Дедекиндский домен - Dedekind domain

В абстрактной алгебре , дедекиндовы домны или дедекиндово кольцо , названные в честь Ричарда Дедекинда , является областью целостности , в котором каждый ненулевой собственном идеале факторов в произведение простых идеалов . Можно показать, что такая факторизация обязательно уникальна до порядка факторов. Есть по крайней мере три других характеристики дедекиндовских доменов, которые иногда используются в качестве определения: см. Ниже .

Поле является коммутативным кольцом , в котором нет нетривиальных собственных идеалов, так что любое поле дедекиндовы домны, однако в довольно праздной образом. Некоторые авторы добавляют требование, чтобы домен Дедекинда не был полем. Многие другие авторы формулируют теоремы для дедекиндовских областей с неявным условием, что они могут потребовать тривиальных модификаций для случая полей.

Непосредственным следствием определения является то, что каждая область главных идеалов (PID) является областью Дедекинда. Фактически, домен Дедекинда является уникальным доменом факторизации (UFD) тогда и только тогда, когда он является PID.

Алгебраические структуры
Группа -как Группа Полугруппа  / Моноид Стеллаж и quandle Квазигруппа и петля Абелева группа Магма Группа Ли Теория групп
Кольцо -как Звенеть Rng Полукруглый Рядом с кольцом Коммутативное кольцо Интегральный домен Поле Дивизионное кольцо Теория колец
Lattice -как Решетка Полурешетка Дополненная решетка Общий заказ Алгебра Гейтинга Булева алгебра Карта решеток Теория решетки
Модуль- подобный Модуль Группа с операторами Векторное пространство Линейная алгебра
Алгебра- подобный Алгебра Ассоциативный Неассоциативный Составная алгебра Алгебра Ли Оценено Биалгебра
v т е

Предыстория дедекиндовских владений

В 19 веке он стал общий метод , чтобы получить представление о целочисленных решений в полиномиальных уравнений с помощью колец из алгебраических чисел более высокой степени. Например, зафиксируйте положительное целое число . В попытке определить , какие целые числа представлены в квадратичной форме , то естественно учитывать квадратичную форму в факторизация , происходящий в кольце целых чисел в квадратичном поле . Аналогичным образом , для положительного целого числа от полинома (который имеет отношение для решения уравнения Ферма ) может быть разложен над кольцом , где представляет собой примитивный п -ый корень из единицы . ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + мой ^ {2}}$${\ displaystyle (х + {\ sqrt {-m}} y) (x - {\ sqrt {-m}} y)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-m}})}$${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle г ^ {п} -у ^ {п}}$${\ Displaystyle х ^ {п} + у ^ {п} = г ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$${\ displaystyle \ zeta _ {n}}$

Для нескольких небольших значений и эти кольца алгебраических целых чисел являются PID, и это можно рассматривать как объяснение классических успехов Ферма ( ) и Эйлера ( ). К этому времени теоретикам квадратичных форм была хорошо известна процедура определения того, является ли кольцо всех целых алгебраических чисел данного квадратичного поля PID. В частности, Гаусс рассмотрел случай мнимых квадратичных полей: он нашел ровно девять значений, для которых кольцо целых чисел является PID, и предположил, что других значений не существует. (Гипотеза Гаусса была доказана более чем через сто лет Куртом Хегнером , Аланом Бейкером и Гарольдом Старком .) Однако это было понято (только) на языке классов эквивалентности квадратичных форм, так что, в частности, аналогия между квадратичными формами и уравнение Ферма, кажется, не было воспринято. В 1847 году Габриэль Ламе объявил решение Великой теоремы Ферма для всех ; то есть, что уравнение Ферма не имеет решений в ненулевых целых числах, но оказалось, что его решение зависело от предположения, что круговое кольцо является UFD. Эрнст Куммер за три года до этого показал, что это уже не так ( теперь известен полный, конечный список значений, для которых есть UFD). В то же время Куммер разработал новые мощные методы доказательства Великой теоремы Ферма по крайней мере для большого класса простых показателей, используя то, что мы теперь признаем как факт, что кольцо является дедекиндовской областью. На самом деле Куммер работал не с идеалами, а с « идеальными числами », и современное определение идеала было дано Дедекиндом. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m = 1, n = 4}$${\ Displaystyle m = 2,3, n = 3}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle n> 2}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$${\ displaystyle n = 23}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$

К 20-му веку алгебраисты и теоретики чисел пришли к пониманию, что условие быть PID довольно деликатно, тогда как условие того, чтобы быть сферой Дедекинда, довольно устойчиво. Например, кольцо обычных целых чисел является PID, но, как показано выше, кольцо алгебраических целых чисел в числовом поле не обязательно должно быть PID. Фактически, хотя Гаусс также предположил, что существует бесконечно много простых чисел, таких что кольцо целых чисел является PID, по состоянию на 2016 год еще не известно, существует ли бесконечно много числовых полей (произвольной степени), таких как PID. С другой стороны, кольцо целых чисел в числовом поле всегда является дедекиндовым доменом. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {p}})}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Другая иллюстрация деликатной / прочной дихотомии является тем фактом , что , будучи дедекиндово доменом, среди нетеровских доменов , локальное свойство : нетеры домена является дедекиндово тогда и только тогда для любого максимального идеалом из по локализации является дедекиндовым кольца. Но локальный домен является дедекиндовым кольцом тогда и только тогда это PID тогда и только тогда это кольцо дискретного нормирования (DVR), так же локальная характеристика не может иметь место для PIDs: а, можно сказать , что понятие дедекиндовым кольца является глобализация из что из DVR. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R_ {M}}$

Альтернативные определения

Для области целостности , не являющейся полем, все следующие условия эквивалентны: ${\ displaystyle R}$

(DD1) Каждый ненулевой собственный идеал делится на простые числа.

(DD2) нетерово, и локализация в каждом максимальном идеале - это кольцо дискретного нормирования.${\ displaystyle R}$

(DD3) Любой ненулевой дробный идеал в обратим.${\ displaystyle R}$

(DD4) - это целозамкнутая нётерова область с размерностью Крулля один (то есть каждый ненулевой простой идеал максимален).${\ displaystyle R}$

(DD5) нетеры, и для любых двух идеалов и в , содержатся в тогда и только тогда делит качестве идеалов. То есть существует такой идеал , что . Коммутативное кольцо с единицей, удовлетворяющее последнему условию, называется телом включения (CDR).${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle I = JH}$

Таким образом, домен Дедекинда - это домен, который либо является полем, либо удовлетворяет любому одному, а следовательно, всем пяти из (DD1) - (DD5). Следовательно, какое из этих условий принять за определение - дело вкуса. На практике часто проще всего проверить (DD4).

Домена Крулла является многомерным аналогом дедекиндова домена: дедекиндовы домнами , который не является полем является областью Крулла размерности 1. Это понятие может быть использовано для изучения различной характеризации дедекиндова домена. Фактически, это определение дедекиндовской области, используемое в «Коммутативной алгебре» Бурбаки .

Область Дедекинда также может быть охарактеризована в терминах гомологической алгебры : область целостности является областью Дедекинда тогда и только тогда, когда она является наследственным кольцом ; то есть, каждый подмодуль из проективного модуля над ним проективен. Точно так же область целостности является дедекиндовской областью тогда и только тогда, когда каждый делимый модуль над ней инъективен .

Некоторые примеры дедекиндовских доменов

Все главные идеальные области и, следовательно, все кольца дискретной оценки являются дедекиндовыми областями.

Кольцо из алгебраических чисел в числовом поле К нетерам, целозамкнуто и размерностей одного: чтобы увидеть последнее свойство, заметит , что для любого ненулевого простого идеала I из R , R / I представляет собой конечное множество, напомнит , что конечная область целостности - поле; так что по (DD4) R является дедекиндовым доменом. Как и выше, это включает все примеры, рассмотренные Куммером и Дедекиндом, и послужило мотивирующим случаем для общего определения, и они остаются одними из наиболее изученных примеров. ${\ Displaystyle R = {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Другой класс колец Дедекинда, который, возможно, имеет не меньшее значение, исходит из геометрии: пусть C - неособая геометрически целая аффинная алгебраическая кривая над полем k . Тогда координатное кольцо k [ C ] регулярных функций на C является дедекиндовской областью. Это в значительной степени ясно, просто переведя геометрические термины в алгебру: координатное кольцо любого аффинного многообразия по определению является конечно порожденной k -алгеброй, следовательно, нетерово; более того, кривая означает размерность один, а невырожденная означает (и в отношении размерности один эквивалентна) нормальную , что по определению означает интегральную замкнутость .

Обе эти конструкции можно рассматривать как частные случаи следующего основного результата:

Теорема : Пусть R дедекиндово область с Фракцию полем K . Пусть L конечная степень расширения поля из K и обозначим через S целое замыкание из R в L . Тогда S сама является дедекиндовской областью.

Применение этой теоремы, когда R сам по себе является PID, дает нам способ построения дедекиндовских доменов из PID. Взяв R = Z , эта конструкция в точности говорит, что кольца целых числовых полей являются дедекиндовыми областями. Взяв R = k [ t ], мы получаем рассмотренный выше случай невырожденных аффинных кривых как разветвленных накрытий аффинной прямой.

Зариски и Самуил были достаточно увлечены этой конструкцией, чтобы задаться вопросом, возникли ли из нее все дедекиндовские владения; то есть, начиная с PID и взяв интегральное замыкание в расширении поля конечной степени. Удивительно простой отрицательный ответ дал Л. Клаборн.

Если ситуация такая же, как и выше, но расширение L поля K является алгебраическим бесконечной степени, то интегральное замыкание S кольца R в L все еще может быть дедекиндовым доменом, но это не гарантируется. Например, снова возьмем R = Z , K = Q и теперь возьмем L как поле всех алгебраических чисел. Целочисленное замыкание - это не что иное, как кольцо всех целых алгебраических чисел. Поскольку квадратный корень из алгебраического целого числа снова является алгебраическим целым числом, невозможно разложить любое ненулевое неединичное алгебраическое целое в конечное произведение неприводимых элементов, что означает, что это даже не нётерово! В общем случае интегральное замыкание дедекиндовской области в бесконечном алгебраическом расширении является областью Прюфера ; оказывается, что кольцо целых алгебраических чисел немного более особенное, чем это: это область Безу . ${\ displaystyle {\ overline {\ textbf {Q}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ textbf {Z}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ textbf {Z}}}}$

Дробные идеалы и группа классов

Пусть R область целостности с Фракцию полем K . Дробная идеал ненулевой R подмодуль I из К , для которого существует ненулевая х в К такой , что${\ displaystyle xI \ subset R.}$

Для двух дробных идеалов I и J их произведение IJ определяется как множество всех конечных сумм : произведение IJ снова является дробным идеалом. Множество гидроразрыв ( R ) все дробных идеалов , снабженных выше продуктом является коммутативной полугруппой и на самом деле моноид : единичный элемент является дробным идеалом R . ${\ displaystyle \ sum _ {n} i_ {n} j_ {n}, \, i_ {n} \ in I, \, j_ {n} \ in J}$

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

${\ Displaystyle I ^ {*} = (R: I) = \ {x \ in K \ mid xI \ subset R \}.}$

Значит, тавтологически . Фактически равенство имеет место тогда и только тогда , когда I как элемент моноида Frac ( R ) обратим. Другими словами, если у меня есть обратное, то и обратное должно быть . ${\ displaystyle I ^ {*} I \ subset R}$${\ displaystyle I ^ {*}}$

Главным дробный идеал является одним из формы для некоторых ненулевых х в K . Обратите внимание, что каждый главный дробный идеал обратим, а не просто . Обозначим подгруппу главных дробных идеалов через Prin ( R ). ${\ displaystyle xR}$${\ displaystyle xR}$${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} R}$

Область R является PID тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал является главным. В этом случае мы имеем гидроразрыва ( R ) = Прин ( R ) = , так как две главные дробные идеалы и равны тогда и только тогда является единицей в R . ${\ Displaystyle К ^ {\ раз} / Р ^ {\ раз}}$${\ displaystyle xR}$${\ displaystyle yR}$${\ displaystyle xy ^ {- 1}}$

Для общей области R имеет смысл взять фактор моноида Frac ( R ) всех дробных идеалов по подмоноиду Prin ( R ) главных дробных идеалов. Однако само это частное обычно является только моноидом. На самом деле легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac ( R ) / Prin ( R ) обратим тогда и только тогда, когда сам I обратим.

Теперь мы можем оценить (DD3): в дедекиндовской области (и только в дедекиндовской) любой дробный идеал обратим. Таким образом , это именно класс областей , для которых гидроразрыв ( R ) / Прин ( R ) образует группу , тем группа классов идеалов Cl ( R ) от R . Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда R является PID, поэтому ее можно рассматривать как количественную оценку препятствия для общего домена Дедекинда, являющегося PID.

Отметим, что для произвольной области можно определить группу Пикара Pic ( R ) как группу обратимых дробных идеалов Inv ( R ) по модулю подгруппы главных дробных идеалов. Для дедекиндовской области это, конечно, то же самое, что и идеальная группа классов. Однако в более общем классе областей, включая нётеровы области и области Крулля, группа классов идеалов строится по-другому, и существует канонический гомоморфизм

Pic ( R ) → Cl ( R )

что, однако, обычно не является ни инъективным, ни сюръективным . Это аффинный аналог различия между дивизорами Картье и дивизорами Вейля на особом алгебраическом многообразии.

Замечательная теорема Л. Claborn (Claborn 1966) утверждает , что для любой абелевой группы G бы то ни было, существует дедекиндово домен R , чей класс идеальной группы изоморфно с G . Позже CR Leedham-Green показал, что такое R может быть построено как интегральное замыкание PID в квадратичном расширении поля (Leedham-Green 1972). В 1976 году М. Розен показал, как реализовать любую счетную абелеву группу как группу классов дедекиндовской области, которая является подкольцом поля рациональных функций эллиптической кривой, и предположил, что такая «эллиптическая» конструкция должна быть возможна для общая абелева группа (Розен, 1976). Гипотеза Розена была доказана в 2008 году П.Л. Кларком (Clark 2009).

Напротив, одна из основных теорем алгебраической теории чисел утверждает, что группа классов кольца целых чисел числового поля конечна; его мощность называется числом классов, и это важный и довольно загадочный инвариант, несмотря на тяжелую работу многих ведущих математиков от Гаусса до наших дней.

Конечно порожденные модули над дедекиндовым доменом

Ввиду хорошо известной и чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов (PID) естественно попросить соответствующую теорию для конечно порожденных модулей над дедекиндовской областью.

Кратко напомним структурную теорию в случае конечно порожденного модуля над ПИД . Определим кручение подмодуль быть множество элементов из таких , что для некоторого ненулевого в . Потом: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle rm = 0}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R}$

(М1) можно разложить в прямую сумму из циклических торсионных модулей, каждый из формы для некоторого ненулевого идеала из . По китайской теореме об остатках каждый может быть разложен в прямую сумму подмодулей вида , где - степень простого идеала. Это разложение не обязательно должно быть единственным, но любые два разложения ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R / I}$${\ Displaystyle R / P ^ {i}}$${\ displaystyle P ^ {i}}$

${\ displaystyle T \ cong R / P_ {1} ^ {a_ {1}} \ oplus \ cdots \ oplus R / P_ {r} ^ {a_ {r}} \ cong R / Q_ {1} ^ {b_ { 1}} \ oplus \ cdots \ oplus R / Q_ {s} ^ {b_ {s}}}$

различаются только порядком факторов.

(M2) Подмодуль кручения является прямым слагаемым. То есть, существует дополнительный подмодуль из таких , что . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M = T \ oplus P}$

(M3PID), изоморфный для однозначно определенного неотрицательного целого числа . В частности, является конечно порожденным свободным модулем. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle P}$

Пусть теперь - конечно порожденный модуль над произвольной дедекиндовской областью . Тогда (M1) и (M2) сохраняются дословно. Однако из (M3PID) следует, что конечно порожденный модуль без кручения над PID свободен. В частности, он утверждает, что все дробные идеалы являются главными, что неверно, если это не PID. Другими словами, нетривиальность группы классов Cl (R) вызывает сбой (M3PID). Примечательно, что дополнительная структура в конечно порожденных модулях без кручения над произвольной дедекиндовской областью точно контролируется группой классов, как мы сейчас объясним. Над произвольной дедекиндовской областью ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$

(M3DD) изоморфна прямой сумме ранга одного проекционных модулей: . Более того, для любого проективного модуля ранга один выполняется ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P \ cong I_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus I_ {r}}$${\ displaystyle I_ {1}, \ ldots, I_ {r}, J_ {1}, \ ldots, J_ {s}}$

${\ Displaystyle I_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus I_ {r} \ cong J_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus J_ {s}}$

если и только если

${\ displaystyle r = s}$

а также

${\ displaystyle I_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes I_ {r} \ cong J_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes J_ {s}. \,}$

Проективные модули первого ранга можно отождествить с дробными идеалами, а последнее условие можно перефразировать как

${\ displaystyle [I_ {1} \ cdots I_ {r}] = [J_ {1} \ cdots J_ {s}] \ in Cl (R).}$

Таким образом, конечно порожденный модуль без кручения ранга можно выразить как , где - проективный модуль ранга один. Класс Штейниц для P над R является класс из в Cl (R): она однозначно определяется. Следствием этого является: ${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle R ^ {n-1} \ oplus I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle [I]}$${\ displaystyle I}$

Теорема. Пусть R - дедекиндова область. Тогда , где K ₀ ( R ) - группа Гротендика коммутативного моноида конечно порожденных проективных R модулей. ${\ Displaystyle К_ {0} (R) \ cong \ mathbb {Z} \ oplus Cl (R)}$

Эти результаты были установлены Эрнстом Стейницем в 1912 году.

Дополнительным следствием этой структуры, которое не подразумевается в предыдущей теореме, является то, что если два проективных модуля над областью Дедекинда имеют один и тот же класс в группе Гротендика, то они фактически абстрактно изоморфны.

Локально кольца Дедекинда

Существуют целые области, которые являются локально, но не глобально, дедекиндовыми: локализация в каждом максимальном идеале - это дедекиндовское кольцо (эквивалентно, DVR), но сама по себе не является дедекиндовым. Как упоминалось выше, такое кольцо не может быть нётеровым. Похоже, что первые примеры таких колец были построены Н. Накано в 1953 году. В литературе такие кольца иногда называют «собственными почти дедекиндовыми кольцами». ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Смотрите также

• Постоянная Давенпорта

Заметки

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Эдвардс, Гарольд М. (1990), теория делителей , Бостон: Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3448-7, Zbl  0689,12001

Внешние ссылки

• "Кольцо Дедекинда" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]