Копродукт - Coproduct

В теории категорий , в копроизведении или категорической сумме , представляет собой конструкция , которая включает в себя в качестве примеров несвязной из множеств и топологических пространств , в свободное произведение из групп , а также прямую сумма из модулей и векторных пространств . Копродукт семейства объектов - это, по сути, «наименее специфический» объект, по отношению к которому каждый объект в семействе допускает морфизм . Это категория теоретико- двойное понятие к категорическому продукта , что означает определение такое же , как продукт , но со всеми стрелками наоборот. Несмотря на это, казалось бы, безобидное изменение названия и обозначений, сопутствующие продукты могут и обычно сильно отличаются от продуктов.

Определение

Пусть будет категория , и пусть и быть объектами объекта An называется копроизведением и написаны или иногда просто , если существуют морфизмы и удовлетворяющая следующим универсальным свойством : для любого объекта и любых морфизмов и существует единственный морфизм такой , что и что есть следующая диаграмма коммутирует : ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle C.}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2},}$${\ Displaystyle X_ {1} \ coprod X_ {2},}$${\ Displaystyle X_ {1} \ oplus X_ {2},}$${\ displaystyle X_ {1} + X_ {2},}$${\ displaystyle i_ {1}: X_ {1} \ to X_ {1} \ coprod X_ {2}}$${\ displaystyle i_ {2}: X_ {2} \ to X_ {1} \ coprod X_ {2}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f_ {1}: от X_ {1} \ до Y}$${\ displaystyle f_ {2}: от X_ {2} \ до Y,}$${\ displaystyle f: X_ {1} \ coprod X_ {2} \ to Y}$${\ displaystyle f_ {1} = f \ circ i_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2} = f \ circ i_ {2}.}$

Единственная стрелка, делающая эту диаграмму коммутирующей, может быть обозначена или Морфизмы и называются каноническими инъекциями , хотя они не обязательно должны быть инъекциями или даже моническими . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {1} \ coprod f_ {2},}$ ${\ displaystyle f_ {1} \ oplus f_ {2},}$ ${\ displaystyle f_ {1} + f_ {2},}$${\ displaystyle \ left [f_ {1}, f_ {2} \ right].}$${\ displaystyle i_ {1}}$${\ displaystyle i_ {2}}$

Определение копроизведения может быть расширено до произвольного семейства объектов, индексированных набором . Копроизведение семейства - это объект вместе с набором морфизмов, такой что для любого объекта и любого набора морфизмов существует уникальный морфизм такой, что То есть следующая диаграмма коммутирует для каждого : ${\ displaystyle J.}$${\ displaystyle \ left \ {X_ {j}: j \ in J \ right \}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle i_ {j}: X_ {j} \ to X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f_ {j}: от X_ {j} \ до Y}$${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle f_ {j} = f \ circ i_ {j}.}$${\ displaystyle j \ in J}$

Копродукт семьи часто обозначается или${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ left \ {X_ {j} \ right \}}$${\ displaystyle \ coprod _ {j \ in J} X_ {j}}$${\ displaystyle \ bigoplus _ {j \ in J} X_ {j}.}$

Иногда морфизм может быть обозначен, чтобы указать на его зависимость от индивидуума s. ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle \ coprod _ {j \ in J} f_ {j}}$${\ displaystyle f_ {j}}$

Примеры

Копроизведение в категории множеств - это просто несвязное объединение с отображениями i _j, являющимися отображениями включения . В отличие от прямых продуктов , не все сопродукции в других категориях, очевидно, основаны на понятии множеств, потому что союзы плохо себя ведут в отношении операций сохранения (например, объединение двух групп не обязательно должно быть группой), и поэтому сопродукты в разных категории могут кардинально отличаться друг от друга. Например, копроизведение в категории групп , называемое бесплатным продуктом , довольно сложно. С другой стороны, в категории абелевых групп (и в равной степени для векторных пространств ) копроизведение, называемое прямой суммой , состоит из элементов прямого произведения, которые имеют лишь конечное число ненулевых членов. (Следовательно, оно точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа множителей.)

Для коммутативного кольца R копроизведение в категории коммутативных R -алгебр является тензорным произведением . В категории (некоммутативных) R -алгебр копроизведение является фактором тензорной алгебры (см. Свободное произведение ассоциативных алгебр ).

В случае топологических пространств копроизведения - это дизъюнктные объединения с их дизъюнктными объединенными топологиями . То есть это несвязное объединение базовых множеств, а открытые множества - это множества, открытые в каждом из пространств , в довольно очевидном смысле. В категории заостренных пространств , фундаментальной в теории гомотопий , копроизведение - это сумма клина (которая сводится к соединению набора пространств с базовыми точками в общей базовой точке).

Несмотря на все это несходство, в основе всего этого лежит несвязное объединение: прямая сумма абелевых групп - это группа, порожденная "почти" несвязным объединением (несвязным объединением всех ненулевых элементов вместе с общим ноль), аналогично для векторных пространств: пространство, натянутое на «почти» дизъюнктное объединение; бесплатный продукт для групп генерируется набором всех букв из подобного «почти непересекающегося» объединения, в котором никакие два элемента из разных наборов не могут коммутировать.

Копродуктом категории poset является операция соединения.

Обсуждение

Приведенная выше конструкция копроизведения на самом деле является частным случаем копредела в теории категорий. Копроизведение в категории можно определить как копредел любого функтора из дискретной категории в . Не каждое семейство будет иметь копроизведение в общем случае, но если оно есть, то копроизведение уникально в строгом смысле: если и являются двумя копроизведениями семейства , то (по определению копроизведений) существует единственный изоморфизм такой, что для каждый . ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$${\ displaystyle i_ {j}: X_ {j} \ rightarrow X}$${\ displaystyle k_ {j}: X_ {j} \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle f \ circ i_ {j} = k_ {j}}$${\ displaystyle j \ in J}$

Как и любое универсальное свойство , копроизведение можно понимать как универсальный морфизм. Пусть будет диагональный функтор , который присваивает каждому объекту упорядоченная пара и каждого морфизма пара . Тогда копроизведение в задается универсальным морфизмом функтору из объекта в . ${\ displaystyle \ Delta: C \ rightarrow C \ times C}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ влево (Х, Х \ вправо)}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle \ влево (е, е \ вправо)}$${\ displaystyle X + Y}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle \ влево (X, Y \ вправо)}$${\ Displaystyle C \ раз C}$

Копродукт, проиндексированный пустым набором (то есть пустым сопродуктом ), совпадает с исходным объектом в . ${\ displaystyle C}$

Если это набор такой, что все копроизведения для семейств, проиндексированных с, существуют, то можно выбрать продукты совместимым образом, так что копроизведение превращается в функтор . Копроизведение семьи тогда часто обозначается как ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle C ^ {J} \ rightarrow C}$${\ Displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$

${\ displaystyle \ coprod _ {j \ in J} X_ {j}}$

и карты известны как естественные инъекции . ${\ displaystyle i_ {j}}$

Позволить обозначим множество всех морфизмов из к в (то есть, рупор посаженные в ), мы имеем естественный изоморфизм${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C} \ left (U, V \ right)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C} \ left (\ coprod _ {j \ in J} X_ {j}, Y \ right) \ cong \ prod _ {j \ in J} \ operatorname {Hom} _ {C} (X_ {j}, Y)}$

заданной биекцией, отображающей каждый набор морфизмов

${\ displaystyle (f_ {j}) _ {j \ in J} \ in \ prod _ {j \ in J} \ operatorname {Hom} (X_ {j}, Y)}$

(продукт в Set , категория множеств , которая является декартовым произведением , поэтому это набор морфизмов) к морфизму

${\ displaystyle \ coprod _ {j \ in J} f_ {j} \ in \ operatorname {Hom} \ left (\ coprod _ {j \ in J} X_ {j}, Y \ right).}$

То, что это отображение является сюръекцией, следует из коммутативности диаграммы: любой морфизм является копроизведением кортежа ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle (f \ circ i_ {j}) _ {j \ in J}.}$

То, что это инъекция, следует из универсальной конструкции, обуславливающей единственность таких отображений. Естественность изоморфизма также является следствием диаграммы. Таким образом, контравариантный гом-функтор превращает копроизведения в продукты. Иными словами, Хом-функтор, рассматриваемый как функтор из противоположной категории до Set непрерывно; он сохраняет пределы (сопродукт в - это продукт в ). ${\ displaystyle C ^ {\ operatorname {op}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {\ operatorname {op}}}$

Если , скажем , - конечное множество , то копроизведение объектов часто обозначается как . Предположим , что существуют все конечные копроизведения в C , копроизведение функторы были выбраны , как описано выше, и 0 обозначает исходный объект из C , соответствующий пустой копроизведением. Тогда у нас есть естественные изоморфизмы${\ displaystyle J}$${\ Displaystyle J = \ lbrace 1, \ ldots, п \ rbrace}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$${\ Displaystyle X_ {1} \ oplus \ ldots \ oplus X_ {n}}$

${\ Displaystyle X \ oplus (Y \ oplus Z) \ cong (X \ oplus Y) \ oplus Z \ cong X \ oplus Y \ oplus Z}$

${\ Displaystyle X \ oplus 0 \ cong 0 \ oplus X \ cong X}$

${\ Displaystyle X \ oplus Y \ cong Y \ oplus X.}$

Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; Категория с конечными копроизведениями является примером симметричной моноидальной категории .

Если у категории есть нулевой объект , то у нас есть единственный морфизм (так как он терминальный ) и, следовательно, морфизм . Поскольку также является начальным, у нас есть канонический изоморфизм, как в предыдущем абзаце. Таким образом, у нас есть морфизмы и , с помощью которых мы выводим канонический морфизм . Это может быть расширено индукцией до канонического морфизма от любого конечного копроизведения к соответствующему произведению. Этот морфизм, вообще говоря, не обязательно должен быть изоморфизмом; в Grp это собственный эпиморфизм, а в Set _* (категория отмеченных множеств ) - собственный мономорфизм . В любой предаддитивной категории этот морфизм является изоморфизмом, и соответствующий объект известен как бипроизведение . Категория со всеми конечными бипродуктами называется полуаддитивной категорией . ${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle X \ rightarrow Z}$${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow Z \ oplus Y}$${\ displaystyle Z}$${\ Displaystyle Z \ oplus Y \ cong Y}$${\ Displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow X}$${\ displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow Y}$${\ displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow X \ times Y}$

Если все семейства объектов, проиндексированных с помощью, имеют копроизведения , то копроизведение содержит функтор . Обратите внимание, что, как и произведение, этот функтор ковариантен . ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {J} \ rightarrow C}$

Смотрите также

• Товар
• Пределы и коллимиты
• Соэквалайзер
• Прямой лимит

использованная литература

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

внешние ссылки

• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры копродуктов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .