Поле дробей - Field of fractions
Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
---|
В абстрактной алгебре , то поле частных в качестве интегральной области является наименьшим поле , в котором он может быть встроен . Построение поля дробей моделируется на взаимосвязи между областью целостности целых чисел и полем рациональных чисел . Интуитивно он состоит из соотношений между элементами целостной области.
Поле частных иногда обозначается или , и строительство иногда называют поле фракции , поле дробей , или фактор - поле в . Все четыре используются широко, но их не следует путать с отношением кольца к идеалу , что является совершенно другим понятием. Для коммутативного кольца, не являющегося областью целостности, связанная конструкция называется локализацией или кольцом частных.
Определение
Учитывая область целостности и позволяя , мы определяем отношение эквивалентности на , разрешая всякий раз . Обозначим класс эквивалентности дробью . Это понятие эквивалентности мотивировано рациональными числами , которые обладают тем же свойством по отношению к основному кольцу целых чисел.
Тогда поле дробей - это множество с добавлением, заданным формулой
и умножение на
Можно проверить , что эти операции четко определены и что для любого целого домена , действительно поле. В частности, для мультипликативная инверсия является , как ожидалось: .
Вложение in отображает каждое в дробь для любого ненулевого (класс эквивалентности не зависит от выбора ). Это смоделировано на личности .
Поле дробей характеризуется следующим универсальным свойством :
- если является инъективным гомоморфизмом колец из в поле , то существует единственный продолжающийся гомоморфизм колец .
Есть категоричное толкование этой конструкции. Позвольте быть категорией областей целостности и инъективных отображений колец. Функтор из к категории полей , которые принимают каждую интегральную домен его поле и любой гомоморфизм индуцированного отображения на полях (которая существует по универсальному свойству) является сопряженным слева от включения функтора из категории полей в . Таким образом, категория полей (которая является полной подкатегорией) является отражающей подкатегорией из .
Мультипликативная идентичность не требуется для роли интегральной области; эта конструкция может быть применена к любой ненулевой коммутативной шкале, не имеющей ненулевых делителей нуля . Вложение дается для любого ненулевого значения .
Примеры
- Поле частных кольца целых чисел является полем рациональных чисел , .
- Позвольте быть кольцо гауссовских целых чисел . Затем поле гауссовских рациональных чисел .
- Поле дробей поля канонически изоморфно самому полю.
- Для данного поля поле дробей кольца многочленов от одного неопределенного (которое является областью целостности) называется полем поле рациональных функций илиполе рациональных дробейи обозначается.
Обобщения
Локализация
Для любого коммутативного кольца и любого мультипликативного множества в , то локализация является коммутативное кольцо , состоящее из фракций
с и , где now эквивалентно тогда и только тогда, когда существует такое, что .
Следует отметить два особых случая этого:
- Если - дополнение к простому идеалу , то также обозначается . Когда - область целостности, а - нулевой идеал, - поле долей .
- Если - множество ненулевых делителей в , то называется полным факторкольцом . Общий фактор - кольцо из области целостности является полем частных, но полное кольцо частного определяются для любого коммутативного кольца .
Обратите внимание, что разрешено для содержать 0, но в этом случае будет тривиальное кольцо .
Полуполе фракций
Полуполь фракций одного коммутативным полукольца с не делителями нуля является самым маленьким Полуполевым , в котором он может быть встроен .
Элементами полуполя дробей коммутативного полукольца являются классы эквивалентности, записанные как
с и в .
Смотрите также
- Состояние руды ; условие, связанное с построением дробей в некоммутативном случае.
- Проективная прямая над кольцом ; альтернативная структура, не ограниченная целостными областями.