Точная последовательность - Exact sequence

Точная последовательность представляет собой последовательность морфизмов между объектами (например, группы , кольца , модули , и, в более общем случае , объекты из абелевой категории ) таким образом, что изображение одного морфизма равен ядру следующего.

Определение

В контексте теории групп последовательность

${\ displaystyle G_ {0} \; {\ xrightarrow {\ f_ {1} \}} \; G_ {1} \; {\ xrightarrow {\ f_ {2} \}} \; G_ {2} \; { \ xrightarrow {\ f_ {3} \}} \; \ cdots \; {\ xrightarrow {\ f_ {n} \}} \; G_ {n}}$

групп и гомоморфизмов групп называется точным в точке, если . Последовательность называется точной, если она точна на каждом для всех , т. Е. Если образ каждого гомоморфизма равен ядру следующего. ${\ displaystyle G_ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {im} (f_ {i}) = \ ker (f_ {i + 1})}$${\ displaystyle G_ {i}}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я <п}$

Последовательность групп и гомоморфизмов может быть конечной или бесконечной.

Аналогичное определение можно сделать и для других алгебраических структур . Например, можно иметь точную последовательность векторных пространств и линейных отображений или модулей и гомоморфизмов модулей . В более общем плане понятие точной последовательности имеет смысл в любой категории с ядрами и коядрами , и особенно в абелевых категориях , где оно широко используется.

Простые случаи

Чтобы понять определение, полезно рассмотреть относительно простые случаи, когда последовательность конечна и начинается или заканчивается тривиальной группой . Традиционно, это, наряду с единственным элементом идентичности, обозначается 0 (аддитивная запись, обычно, когда группы абелевы), или обозначается 1 (мультипликативная запись).

• Рассмотрим последовательность 0 → → B . Изображение крайней левой карты равно 0. Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда крайняя правая карта (от A до B ) имеет ядро ​​{0}; то есть тогда и только тогда, когда это отображение является мономорфизмом (инъективным или взаимно однозначным).
• Рассмотрим двойственную последовательность B → C → 0. Ядро крайнего правого отображения - C. Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда образ крайнего левого отображения (из B в C ) полностью совпадает с C ; то есть тогда и только тогда, когда это отображение является эпиморфизмом (сюръективным или на).
• Следовательно, последовательность 0 → X → Y → 0 точна тогда и только тогда, когда отображение из X в Y является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом (то есть биморфизмом ), и, таким образом, во многих случаях изоморфизмом из X в Y .

Короткая точная последовательность

Важны короткие точные последовательности , которые представляют собой точные последовательности вида

${\ displaystyle 0 \ to A \; \ xrightarrow {\ f \} \; B \; \ xrightarrow {\ g \} \; C \ to 0.}$

Как установлено выше, для любой такой короткой точной последовательности f - мономорфизм, а g - эпиморфизм. Кроме того, образ f равен ядру g . Это полезно думать о А как подобъект из B с F вложения A в B , и C в качестве соответствующего фактора объекта (или фактора ), B / A , с г , индуцирующий изоморфизм

${\ Displaystyle C \ cong B / \ OperatorName {im} (f)}$

Краткая точная последовательность

${\ Displaystyle 0 \ к A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}$

называется раскол , если существует гомоморфизм час  : C → B такое , что композиция г ∘ ч тождественное отображение на C . Из этого следует , что , если они абелевые группы , B изоморфна прямой сумму из А и С (см Нарезки леммы ):

${\ Displaystyle B \ cong A \ oplus C.}$

Длинная точная последовательность

Общая точная последовательность иногда называется длинной точной последовательностью , чтобы отличать ее от частного случая короткой точной последовательности.

Длинная точная последовательность эквивалентна семейству коротких точных последовательностей в следующем смысле: дана длинная последовательность

${\ Displaystyle A_ {0} \; \ xrightarrow {\ f_ {1} \} \; A_ {1} \; \ xrightarrow {\ f_ {2} \} \; A_ {2} \; \ xrightarrow {\ f_ {3} \} \; \ cdots \; \ xrightarrow {\ f_ {n} \} \; A_ {n},}$ (1)

с n ≥ 2, мы можем разбить его на короткие последовательности

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 \ rightarrow K_ {1} \ rightarrow {} & A_ {1} \ rightarrow K_ {2} \ rightarrow 0, \\ 0 \ rightarrow K_ {2} \ rightarrow {} & A_ {2 } \ rightarrow K_ {3} \ rightarrow 0, \\\ vdots \\ 0 \ rightarrow K_ {n-1} \ rightarrow {} & A_ {n-1} \ rightarrow K_ {n} \ rightarrow 0, \\\ конец {выровнено}}}$ (2)

где для каждого . По построению последовательности (2) точны в точках (независимо от точности (1) ). Кроме того, (1) является длинной точной последовательностью тогда и только тогда, когда (2) все короткие точные последовательности. ${\ displaystyle K_ {i} = \ operatorname {im} (f_ {i})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle K_ {i}}$

Примеры

Целые числа по модулю два

Рассмотрим следующую последовательность абелевых групп:

${\ displaystyle \ mathbf {Z} \; \; {\ overset {2 \ times} {\ hookrightarrow}} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

Первый гомоморфизм отображает каждый элемент I в множестве целых чисел Z к элементу 2 I в Z . Второй гомоморфизм отображает каждый элемент i в Z в элемент j в фактор-группе; то есть j = i mod 2. Здесь стрелка-крючок указывает, что отображение 2 × от Z к Z является мономорфизмом, а двусторонняя стрелка указывает эпиморфизм (отображение mod 2). Это точная последовательность, потому что образ 2 Z мономорфизма является ядром эпиморфизма. По сути, «ту же» последовательность можно также записать как ${\ displaystyle \ hookrightarrow}$${\ displaystyle \ twoheadrightarrow}$

${\ Displaystyle 2 \ mathbf {Z} \; \; {\ hookrightarrow} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

В этом случае -мономорфизм 2 п ↦ 2 н и хотя он выглядит как функция идентичности, не на (то есть, не эпиморфизм) , так как нечетные числа не принадлежат к 2 Z . Однако образ 2 Z через этот мономорфизм является точно таким же подмножеством Z, что и образ Z через n ↦ 2 n, использованный в предыдущей последовательности. Эта последняя последовательность действительно отличается конкретной природой своего первого объекта от предыдущей, поскольку 2 Z - это не то же самое множество, что и Z, даже несмотря на то, что эти два изоморфны как группы.

Первую последовательность также можно записать без использования специальных символов мономорфизма и эпиморфизма:

${\ displaystyle 0 \; \ to \; \ mathbf {Z} \; \; {\ overset {2 \ times} {\ longrightarrow}} \; \; \ mathbf {Z} \; \ longrightarrow \; \ mathbf { Z} / 2 \ mathbf {Z} \; \ to \; \ 0}$

Здесь 0 обозначает тривиальную группу, отображение из Z в Z - это умножение на 2, а отображение из Z в фактор-группу Z / 2 Z задается сокращением целых чисел по модулю 2. Это действительно точная последовательность:

• изображение карты 0 → Z {0}, а ядро умножения на 2, и {0}, так что последовательность точна при первой Z .
• образ умножения на 2, 2 Z , а ядро уменьшения по модулю 2 также 2 Z , так что последовательность точна на втором Z .
• образом уменьшения по модулю 2 является Z / 2 Z , а ядро нулевой карты также Z / 2 Z , так что последовательность точна в положении Z / 2 Z .

Первая и третья последовательность несколько из специального случая вследствие бесконечной природы Z . Это не возможно для конечной группы должны быть отображена с помощью включения (то есть, с помощью мономорфизма) в качестве собственной подгруппы самого по себе. Вместо этого последовательность, вытекающая из первой теоремы об изоморфизме, такова:

${\ Displaystyle 1 \ к N \ к G \ к G / N \ к 1}$

В качестве более конкретного примера точной последовательности на конечных группах:

${\ Displaystyle 1 \ к C_ {n} \ к D_ {2n} \ к C_ {2} \ to 1}$

где - циклическая группа порядка n, а - группа диэдра порядка 2 n , которая является неабелевой группой. ${\ displaystyle C_ {n}}$${\ displaystyle D_ {2n}}$

Пересечение и сумма модулей

Пусть я и J два идеала кольцевого R . потом

${\ displaystyle 0 \ to I \ cap J \ to I \ oplus J \ to I + J \ to 0}$

точная последовательность R - модули, где модуль гомоморфизм отображает каждый элемент х из к элементу из прямой суммы , а homomorphsim отображает каждый элемент из с . ${\ displaystyle I \ cap J \ to I \ oplus J}$${\ displaystyle I \ cap J}$${\ Displaystyle (х, х)}$ ${\ Displaystyle I \ oplus J}$${\ displaystyle I \ oplus J \ to I + J}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle I \ oplus J}$${\ displaystyle xy}$

Эти гомоморфизмы являются ограничениями гомоморфизмов, определенных аналогичным образом, которые образуют короткую точную последовательность

${\ Displaystyle 0 \ к R \ к R \ oplus R \ к R \ к 0}$

Переход к частным модулям дает другую точную последовательность

${\ Displaystyle 0 \ к R / (I \ cap J) \ к R / I \ oplus R / J \ к R / (I + J) \ to 0}$

Grad, curl и div в дифференциальной геометрии

Другой пример может быть получен из дифференциальной геометрии , особенно актуальной для работы над уравнениями Максвелла .

Рассмотрим гильбертово пространство скалярнозначных квадратично интегрируемых функций в трех измерениях . Взятие градиента функции перемещает нас к подмножеству , пространству векторнозначных, все еще интегрируемых с квадратом функций в той же области - в частности, к набору таких функций, которые представляют консервативные векторные поля. (Обобщенная теорема Стокса сохранила интегрируемость.) ${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ left \ lbrace f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \ right \ rbrace}$${\ displaystyle f \ in \ mathbb {H} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$${\ displaystyle \ left \ lbrace f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3} \ right \ rbrace}$

Во-первых, обратите внимание, что ротор всех таких полей равен нулю, поскольку

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ OperatorName {curl} (\ operatorname {grad} f) & \ эквив \ набла \ раз (\ набла ф) = 0 \ конец {выровнено}}}$

для всех таких ф . Однако это только доказывает, что изображение градиента является подмножеством ядра локона. Чтобы доказать, что они на самом деле являются одним и тем же множеством, докажите обратное: если ротор векторного поля равен 0, то это градиент некоторой скалярной функции. Это почти сразу следует из теоремы Стокса (см. Доказательство при консервативной силе ). Таким образом, образ градиента является в точности ядром ротора, и поэтому мы можем принять ротор как наш следующий морфизм, возвращая нас снова к ротору. (другое) подмножество . ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$

Аналогично отметим, что

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ OperatorName {div} \ left (\ operatorname {curl} {\ vec {v}} \ right) & \ Equiv \ nabla \ cdot \ nabla \ times {\ vec {v}} = 0, \ end {выровнено}}}$

таким образом, образ завитка является подмножеством ядра дивергенции . Обратное несколько запутано:

Доказательство того, что = 0 влечет для некоторых${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ operatorname {curl} {\ vec {A}}}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

Мы поступим по построению: дано векторное поле таким образом, что мы производим поле такое , что ${\ displaystyle {\ vec {F}} = F_ {x} {\ hat {i}} + F_ {y} {\ hat {j}} + F_ {z} {\ hat {k}}}$${\ Displaystyle \ набла \ cdot {\ vec {F}} = 0}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ times {\ vec {A}} & = \ left (\ partial _ {y} A_ {z} - \ partial _ {z} A_ {y} \ right) { \ hat {i}} + \ left (\ partial _ {z} A_ {x} - \ partial _ {x} A_ {z} \ right) {\ hat {j}} + \ left (\ partial _ {x } A_ {y} - \ partial _ {y} A_ {x} \ right) {\ hat {k}} \\ & = F_ {x} {\ hat {i}} + F_ {y} {\ hat { j}} + F_ {z} {\ hat {k}} = {\ vec {F}} \ end {align}}}$ Во-первых, обратите внимание, что, поскольку, как доказано выше , мы можем добавить градиент любой скалярной функции к без изменения curl. Мы можем использовать эту калибровочную свободу, чтобы установить любой компонент в ноль без изменения его ротации; выбирая произвольно z -компоненту, мы просто требуем, чтобы ${\ displaystyle \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) = 0}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$${\ displaystyle {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle - \ partial _ {z} A_ {y} {\ hat {i}} + \ partial _ {z} A_ {x} {\ hat {j}} + \ left (\ partial _ {x} A_ {y} - \ partial _ {y} A_ {x} \ right) {\ hat {k}} = F_ {x} {\ hat {i}} + F_ {y} {\ hat {j}} + F_ {z} {\ hat {k}}}$ Затем, просто интегрировав первые два компонента и отметив, что `` константа '' интегрирования все еще может зависеть от любой переменной, не интегрированной, мы находим, что ${\ displaystyle {\ begin {align} A_ {x} & = \ int F_ {y} dz + {\ vec {C_ {1}}} (x, y) \\ A_ {y} & = - \ int F_ { x} dz + {\ vec {C_ {2}}} (x, y) \ end {выровнено}}}$ Обратите внимание: поскольку оба члена интегрирования зависят только от x и y, а не от z , мы можем добавить еще один градиент некоторой функции, которая также не зависит от z . Это позволяет нам отказаться от одного из условий в пользу другого, не портя нашу предыдущую работу, которая была обнулена. Выбирая для исключения и применяя последний компонент в качестве ограничения, мы имеем ${\ displaystyle {\ vec {C_ {1}}}, {\ vec {C_ {2}}}}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle A_ {z}}$${\ displaystyle {\ vec {C_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} - \ partial _ {x} \ int F_ {x} dz + \ partial _ {x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y) - \ partial _ {y } \ int F_ {y} dz & = F_ {z} \\ - \ int \ left (\ partial _ {x} F_ {x} + \ partial _ {y} F_ {y} \ right) dz + \ partial _ { x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y) & = F_ {z} \ end {выровнено}}}$ По предположению , и так ${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {F}} = \ partial _ {x} F_ {x} + \ partial _ {y} F_ {y} + \ partial _ {z} F_ {z} = 0 }$ ${\ displaystyle \ int \ partial _ {z} F_ {z} dz + \ partial _ {x} {\ vec {C_ {1}}} (x, y) = F_ {z}}$ Поскольку основная теорема исчисления требует, чтобы первый член выше был точно плюс константа по z , решение указанной выше системы уравнений гарантированно существует. ${\ displaystyle F_ {z}}$

Таким образом, доказав, что образ ротора и есть ядро ​​дивергенции, этот морфизм, в свою очередь, возвращает нас в то пространство, с которого мы начали . Поскольку по определению мы попали в пространство интегрируемых функций, любую такую ​​функцию можно (по крайней мере формально) проинтегрировать, чтобы создать векторное поле, дивергенция которого и является этой функцией - так что изображение дивергенции - это все , и мы можем завершить нашу последовательность: ${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle 0 \ to L ^ {2} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \; \; \ mathbb {H} _ {3} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname { curl}}} \; \; \ mathbb {H} _ {3} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {div}}} \; \; L ^ {2} \ to 0}$

Точно так же мы могли бы рассуждать наоборот: в односвязном пространстве векторное поле без завитков (поле в ядре завитка) всегда может быть записано как градиент скалярной функции (и, таким образом, находится в образе градиент). Точно так же бездивергентное поле можно записать как ротор другого поля. (Рассуждая в этом направлении, таким образом, используется тот факт, что трехмерное пространство топологически тривиально.)

Эта короткая точная последовательность также позволяет получить гораздо более короткое доказательство справедливости разложения Гельмгольца, которое не полагается на векторное исчисление методом грубой силы. Рассмотрим подпоследовательность

${\ displaystyle 0 \ to L ^ {2} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname {grad}}} \; \; \ mathbb {H} _ {3} \; \; {\ xrightarrow {\ operatorname { curl}}} \; \; \ operatorname {im} (\ operatorname {curl}) \ to 0.}$

Поскольку дивергенция градиента является лапласианом , и поскольку гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом, можно натянуть на собственные функции лапласиана, мы уже видим, что некоторое обратное отображение должно существовать. Чтобы явно построить такой обратный, мы можем начать с определения векторного лапласиана ${\ displaystyle \ nabla ^ {- 1}: \ mathbb {H} _ {3} \ to L ^ {2}}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} = \ nabla \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right) + \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times {\ vec {A}} \ right)}$

Поскольку мы пытаемся построить отображение идентичности, составив некоторую функцию с градиентом, мы знаем это в нашем случае . Тогда, если мы возьмем расхождение обеих сторон ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ vec {A}} = \ operatorname {curl} \ left ({\ vec {A}} \ right) = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ nabla ^ {2} {\ vec {A}} & = \ nabla \ cdot \ nabla \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right ) \\ & = \ nabla ^ {2} \ left (\ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ right) \\\ конец {выровнено}}}$

мы видим, что если функция является собственной функцией векторного лапласиана, ее дивергенция должна быть собственной функцией скалярного лапласиана с тем же собственным значением. Затем мы можем построить нашу обратную функцию, просто разбив любую функцию на векторно-лапласовский собственный базис, масштабируя каждую на величину, обратную их собственному значению, и взяв дивергенцию; действие, таким образом, явно является тождеством. Таким образом , с помощью расщепления леммы , ${\ displaystyle \ nabla ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3}}$${\ displaystyle \ nabla ^ {- 1} \ circ \ nabla}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {3} \ cong L ^ {2} \ oplus \ operatorname {im} (\ operatorname {curl})}$,

или, что эквивалентно, любое суммируемое с квадратом векторное поле на можно разбить на сумму градиента и ротора - это то, что мы намеревались доказать. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Характеристики

Расщепление лемма утверждает , что если в короткой точной последовательности

${\ Displaystyle 0 \ к A \; {\ xrightarrow {\ f \}} \; B \; {\ xrightarrow {\ g \}} \; C \ to 0}$

допускает морфизм т  : В → таким образом, что т ∘ е тождественно на А или морфизм у : С → B такое , что г ∘ у тождественно на С , то В является прямой суммой из A и C (для не -коммутативные группы, это полупрямое произведение ). Говорят, что такая короткая точная последовательность расщепляется .

В силу леммы змея показывает , как коммутативной диаграммы с двумя точными строками приводит к более точной последовательности. Девять леммы является частным случаем.

Пять леммы дает условие , при которых средней карте в коммутативной диаграмме с точными строками длиной 5 является изоморфизмом; лемма о короткой пятерке является ее частным случаем, применяемым к коротким точным последовательностям.

Важность коротких точных последовательностей подчеркивается тем фактом, что каждая точная последовательность является результатом «сплетения вместе» нескольких перекрывающихся коротких точных последовательностей. Рассмотрим, например, точную последовательность

${\ displaystyle A_ {1} \ to A_ {2} \ to A_ {3} \ to A_ {4} \ to A_ {5} \ to A_ {6}}$

откуда следует, что в категории существуют такие объекты C _k , что

${\ displaystyle C_ {k} \ cong \ ker (A_ {k} \ to A_ {k + 1}) \ cong \ operatorname {im} (A_ {k-1} \ to A_ {k})}$.

Предположим дополнительно, что коядро каждого морфизма существует и изоморфно образу следующего морфизма в последовательности:

${\ Displaystyle C_ {k} \ cong \ operatorname {coker} (от A_ {k-2} \ до A_ {k-1})}$

(Это верно для ряда интересных категорий, включая любую абелеву категорию, такую ​​как абелевы группы; но это не верно для всех категорий, допускающих точные последовательности, и, в частности, неверно для категории групп , в которых coker ( f ): G → H не является H / im ( f ), а является фактором H по сопряженному замыканию im ( f ).) Тогда мы получаем коммутативную диаграмму, в которой все диагонали являются короткими точными последовательностями: ${\ displaystyle H / {\ left \ langle \ operatorname {im} f \ right \ rangle} ^ {H}}$

Единственная часть этой диаграммы, которая зависит от состояния коядра, - это объект и последняя пара морфизмов . Если существует такой точный объект и морфизм , то точность гарантируется. Снова беря пример категории групп, тот факт, что im ( f ) является ядром некоторого гомоморфизма на H, означает, что это нормальная подгруппа , что совпадает с ее сопряженным замыканием; таким образом, coker ( f ) изоморфен образу H / im ( f ) следующего морфизма. ${\ textstyle C_ {7}}$${\ textstyle A_ {6} \ to C_ {7} \ to 0}$${\ displaystyle A_ {k + 1}}$${\ displaystyle A_ {k} \ to A_ {k + 1}}$${\ displaystyle A_ {k-1} \ to A_ {k} \ to A_ {k + 1}}$${\ Displaystyle 0 \ к C_ {k} \ к A_ {k} \ к C_ {k + 1} \ to 0}$

И наоборот, учитывая любой список перекрывающихся коротких точных последовательностей, их средние члены образуют точную последовательность таким же образом.

Применение точных последовательностей

В теории абелевых категорий короткие точные последовательности часто используются как удобный язык для разговора о суб- и факторных объектах.

Проблема расширения - это, по сути, вопрос: «Учитывая конечные члены A и C короткой точной последовательности, какие возможности существуют для среднего члена B ?» В категории групп это равносильно вопросу, какие группы B имеют A как нормальную подгруппу и C как соответствующую фактор-группу? Эта проблема важна при классификации групп . См. Также Группа внешних автоморфизмов .

Обратите внимание, что в точной последовательности композиция f _{i +1} ∘ f _i отображает A _i в 0 в A _{i +2} , поэтому каждая точная последовательность является цепным комплексом . Более того, только f _i -образы элементов A _i отображаются в 0 посредством f _{i +1} , поэтому гомологии этого цепного комплекса тривиальны. Более лаконично:

Точные последовательности - это как раз те цепные комплексы, которые являются ациклическими .

Поэтому для любого цепного комплекса его гомологии можно рассматривать как меру степени, в которой он не может быть точным.

Если мы возьмем серию коротких точных последовательностей, связанных цепными комплексами (то есть короткую точную последовательность цепных комплексов или, с другой точки зрения, цепной комплекс коротких точных последовательностей), то мы можем получить из этого длинную точную последовательность. последовательность (то есть точная последовательность, индексированная натуральными числами) на гомологии с применением леммы о зигзаге . Он возникает в алгебраической топологии при изучении относительных гомологий ; последовательность Майера – Виеториса - другой пример. Длинные точные последовательности, индуцированные короткими точными последовательностями, также характерны для производных функторов .

Точные функторы - это функторы, которые преобразуют точные последовательности в точные последовательности.

использованная литература

Цитаты

Источники

• Спаниер, Эдвин Генри (1995). Алгебраическая топология . Берлин: Springer. п. 179 . ISBN 0-387-94426-5.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра: взгляд на алгебраическую геометрию . Springer-Verlag New York. п. 785 . ISBN 0-387-94269-6.