Идеальная классная группа - Ideal class group

В теории чисел , то группа классов идеалов (или группы классов ) из поля алгебраических чисел К является фактор - группа J _К / Р _К , где J _K является группа дробных идеалов в кольце целых чисел из К , а Р _К является его подгруппа главных идеалов . Группа класса является мерой степени , в которой уникальное разложение терпит неудачу в кольце целых чисел K . Порядок группы, которая является конечным, называется число классов из K .

Теория распространяется на дедекиндовы области и их поле дробей , для которых мультипликативные свойства тесно связаны со структурой группы классов. Например, группа классов домена Дедекинда тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является уникальной областью факторизации .

История и происхождение идеальной классовой группы

Группы идеальных классов (или, скорее, то, что фактически было группами идеальных классов) были изучены за некоторое время до того, как была сформулирована идея идеала . Эти группы появились в теории квадратичных форм : в случае бинарных целочисленных квадратичных форм, представленных Карлом Фридрихом Гауссом в нечто вроде окончательной формы , закон композиции был определен для определенных классов эквивалентности форм. Это дало конечную абелеву группу , как было признано в то время.

Позднее Эрнст Куммер работал над теорией круговых полей . Было понято (вероятно, несколькими людьми), что неспособность завершить доказательства в общем случае Великой теоремы Ферма факторизацией с использованием корней единицы была по очень веской причине: неудача уникальной факторизации, т. Е. Фундаментальной арифметической теоремы. , удержание в кольцах, порожденных этими корнями единства, было серьезным препятствием. Из работ Куммера впервые вышло исследование препятствий факторизации. Теперь мы признаем это как часть группы классов идеалов: на самом деле Куммер был выделен р - кручение в этой группе для области р -roots единицы, для любого простого числа р , в качестве причины для отказа стандартного метода атаки на проблему Ферма (см. обычное простое число ).

Несколько позже снова Ричард Дедекинд сформулировал концепцию идеала , Куммер действовал иначе. На этом этапе существующие примеры могут быть унифицированы. Было показано, что хотя кольца алгебраических целых чисел не всегда однозначно разлагаются на простые числа (поскольку они не обязательно должны быть областями главных идеалов ), они обладают тем свойством, что каждый собственный идеал допускает уникальную факторизацию как произведение простых идеалов (т. Е. , каждое кольцо целых алгебраических чисел является дедекиндовской областью ). Размер идеальной группы классов можно рассматривать как меру отклонения кольца от главной идеальной области; кольцо является главной областью тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальную группу классов идеалов.

Определение

Если R является областью целостности , определить отношение ~ на ненулевых дробных идеалов из R по I ~ J всякий раз , когда существуют ненулевые элементы и б из R такой , что ( ) Я = ( б ) J . (Здесь обозначение ( ) означает , что главный идеал из R , состоящий из всех кратных .) Легко показать , что это отношение эквивалентности . Эти классы эквивалентности называются идеальные классы из R . Идеальные классы можно умножать: если [ I ] обозначает класс эквивалентности идеала I , то умножение [ I ] [ J ] = [ IJ ] корректно определено и коммутативно . Главные идеалы образуют идеальный класс [ R ], который служит тождественным элементом для этого умножения. Таким образом, класс [ I ] имеет обратный [ J ] тогда и только тогда, когда существует идеал J такой, что IJ является главным идеалом. В общем, такой J может не существовать, и, следовательно, набор идеальных классов R может быть только моноидом .

Однако, если R является кольцом целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел , или в более общем случае дедекиндово домена , умножение определено выше витков множество дробных классов идеальных в абелевой группе , в идеальной группе классов из R . Групповое свойство существования обратных элементов легко следует из того факта, что в дедекиндовской области каждый ненулевой идеал (кроме R ) является произведением простых идеалов .

Характеристики

Группа классов идеалов тривиальна (т.е. имеет только один элемент) тогда и только тогда, когда все идеалы R главны. В этом смысле группа идеальных классов измеряет, насколько R далека от того, чтобы быть областью главных идеалов , и, следовательно, от удовлетворения уникальной факторизации простых чисел (области Дедекинда являются областями уникальной факторизации тогда и только тогда, когда они являются областями главных идеалов).

Количество идеальных классов ( число классов изR) может быть бесконечным в целом. Фактически каждая абелева группа изоморфна группе классов идеалов некоторой дедекиндовской области. Но еслиRна самом деле является кольцом целых алгебраических чисел, то число классов всегдаконечно. Это один из основных результатов классической алгебраической теории чисел.

Вычисление группы классов, в общем, затруднено; это можно сделать вручную для кольца целых чисел в поле алгебраических чисел с малым дискриминантом , используя оценку Минковского . Этот результат дает оценку, зависящую от кольца, такую, что каждый класс идеалов содержит идеальную норму, меньшую, чем граница. В общем, граница недостаточно точна, чтобы сделать вычисления практичными для полей с большим дискриминантом, но компьютеры хорошо подходят для этой задачи.

Отображение колец целых чисел R в соответствующие им группы классов является функториальным, и группу классов можно отнести к алгебраической K-теории , где K ₀ ( R ) является функтором, сопоставляющим R его идеальную группу классов; точнее, K ₀ ( R ) = Z × C ( R ), где C ( R ) - группа классов. Высшие группы K также могут использоваться и интерпретироваться арифметически в связи с кольцами целых чисел.

Связь с группой единиц

Выше было отмечено, что группа идеальных классов дает часть ответа на вопрос о том, насколько идеалы в дедекиндовской области ведут себя как элементы. Другая часть ответа обеспечивается мультипликативной группой из единиц в дедекиндове области, так как переход от главных идеалов к их генераторам требует использования единиц (и это все остальные причин введения понятия дробного идеала, так как хорошо):

Определите отображение из R ^× в множество всех ненулевых дробных идеалов R , отправив каждый элемент в главный (дробный) идеал, который он генерирует. Это гомоморфизм групп ; ее ядро представляет собой группу единиц R , а его коядро является идеальной группой классов R . Неспособность этих групп быть тривиальной является мерой неспособности карты быть изоморфизмом: то есть неспособностью идеалов действовать как элементы кольца, то есть как числа.

Примеры идеальных групп классов

• Кольца Z , Z [ω] и Z [ i ] , где ω - кубический корень из 1, а i - корень четвертой степени из 1 (т. Е. Квадратный корень из −1), являются областями главных идеалов (и фактически все евклидовы области ), и поэтому имеют класс номер 1: то есть они имеют тривиальные группы классов идеалов.
• Если k - поле, то кольцо многочленов k [ X ₁ , X ₂ , X ₃ , ...] является областью целостности. У него есть счетное бесконечное множество идеальных классов.

Числа классов квадратичных полей

Если d является бесквадратно целым числом (произведение различных простых чисел) , отличное от 1, то Q ( √ d ) представляет собой квадратичное расширение Q . Если d <0, то номер класса кольца R целых алгебраических чисел кольца Q ( √ d ) равен 1 точно для следующих значений d : d = −1, −2, −3, −7, −11 , −19, −43, −67 и −163. Этот результат был впервые предположен Гауссом и доказан Куртом Хегнером , хотя доказательству Хегнера не верили, пока Гарольд Старк не дал более позднее доказательство в 1967 году (см. Теорему Старка-Хегнера ). Это частный случай знаменитой проблемы числа классов .

Если же d > 0, то неизвестно, существует ли бесконечно много полей Q ( √ d ) с номером класса 1. Результаты вычислений показывают, что таких полей очень много. Однако неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей с номером класса 1.

Для г <0, идеальная группа классов Q ( √ г ) изоморфна группе классов интегральных бинарных квадратичных форм с дискриминантом , равным дискриминант Q ( √ г ). Для г > 0, идеальный класс группа может быть в два раза меньше , так как класс группа целочисленных бинарных квадратичных форм изоморфна узкой группы классов из Q ( √ г ).

Для вещественных квадратичных целочисленных колец номер класса указан в OEIS A003649 ; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924 .

Пример нетривиальной группы классов

Квадратичная целое кольцо R = Z [ √ -5 ] является кольцом целых чисел Q ( √ -5 ). Он не обладает уникальной факторизацией; на самом деле группа классов R циклическая порядка 2. Действительно, идеал

J = (2, 1 + √ −5 )

не является главным, что доказывается от противного следующим образом. имеет нормальную функцию , которая удовлетворяет , и тогда и только тогда, когда является единицей в . Прежде всего, потому что фактор-кольцо по модулю идеала изоморфно , так что фактор-кольцо по модулю изоморфно . Если бы J был порожден элементом x из R , то x разделил бы как 2, так и 1 + √ −5 . Тогда норма делит оба и , поэтому N (x) делит 2. Если , то является единицей и , противоречие. Но не может быть и 2, потому что R не имеет элементов нормы 2, потому что диофантово уравнение не имеет решений в целых числах, так как оно не имеет решений по модулю 5. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle N (a + b {\ sqrt {-5}}) = a ^ {2} + 5b ^ {2}}$${\ Displaystyle N (УФ) = N (u) N (v)}$${\ Displaystyle N (и) = 1}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle J \ neq R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}})}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 6 \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle J}$${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$${\ Displaystyle N (х)}$${\ Displaystyle N (2) = 4}$${\ Displaystyle N (1 + {\ sqrt {-5}}) = 6}$${\ Displaystyle N (х) = 1}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle J = R}$${\ Displaystyle N (х)}$ ${\ displaystyle b ^ {2} + 5c ^ {2} = 2}$

Также вычисляется, что J ² = (2), что является главным, поэтому класс J в группе классов идеалов имеет второй порядок. Чтобы показать, что других идеальных классов не существует, нужно приложить больше усилий.

Тот факт, что этот J не является главным, также связан с тем фактом, что элемент 6 имеет две различные факторизации в неприводимые:

6 = 2 × 3 = (1 + √ −5 ) × (1 - √ −5 ).

Связь с теорией полей классов

Теория полей классов - это ветвь алгебраической теории чисел, которая стремится классифицировать все абелевы расширения данного поля алгебраических чисел, то есть расширения Галуа с абелевой группой Галуа . Особенно красивый пример можно найти в поле классов Гильберта числового поля, которое можно определить как максимальное неразветвленное абелево расширение такого поля. Поле классов Гильберта L числового поля K уникально и обладает следующими свойствами:

• Каждый идеал кольца целых чисел K становится главным в L , то есть, если я целый идеал из К , то образом I является главным идеалом в L .
• L является расширением Галуа K с группой Галуа , изоморфной идеальной группой классов K .

Ни то, ни другое свойство не так-то просто доказать.

Смотрите также

• Формула номера класса
• Проблема с номером класса
• Теорема Брауэра – Зигеля - асимптотическая формула для числа классов
• Список числовых полей с классом номер один
• Основная идеальная область
• Алгебраическая K-теория
• Теория Галуа
• Последняя теорема Ферма
• Узкая классная группа
• Группа Пикара - обобщение группы классов, появляющейся в алгебраической геометрии
• Классная группа Аракелова

Примечания

использованная литература

• Claborn, Лютер (1966), "Каждая абелева группа является группой классов" , Pacific Journal математики , 18 : 219-222, DOI : 10,2140 / pjm.1966.18.219 , архивируются с оригинала на 2011-06-07
• Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования в области высшей математики, 27 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, Руководство по ремонту  1215934
• Нойкирх, Юрген (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .