Тензорное исчисление - Tensor calculus

В математике , тензорное исчисление , тензорный анализ , или Риччи исчисления является расширением векторного исчисления для тензорных полей ( тензоров , которые могут изменяться в коллекторе , например , в пространственно - временном ).

Разработанный Грегорио Риччи-Курбастро и его учеником Туллио Леви-Чивита , он был использован Альбертом Эйнштейном для разработки своей общей теории относительности . В отличие от исчисления бесконечно малых , тензорное исчисление позволяет представить уравнения физики в форме, не зависящей от выбора координат на многообразии.

Тензорное исчисление имеет множество приложений в физике , инженерии и информатике, включая упругость , механику сплошной среды , электромагнетизм (см. Математические описания электромагнитного поля ), общую теорию относительности (см. Общую теорию относительности ), квантовую теорию поля и машинное обучение .

Работая с главным сторонником внешнего исчисления Эли Картаном , влиятельный геометр Шиинг-Шен Черн резюмирует роль тензорного исчисления:

В нашем предмете дифференциальной геометрии, где вы говорите о многообразиях, одна трудность состоит в том, что геометрия описывается координатами, но координаты не имеют значения. Им разрешено трансформироваться. И для того, чтобы справиться с подобной ситуацией, важным инструментом является так называемый тензорный анализ, или исчисление Риччи, которое было новым для математиков. В математике у вас есть функция: вы записываете функцию, вычисляете, или складываете, или умножаете, или можете дифференцировать. У вас есть что-то очень конкретное. В геометрии геометрическая ситуация описывается числами, но вы можете менять числа произвольно. Итак, чтобы справиться с этим, вам понадобится исчисление Риччи.

Синтаксис

В тензорной нотации используются верхний и нижний индексы для объектов, которые используются для обозначения переменного объекта как ковариантного (нижний индекс), контравариантного (верхний индекс) или смешанного ковариантного и контравариантного (с верхним и нижним индексами). Фактически, в обычном математическом синтаксисе мы часто используем ковариантные индексы при работе с декартовыми системами координат, не осознавая, что это ограниченное использование тензорного синтаксиса в качестве ковариантных индексированных компонентов.

Тензорная нотация допускает верхний индекс объекта, который можно спутать с обычными операциями управления мощностью из обычного математического синтаксиса. Например, в обычном математическом синтаксисе, однако в тензорном синтаксисе объект должен быть заключен в круглые скобки, прежде чем повышать его до степени, чтобы устранить неоднозначность использования тензорного индекса по сравнению с нормальной операцией мощности. В тензорном синтаксисе мы бы написали, и . Число во внутренних круглых скобках выделяет контравариантный компонент, где число во внешних круглых скобках определяет степень возведения величин до. Конечно, это просто произвольное уравнение, мы могли бы указать, что c не является тензором, и знать, что эта конкретная переменная не нуждается в скобках вокруг нее, чтобы повысить качество c до степени 2, однако, если бы c было вектором , то его можно было бы представить в виде тензора, и этот тензор нужно было бы отличать от обычных математических индексов, которые указывают возведение величины в степень.

Ключевые идеи

Векторное разложение

Тензоры обозначения позволяет вектор ( ) , чтобы быть разложен в суммировании Эйнштейна , представляющий тензор сжатия в виде базисного вектора ( или ) с компонентом вектора ( или ).

Каждый вектор имеет два разных представления: одно называется контравариантным компонентом ( ) с ковариантным базисом ( ), а другое - ковариантным компонентом ( ) с контравариантным базисом ( ). Тензорные объекты со всеми верхними индексами называются контравариантными, а тензорные объекты со всеми нижними индексами называются ковариантными. Необходимость различать контравариантные и ковариантные возникает из-за того, что, когда мы ставим точки на произвольный вектор с его базисным вектором, связанным с конкретной системой координат, есть два способа интерпретации этого скалярного произведения: либо мы рассматриваем его как проекцию базиса. вектор на произвольный вектор, или мы рассматриваем его как проекцию произвольного вектора на базисный вектор, оба представления скалярного произведения полностью эквивалентны, но имеют разные составляющие элементы и разные базисные векторы:

Например, в физике вы начинаете с векторного поля , разлагаете его по ковариантному базису и таким образом получаете контравариантные координаты. Для ортонормированных декартовых координат ковариантный и контравариантный базис идентичны, поскольку базисный набор в этом случае является просто единичной матрицей, однако для неаффинной системы координат, такой как полярная или сферическая, необходимо различать разложение с помощью контравариантный или ковариантный базис для генерации компонентов системы координат.

Ковариантное векторное разложение

Переменная описание Тип
вектор инвариантный
контравариантные компоненты (упорядоченный набор скаляров) вариант
ковариантные базисы (упорядоченный набор векторов) вариант

Контравариантное векторное разложение

Переменная описание тип
вектор инвариантный
ковариантные компоненты (упорядоченный набор скаляров) вариант
контравариантные базисы (упорядоченный набор ковекторов ) вариант

Метрический тензор

Метрический тензор представляет собой матрицу со скалярными элементами ( или ) и является тензорным объектом, который используется для повышения или понижения индекса другого тензорного объекта с помощью операции, называемой сжатием, что позволяет преобразовать ковариантный тензор в контравариантный тензор, и наоборот.

Пример понижения индекса с помощью метрического тензора:

Пример повышения индекса с помощью метрического тензора:

Метрический тензор определяется следующим образом:

Это означает, что если мы возьмем каждую перестановку базисного набора векторов и расставим их точки друг против друга, а затем расположим их в квадратную матрицу, у нас будет метрический тензор. Предостережение здесь заключается в том, какой из двух векторов в перестановке используется для проецирования против другого вектора, что является отличительным свойством ковариантного метрического тензора по сравнению с контравариантным метрическим тензором.

Существуют два вида метрических тензоров: (1) контравариантный метрический тензор ( ) и (2) ковариантный метрический тензор ( ). Эти два вида метрического тензора связаны тождеством:

Для ортонормированной декартовой системы координат метрический тензор - это просто дельта Кронекера или , которая является тензорным эквивалентом единичной матрицы , и .

Якобиан

Кроме того, тензор можно легко преобразовать из системы координат без черточки (x) в систему координат с перемычкой ( ), имеющую различные наборы базисных векторов:

за счет использования матричных соотношений Якоби между системой координат с перемычкой и без перемычки ( ). Якобиан между системами с перемычками и без перемычек играет важную роль в определении ковариантных и контравариантных базисных векторов, поскольку для существования этих векторов они должны удовлетворять следующему соотношению относительно систем с перемычками и без перемычек:

Контравариантные векторы обязаны подчиняться законам:

Ковариантные векторы должны подчиняться законам:

Есть две разновидности матрицы Якоби:

1. Матрица J, представляющая изменение от незащищенных до запрещенных координат. Чтобы найти J, мы берем «градиент с перемычкой», то есть частичную производную по :

2. Матрица, представляющая изменение от запрещенных до незащищенных координат. Чтобы найти , мы берем «неограниченный градиент», то есть частичную производную по :

Вектор градиента

Тензорное исчисление представляет собой обобщение формулы вектора градиента из стандартного исчисления, которое работает во всех системах координат:

Где:

Напротив, для стандартного исчисления формула вектора градиента зависит от используемой системы координат (пример: формула вектора декартового градиента против формулы вектора полярного градиента против формулы вектора сферического градиента и т. Д.). В стандартном исчислении каждая система координат имеет свою собственную конкретную формулу, в отличие от тензорного исчисления, в котором есть только одна формула градиента, эквивалентная для всех систем координат. Это стало возможным благодаря пониманию метрического тензора, который используется в тензорном исчислении.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки