Четырехмерное пространство - Four-dimensional space

Анимация трансформирующегося тессеракта или 4-куба
Четырехмерный эквивалент куба известен как тессеракт , который здесь вращается в четырехмерном пространстве, но проецируется в двухмерное изображение для отображения.

Четырехмерном пространстве ( 4D ) является математическим продолжением концепции трехмерной или 3D - пространстве. Трехмерное пространство - это простейшая из возможных абстракций наблюдения, что для описания размеров или расположения объектов в повседневном мире нужны только три числа, называемые измерениями . Например, объем прямоугольного ящика определяется путем измерения и умножения его длины, ширины и высоты (часто обозначаемых x , y и z ).

Идея добавления четвертого измерения началась с «Измерений» Жана ле Ронда д'Аламбера, опубликованной в 1754 году, за ней последовал Жозеф-Луи Лагранж в середине 1700-х годов и завершился точной формализацией концепции в 1854 году Бернхардом. Риманна . В 1880 году Чарльз Ховард Хинтон популяризировал эти идеи в эссе под названием « Что такое четвертое измерение? », В котором объяснялась концепция « четырехмерного куба » с пошаговым обобщением свойств линий, квадратов и т. Д. и кубики. Простейшая форма метода Хинтона состоит в том, чтобы нарисовать два обычных 3D-куба в 2D-пространстве, один из которых окружает другой, разделенных «невидимым» расстоянием, а затем провести линии между их эквивалентными вершинами. Это можно увидеть в сопровождающей анимации всякий раз, когда она показывает меньший внутренний куб внутри большего внешнего куба. Восемь линий, соединяющих вершины двух кубов, в данном случае представляют одно направление в «невидимом» четвертом измерении.

Пространства более высокой размерности (т.е. больше трех) с тех пор стали одной из основ для формального выражения современной математики и физики. Большая часть этих тем не могла бы существовать в их нынешних формах без использования таких пространств. Концепция пространства-времени Эйнштейна использует такое четырехмерное пространство, хотя имеет структуру Минковского, которая немного сложнее, чем евклидово четырехмерное пространство.

Отдельные местоположения в четырехмерном пространстве могут быть заданы как векторы или n-кортежи , то есть как упорядоченные списки чисел, такие как ( x , y , z , w ) . Только когда такие места соединяются в более сложные формы, проявляется полное богатство и геометрическая сложность пространств более высоких измерений. Намек на эту сложность можно увидеть в сопровождающей 2D-анимации одного из простейших возможных 4D-объектов, тессеракта (эквивалентного 3D- кубу ; см. Также гиперкуб ).

История

Лагранж писал в своей аналитической работе Mécanique (опубликованной в 1788 году, на основе работы, выполненной около 1755 года), что механику можно рассматривать как действующую в четырехмерном пространстве - трех измерениях пространства и одном временном. В 1827 году Мебиус понял, что четвертое измерение позволит трехмерной форме вращаться на ее зеркальном отображении, и к 1853 году Людвиг Шлефли открыл множество многогранников в более высоких измерениях, хотя его работа не была опубликована до его смерти. Вскоре более высокие измерения были поставлены на прочную основу тезисом Бернхарда Римана 1854 года , Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen , в котором он считал «точкой» любую последовательность координат ( x 1 , ..., x n ). Таким образом была установлена ​​возможность геометрии в более высоких измерениях , включая, в частности, четыре измерения.

Арифметика четырех измерений, называемых кватернионами, была определена Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Эта ассоциативная алгебра явилась источником науки о векторном анализе в трех измерениях, о чем говорится в «Истории векторного анализа» . Вскоре после того, как tessarines и coquaternions были введены в качестве других четырехмерных алгебр над R .

Одним из первых крупных толкователей четвертого измерения был Чарльз Ховард Хинтон , начавший в 1880 году со своего эссе « Что такое четвертое измерение?». ; опубликовано в журнале Дублинского университета . Он ввел термины тессеракт , ана и ката в своей книге «Новая эра мысли» и представил метод визуализации четвертого измерения с помощью кубов в книге « Четвертое измерение» .

Идеи Хинтона вдохновили Мартина Гарднера на создание фантазии о «Церкви четвертого измерения» в его январской 1962 г. колонке « Математические игры » в журнале Scientific American . В 1886 году Виктор Шлегель описал свой метод визуализации четырехмерных объектов с помощью диаграмм Шлегеля .

В 1908 году Герман Минковский представил документ , обобщающий роль времени как четвертое измерение пространства - времени , основой для Эйнштейна теорий специальной и общей теории относительности . Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидовой , глубоко отличается от той, которую популяризировал Хинтон. Изучение пространства Минковского потребовало новой математики, совершенно отличной от математики четырехмерного евклидова пространства, и поэтому развивалось по совершенно другим направлениям. Это разделение было менее четким в массовом воображении, поскольку художественная литература и философские произведения размывали это различие, поэтому в 1973 году HSM Coxeter почувствовал себя вынужденным написать:

Мало что можно получить, если представить четвертое евклидово измерение как время . Фактически, эта идея, столь привлекательно развитая Гербертом Уэллсом в «Машине времени» , привела таких авторов, как Джон Уильям Данн ( «Эксперимент со временем» ), к серьезному неверному пониманию теории относительности. Геометрия пространства-времени Минковского не является евклидовой и, следовательно, не имеет отношения к настоящему исследованию.

-  HSM Coxeter , Правильные многогранники

Векторы

Математически четырехмерное пространство - это пространство с четырьмя пространственными измерениями, то есть пространство, которому требуются четыре параметра, чтобы указать точку в нем. Например, общая точка может иметь вектор положения a , равный

Это можно записать в терминах четырех стандартных базисных векторов ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ), задаваемых формулой

так что общий вектор является

Векторы складываются, вычитаются и масштабируются как в трех измерениях.

Скалярное произведение евклидовых трехмерных пространственных обобщающей четырех размеров , как

Его можно использовать для вычисления нормы или длины вектора,

и вычислить или определить угол между двумя ненулевыми векторами как

Пространство-время Минковского - это четырехмерное пространство с геометрией, определяемой невырожденным спариванием, отличным от скалярного произведения:

Например, квадрат расстояния между точками (0,0,0,0) и (1,1,1,0) равен 3 как в евклидовом, так и в четырехмерном пространстве Минковского, в то время как квадрат расстояния между (0,0,0,0) , 0,0) и (1,1,1,1) равно 4 в евклидовом пространстве и 2 в пространстве Минковского; увеличение фактически уменьшает метрическое расстояние. Это приводит ко многим хорошо известным очевидным «парадоксам» теории относительности.

Крест продукт не определен в четырех измерениях. Вместо этого внешний продукт используется для некоторых приложений и определяется следующим образом:

Это бивекторное значение, с бивекторами в четырех измерениях, образующими шестимерное линейное пространство с базисом ( e 12 , e 13 , e 14 , e 23 , e 24 , e 34 ). Их можно использовать для создания вращений в четырех измерениях.

Ортогональность и словарный запас

В привычном трехмерном пространстве повседневной жизни есть три оси координат, обычно обозначаемые как x , y и z, причем каждая ось ортогональна (т. Е. Перпендикулярна) двум другим. Шесть сторон света в этом пространстве можно назвать вверх , вниз , восток , запад , север и юг . Положения по этим осям можно назвать высотой , долготой и широтой . Длины, измеренные по этим осям, можно назвать высотой , шириной и глубиной .

Для сравнения, четырехмерное пространство имеет дополнительную координатную ось, ортогональную остальным трем, которая обычно обозначается буквой w . Чтобы описать два дополнительных основных направления, Чарльз Ховард Хинтон ввел термины ана и ката , от греческих слов, означающих «вверх к» и «вниз от» соответственно.

Как упоминалось выше, Герман Минковский использовал идею четырех измерений для обсуждения космологии, включая конечную скорость света . Добавляя измерение времени к трехмерному пространству, он указал альтернативную перпендикулярность - гиперболическую ортогональность . Это понятие обеспечивает его четырехмерное пространство с модифицированной одновременностью, соответствующей электромагнитным отношениям в его космосе. Мир Минковского преодолел проблемы, связанные с традиционной космологией абсолютного пространства и времени, ранее использовавшейся во вселенной трех пространственных измерений и одного измерения времени.

Геометрия

Геометрия четырехмерного пространства намного сложнее, чем у трехмерного пространства, из-за дополнительной степени свободы.

Так же, как в трех измерениях есть многогранники, состоящие из двухмерных многоугольников , в четырех измерениях есть 4-многогранники, состоящие из многогранников. В трех измерениях есть 5 правильных многогранников, известных как Платоновы тела . В четырех измерениях есть 6 выпуклых правильных 4-многогранников , аналогов Платоновых тел. Ослабление условий регулярности порождает еще 58 выпуклых однородных 4-многогранников , аналогичных 13 полурегулярным архимедовым телам в трех измерениях. Ослабление условий выпуклости порождает еще 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.

Правильные многогранники в четырех измерениях
(отображаются как ортогональные проекции в каждой плоскости симметрии Кокстера )
А 4 , [3,3,3] В 4 , [4,3,3] F 4 , [3,4,3] H 4 , [5,3,3]
altN = 4-симплекс
5-элементный
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3,3}
altN = 4-куб
тессеракт
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3,3}
altN = 4-ортоплекс
16 ячеек
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{3,3,4}
altN = 24 ячейки
24-элементный
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,4,3}
altN = 600 ячеек
600 ячеек
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{3,3,5}
altN = 120 ячеек
120 ячеек
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3,3}

В трех измерениях круг может быть выдавлен в виде цилиндра . В четырех измерениях есть несколько различных цилиндрических объектов. Сфера может быть экструдирована, чтобы получить сферический цилиндр (цилиндр со сферическими «крышками», известный как сфериндер ), а цилиндр может быть экструдирован для получения цилиндрической призмы (кубиндер). Декартово произведение двух окружностей может быть принято для получения duocylinder . Все трое могут «катиться» в четырехмерном пространстве, каждый со своими свойствами.

В трех измерениях кривые могут образовывать узлы, а поверхности - нет (если они не самопересекаются). Однако в четырех измерениях узлы, созданные с помощью кривых, можно тривиально развязать, смещая их в четвертом направлении, но 2D-поверхности могут образовывать нетривиальные, несамопересекающиеся узлы в четырехмерном пространстве. Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем струны в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна является примером такой затруднительной поверхности. Другая такая поверхность - реальная проективная плоскость .

Гиперсфера

Стереографическая проекция из Clifford тора : множество точек (сов ( ), Sin ( ), соз ( б ), Sin ( б )), который представляет собой подмножество 3-мерной сферы .

Множество точек в евклидовом 4-пространстве , находящихся на одинаковом расстоянии R от фиксированной точки P 0, образует гиперповерхность, известную как 3-сфера . Гиперобъем закрытого пространства составляет:

Это часть метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера в общей теории относительности, где R заменяется функцией R ( t ), где t означает космологический возраст Вселенной. Увеличение или уменьшение R со временем означает расширение или сжатие Вселенной, в зависимости от плотности массы внутри.

Познание

Исследования с использованием виртуальной реальности показывают, что люди, несмотря на то, что живут в трехмерном мире, могут без специальной практики делать пространственные суждения о линейных сегментах, встроенных в четырехмерное пространство, на основе их длины (одномерного) и угла. (двухмерный) между ними. Исследователи отметили, что «участники нашего исследования имели минимальную практику в этих задачах, и остается открытым вопрос, можно ли получить более устойчивые, окончательные и богатые представления 4D с увеличенным опытом восприятия в виртуальных средах 4D». В другом исследовании была проверена способность людей ориентироваться в 2D, 3D и 4D лабиринтах. Каждый лабиринт состоял из четырех участков пути произвольной длины, соединенных случайными ортогональными поворотами, но без ответвлений или петель (т.е. фактически лабиринтов ). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре Джона Макинтоша 4D Maze. Участники должны были пройти по тропе и, наконец, оценить линейное направление обратно к исходной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые участники смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи более низкого измерения были для сравнения и для участников, чтобы изучить метод).

Размерная аналогия

Сеть тессеракта

Чтобы понять природу четырехмерного пространства, обычно используется устройство, называемое размерной аналогией . Размерная аналогия - это изучение того, как ( n - 1) измерений соотносятся с n измерениями, а затем вывод о том, как n измерений будут соотноситься с ( n + 1) измерениями.

Пространственная аналогия была использована Эдвином Эбботтом Эбботтом в книге « Флатландия» , в которой рассказывается история о квадрате, который живет в двухмерном мире, как поверхность листа бумаги. С точки зрения этого квадрата, трехмерное существо, казалось бы, обладает божественными способностями, такими как способность извлекать предметы из сейфа, не взламывая его (перемещая их через третье измерение), чтобы видеть все, что из двух- пространственная перспектива заключена за стенами и оставаться полностью невидимой, стоя на расстоянии нескольких дюймов в третьем измерении.

Применяя пространственную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерное существо могло бы совершать аналогичные подвиги с трехмерной точки зрения. Руди Ракер иллюстрирует это в своем романе « Космическая страна» , в котором главный герой встречает четырехмерных существ, демонстрирующих такие способности.

Поперечные сечения

Поскольку трехмерный объект проходит через двумерную плоскость, двумерные существа в этой плоскости будут наблюдать только поперечное сечение трехмерного объекта в этой плоскости. Например, если сферический воздушный шар пройдет через лист бумаги, существа на бумаге увидят сначала одну точку, затем круг, постепенно увеличивающийся, пока не достигнет диаметра воздушного шара, а затем снова уменьшится, пока не уменьшится. до точки, а затем исчез. Важно помнить, что двумерные существа не будут видеть круг так же, как мы, а только одномерную проекцию круга на своей одномерной «сетчатке». Точно так же, если четырехмерный объект прошел через трехмерную (гипер) поверхность, можно было бы наблюдать трехмерное поперечное сечение четырехмерного объекта - например, трехмерная сфера сначала появится как точка, а затем как растущая сфера, при этом сфера сжимается до единственной точки, а затем исчезает. Это средство визуализации аспектов четвертого измерения использовалось в романе « Флатландия», а также в нескольких работах Чарльза Ховарда Хинтона . И точно так же трехмерные существа (например, люди с двумерной сетчаткой) не могут видеть сферу целиком, так же, как четырехмерные существа со своей трехмерной твердой сетчаткой.

Прогнозы

Полезное применение размерной аналогии в визуализации высших измерений - это проекция . Проекция - это способ представления n- мерного объекта в n - 1 измерениях. Например, экраны компьютеров являются двухмерными, и все фотографии трехмерных людей, мест и вещей представлены в двух измерениях путем проецирования объектов на плоскую поверхность. При этом размер, ортогональный экрану ( глубина ), удаляется и заменяется косвенной информацией. Сетчатки глаза в глаза также двумерный массив из рецепторов , но мозг способен воспринимать природу трехмерных объектов с помощью логического вывода из косвенной информации (например, затенение, ракурс , бинокулярного зрения и т.д.). Художники часто используют перспективу, чтобы придать двумерным изображениям иллюзию трехмерной глубины. Тень , отлитый фиктивной модели сетки вращающегося тессеракта на плоской поверхности, как показано на чертежах, также является результатом проекций.

Точно так же объекты в четвертом измерении можно математически спроецировать в знакомые три измерения, где их будет более удобно исследовать. В этом случае «сетчатка» четырехмерного глаза представляет собой трехмерный массив рецепторов. Гипотетическое существо с таким глазом могло бы воспринимать природу четырехмерных объектов, делая вывод о четырехмерной глубине из косвенной информации в трехмерных изображениях на его сетчатке.

Перспективная проекция трехмерных объектов на сетчатку глаза привносит артефакты, такие как ракурс, который мозг интерпретирует как глубину в третьем измерении. Точно так же перспективная проекция из четырех измерений дает аналогичные эффекты ракурса. Применяя аналогию с измерениями, из этих эффектов можно сделать вывод о четырехмерной «глубине».

В качестве иллюстрации этого принципа следующая последовательность изображений сравнивает различные виды трехмерного куба с аналогичными проекциями четырехмерного тессеракта в трехмерное пространство.

Куб Тессеракт Описание
Cube-face-first.png Тессеракт-перспектива-ячейка-первый.png Изображение слева представляет собой куб, если смотреть лицом вверх. Аналогичная точка зрения тессеракта в 4-х измерениях - это перспективная проекция первой ячейки , показанная справа. Между ними можно провести аналогию: точно так же, как куб проецируется на квадрат, тессеракт проецируется на куб.

Обратите внимание, что остальные 5 граней куба здесь не видны. Они закрыты видимым лицом. Точно так же остальные 7 ячеек тессеракта здесь не видны, потому что они закрыты видимой ячейкой.

Cube-edge-first.png Тессеракт-перспектива-лицо-первый.png На изображении слева тот же куб показан с ребра. Аналогичная точка зрения тессеракта - перспективная проекция лицом вперед , показанная справа. Точно так же, как проекция куба, обращенная сначала ребром, состоит из двух трапеций , проекция тессеракта, обращенная гранью, состоит из двух усеченных вершин .

Ближайший край куба в этой точке обзора находится между красной и зеленой гранями. Точно так же ближайшая грань тессеракта находится между красной и зеленой ячейками.

Куб-вершина-первый.png Тессеракт-перспектива-край-первый.png Слева - куб, если смотреть в угол. Это аналогично перспективной проекции тессеракта с ребром , показанной справа. Точно так же, как проекция куба с ориентацией на вершину состоит из 3 дельтоидов, окружающих вершину, проекция тессеракта с ориентацией на ребро состоит из 3 шестигранных объемов, окружающих ребро. Как ближайшая вершина куба - это та, где встречаются три грани, так и ближайшая грань тессеракта находится в центре объема проекции, где встречаются три ячейки.
Cube-edge-first.png Тессеракт-перспектива-край-первый.png Другая аналогия может быть проведена между проекцией тессеракта, ориентированной на ребро, и проекцией куба, ориентированной на ребро. В проекции куба, ориентированной на ребро, есть две трапеции, окружающие ребро, в то время как тессеракт имеет три шестигранных объема, окружающих ребро.
Куб-вершина-первый.png Тессеракт-перспектива-вершина-первый.png Слева - куб, если смотреть в угол. Вершина первой перспективной проекции на тессеракта показано справа. Проекция куба с первой вершиной имеет три четырехгранника, окружающих вершину, но проекция тессеракта с первой вершиной имеет четыре шестигранных объема, окружающих вершину. Подобно тому, как ближайший угол куба находится в центре изображения, ближайшая вершина тессеракта лежит не на границе проецируемого объема, а в его центре внутри , где встречаются все четыре ячейки.

Обратите внимание, что здесь можно увидеть только три грани из 6 граней куба, потому что остальные 3 лежат за этими тремя гранями, на противоположной стороне куба. Точно так же здесь можно увидеть только 4 из 8 ячеек тессеракта; остальные 4 лежат позади этих 4 в четвертом направлении, на дальней стороне тессеракта.

Тени

Концепция, тесно связанная с проекцией, - это отбрасывание теней.

Schlegel wireframe 8-cell.png

Если свет падает на трехмерный объект, отбрасывается двумерная тень. По аналогии с измерениями, свет, падающий на двумерный объект в двухмерном мире, отбрасывает одномерную тень, а свет на одномерный объект в одномерном мире отбрасывает нульмерную тень, то есть , точка несвета. Идя другим путем, можно сделать вывод, что свет, падающий на четырехмерный объект в четырехмерном мире, отбрасывает трехмерную тень.

Если каркас куба освещается сверху, результирующая тень на плоской двумерной поверхности представляет собой квадрат внутри квадрата с соответствующими соединенными углами. Точно так же, если бы каркас тессеракта освещался «сверху» (в четвертом измерении), его тень была бы тенью трехмерного куба внутри другого трехмерного куба, подвешенного в воздухе («плоская» поверхность из четырехугольника). -мерная перспектива). (Обратите внимание, что технически показанное здесь визуальное представление на самом деле является двухмерным изображением трехмерной тени четырехмерной каркасной фигуры.)

Граничные объемы

Пространственная аналогия также помогает в выводе основных свойств объектов в более высоких измерениях. Например, двухмерные объекты ограничены одномерными границами: квадрат ограничен четырьмя ребрами. Трехмерные объекты ограничены двумерными поверхностями: куб ограничен 6 квадратными гранями. Применяя аналогию с измерениями, можно сделать вывод, что четырехмерный куб, известный как тессеракт , ограничен трехмерными объемами. И действительно, это так: математика показывает, что тессеракт ограничен 8 кубиками. Знание этого является ключом к пониманию того, как интерпретировать трехмерную проекцию тессеракта. Границы тессеракта проецируются на объемы изображения, а не только на двухмерные поверхности.

Визуальный охват

Люди имеют пространственное самовосприятие как существ в трехмерном пространстве, но визуально ограничены одним измерением меньше: глаз видит мир как проекцию в двух измерениях на поверхности сетчатки . Если предположить, что четырехмерное существо могло видеть мир в проекциях на гиперповерхность, также всего на одно измерение меньше, то есть в трех измерениях, оно могло бы видеть, например, все шесть сторон непрозрачного бокса одновременно и в Фактически, то, что находится внутри коробки одновременно, точно так же, как люди могут видеть все четыре стороны и одновременно внутреннюю часть прямоугольника на листе бумаги. Существо сможет различать все точки в трехмерном подпространстве одновременно, включая внутреннюю структуру твердых трехмерных объектов, вещи, скрытые от человеческих точек зрения в трех измерениях на двухмерных проекциях. Мозг получает изображения в двух измерениях и использует рассуждения, чтобы помочь представить себе трехмерные объекты.

Ограничения

Рассуждения по аналогии с знакомыми более низкими измерениями могут быть отличным интуитивным руководством, но следует проявлять осторожность, чтобы не принимать результаты, которые не подвергаются более строгой проверке. Например, рассмотрит формулу для длины окружности: и площади поверхности сферы: . Можно было бы догадаться, что объем поверхности 3-х сфер равен или возможно , но любой из них был бы неправильным. Фактическая формула .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки