в такой , что диаграмма коммутирует:
Морфизм в категории запятой задается морфизмом? '"` UNIQ - postMath-0000011B-QINU` "'?  что также делает диаграмму коммутирующей.

Теперь предположим , что объект в является начальным. Тогда для каждого объекта существует уникальный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует.

Это демонстрирует связь между универсальной диаграммой, являющейся исходным объектом в категории запятой.

Обратите внимание, что равенство здесь просто означает, что диаграммы совпадают. Также обратите внимание, что диаграмма в правой части равенства точно такая же, как и диаграмма, предложенная при определении универсального морфизма от до . Таким образом, мы видим, что универсальный морфизм из в эквивалентен исходному объекту в категории запятой .

Напротив, напомним, что категория запятой - это категория, в которой

  • Объекты - это пары формы, где находится объект в
  • Морфизмом To задается морфизма в такой , что диаграмма коммутирует:
Это просто демонстрирует определение морфизма в категории запятой.

Предположим , это конечный объект в . Тогда для каждого объекта существует уникальный морфизм такой, что следующие диаграммы коммутируют.

Это показывает, что конечный объект в определенной категории запятой соответствует универсальному морфизму.

Диаграмма в правой части равенства - это та же диаграмма, что и при определении универсального морфизма от до . Следовательно, универсальный морфизм из в соответствует терминальному объекту в категории запятой .

Примеры

Ниже приведены несколько примеров, чтобы подчеркнуть общую идею. Читатель может построить множество других примеров, обратившись к статьям, упомянутым во введении.

Тензорные алгебры

Позвольте быть категорией векторных пространств -Vect над полем и пусть быть категорией алгебр -Alg над (предполагается, что они унитальные и ассоциативные ). Позволять

 : -Alg-Vect

быть забывчивым функтором, который присваивает каждой алгебре ее лежащее в основе векторное пространство.

По любому векторному пространству над ним можно построить тензорную алгебру . Тензорная алгебра характеризуется тем, что:

«Любое линейное отображение из в алгебру может быть однозначно расширено до гомоморфизма алгебр из в ».

Это утверждение является исходным свойством тензорной алгебры, поскольку оно выражает тот факт, что пара , где - отображение включения, является универсальным морфизмом из векторного пространства в функтор .

Поскольку эта конструкция работает для любого векторного пространства , мы заключаем, что это функтор от -Vect до -Alg . Это означает, что он сопряжен слева к функтору забывания (см. Раздел ниже о сопряженных функторах ).

Продукты

Категоричен продукт может характеризоваться универсальной конструкцией. Для конкретности можно рассмотреть декартово произведение в Set , прямое произведение в Grp или топологию продукта в Top , где продукты существуют.

Позвольте и быть объектами категории с конечными продуктами. Произведение и является объектом × вместе с двумя морфизмами

 :
 :

такие , что для любого другого объекта из и морфизмов и существует единственный морфизм такой , что и .

Чтобы понять эту характеристику как универсальное свойство, возьмите категорию за категорию продукта и определите диагональный функтор

пользователем и . Тогда это универсальный морфизм к объекту из : если есть любой морфизм к , то оно должно быть равно морфизм из к последующим .

Пределы и коллимиты

Категориальные продукты - это особый вид ограничений в теории категорий. Приведенный выше пример можно обобщить на произвольные пределы и копределы.

Пусть и быть категории с более малой категории индекса , и пусть будет соответствующий функтор категории . Диагональный функтор

- это функтор, который отображает каждый объект в постоянный функтор в (т.е. для каждого in ).

Учитывая функтор (мыслится как объект ), то предел в , если она существует, не что иное , как универсальный морфизм в . Двойственно, то копредел из универсального морфизма в .

Характеристики

Существование и уникальность

Определение количества не гарантирует его существования. Учитывая функтор и объект из , может существовать или не существовать универсальный морфизм из в . Если же универсальный морфизм действительно существует, то он по сути уникален. В частности, он является уникальным до более уникального изоморфизма : если есть еще одна пара, то существует единственный изоморфизм такой , что . В этом легко убедиться, подставив в определение универсальный морфизм.

Это пара, которая в этом смысле уникальна. Сам объект уникален только с точностью до изоморфизма. В самом деле, если является универсальным морфизмом и является любым изоморфизмом, то пара , где также является универсальным морфизмом.

Эквивалентные составы

Определение универсального морфизма можно перефразировать по-разному. Позвольте быть функтором и позвольте быть объектом . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

  • универсальный морфизм от до
  • представляет собой исходный объект из категории запятой
  • является представление о

Двойные утверждения также эквивалентны:

  • универсальный морфизм от до
  • является конечным объектом категории запятая
  • представляет собой представление

Отношение к присоединенным функторам

Предположим , это универсальный морфизм от до и универсальный морфизм от до . По универсальному свойству универсальных морфизмов для любого морфизма существует единственный морфизм такой, что следующая диаграмма коммутирует:

Универсальные морфизмы могут вести себя как естественное преобразование между функторами при подходящих условиях.

Если каждый объект из допускает универсальный морфизм в , то присваивание и определяет функтор . Затем карты определяют естественное преобразование из (тождественного функтора ) в . Тогда функторы являются парой сопряженных функторов , сопряженных слева и справа к .

Аналогичные утверждения применимы к двойственной ситуации терминальных морфизмов из . Если такие морфизмы существуют для каждого в одном, получается функтор, сопряженный справа (то есть сопряженный слева ).

Действительно, таким образом все пары сопряженных функторов возникают из универсальных конструкций. Пусть и - пара сопряженных функторов с единицей и ко-единицей (определения см. В статье о сопряженных функторах ). Тогда у нас есть универсальный морфизм для каждого объекта в и :

  • Для каждого объекта в , есть универсальный морфизм от до . То есть для всех существует единственный, для которого коммутируют следующие диаграммы.
  • Для каждого объекта в , есть универсальный морфизм от до . То есть для всех существует единственный, для которого коммутируют следующие диаграммы.
Единица и счетчик присоединения, которые являются естественными преобразованиями между функторами, являются важным примером универсальных морфизмов.

Универсальные конструкции более общие, чем пары сопряженных функторов: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; она порождает присоединенную пару тогда и только тогда, когда эта проблема имеет решение для каждого объекта (эквивалентно, для каждого объекта ).

История

Универсальные свойства различных топологических конструкций были представлены Пьером Самуэлем в 1948 году. Позже они широко использовались Бурбаки . Тесно связанное понятие сопряженных функторов было независимо введено Дэниелом Каном в 1958 году.

Смотрите также

Примечания

  1. Перейти ↑ Jacobson (2009), Proposition 1.6, p. 44.
  2. ^ См., Например, Polcino & Sehgal (2002), стр. 133. Упражнение 1 об универсальности групповых колец .

использованная литература

  • Пол Кон , Универсальная алгебра (1981), D.Reidel Publishing, Голландия. ISBN  90-277-1213-1 .
  • Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
  • Борсё, Ф. Справочник по категориальной алгебре: том 1 Базовая теория категорий (1994) Cambridge University Press, (Энциклопедия математики и ее приложений) ISBN  0-521-44178-1
  • Н. Бурбаки, Livre II: Algèbre (1970), Герман, ISBN  0-201-00639-1 .
  • Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN  978-1-4020-0238-0
  • Якобсон. Базовая алгебра II. Дувр. 2009. ISBN  0-486-47187-X.

внешние ссылки