Формула производной отношения функций
В исчислении , то правило фактора представляет собой способ нахождения производной из функции , которая представляет собой отношение двух дифференцируемых функций. Пусть где и g, и h дифференцируемы, а правило частного утверждает, что производная f ( x ) равна
ж
(
Икс
)
знак равно
грамм
(
Икс
)
/
час
(
Икс
)
,
{\ Displaystyle е (х) = г (х) / час (х),}
час
(
Икс
)
≠
0.
{\ Displaystyle ч (х) \ neq 0.}
ж
′
(
Икс
)
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
2
.
{\ displaystyle f '(x) = {\ frac {g' (x) h (x) -g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}}.}.
Примеры
Базовый пример:
d
d
Икс
е
Икс
Икс
2
знак равно
(
d
d
Икс
е
Икс
)
(
Икс
2
)
-
(
е
Икс
)
(
d
d
Икс
Икс
2
)
(
Икс
2
)
2
знак равно
(
е
Икс
)
(
Икс
2
)
-
(
е
Икс
)
(
2
Икс
)
Икс
4
знак равно
е
Икс
(
Икс
-
2
)
Икс
3
.
{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} {\ frac {e ^ {x}} {x ^ {2}}} & = {\ frac {\ left ({\ frac { d} {dx}} e ^ {x} \ right) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) \ left ({\ frac {d} {dx}} x ^ {2} \ right) } {(x ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {(e ^ {x}) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) (2x)} { x ^ {4}}} \\ & = {\ frac {e ^ {x} (x-2)} {x ^ {3}}}. \ end {выравнивается}}}
Правило частного можно использовать для нахождения производной от следующего.
ж
(
Икс
)
знак равно
загар
Икс
знак равно
грех
Икс
потому что
Икс
{\ Displaystyle е (х) = \ загар х = {\ tfrac {\ грех х} {\ соз х}}}
d
d
Икс
загар
Икс
знак равно
d
d
Икс
грех
Икс
потому что
Икс
знак равно
(
d
d
Икс
грех
Икс
)
(
потому что
Икс
)
-
(
грех
Икс
)
(
d
d
Икс
потому что
Икс
)
потому что
2
Икс
знак равно
потому что
2
Икс
+
грех
2
Икс
потому что
2
Икс
знак равно
1
потому что
2
Икс
знак равно
сек
2
Икс
.
{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} \ tan x & = {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} \\ & = {\ frac {\ left ({\ frac {d} {dx}} \ sin x \ right) (\ cos x) - (\ sin x) \ left ({\ frac {d} {dx}} \ cos x \ right)} {\ cos ^ {2} x}} \\ & = {\ frac {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x}} \\ & = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} x}} = \ sec ^ {2} x. \ end {align}}}
Доказательства
Доказательство из определения производной и предельных свойств
Пусть Применение определения производной и свойств пределов дает следующее доказательство.
ж
(
Икс
)
знак равно
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
.
{\ displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}}.}
ж
′
(
Икс
)
знак равно
Lim
k
→
0
ж
(
Икс
+
k
)
-
ж
(
Икс
)
k
знак равно
Lim
k
→
0
грамм
(
Икс
+
k
)
час
(
Икс
+
k
)
-
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
k
знак равно
Lim
k
→
0
грамм
(
Икс
+
k
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
+
k
)
k
⋅
час
(
Икс
)
час
(
Икс
+
k
)
знак равно
Lim
k
→
0
грамм
(
Икс
+
k
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
+
k
)
k
⋅
Lim
k
→
0
1
час
(
Икс
)
час
(
Икс
+
k
)
знак равно
(
Lim
k
→
0
грамм
(
Икс
+
k
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
+
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
+
k
)
k
)
⋅
1
час
(
Икс
)
2
знак равно
(
Lim
k
→
0
грамм
(
Икс
+
k
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
k
-
Lim
k
→
0
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
+
k
)
-
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
k
)
⋅
1
час
(
Икс
)
2
знак равно
(
час
(
Икс
)
Lim
k
→
0
грамм
(
Икс
+
k
)
-
грамм
(
Икс
)
k
-
грамм
(
Икс
)
Lim
k
→
0
час
(
Икс
+
k
)
-
час
(
Икс
)
k
)
⋅
1
час
(
Икс
)
2
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
2
.
{\ Displaystyle {\ begin {align} f '(x) & = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {f (x + k) -f (x)} {k}} \\ & = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {{\ frac {g (x + k)} {h (x + k)}} - {\ frac {g (x)} {h (x)}}} {k}} \\ & = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x + k)} {k \ cdot h (x ) h (x + k)}} \\ & = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x + k)} {k }} \ cdot \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {1} {h (x) h (x + k)}} \\ & = \ left (\ lim _ {k \ to 0} {\ гидроразрыва {g (x + k) h (x) -g (x) h (x) + g (x) h (x) -g (x) h (x + k)} {k}} \ right) \ cdot {\ frac {1} {h (x) ^ {2}}} \\ & = \ left (\ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) h (x) -g) (x) h (x)} {k}} - \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x) h (x + k) -g (x) h (x)} {k}} \ right) \ cdot {\ frac {1} {h (x) ^ {2}}} \\ & = \ left (h (x) \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {g (x + k) -g (x)} {k}} - g (x) \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {h (x + k) -h (x)} {k}} \ right) \ cdot {\ frac {1} {h (x) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {g '(x) h (x) -g (x) h' (x)} {h (x ) ^ {2}}}. \ End {выравнивается}}}
Доказательство с использованием неявного дифференцирования
Пусть так. Затем правило продукта дает Решение и обратная замена дает:
ж
(
Икс
)
знак равно
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
,
{\ Displaystyle е (х) = {\ гидроразрыва {г (х)} {ч (х)}},}
грамм
(
Икс
)
знак равно
ж
(
Икс
)
час
(
Икс
)
.
{\ Displaystyle г (х) = е (х) час (х).}
грамм
′
(
Икс
)
знак равно
ж
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
+
ж
(
Икс
)
час
′
(
Икс
)
.
{\ displaystyle g '(x) = f' (x) h (x) + f (x) h '(x).}
ж
′
(
Икс
)
{\ displaystyle f '(x)}
ж
(
Икс
)
{\ displaystyle f (x)}
ж
′
(
Икс
)
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
-
ж
(
Икс
)
час
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
⋅
час
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
2
.
{\ Displaystyle {\ begin {align} f '(x) & = {\ frac {g' (x) -f (x) h '(x)} {h (x)}} \\ & = {\ frac {g '(x) - {\ frac {g (x)} {h (x)}} \ cdot h' (x)} {h (x)}} \\ & = {\ frac {g '(x ) h (x) -g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}}. \ end {выравнивается}}}
Доказательство с использованием цепного правила
Пусть Тогда правило произведения дает
ж
(
Икс
)
знак равно
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
знак равно
грамм
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
1
.
{\ Displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}} = g (x) h (x) ^ {- 1}.}
ж
′
(
Икс
)
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
1
+
грамм
(
Икс
)
⋅
d
d
Икс
(
час
(
Икс
)
-
1
)
.
{\ displaystyle f '(x) = g' (x) h (x) ^ {- 1} + g (x) \ cdot {\ frac {d} {dx}} (h (x) ^ {- 1} ).}
Чтобы оценить производную во втором члене, примените правило мощности вместе с правилом цепочки :
ж
′
(
Икс
)
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
1
+
грамм
(
Икс
)
⋅
(
-
1
)
час
(
Икс
)
-
2
час
′
(
Икс
)
.
{\ displaystyle f '(x) = g' (x) h (x) ^ {- 1} + g (x) \ cdot (-1) h (x) ^ {- 2} h '(x).}
Наконец, перепишите дроби и объедините члены, чтобы получить
ж
′
(
Икс
)
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
2
знак равно
грамм
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
-
грамм
(
Икс
)
час
′
(
Икс
)
час
(
Икс
)
2
.
{\ displaystyle {\ begin {align} f '(x) & = {\ frac {g' (x)} {h (x)}} - {\ frac {g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {g '(x) h (x) -g (x) h' (x)} {h (x) ^ {2}}}. \ конец {выровнен}}}
Формулы высшего порядка
Неявное дифференцирование может использоваться для вычисления n- й производной частного (частично в терминах его первых n - 1 производных). Например, дважды дифференцируя (в результате ), а затем решая для доходности
ж
час
знак равно
грамм
{\ displaystyle fh = g}
ж
″
час
+
2
ж
′
час
′
+
ж
час
″
знак равно
грамм
″
{\ displaystyle f''h + 2f'h '+ fh' '= g' '}
ж
″
{\ displaystyle f ''}
ж
″
знак равно
(
грамм
час
)
″
знак равно
грамм
″
-
2
ж
′
час
′
-
ж
час
″
час
.
{\ displaystyle f '' = \ left ({\ frac {g} {h}} \ right) '' = {\ frac {g '' - 2f'h'-fh ''} {h}}.}
использованная литература
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">