Производная Ли - Lie derivative

В дифференциальной геометрии , то производная Ли / л я / , названный в честь Софуса Ли по Уидисо Слбодзински , оценивает изменение в поле тензора ( в том числе скалярных функций, векторных полей и один-форм ), вдоль потока , определяемого другим векторным полем. Это изменение координатно инвариантно, поэтому производная Ли определена на любом дифференцируемом многообразии .

Функции, тензорные поля и формы можно дифференцировать относительно векторного поля. Если Т является полем тензора и Х представляет собой векторное поле, то производная Ли Т по отношению к X обозначается . Дифференциальный оператор является дифференцированием алгебры тензорных полей нижележащего коллектора.

Производная Ли коммутирует со сжатием и внешней производной на дифференциальных формах .

Хотя в дифференциальной геометрии существует множество концепций взятия производной, все они согласны, когда дифференцируемое выражение является функцией или скалярным полем . Таким образом, в этом случае слово «ложь» опускается, и мы просто говорим о производной функции.

Производная Ли векторного поля Y относительно другого векторного поля X известна как « скобка Ли » для X и Y и часто обозначается [ X , Y ] вместо . Пространство векторных полей образует алгебру Ли относительно этой скобки Ли. Производная Ли составляет бесконечномерное представление алгебры Ли этой алгебры Ли благодаря тождеству

действительны для любых векторных полей X и Y и любого тензорного поля Т .

Рассматривая векторные поля как бесконечно малые генераторы из потоков (т.е. одномерной группы из диффеоморфизмов ) на М , производная Ли является дифференциальной из представления группы диффеоморфизмов на тензорных полей, аналогичная алгебру представления , как бесконечно малые представления , связанные с групповым представлением в Теория групп Ли .

Обобщения существуют для спинорных полей, расслоений со связностью и векторнозначных дифференциальных форм .

Мотивация

«Наивная» попытка определить производную тензорного поля по отношению к векторному полю будет заключаться в том, чтобы взять компоненты тензорного поля и взять производную по направлению каждой компоненты по отношению к векторному полю. Однако это определение нежелательно, потому что оно не инвариантно при изменении системы координат , например, наивная производная, выраженная в полярных или сферических координатах, отличается от наивной производной компонентов в декартовых координатах . На абстрактном многообразии такое определение бессмысленно и плохо определено. В дифференциальной геометрии есть три основных координатно-независимых понятия дифференцирования тензорных полей: производные Ли, производные по связям и внешняя производная полностью антисимметричных (ковариантных) тензоров или дифференциальных форм . Основное различие между производной Ли и производной по отношению к связи состоит в том, что последняя производная тензорного поля по касательному вектору хорошо определена, даже если не указано, как продолжить этот касательный вектор до векторного поля. . Однако связь требует выбора дополнительной геометрической структуры (например, римановой метрики или просто абстрактной связности ) на многообразии. Напротив, при взятии производной Ли не требуется никакой дополнительной структуры на многообразии, но невозможно говорить о производной Ли тензорного поля по единственному касательному вектору, поскольку значение производной Ли тензора поле по отношению к векторному полю X в точке p зависит от значения X в окрестности p , а не только в самой точке p . Наконец, внешняя производная дифференциальных форм не требует каких-либо дополнительных выборов, а является только четко определенной производной дифференциальных форм (включая функции).

Определение

Производная Ли может быть определена несколькими эквивалентными способами. Для простоты мы начнем с определения производной Ли, действующей на скалярные функции и векторные поля, прежде чем перейти к определению общих тензоров.

Производная (Ли) функции

Определение производной функции на многообразии проблематично, потому что коэффициент разности не может быть определен, пока смещение не определено.

Производной Ли функции по векторному полю в точке называется функция

где - точка, в которую поток, определяемый векторным полем, отображает точку в момент времени. Вблизи находится единственное решение системы.

автономных (т.е. не зависящих от времени) дифференциальных уравнений первого порядка в касательном пространстве , с

Для координатной карты на многообразии и пусть будет касательной линейной картой. Приведенная выше система дифференциальных уравнений более явно записывается как система

в с начальным условием является Это легко проверить , что решение не зависит от выбора координат диаграммы.

Настройка определяет производную Ли функции с производной по направлению .

Производная Ли векторного поля

Если Х и Y оба векторных полей, то производная Ли Y по отношению к X также известен как скобки Ли из X и Y , а иногда обозначают . Существует несколько подходов к определению скобки Ли, и все они эквивалентны. Мы перечисляем здесь два определения, соответствующие двум определениям векторного поля, данным выше:

  • Скобка Ли X и Y в точке p задается в локальных координатах формулой
    где и обозначают операции взятия производных по направлениям по X и Y соответственно. Здесь мы рассматриваем вектор в п мерном пространстве , как п - кортеж , так что его производная по направлению просто кортеж , состоящий из направленных производных ее координат. Хотя окончательное выражение, появляющееся в этом определении, не зависит от выбора локальных координат, отдельные термины и зависят от выбора координат.
  • Если X и Y - векторные поля на многообразии M согласно второму определению, то оператор, определяемый формулой
    является производным нулевого порядка алгебры гладких функций от M , т. е. этот оператор является векторным полем согласно второму определению.

Производная Ли тензорного поля

Определение в терминах потоков

Производная Ли - это скорость, с которой тензорное поле изменяется при деформации пространства, вызванной потоком.

Формально, учитывая дифференцируемое (не зависящее от времени) векторное поле на гладком многообразии, пусть - соответствующий локальный поток и тождественное отображение. Поскольку является локальным диффеоморфизмом, для каждого и обратного

от дифференциала распространяется однозначно на гомоморфизм

между тензорными алгебрами касательных пространств и аналогично отображение обратного

поднимается до единственного гомоморфизма тензорной алгебры

Следовательно, для каждого существует тензорное поле той же валентности, что и у.

Если это - или -типа тензорное поле, то производная Ли из вдоль векторного поля определяется в точке , чтобы быть

Результирующее тензорное поле имеет ту же валентность, что и поле .

Алгебраическое определение

Дадим алгебраическое определение. Алгебраическое определение производной Ли тензорного поля следует из следующих четырех аксиом:

Аксиома 1. Производная Ли функции равна производной функции по направлению. Этот факт часто выражается формулой
Аксиома 2. Производная Ли подчиняется следующей версии правила Лейбница: для любых тензорных полей S и T имеем
Аксиома 3. Производная Ли подчиняется правилу Лейбница относительно сжатия :
Аксиома 4. Производная Ли коммутирует с внешней производной на функциях:

Если эти аксиомы верны, то применение производной Ли к соотношению показывает, что

что является одним из стандартных определений скобки Ли .

Ли производный , действующий на дифференциальной форме является антикоммутатором из внутреннего продукта с внешней производной. Итак, если α - дифференциальная форма,

Это легко можно сделать, проверив, что выражение коммутирует с внешней производной, является производным (являясь антикоммутатором градуированных производных) и правильно работает с функциями.

В явном виде пусть T тензорное поле типа ( p , q ) . Рассмотрим Т быть дифференцируемой полилинейная карта из гладких участков альфа 1 , α 2 , ..., α р кокасательного расслоения T * M и сечений X 1 , X 2 , ..., X д из касательного расслоения ТМ , написанной Т ( α 1 , & alpha ; 2 , ..., Х 1 , Х 2 , ...) в R . Определим производную Ли T вдоль Y по формуле

Можно доказать, что аналитическое и алгебраическое определения эквивалентны, используя свойства прямого ответа и правило Лейбница для дифференцирования. Производная Ли коммутирует со сжатием.

Производная Ли дифференциальной формы

Особенно важным классом тензорных полей является класс дифференциальных форм . Ограничение производной Ли на пространство дифференциальных форм тесно связано с внешней производной . И производная Ли, и внешняя производная пытаются по-разному уловить идею производной. Эти различия можно преодолеть, представив идею предмета интерьера , после чего отношения распадаются как идентичность, известная как формула Картана . Формула Картана может также использоваться как определение производной Ли на пространстве дифференциальных форм.

Пусть М многообразие и X векторное поле на M . Пусть будет ( к + 1) - форма , то есть для каждого , является переменным полилинейные карта от до действительных чисел. Интерьера продукт из X и со является к -форма определяется как

Дифференциальная форма также называется сокращение от со с X , и

и является (произведение клина на дифференциальные формы) - антидеривацией . То есть является R -линейным, и

для и η другой дифференциальной формы. Кроме того, для функции , то есть действительной или комплексной функции на M , один имеет

где обозначает произведение F и X . Взаимосвязь между внешними производными и производными Ли можно резюмировать следующим образом. Во-первых, поскольку производная Ли функции f относительно векторного поля X такая же, как производная по направлению X ( f ), она также совпадает со сжатием внешней производной функции f с X :

Для общей дифференциальной формы производная Ли также является сжатием с учетом изменения X :

Эта идентичность известна по- разному как формулы Картанны , Картанны гомотопическая формула или магическая формула Картанен . См. Детали для интерьера . Формула Картана может использоваться как определение производной Ли дифференциальной формы. Формула Картана показывает, в частности, что

Производная Ли также удовлетворяет соотношению

Координатные выражения

Примечание: ниже используется соглашение Эйнштейна о суммировании повторяющихся индексов.

В обозначениях локальных координат для тензорного поля типа ( r , s ) производная Ли вдоль равна

здесь обозначение означает взятие частной производной по координате . В качестве альтернативы, если мы используем кручение соединения (например, Чивиты Леви ), то частные производные могут быть заменены с ковариантной производной , который означает замену с (злоупотреблением нотации) , где являются коэффициенты Кристоффеля .

Производная Ли тензора - это другой тензор того же типа, т. Е. Даже если отдельные члены в выражении зависят от выбора системы координат, выражение в целом дает тензор

который не зависит от какой-либо системы координат и того же типа, что и .

Определение может быть расширено до тензорных плотностей. Если T является тензорной плотностью некоторого действительного числового веса w (например, объемной плотности веса 1), то его производная Ли является тензорной плотностью того же типа и веса.

Обратите внимание на новый термин в конце выражения.

Для линейной связности производная Ли вдоль равна

Примеры

Теперь для ясности мы покажем следующие примеры в обозначениях локальных координат .

Для скалярного поля имеем:

.

Следовательно, для скалярного поля и векторного поля соответствующая производная Ли принимает вид

В качестве примера дифференциальной формы более высокого ранга рассмотрим 2-форму и векторное поле из предыдущего примера. Затем,

Еще несколько абстрактных примеров.

.

Следовательно, для ковекторного поля , т. Е. Дифференциальной формы , имеем:

Коэффициент последнего выражения является выражением в локальной координате производной Ли.

Для ковариантного тензорного поля ранга 2 имеем:

Если - симметричный метрический тензор, он параллелен относительно связности Леви Чивиты (также известной как ковариантная производная), и использование этой связи становится плодотворным. В результате все производные заменяются ковариантными производными, что дает

Характеристики

Производная Ли обладает рядом свойств. Пусть будет алгебра функций , определенных на многообразии М . Затем

является выводом на алгебре . То есть является R -линейным и

Точно так же это вывод о том, где - множество векторных полей на M (см. Теорему 6 из статьи: Nichita, FF Unification Theories: New Results and examples. Axioms 2019, 8, 60):

который также может быть записан в эквивалентных обозначениях

где символ тензорного произведения используется, чтобы подчеркнуть тот факт, что произведение функции на векторное поле берется по всему многообразию.

Дополнительные свойства согласуются со скобкой Ли . Так, например, рассматриваемое как вывод на векторном поле,

оказывается, что сказанное выше - это просто тождество Якоби . Таким образом, мы получаем важный результат: пространство векторных полей над M , снабженное скобкой Ли, образует алгебру Ли .

Производная Ли также имеет важные свойства при действии на дифференциальные формы. Пусть α и β - две дифференциальные формы на M , а X и Y - два векторных поля. Затем

  • где i обозначает внутреннее произведение, определенное выше, и ясно, обозначает ли [·, ·] коммутатор или скобку Ли векторных полей .

Обобщения

Различные обобщения производной Ли играют важную роль в дифференциальной геометрии.

Производная Ли спинорного поля

Определение производных Ли спиноров вдоль общих векторных полей пространства-времени, не обязательно киллинговых полей, на общем (псевдо) римановом многообразии было предложено в 1971 году Иветт Косманн . Позже была предоставлена ​​геометрическая структура, которая оправдывает ее специальный рецепт в общих рамках производных Ли на расслоениях в явном контексте калибровочных натуральных расслоений, которые оказались наиболее подходящей ареной для (калибровочно-ковариантных) теорий поля.

В данном спинорном многообразии , то есть в римановом многообразии, допускающем спинорную структуру , производная Ли спинорного поля может быть определена путем определения ее сначала относительно бесконечно малых изометрий (векторных полей Киллинга) через локальное выражение Андре Лихнеровича, заданное в 1963 г .:

где as предполагается векторным полем Киллинга , а - матрицы Дирака .

Затем можно расширить определение Лихнеровича на все векторные поля (общие инфинитезимальные преобразования), сохранив локальное выражение Лихнеровича для общего векторного поля , но явно взяв только антисимметричную часть . Более точно, локальное выражение Косманна, данное в 1972 году, выглядит так:

где - коммутатор, - внешняя производная , - двойственная 1 форма, соответствующая метрике (т.е. с пониженными индексами), и умножение Клиффорда.

Стоит отметить, что спинорная производная Ли не зависит от метрики, а значит, и от связности . Это не очевидно из правой части локального выражения Космана, поскольку правая часть, похоже, зависит от метрики через спиновую связь (ковариантную производную), дуализацию векторных полей (понижение индексов) и клиффордовость умножение на спинорном расслоении . Это не так: количества в правой части локального выражения Косманна объединяются, так что все термины, зависящие от метрики и связи, сокращаются.

Чтобы лучше понять давно обсуждаемую концепцию производной Ли спинорных полей, можно обратиться к оригинальной статье, где определение производной Ли спинорных полей помещено в более общие рамки теории производных Ли от секций расслоений и прямой подход Ю. Космана к спинорному случаю обобщается на калибровочные натуральные расслоения в виде нового геометрического понятия, называемого подъемом Космана .

Ковариантная производная Ли

Если у нас есть главное расслоение над многообразием M со структурной группой G, и мы выбираем X как ковариантное векторное поле как сечение касательного пространства главного расслоения (т. Е. Оно имеет горизонтальную и вертикальную компоненты), то ковариантное векторное поле Производная Ли - это просто производная Ли по X по главному расслоению.

Теперь, если нам дано векторное поле Y над M (но не главное расслоение), но у нас также есть связь над главным расслоением, мы можем определить векторное поле X над главным расслоением так, чтобы его горизонтальная компонента соответствовала Y и его вертикальная составляющая согласуется с подключением. Это ковариантная производная Ли.

См. Дополнительную информацию в форме подключения .

Производная Нейенхейса – Ли

Другое обобщение, принадлежащее Альберту Нийенхейсу , позволяет определить производную Ли дифференциальной формы вдоль любого участка расслоения Ω k ( M , T M ) дифференциальных форм со значениями в касательном расслоении. Если K  ∈ Ω k ( M , T M ) и α является дифференциальной p -формой, то можно определить внутреннее произведение i K α групп K и α. Тогда производная Нейенхейса – Ли является антикоммутатором внутреннего произведения и внешней производной:

История

В 1931 году Владислав Жлебодзинский представил новый дифференциальный оператор, позже названный Давидом ван Данциг оператором вывода Ли, который может быть применен к скалярам, ​​векторам, тензорам и аффинным связям и оказался мощным инструментом в изучении групп автоморфизмов. .

Производные Ли общегеометрических объектов (т. Е. Сечений естественных расслоений ) изучались А. Нидженхейсом , Ю. Таширо и К. Яно .

В течение довольно долгого времени физики использовали производные Ли, не обращая внимания на работы математиков. В 1940 году Леон Розенфельд - а до него (в 1921 году) Вольфганг Паули - представил то, что он назвал «локальной вариацией» геометрического объекта, вызванной бесконечно малым преобразованием координат, порожденным векторным полем . Можно легко доказать , что его есть .

Смотрите также

Ноты

использованная литература

внешние ссылки