Поле дробей - Field of fractions

В абстрактной алгебре , то поле частных в качестве интегральной области является наименьшим поле , в котором он может быть встроен . Построение поля дробей моделируется на взаимосвязи между областью целостности целых чисел и полем рациональных чисел . Интуитивно он состоит из соотношений между элементами целостной области.

Поле частных иногда обозначается или , и строительство иногда называют поле фракции , поле дробей , или фактор - поле в . Все четыре используются широко, но их не следует путать с отношением кольца к идеалу , что является совершенно другим понятием. Для коммутативного кольца, не являющегося областью целостности, связанная конструкция называется локализацией или кольцом частных.

Определение

Учитывая область целостности и позволяя , мы определяем отношение эквивалентности на , разрешая всякий раз . Обозначим класс эквивалентности дробью . Это понятие эквивалентности мотивировано рациональными числами , которые обладают тем же свойством по отношению к основному кольцу целых чисел.

Тогда поле дробей - это множество с добавлением, заданным формулой

и умножение на

Можно проверить , что эти операции четко определены и что для любого целого домена , действительно поле. В частности, для мультипликативная инверсия является , как ожидалось: .

Вложение in отображает каждое в дробь для любого ненулевого (класс эквивалентности не зависит от выбора ). Это смоделировано на личности .

Поле дробей характеризуется следующим универсальным свойством :

если является инъективным гомоморфизмом колец из в поле , то существует единственный продолжающийся гомоморфизм колец .

Есть категоричное толкование этой конструкции. Позвольте быть категорией областей целостности и инъективных отображений колец. Функтор из к категории полей , которые принимают каждую интегральную домен его поле и любой гомоморфизм индуцированного отображения на полях (которая существует по универсальному свойству) является сопряженным слева от включения функтора из категории полей в . Таким образом, категория полей (которая является полной подкатегорией) является отражающей подкатегорией из .

Мультипликативная идентичность не требуется для роли интегральной области; эта конструкция может быть применена к любой ненулевой коммутативной шкале, не имеющей ненулевых делителей нуля . Вложение дается для любого ненулевого значения .

Примеры

  • Поле частных кольца целых чисел является полем рациональных чисел , .
  • Позвольте быть кольцо гауссовских целых чисел . Затем поле гауссовских рациональных чисел .
  • Поле дробей поля канонически изоморфно самому полю.
  • Для данного поля поле дробей кольца многочленов от одного неопределенного (которое является областью целостности) называется полем поле рациональных функций илиполе рациональных дробейи обозначается.

Обобщения

Локализация

Для любого коммутативного кольца и любого мультипликативного множества в , то локализация является коммутативное кольцо , состоящее из фракций

с и , где now эквивалентно тогда и только тогда, когда существует такое, что .

Следует отметить два особых случая этого:

Обратите внимание, что разрешено для содержать 0, но в этом случае будет тривиальное кольцо .

Полуполе фракций

Полуполь фракций одного коммутативным полукольца с не делителями нуля является самым маленьким Полуполевым , в котором он может быть встроен .

Элементами полуполя дробей коммутативного полукольца являются классы эквивалентности, записанные как

с и в .

Смотрите также

использованная литература