Алгебра Вейля - Weyl algebra

В абстрактной алгебре , то алгебра Вейля является кольцом из дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами (в одной переменных), а именно выражениях вида

${\ displaystyle f_ {m} (X) \ partial _ {X} ^ {m} + f_ {m-1} (X) \ partial _ {X} ^ {m-1} + \ cdots + f_ {1} (X) \ partial _ {X} + f_ {0} (X).}$

Точнее, пусть F быть основным полем , и пусть F [ X ] будет кольцо многочленов от одной переменных, X , с коэффициентами из F . Тогда каждый f _i лежит в F [ X ].

∂ _Х является производным по отношению к X . Алгебра порождается X и ∂ _X .

Алгебра Вейля является примером простого кольца , которое не является матричным кольцом над телом . Это также некоммутативный пример домена и пример расширения Ore .

Алгебра Вейля изоморфна фактор в свободной алгебры на двух генераторов, X и Y , в идеале , порожденной элементом

${\ Displaystyle YX-XY = 1 ~.}$

Алгебра Вейля - первая в бесконечном семействе алгебр, также известных как алгебры Вейля. П -го алгебра Вейля , _п , является кольцом дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в п переменных. Он порождается X _i и ∂ _{X i} , i = 1, ..., n .

Алгебры Вейля названы в честь Германа Вейля , который ввел их для изучения принципа неопределенности Гейзенберга в квантовой механике . Это частный от универсальных обертывающей части алгебры Гейзенберга , то алгебры Ли из группы Гейзенберга , установив центральный элемент алгебры Гейзенберга (а именно [ X , Y ]) , равной единице универсального обертывающего ( так называемой 1 выше).

Алгебра Вейля также называется симплектической алгеброй Клиффорда . Алгебры Вейля представляют собой ту же структуру для симплектических билинейных форм, которую алгебры Клиффорда представляют для невырожденных симметрических билинейных форм.

Генераторы и отношения

Можно дать абстрактную конструкцию алгебр A _n в терминах образующих и соотношений. Начнем с абстрактного векторного пространства V (размерности 2 n ), снабженного симплектической формой ω . Определим алгебру Вейля W ( V ) как

${\ displaystyle W (V): = T (V) / (\! (v \ otimes uu \ otimes v- \ omega (v, u), {\ text {for}} v, u \ in V) \! ),}$

где T ( V ) - тензорная алгебра на V , а обозначение означает « идеал, порожденный». ${\ Displaystyle (\! () \!)}$

Другими словами, W ( V ) - это алгебра, порожденная V, с учетом только соотношения vu - uv = ω ( v , u ) . Тогда W ( V ) изоморфен A _n выбором базиса Дарбу для ω .

Квантование

Алгебра W ( V ) является квантование из симметричной алгебры Sym ( V ). Если V находится над полем нулевой характеристики, то W ( V ) естественно изоморфно лежащему в основе векторному пространству симметрической алгебры Sym ( V ), снабженному деформированным произведением, называемым произведением Греневольда- Мойала (учитывая, что симметрическая алгебра полиномиальные функции на V ^∗ , где переменные охватывают векторное пространство V , и заменяя iħ в формуле произведения Мойала на 1).

Изоморфизм задается отображением симметризации из Sym ( V ) в W ( V )

${\ displaystyle a_ {1} \ cdots a_ {n} \ mapsto {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} a _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes a _ {\ sigma (n)} ~.}$

Если кто-то предпочитает иметь iħ и работать с комплексными числами, можно было бы вместо этого определить алгебру Вейля, приведенную выше, как сгенерированную X _i и iħ∂ _{X i} (согласно использованию квантовой механики ).

Таким образом, алгебра Вейля представляет собой квантование симметрической алгебры, которое по существу совпадает с квантованием Мойала (если последнее ограничивается полиномиальными функциями), но первое - в терминах генераторов и соотношений (считающихся дифференциальными операторами ), а последнее - в терминах деформированного умножения.

В случае внешних алгебр квантованием, аналогичным квантованию Вейля, является алгебра Клиффорда , которую также называют ортогональной алгеброй Клиффорда .

Свойства алгебры Вейля

В случае, когда основное поле F имеет нулевую характеристику, n- я алгебра Вейля является простой нётеровой областью . Он имеет глобальную размерность n , в отличие от кольца, которое оно деформирует, Sym ( V ), которое имеет глобальную размерность 2 n .

Он не имеет конечномерных представлений. Хотя это следует из простоты, это можно показать более прямо, взяв след σ ( X ) и σ ( Y ) для некоторого конечномерного представления σ (где [ X , Y ] = 1 ).

${\ displaystyle tr ([\ sigma (X), \ sigma (Y)]) = tr (1) ~.}$

Поскольку след коммутатора равен нулю, а след идентичности является размерностью представления, представление должно быть нульмерным.

На самом деле есть более сильные утверждения, чем отсутствие конечномерных представлений. Любому конечно порожденному A _n -модулю M существует соответствующее подмногообразие Char ( M ) в V × V ^∗, называемое `` характеристическим многообразием '', размер которого примерно соответствует размеру M (конечномерный модуль имел бы нульмерный характерное разнообразие). Тогда неравенство Бернштейна утверждает, что при ненулевом M

${\ Displaystyle \ тусклый (\ OperatorName {char} (M)) \ GEQ п}$

Еще более сильным утверждением является теорема Габбера , которая утверждает, что Char ( M ) является коизотропным подмногообразием в V × V ^∗ для естественной симплектической формы.

Положительная характеристика

Ситуация существенно иная в случае алгебры Вейля над полем характеристики p > 0 .

В этом случае для любого элемента D алгебры Вейля элемент D ^p является центральным, и поэтому алгебра Вейля имеет очень большой центр. Фактически, это конечно порожденный модуль над своим центром; более того, это алгебра Адзумая над своим центром. Как следствие, существует множество конечномерных представлений, которые все построены из простых представлений размерности p .

Постоянный центр

Центр алгебры Вейля - это поле констант. Для любого элемента в центре подразумевается для всех и подразумевается для . Таким образом , это константа. ${\ displaystyle h = f_ {m} (X) \ partial _ {X} ^ {m} + f_ {m-1} (X) \ partial _ {X} ^ {m-1} + \ cdots + f_ { 1} (X) \ partial _ {X} + f_ {0} (X)}$${\ displaystyle h \ partial _ {X} = \ partial _ {X} h}$${\ displaystyle f_ {i} '= 0}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle hX = Xh}$${\ displaystyle f_ {i} = 0}$${\ displaystyle i> 0}$${\ displaystyle h = f_ {0}}$

Обобщения

Для получения дополнительных сведений об этом квантовании в случае n = 1 (и о расширении с использованием преобразования Фурье до класса интегрируемых функций, больших, чем полиномиальные функции), см. Преобразование Вигнера – Вейля .

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру * -алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебры , как обсуждается в алгебрах CCR и CAR .

Аффинные разновидности

Алгебры Вейля также обобщаются на случай алгебраических многообразий. Рассмотрим кольцо многочленов

${\ Displaystyle R = {\ гидроразрыва {\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {I}}}$

тогда дифференциальный оператор определяется как линейно- композиционный вывод оператора . Это можно явно описать как фактор-кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ text {Diff}} (R) = {\ frac {\ {D \ in A_ {n}: D (I) \ substeq I \}} {I \ cdot A_ {n}}}}$

Рекомендации