Интегральное правило Лейбница - Leibniz integral rule

В исчислении , то интеграл Лейбниц для дифференцирования под знаком интеграла, именем Готфрида Лейбница , утверждает , что для интеграла вида

${\ Displaystyle \ int _ {а (х)} ^ {Ь (х)} е (х, т) \, дт,}$

где производная этого интеграла выражается как ${\ Displaystyle - \ infty <а (х), Ь (х) <\ infty}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt \ right) = f {\ big ( } x, b (x) {\ big)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} b (x) -f {\ big (} x, a (x) {\ big)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} a (x) + \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f (x, t) \, dt,}$

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

где частная производная указывает, что внутри интеграла при взятии производной учитывается только изменение с . Обратите внимание, что если и являются константами, а не функциями от , у нас есть особый случай: ${\ Displaystyle f (х, т)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle а (х)}$${\ displaystyle b (x)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt \ right) = \ int _ {a} ^ {b} { \ frac {\ partial} {\ partial x}} f (x, t) \, dt.}$

Кроме того, если и , что также является обычной ситуацией (например, в доказательстве формулы многократного интегрирования Коши), мы имеем: ${\ Displaystyle а (х) = а}$${\ Displaystyle б (х) = х}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {a} ^ {x} f (x, t) \, dt \ right) = f {\ big (} x, x {\ big)} + \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f (x, t) \, dt,}$

Таким образом, при определенных условиях можно поменять местами интегральные и дифференциальные операторы в частных производных . Этот важный результат особенно полезен при дифференцировании интегральных преобразований . Пример такого является производящей функцией момента в вероятностной теории, вариация преобразования Лапласа , который может быть дифференцирована для генерации моменты из более случайной величины . Применимо ли интегральное правило Лейбница, по сути, вопрос о смене пределов .

Высшие измерения

Интегральное правило Лейбница можно распространить на многомерные интегралы. В двух и трех измерениях это правило более известно из области гидродинамики как теорема переноса Рейнольдса :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {D (t)} F (\ mathbf {x}, t) \, dV = \ int _ {D (t)} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} F (\ mathbf {x}, t) \, dV + \ int _ {\ partial D (t)} F (\ mathbf {x}, t) \ mathbf {v} _ {b } \ cdot d \ mathbf {\ Sigma},}$

где - скалярная функция, D ( t ) и ∂ D ( t ) обозначают изменяющуюся во времени связную область R ^3, а ее граница, соответственно, - эйлерова скорость границы (см. лагранжевые и эйлеровы координаты ) и d Σ = n dS - единичная нормальная составляющая элемента поверхности . ${\ Displaystyle F (\ mathbf {x}, т)}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {b}}$

Общая формулировка интегрального правила Лейбница требует понятий из дифференциальной геометрии , в частности дифференциальных форм , внешних производных , произведений клина и внутренних произведений . С помощью этих инструментов интегральное правило Лейбница в n измерениях будет

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega (t)} \ omega = \ int _ {\ Omega (t)} я _ {\ mathbf {v}} (d_ {x} \ omega) + \ int _ {\ partial \ Omega (t)} i _ {\ mathbf {v}} \ omega + \ int _ {\ Omega (t)} {\ dot {\ omega}},}$

где Ω ( т ) является изменяющимся во время области интегрирования, ω является р -форма, векторное поле скорости, обозначает внутренний продукт с , д _х ω является внешней производной от со по отношению к пространственному переменным только и является производной по времени от ω . ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial t}}}$${\ Displaystyle я _ {\ mathbf {v}}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle {\ dot {\ omega}}}$

Однако все эти тождества можно вывести из самого общего утверждения о производных Ли:

${\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {dt}} \ right | _ {t = 0} \ int _ {\ operatorname {im} _ {\ psi _ {t}} (\ Omega)} \ omega = \ int _ {\ Omega} {\ mathcal {L}} _ {\ Psi} \ omega,}$

Здесь окружающее многообразие, в котором живет дифференциальная форма, включает как пространство, так и время. ${\ displaystyle \ omega}$

• ${\ displaystyle \ Omega}$- область интегрирования (подмногообразие) в данный момент (не зависит от , поскольку его параметризация как подмногообразия определяет его положение во времени),${\ displaystyle t}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$- производная Ли ,
• ${\ displaystyle \ Psi}$- векторное поле пространства-времени, полученное путем добавления унитарного векторного поля в направлении времени к чисто пространственному векторному полю из предыдущих формул (т. е. пространственно-временная скорость ),${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ Omega}$
• ${\ displaystyle \ psi _ {t}}$является диффеоморфизмом из группы одного параметра , генерируемого потока из , и${\ displaystyle \ Psi}$
• ${\ displaystyle {\ text {im}} _ {\ psi _ {t}} (\ Omega)}$это изображение из под таким диффеоморфизмом.${\ displaystyle \ Omega}$

Что примечательно в этой форме, так это то, что она может объяснять случай, когда со временем меняет свою форму и размер, поскольку такие деформации полностью определяются . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Psi}$

Утверждение теории меры

Позвольте быть открытым подмножеством , и быть мерой пространства . Предположим, удовлетворяет следующим условиям: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f \ двоеточие X \ times \ Omega \ to \ mathbf {R}}$

1. ${\ Displaystyle F (х, \ omega)}$является интегрируемой по Лебегу функцией для каждого .${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle x \ in X}$
2. Для почти всех , производная существует для всех .${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle f_ {x}}$${\ displaystyle x \ in X}$
3. Существует такая интегрируемая функция , что для всех и почти каждого .${\ Displaystyle \ theta \ двоеточие \ Omega \ to \ mathbf {R}}$${\ Displaystyle | е_ {х} (х, \ omega) | \ leq \ theta (\ omega)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

Тогда для всех , ${\ displaystyle x \ in X}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ int _ {\ Omega} f (x, \ omega) \, d \ omega = \ int _ {\ Omega} f_ {x} (x, \ omega) \, d \ omega.}$

Доказательство опирается на теорему о доминируемой сходимости и теорему о среднем значении (подробности ниже).

Доказательства

Подтверждение основной формы

Сначала докажем случай постоянных пределов интегрирования a и b .

Мы используем теорему Фубини, чтобы изменить порядок интегрирования. Для любых x и h , таких, что h > 0 и оба x и x + h находятся в пределах [ x ₀ , x ₁ ], мы имеем:

${\ displaystyle \ int _ {x} ^ {x + h} \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt \, dx = \ int _ {a} ^ {b } \ int _ {x} ^ {x + h} f_ {x} (x, t) \, dx \, dt = \ int _ {a} ^ {b} \ left (f (x + h, t) -f (x, t) \ right) \, dt = \ int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) \, dt- \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt}$

Обратите внимание, что рассматриваемые интегралы определены корректно, поскольку они непрерывны в замкнутом прямоугольнике и, следовательно, также равномерно непрерывны там; таким образом, его интегралы по dt или dx непрерывны по другой переменной, а также интегрируются по ней (в основном это потому, что для равномерно непрерывных функций можно перейти через знак интегрирования, как описано ниже). ${\ displaystyle f_ {x} (x, t)}$${\ displaystyle [x_ {0}, x_ {1}] \ times [a, b]}$

Следовательно:

${\ displaystyle {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) \, dt- \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt} { h}} = {\ frac {1} {h}} \ int _ {x} ^ {x + h} \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt \, dx = {\ frac {F (x + h) -F (x)} {h}}}$

Где мы определили:

${\ Displaystyle F (и) \ Equiv \ int _ {x_ {0}} ^ {u} \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt \, dx}$

(мы можем заменить x ₀ здесь любой другой точкой между x ₀ и x )

F дифференцируема с производной , поэтому мы можем выбрать предел, когда h стремится к нулю. Для левой стороны этот предел составляет: ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt}$

Для правой части получаем:

${\ displaystyle F '(x) = \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt}$

И тем самым доказываем желаемый результат:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt = \ int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) \, dt}$

Другое доказательство, использующее теорему об ограниченной сходимости

Если рассматриваемые интегралы являются интегралами Лебега , мы можем использовать теорему об ограниченной сходимости (справедливую для этих интегралов, но не для интегралов Римана ), чтобы показать, что предел может быть пройден через знак интеграла.

Заметим, что это доказательство слабее в том смысле, что оно показывает только интегрируемость f _x ( x , t ) по Лебегу, но не то, что она интегрируема по Риману. В первом (более сильном) доказательстве, если f ( x , t ) интегрируема по Риману, то также и f _x ( x , t ) (а значит, очевидно, также интегрируема по Лебегу).

Позволять

${\ displaystyle u (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt.}$

( 1 )

По определению производной

${\ displaystyle u '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {u (x + h) -u (x)} {h}}.}$

( 2 )

Подставьте уравнение ( 1 ) в уравнение ( 2 ). Разность двух интегралов равна интегралу разности, а 1 / h - постоянная величина, поэтому

${\ displaystyle {\ begin {align} u '(x) & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) \, dt - \ int _ {a} ^ {b} f (x, t) \, dt} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ int _ {a} ^ { b} \ left (f (x + h, t) -f (x, t) \ right) \, dt} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ to 0} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x + h, t) -f (x, t)} {h}} \, dt. \ end {выравнивается}}}$

Покажем теперь, что предел можно перейти через знак интеграла.

Мы утверждаем, что переход к пределу под знаком интеграла выполняется по теореме об ограниченной сходимости (следствие теоремы о мажорируемой сходимости ). Для каждого δ > 0 рассмотрим разностный фактор

${\ displaystyle f _ {\ delta} (x, t) = {\ frac {f (x + \ delta, t) -f (x, t)} {\ delta}}.}$

При фиксированном t из теоремы о среднем следует, что существует z в интервале [ x , x + δ ] такое, что

${\ displaystyle f _ {\ delta} (x, t) = f_ {x} (z, t).}$

Непрерывность f _x ( x , t ) и компактность области вместе означают, что f _x ( x , t ) ограничена. Таким образом, приведенное выше применение теоремы о среднем дает равномерную (не зависящую от ) оценку . Разностные отношения поточечно сходятся к частной производной f _x в предположении, что частная производная существует. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle f _ {\ delta} (х, т)}$

Приведенное выше рассуждение показывает, что для любой последовательности { δ _n } → 0 последовательность равномерно ограничена и поточечно сходится к f _x . Теорема об ограниченной сходимости утверждает, что если последовательность функций на множестве конечной меры равномерно ограничена и сходится поточечно, то переход предела под интегралом допустим. В частности, для каждой последовательности { δ _n } → 0 можно поменять местами предел и интеграл. Следовательно, предел при δ → 0 может быть пропущен через знак интеграла. ${\ Displaystyle \ {е _ {\ дельта _ {п}} (х, т) \}}$

Форма переменных ограничений

Для непрерывной действительной функции g одной действительной переменной и действительных дифференцируемых функций и одной действительной переменной ${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt \ right) = g \ left (f_ {2} (x) \ right) {f_ {2} '(x)} - g \ left (f_ {1} (x) \ right) {f_ {1}' (x)}.}$

Это следует из цепного правила и Первой основной теоремы исчисления . Определять

${\ Displaystyle G (x) = \ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt,}$

а также

${\ Displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {x} g (t) \, dt.}$ (Нижний предел просто должен быть некоторым числом в домене )${\ displaystyle g}$

Тогда, может быть записана в виде композиции : . Тогда цепное правило подразумевает, что ${\ Displaystyle G (х)}$${\ Displaystyle G (x) = (\ Gamma \ circ f_ {2}) (x) - (\ Gamma \ circ f_ {1}) (x)}$

${\ Displaystyle G '(x) = \ Gamma' \ left (f_ {2} (x) \ right) f_ {2} '(x) - \ Gamma' \ left (f_ {1} (x) \ right) f_ {1} '(x).}$

К первому основному Лейбницу , . Следовательно, подставив этот результат выше, мы получим искомое уравнение: ${\ Displaystyle \ Gamma '(х) = г (х)}$

${\ displaystyle G '(x) = g \ left (f_ {2} (x) \ right) {f_ {2}' (x)} - g \ left (f_ {1} (x) \ right) {f_ {1} '(x)}.}$

Примечание. Эта форма может быть особенно полезной, если дифференцируемое выражение имеет форму:

${\ displaystyle \ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} h (x) g (t) \, dt}$

Поскольку не зависит от пределов интеграции, он может быть исключен из-под знака интеграла, и указанная выше форма может использоваться с правилом продукта , т. Е. ${\ Displaystyle ч (х)}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} h (x) g (t) \, dt \ right) = {\ frac {d} {dx}} \ left (h (x) \ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt \ справа) = h '(x) \ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt + h (x) {\ frac {d} {dx }} \ left (\ int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) \, dt \ right)}$

Общая форма с переменными пределами

Установленный

${\ Displaystyle \ varphi (\ альфа) = \ int _ {a} ^ {b} е (х, \ альфа) \, dx,}$

где и б являются функциями альфа , что приращения Д проявляют к и А б , соответственно, когда α увеличивается на Д & alpha ; . Потом,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ varphi & = \ varphi (\ alpha + \ Delta \ alpha) - \ varphi (\ alpha) \\ [4pt] & = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [4pt] & = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \ , dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [4pt] & = - \ int _ {a} ^ {a + \ Delta a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} [f ( x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx . \ end {выровнено}}}$

Форма по теореме о среднем значении , где < ξ < б , может быть применен к первым и последним интегралам формулы для Δ ф выше, в результате чего ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) \, dx = (ба) е (\ xi)}$

${\ Displaystyle \ Delta \ varphi = - \ Delta af (\ xi _ {1}, \ alpha + \ Delta \ alpha) + \ int _ {a} ^ {b} [f (x, \ alpha + \ Delta \ альфа) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ Delta bf (\ xi _ {2}, \ alpha + \ Delta \ alpha).}$

Разделим на Δ α и пусть Δ α → 0. Заметим, что ξ ₁ → a и ξ ₂ → b . Предел можно пройти через знак интеграла:

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta \ alpha \ to 0} \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)} {\ Delta \ alpha}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} f (x, \ alpha) \, dx,}$

снова по теореме об ограниченной сходимости. Это дает общую форму интегрального правила Лейбница:

${\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} f (x, \ alpha) \ , dx + f (b, \ alpha) {\ frac {db} {d \ alpha}} - f (a, \ alpha) {\ frac {da} {d \ alpha}}.}.$

Альтернативное доказательство общей формы с переменными пределами, используя цепное правило

Общая форма интегрального правила Лейбница с переменными пределами может быть получена как следствие основной формы интегрального правила Лейбница, правила многомерной цепочки и Первой фундаментальной теоремы исчисления . Допустим , определен прямоугольник на плоскости, для и . Кроме того, предположение и частная производная являются непрерывными функциями на этом прямоугольнике. Предположим, что существуют дифференцируемые вещественнозначные функции, определенные на , со значениями в (т.е. для каждого ). Теперь установите ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle xt}$${\ Displaystyle х \ в [х_ {1}, х_ {2}]}$${\ Displaystyle т \ ин [т_ {1}, т_ {2}]}$${\ displaystyle f}$${\ textstyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}$${\ displaystyle a, b}$${\ Displaystyle [х_ {1}, х_ {2}]}$${\ Displaystyle [т_ {1}, т_ {2}]}$${\ displaystyle x \ in [x_ {1}, x_ {2}], a (x), b (x) \ in [t_ {1}, t_ {2}]}$

${\ Displaystyle F (x, y) = \ int _ {t_ {1}} ^ {y} f (x, t) \, dt,}$   для и ${\ Displaystyle х \ в [х_ {1}, х_ {2}]}$${\ Displaystyle у \ в [т_ {1}, т_ {2}]}$

а также

${\ Displaystyle G (x) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,}$   для ${\ Displaystyle х \ в [х_ {1}, х_ {2}]}$

Тогда по свойствам определенных интегралов мы можем написать

${\ Displaystyle {\ begin {align} G (x) & = \ int _ {t_ {1}} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt- \ int _ {t_ {1}} ^ {a (x)} f (x, t) \, dt \\ [4pt] & = F (x, b (x)) - F (x, a (x)) \ end {выровнено}}}$

Поскольку все функции дифференцируемы (см. Замечание в конце доказательства), по правилу цепочки многих переменных следует, что функция дифференцируема, а ее производная задается формулой: ${\ displaystyle F, a, b}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle G '(x) = \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial x}} (x, b (x)) + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} ( x, b (x)) b '(x) \ right) - \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial x}} (x, a (x)) + {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (x, a (x)) a '(x) \ right)}$  

Теперь обратите внимание, что для каждого и для каждого мы имеем это , потому что , беря частную производную по от , мы сохраняем фиксированное значение в выражении ; таким образом, применяется основная форма интегрального правила Лейбница с постоянными пределами интегрирования. Далее, согласно Первой фундаментальной теореме исчисления , мы имеем это ; потому что при взятии частной производной по от первая переменная фиксирована, поэтому основная теорема действительно может быть применена. ${\ Displaystyle х \ в [х_ {1}, х_ {2}]}$${\ Displaystyle у \ в [т_ {1}, т_ {2}]}$${\ textstyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} (x, y) = \ int _ {t_ {1}} ^ {y} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (х, t) \, dt}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle y}$${\ textstyle \ int _ {t_ {1}} ^ {y} f (x, t) \, dt}$${\ textstyle {\ dfrac {\ partial F} {\ partial y}} (x, y) = f (x, y)}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$

Подстановка этих результатов в уравнение для выше дает: ${\ Displaystyle G '(х)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} G '(x) & = \ left (\ int _ {t_ {1}} ^ {b (x)} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} ( x, t) \, dt + f (x, b (x)) b '(x) \ right) - \ left (\ int _ {t_ {1}} ^ {a (x)} {\ dfrac {\ частичное f} {\ partial x}} (x, t) \, dt + f (x, a (x)) a '(x) \ right) \\ [2pt] & = f (x, b (x) ) b '(x) -f (x, a (x)) a' (x) + \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} {\ frac {\ partial f} {\ partial x }} (х, т) \, дт, \ конец {выровнено}}}$

по желанию.

В приведенном выше доказательстве есть технический момент, который стоит отметить: применение правила цепочки требует, чтобы оно уже было дифференцируемым . Здесь мы используем наши предположения о . Как упоминалось выше, частные производные от задаются формулами и . Поскольку он непрерывен, его интеграл также является непрерывной функцией, а поскольку он также непрерывен, эти два результата показывают, что обе частные производные от непрерывны. Поскольку непрерывность частных производных подразумевает дифференцируемость функции, действительно дифференцируема. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ textstyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} (x, y) = \ int _ {t_ {1}} ^ {y} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (х, t) \, dt}$${\ textstyle {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} (x, y) = f (x, y)}$${\ textstyle {\ dfrac {\ partial f} {\ partial x}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$

Трехмерная форма, зависящая от времени

В момент времени t поверхность Σ на рисунке 1 содержит набор точек, расположенных вокруг центра тяжести . Функцию можно записать как ${\ Displaystyle \ mathbf {C} (т)}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, т)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {r} - \ mathbf {C} (t), t) = \ mathbf {F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {I}, t),}$

с не зависящей от времени. Переменные перемещаются в новую систему отсчета, прикрепленную к движущейся поверхности, с началом координат в . Для жестко перемещающейся поверхности пределы интегрирования не зависят от времени, поэтому: ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ Displaystyle \ mathbf {C} (т)}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ iint _ {\ Sigma (t)} d \ mathbf {A} _ {\ mathbf {r}} \ cdot \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t) \ right) = \ iint _ {\ Sigma} d \ mathbf {A} _ {\ mathbf {I}} \ cdot {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {I}, t),}$

где пределы интегрирования, ограничивающие интеграл областью Σ, больше не зависят от времени, поэтому дифференцирование проходит через интегрирование, чтобы воздействовать только на подынтегральное выражение:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {I}, t) = \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf { C} (t) + \ mathbf {I}, t) + \ mathbf {v \ cdot \ nabla F} (\ mathbf {C} (t) + \ mathbf {I}, t) = \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf {r}, t) + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t),}$

со скоростью движения поверхности, определяемой

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {C} (t).}$

Это уравнение выражает материальную производную поля, то есть производную относительно системы координат, прикрепленной к движущейся поверхности. Найдя производную, переменные можно переключить обратно в исходную систему отсчета. Мы замечаем, что (см. Статью о завитке )

${\ displaystyle \ nabla \ times \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {F} \ right) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} + \ mathbf {F} \ cdot \ nabla) \ mathbf { v} - (\ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {F},}$

и что теорема Стокса приравнивает поверхностный интеграл ротора по Σ к линейному интегралу по ∂Σ:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (\ iint _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t) \ cdot d \ mathbf {A} \ right ) = \ iint _ {\ Sigma (t)} {\ big (} \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf {r}, t) + \ left (\ mathbf {F \ cdot \ nabla} \ right ) \ mathbf {v} + \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathbf {v} - (\ nabla \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {F} {\ big)} \ cdot d \ mathbf {A} - \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {F} \ right) \ cdot d \ mathbf {s}.}$

Знак линейного интеграла основывается на правиле выбора направления линейного элемента d s . Чтобы установить этот знак, например, предположим, что поле F указывает в положительном направлении z , а поверхность Σ является частью плоскости xy с периметром ∂Σ. Примем нормаль к Σ, чтобы она находилась в положительном направлении z . Тогда положительный обход ∂Σ осуществляется против часовой стрелки (правило правой руки с большим пальцем вдоль оси z ). Тогда интеграл в левой части определяет положительный поток F через Σ. Предположим, что Σ перемещается в положительном направлении оси x со скоростью v . Элемент границы Σ, параллельный оси y , скажем, d s , выметает область v t × d s за время t . Если мы проинтегрируем вокруг границы ∂Σ против часовой стрелки, v t × d s будет указывать в отрицательном z- направлении слева от ∂Σ (где d s направлен вниз) и в положительном z- направлении справа. сторона ∂Σ (где d s указывает вверх), что имеет смысл, потому что Σ движется вправо, добавляя область справа и теряя ее слева. Исходя из этого, поток F увеличивается справа от ∂Σ и уменьшается слева. Однако скалярное произведение v × F ⋅ d s = - F × v ⋅ d s = - F ⋅ v × d s . Следовательно, знак линейного интеграла принимается отрицательным.

Если v - константа,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma (t)} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, t) \ cdot d \ mathbf {A} = \ iint _ { \ Sigma (t)} {\ big (} \ mathbf {F} _ {t} (\ mathbf {r}, t) + \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {F} \ right) \ mathbf {v} {\ big)} \ cdot d \ mathbf {A} - \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {F} \ right) \ cdot \, d \ mathbf {s},}$

что и есть процитированный результат. Это доказательство не учитывает возможность деформации поверхности при движении.

Альтернативное происхождение

Лемма. Надо:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial b}} \ left (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) = f (b), \ qquad {\ frac {\ partial} {\ partial a}} \ left (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) = - f (a).}$

Доказательство. Из доказательства основной теоремы исчисления ,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial b}} \ left (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) & = \ lim _ {\ Delta b \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta b}} \ left [\ int _ {a} ^ {b + \ Delta b} f (x) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right] \\ [6pt] & = \ lim _ {\ Delta b \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta b}} \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x) \, dx \\ [6pt] & = \ lim _ {\ Delta b \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta b}} \ left [f (b ) \ Delta b + O \ left (\ Delta b ^ {2} \ right) \ right] \\ [6pt] & = f (b), \ end {align}}}$

а также

${\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial a}} \ left (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) & = \ lim _ {\ Delta a \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta a}} \ left [\ int _ {a + \ Delta a} ^ {b} f (x) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right] \\ [6pt] & = \ lim _ {\ Delta a \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta a}} \ int _ {a + \ Дельта a} ^ {a} f (x) \, dx \\ [6pt] & = \ lim _ {\ Delta a \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta a}} \ left [-f ( a) \ Delta a + O \ left (\ Delta a ^ {2} \ right) \ right] \\ [6pt] & = - f (a). \ end {align}}}$

Предположим, что a и b постоянны, и что f ( x ) включает параметр α, который постоянен при интегрировании, но может изменяться для образования разных интегралов. Предположим, что f ( x , α ) является непрерывной функцией x и α в компакте {( x , α ): α ₀ ≤ α ≤ α ₁ и a ≤ x ≤ b }, и что частная производная f _α ( x , α ) существует и непрерывно. Если определить:

${\ Displaystyle \ varphi (\ альфа) = \ int _ {a} ^ {b} е (х, \ альфа) \, dx,}$

то можно дифференцировать по α , дифференцируя под знаком интеграла, т. е. ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} f (x, \ alpha) \ , dx.}$

По теореме Гейне – Кантора он равномерно непрерывен в этом множестве. Другими словами, для любого ε > 0 существует Δ α такое, что для всех значений x в [ a , b ],

${\ Displaystyle | е (х, \ альфа + \ дельта \ альфа) -f (х, \ альфа) | <\ varepsilon.}$

С другой стороны,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ varphi & = \ varphi (\ alpha + \ Delta \ alpha) - \ varphi (\ alpha) \\ [6pt] & = \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [6pt] & = \ int _ {a} ^ {b} \ left (f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha) \ right) \, dx \\ [6pt] & \ leq \ varepsilon (ba). \ end {выровнено }}}$

Следовательно, φ ( α ) - непрерывная функция.

Аналогично, если существует и непрерывно, то для любого ε > 0 существует ∆ α такое, что: ${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial \ alpha}} е (х, \ альфа)}$

${\ displaystyle \ forall x \ in [a, b], \ quad \ left | {\ frac {f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)} {\ Delta \ alpha} } - {\ frac {\ partial f} {\ partial \ alpha}} \ right | <\ varepsilon.}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ varphi} {\ Delta \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x , \ alpha)} {\ Delta \ alpha}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial f (x, \ alpha)} {\ partial \ alpha}} \, dx + R,}$

куда

${\ displaystyle | R | <\ int _ {a} ^ {b} \ varepsilon \, dx = \ varepsilon (ba).}$

Теперь ε → 0 при ∆ α → 0, поэтому

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta \ alpha} \ to 0} {\ frac {\ Delta \ varphi} {\ Delta \ alpha}} = {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} f (x, \ alpha) \, dx.}$

Это формула, которую мы намеревались доказать.

Теперь предположим

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х, \ альфа) \, dx = \ varphi (\ alpha),}$

где a и b - функции от α, которые принимают приращения Δ a и Δ b соответственно, когда α увеличивается на Δ α . Потом,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta \ varphi & = \ varphi (\ alpha + \ Delta \ alpha) - \ varphi (\ alpha) \\ [6pt] & = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [6pt] & = \ int _ {a + \ Delta a} ^ {a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \ , dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx- \ int _ {a} ^ {b} f (x, \ alpha) \, dx \\ [6pt] & = - \ int _ {a} ^ {a + \ Delta a} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx + \ int _ {a} ^ {b} [f ( x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ int _ {b} ^ {b + \ Delta b} f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) \, dx . \ end {выровнено}}}$

Форма теоремы о среднем значении , где a < ξ < b , может быть применена к первому и последнему интегралам формулы для Δ φ, приведенной выше, в результате чего ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = (ba) f (\ xi),}$

${\ Displaystyle \ Delta \ varphi = - \ Delta a \, f (\ xi _ {1}, \ alpha + \ Delta \ alpha) + \ int _ {a} ^ {b} [f (x, \ alpha + \ Delta \ alpha) -f (x, \ alpha)] \, dx + \ Delta b \, f (\ xi _ {2}, \ alpha + \ Delta \ alpha).}$

Разделив на Δ α , положив Δ α → 0, заметив ξ ₁ → a и ξ ₂ → b и используя приведенный выше вывод для

${\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} f (x, \ alpha) \ , dx}$

дает

${\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {d \ alpha}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} f (x, \ alpha) \ , dx + f (b, \ alpha) {\ frac {\ partial b} {\ partial \ alpha}} - f (a, \ alpha) {\ frac {\ partial a} {\ partial \ alpha}}.}$

Это общая форма интегрального правила Лейбница.

Примеры

Пример 1: фиксированные лимиты

Рассмотрим функцию

${\ displaystyle \ varphi (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ alpha} {x ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \, dx.}$

Функция под знаком интеграла не является непрерывной в точке ( x , α ) = (0, 0), а функция φ ( α ) имеет разрыв при α = 0, поскольку φ ( α ) стремится к ± π / 2 при α → 0 ^± .

Если продифференцировать φ ( α ) по α под знаком интеграла, получим

${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ alpha}} \ varphi (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} \ left ({ \ frac {\ alpha} {x ^ {2} + \ alpha ^ {2}}} \ right) \, dx = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} - \ alpha ^ {2}} {(x ^ {2} + \ alpha ^ {2}) ^ {2}}} dx = \ left .- {\ frac {x} {x ^ {2} + \ alpha ^ {2 }}} \ right | _ {0} ^ {1} = - {\ frac {1} {1+ \ alpha ^ {2}}},}$

что, конечно, верно для всех значений α, кроме α = 0. Это может быть проинтегрировано (относительно α ), чтобы найти

${\ displaystyle \ varphi (\ alpha) = {\ begin {case} 0, & \ alpha = 0, \\ - \ arctan ({\ alpha}) + {\ frac {\ pi} {2}}, & \ альфа \ neq 0. \ end {case}}}$

Пример 2: Пределы переменных

Пример с переменными пределами:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} \ int _ {\ sin x} ^ {\ cos x} \ cosh t ^ {2} \, dt & = \ cosh \ left (\ cos ^ {2} x \ right) {\ frac {d} {dx}} (\ cos x) - \ cosh \ left (\ sin ^ {2} x \ right) {\ frac {d} {dx}} (\ sin x) + \ int _ {\ sin x} ^ {\ cos x} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (\ ch t ^ {2}) \, dt \\ [6pt] & = \ cosh (\ cos ^ {2} x) (- \ sin x) - \ cosh (\ sin ^ {2} x) (\ cos x) +0 \\ [6pt] & = - \ cosh (\ cos ^ {2} x) \ sin x- \ cosh (\ sin ^ {2} x) \ cos x. \ end {align}}}$

Приложения

Вычисление определенных интегралов

Формула

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt \ right) = f {\ big ( } x, b (x) {\ big)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} b (x) -f {\ big (} x, a (x) {\ big)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} a (x) + \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f (x, t) \, dt}$

может быть полезен при вычислении определенных интегралов. При использовании в этом контексте интегральное правило Лейбница для дифференцирования под знаком интеграла также известно как трюк Фейнмана для интегрирования.

Пример 4

${\ displaystyle \ mathbf {I} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {(a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x) ^ { 2}}} \, dx, \ qquad a, b> 0.}$

Сначала рассчитываем:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {J} & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ { 2} x}} dx \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} {a + b { \ frac {\ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x}}}} dx \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sec ^ {2} x} {a + b \ tan ^ {2} x}} dx \\ [6pt] & = {\ frac {1} {b}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ left ({\ sqrt {\ frac {a} {b}}} \ right) ^ {2} + \ tan ^ {2} x}} \, d (\ tan x) \ \ [6pt] & = {\ frac {1} {\ sqrt {ab}}} \ arctan \ left ({\ sqrt {\ frac {b} {a}}} \ tan x \ right) {\ Bigg |} _ {0} ^ {\ pi / 2} \\ [6pt] & = {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {ab}}}}. \ End {align}}}$

Независимо от границ интеграции , мы имеем: ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {J}} {\ partial a}} = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ cos ^ {2} x} {\ влево (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x \ right) ^ {2}}} \, dx}$

С другой стороны:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {J}} {\ partial a}} = {\ frac {\ partial} {\ partial a}} \ left ({\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {ab}}}} \ right) = - {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {a ^ {3} b}}}}.}.$

Приравнивая эти два соотношения, получаем

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ cos ^ {2} x} {\ left (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x \ справа) ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {a ^ {3} b}}}}.}.$

Аналогичным образом, стремление к урожайности ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {J}} {\ partial b}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin ^ {2} x} {\ left (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x \ справа) ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {ab ^ {3}}}}}.}.$

Затем сложение двух результатов дает

${\ displaystyle \ mathbf {I} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ left (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ {2} x \ справа) ^ {2}}} \, dx = {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {ab}}}} \ left ({\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {яркий),}$

который вычисляет по желанию. ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

Этот вывод можно обобщить. Обратите внимание, что если мы определим

${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {n} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ left (a \ cos ^ {2} x + b \ sin ^ { 2} x \ right) ^ {n}}} \, dx,}$

легко показать, что

${\ displaystyle (1-n) \ mathbf {I} _ {n} = {\ frac {\ partial \ mathbf {I} _ {n-1}} {\ partial a}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {I} _ {n-1}} {\ partial b}}}$

Учитывая , что эта формула интегральной редукции может использоваться для вычисления всех значений для . Интегралы, подобные и, также могут обрабатываться с помощью подстановки Вейерштрасса . ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {n}}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$

Пример 5

Здесь мы рассматриваем интеграл

${\ displaystyle \ mathbf {I} (\ alpha) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ ln (1+ \ cos \ alpha \ cos x)} {\ cos x}} \, dx, \ qquad 0 <\ alpha <\ pi.}$

Дифференцируя под интегралом по , имеем ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {d \ alpha}} \ mathbf {I} (\ alpha) & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} \ left ({\ frac {\ ln (1+ \ cos \ alpha \ cos x)} {\ cos x}} \ right) \, dx \\ [6pt] & = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin \ alpha} {1+ \ cos \ alpha \ cos x}} \, dx \\ & = - \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} {\ frac {\ sin \ alpha} {\ left (\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}} + \ sin ^ {2} {\ frac {x} {2}) } \ right) + \ cos \ alpha \ left (\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}} - \ sin ^ {2} {\ frac {x} {2}} \ right)}} \, dx \\ [6pt] & = - {\ frac {\ sin \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cos ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} {\ frac {1} {{\ frac {1+ \ cos \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} + \ tan ^ {2 } {\ frac {x} {2}}}} \, dx \\ [6pt] & = - {\ frac {2 \ sin \ alpha} {1- \ cos \ alpha}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ frac {1} {2}} \ sec ^ {2} {\ frac {x} {2}}} {{\ frac {2 \ cos ^ {2} { \ frac {\ alpha} {2}}} {2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}}}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}} } \, dx \\ [6pt] & = - {\ frac {2 \ left (2 \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) } {2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}}}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cot ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} \, d \ left (\ tan {\ frac {x} {2 }} \ right) \\ [6pt] & = - 2 \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {1} {\ cot ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}} + \ tan ^ {2} {\ frac {x} {2}}}} \, d \ left (\ tan {\ frac {x} {2} } \ right) \\ [6pt] & = - 2 \ arctan \ left (\ tan {\ frac {\ alpha} {2}} \ tan {\ frac {x} {2}} \ right) {\ bigg | } _ {0} ^ {\ pi / 2} \\ [6pt] & = - \ alpha. \ End {выравнивается}}}$

Следовательно:

${\ displaystyle \ mathbf {I} (\ alpha) = C - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {2}}.}$

Но по определению так и ${\ textstyle \ mathbf {I} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 0}$${\ textstyle C = {\ гидроразрыва {\ pi ^ {2}} {8}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {I} (\ alpha) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {2}}.}$

Пример 6

Здесь мы рассматриваем интеграл

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {\ cos \ theta} \ cos (\ sin \ theta) \, d \ theta.}$

Введем новую переменную φ и перепишем интеграл в виде

${\ Displaystyle е (\ varphi) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} е ^ {\ varphi \ cos \ theta} \ cos (\ varphi \ sin \ theta) \, d \ theta.}$

Когда φ = 1, это равно исходному интегралу. Однако этот более общий интеграл можно дифференцировать по : ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {df} {d \ varphi}} & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} \ left (e ^ {\ varphi \ cos \ theta} \ cos (\ varphi \ sin \ theta) \ right) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {\ varphi \ cos \ theta} \ left (\ cos \ theta \ cos (\ varphi \ sin \ theta) - \ sin \ theta \ sin (\ varphi \ sin \ theta) \ right) \, d \ theta. \ конец {выровнено}}}$

Теперь зафиксируем φ и рассмотрим векторное поле на, определенное с помощью . Кроме того, выбирают положительную ориентированную параметризацию единичной окружности , заданной , , так что . Тогда последний интеграл выше в точности равен ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} (x, y) = (F_ {1} (x, y), F_ {2} (x, y)): = (e ^ {\ varphi x} \ sin (\ varphi) y), e ^ {\ varphi x} \ cos (\ varphi y))}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ двоеточие [0,2 \ pi) \ to \ mathbf {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {г} (\ тета): = (\ соз \ тета, \ грех \ тета)}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} '(t) = (- \ грех \ тета, \ соз \ тета)}$

линейный интеграл более . По теореме Грина это равно двойному интегралу ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

${\ displaystyle \ iint _ {D} {\ frac {\ partial F_ {2}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial F_ {1}} {\ partial y}} \, dA,}$

где - замкнутый

единичный диск . Его подынтегральное выражение тождественно равно нулю , поэтому оно равно тождественно нулю. Отсюда следует, что f ( φ ) постоянна. Константа может быть определена путем оценки по : ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle df / d \ varphi}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ varphi = 0}$

${\ displaystyle f (0) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} 1 \, d \ theta = 2 \ pi.}$

Следовательно, исходный интеграл также равен . ${\ displaystyle 2 \ pi}$

Другие проблемы, требующие решения

Существует бесчисленное множество других интегралов, которые можно решить, используя технику дифференцирования под знаком интеграла. Например, в каждом из следующих случаев исходный интеграл может быть заменен аналогичным интегралом с новым параметром : ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx & \ to \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha x} {\ frac {\ sin x} {x}} dx, \\ [6pt] \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {x} {\ tan x}} \, dx & \ to \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ tan ^ {- 1} (\ alpha \ tan x)} {\ tan x}} dx, \\ [6pt] \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln (1 + x ^ {2})} {1 + x ^ {2}}} \, dx & \ to \ int _ {0} ^ { \ infty} {\ frac {\ ln (1+ \ alpha ^ {2} x ^ {2})} {1 + x ^ {2}}} dx \\ [6pt] \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {x-1} {\ ln x}} \, dx & \ to \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {\ alpha} -1} {\ ln x}} dx . \ end {выровнено}}}$

Первый интеграл, интеграл Дирихле , сходится абсолютно при положительном α, но условно сходится только при . Следовательно, дифференцирование под знаком интеграла легко обосновать, когда , но доказать, что полученная формула остается верной, когда требуется некоторая тщательная работа. ${\ Displaystyle \ альфа = 0}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ Displaystyle \ альфа = 0}$

Бесконечная серия

Теоретико-мерная версия дифференцирования под знаком интеграла также применяется к суммированию (конечному или бесконечному), интерпретируя суммирование как счетную меру . Примером приложения является тот факт, что степенные ряды дифференцируемы по радиусу сходимости.

В популярной культуре

Дифференциация под знаком интеграла упоминается в самых продаваемых мемуарах покойного физика Ричарда Фейнмана « Конечно, вы шутите, мистер Фейнман!». в главе «Другой ящик с инструментами». Он описывает, как научился этому в средней школе по старому тексту « Advanced Calculus» (1926) Фредерика С. Вудса (профессора математики в Массачусетском технологическом институте ). Этой технике нечасто обучали, когда Фейнман позже получил формальное образование в области математики , но, используя эту технику, Фейнман смог решить сложные в других отношениях проблемы интеграции по прибытии в аспирантуру Принстонского университета :

Единственное, чему я так и не научился, - это интеграция контуров . Я научился делать интегралы различными методами, показанными в книге, которую дал мне мой школьный учитель физики г-н Бадер. Однажды он сказал мне остаться после уроков. «Фейнман, - сказал он, - ты слишком много говоришь и слишком шумишь. Я знаю, почему. Тебе скучно. Так что я дам тебе книгу. Иди туда, в дальний угол, в угол. , и изучите эту книгу, и когда вы узнаете все, что в этой книге, вы снова сможете говорить ». Поэтому на каждом уроке физики я не обращал внимания на то, что происходило с законом Паскаля, или на то, что они делали. Я был сзади с этой книгой: «Продвинутый расчет» Вудса. Бейдер знал, что я немного изучил «Исчисление для практиков» , поэтому он дал мне настоящие работы - это были для младших или старших курсов в колледже. В нем были ряды Фурье , функции Бесселя , детерминанты , эллиптические функции - всевозможные замечательные вещи, о которых я ничего не знал. В этой книге также было показано, как различать параметры под знаком интеграла - это определенная операция. Оказывается, в университетах этому не очень много учат; они не подчеркивают это. Но я понял, как использовать этот метод, и использовал этот проклятый инструмент снова и снова. Так как я был самоучкой, использующей эту книгу, у меня были своеобразные методы построения интегралов. В результате у ребят из Массачусетского технологического института или Принстона возникли проблемы с выполнением определенного интеграла, потому что они не могли сделать это стандартными методами, которым они научились в школе. Если бы это была контурная интеграция, они бы ее нашли; если бы это было простое расширение серии, они бы его нашли. Затем я прихожу и пытаюсь дифференцировать под знаком интеграла, и часто это помогало. Так что я получил отличную репутацию в области создания интегралов только потому, что мой набор инструментов отличался от всех остальных, и они испробовали на нем все свои инструменты, прежде чем дать мне задачу.

Смотрите также

• Правило цепи
• Дифференцирование интегралов
• Правило Лейбница (обобщенное правило произведения)
• Транспортная теорема Рейнольдса , обобщение правила Лейбница

использованная литература

дальнейшее чтение

• Амазиго, Джон С.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Единичные интегралы: правило Лейбница; численное интегрирование» . Расширенное исчисление и его приложения в инженерии и физических науках . Нью-Йорк: Вили. С.  155–165 . ISBN 0-471-04934-4.
• Каплан, Уилфред (1973). «Интегралы, зависящие от параметра - правило Лейбница». Advanced Calculus (2-е изд.). Читает: Эддисон-Уэсли. С. 285–288.

внешние ссылки

• Харрон, Роб. «Правило Лейбница» (PDF) .