Производная по направлению - Directional derivative

В математике , то производная по направлению многомерной дифференцируемой функции (скалярной) вдоль заданного вектора V в данной точке х интуитивно представляет собой мгновенную скорость изменения функции, двигаясь через е со скоростью , указанной V .

Производная по направлению скалярной функции f относительно вектора v в точке (например, позиции) x может быть обозначена любым из следующего:

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = f '_ {\ mathbf {v}} (\ mathbf {x}) = D _ {\ mathbf {v}} f (\ mathbf {x}) = Df (\ mathbf {x}) (\ mathbf {v}) = \ partial _ {\ mathbf {v}} f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {v} \ cdot {\ nabla f (\ mathbf {x})} = \ mathbf {v} \ cdot {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial \ mathbf {x}}}}

.

Таким образом, он обобщает понятие частной производной , в которой скорость изменения берется вдоль одной из криволинейных координатных кривых , при этом все остальные координаты постоянны. Производная по направлению - это частный случай производной Гато .

Определение

Контурный график из , показывающий вектор градиента в черный и единичный вектор масштабируется с помощью производной по направлению в направлении оранжевого цвета. Вектор градиента длиннее, потому что градиент указывает в направлении наибольшей скорости увеличения функции.

{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}

{\ displaystyle \ mathbf {u}}

{\ displaystyle \ mathbf {u}}

Производная по направлению из скалярной функции

{\ Displaystyle е (\ mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}

по вектору

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}

- функция, определяемая пределом ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f}}$

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {v) }) -f (\ mathbf {x})} {h}}.}

Это определение действительно в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичного вектора) не определена.

Для дифференцируемых функций

Если функция F является дифференцируемой по х , то существует производная по направлению вдоль любого вектора V , и имеет место

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ nabla f (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {v}}

где справа обозначает градиент, а - скалярное произведение . Это следует из определения пути и использования определения производной в качестве предела, который можно вычислить по этому пути, чтобы получить: ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle h (t) = x + tv}$

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (x + tv) -f (x) -tDf (x) (v)} {t}} \\ & = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (x + tv) -f (x)} {t}} - Df (x) (v) = \ nabla _ {v} f (x) -Df (x) (v) \\\ rightarrow & \ nabla f (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {v} = Df (x) (v) = \ nabla _ {\ mathbf {v}} { f} (\ mathbf {x}) \ end {выровненный}}}

Интуитивно, производная по направлению F в точке х представляет собой скорость изменения от F , в направлении против по времени, при перемещении мимо х .

Использование только направления вектора

Угол α между касательной А и горизонтали будет максимальным , если режущая плоскость содержит направление градиента А .

В евклидовом пространстве некоторые авторы определяют производную по направлению как относящуюся к произвольному ненулевому вектору v после нормализации , таким образом, не зависящему от его величины и зависящему только от его направления.

Это определение дает скорость увеличения f на единицу расстояния, пройденного в направлении, заданном v . В этом случае

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {v) }) -f (\ mathbf {x})} {h | \ mathbf {v} |}},}

или в случае, если f дифференцируема в x ,

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ nabla f (\ mathbf {x}) \ cdot {\ frac {\ mathbf {v}} {| \ mathbf {v} |}}.}

Ограничение на единичный вектор

В контексте функции на евклидовом пространстве , некоторые тексты ограничивают вектор V , чтобы быть единичным вектором . С этим ограничением оба приведенных выше определения эквивалентны.

Характеристики

Многие из известных свойств обычной производной сохраняются и для производной по направлению. К ним относятся для любых функций f и g, определенных в окрестности p и дифференцируемых в точке p :

правило сумм :
${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (f + g) = \ nabla _ {\ mathbf {v}} f + \ nabla _ {\ mathbf {v}} g.}$
правило постоянного множителя : для любой постоянной c ,
${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (cf) = c \ nabla _ {\ mathbf {v}} f.}$
правило продукта (или правило Лейбница ):
${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (fg) = g \ nabla _ {\ mathbf {v}} f + f \ nabla _ {\ mathbf {v}} g.}$
цепное правило : если g дифференцируема в p и h дифференцируема в g ( p ), то
${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} (h \ circ g) (\ mathbf {p}) = h '(g (\ mathbf {p})) \ nabla _ {\ mathbf {v}} g (\ mathbf {p}).}$

В дифференциальной геометрии

Пусть $М$ будет дифференцируемое многообразие и $р$ точка $М$ . Предположим, что функция $f$ определена в окрестности точки $p$ и дифференцируема в точке $p$ . Если $v$ является касательным вектором к $M в$ точке $p$ , то производная по направлению $f$ вдоль $v$ , обозначаемая по-разному как $df (v)$ (см. Внешняя производная ), (см. Ковариантная производная ), (см. Производная Ли ) или (см. Касательное пространство § Определение с помощью выводов ), можно определить следующим образом. Пусть $γ$ $: [-1, 1] \to$ $M$ - дифференцируемая кривая с $γ$ $(0) =$ $p$ и $γ$ $' (0) =$ $v$ . Тогда производная по направлению определяется выражением ${\ Displaystyle \ набла _ {\ mathbf {v}} е (\ mathbf {p})}$ ${\ Displaystyle L _ {\ mathbf {v}} е (\ mathbf {p})}$ ${\ Displaystyle {\ mathbf {v}} _ {\ mathbf {p}} (е)}$

{\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f (\ mathbf {p}) = \ left. {\ frac {d} {d \ tau}} f \ circ \ gamma (\ tau) \ right | _ {\ tau = 0}.}

Это определение может быть доказано независимо от выбора $γ$ , при условии, что $γ$ выбран предписанным образом так, что $γ' (0) = v$ .

Производная Ли

Производная Ли векторного поля вдоль векторного поля задается разностью двух производных по направлению (с нулевым кручением): ${\ Displaystyle W ^ {\ mu} (х)}$ ${\ Displaystyle V ^ {\ mu} (х)}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V} W ^ {\ mu} = (V \ cdot \ nabla) W ^ {\ mu} - (W \ cdot \ nabla) V ^ {\ mu}.}

В частности, для скалярного поля производная Ли сводится к стандартной производной по направлению: ${\ Displaystyle \ фи (х)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V} \ phi = (V \ cdot \ nabla) \ phi.}

Тензор Римана

Производные по направлениям часто используются во вводных выводах тензора кривизны Римана . Рассмотрим изогнутый прямоугольник с бесконечно малым вектором δ по одному краю и δ ′ по другому. Мы переводим ковектор S вдоль б , то δ ' , а затем вычесть перевод вдоль б ' , а затем б . Вместо построения производной по направлению с использованием частных производных мы используем ковариантную производную . Таким образом, оператор сдвига для δ имеет вид

{\ displaystyle 1+ \ sum _ {\ nu} \ delta ^ {\ nu} D _ {\ nu} = 1 + \ delta \ cdot D,}

а для δ ′

{\ displaystyle 1+ \ sum _ {\ mu} \ delta '^ {\ mu} D _ {\ mu} = 1 + \ delta' \ cdot D.}

Тогда разница между двумя путями будет

{\ displaystyle (1+ \ delta '\ cdot D) (1+ \ delta \ cdot D) S ^ {\ rho} - (1+ \ delta \ cdot D) (1+ \ delta' \ cdot D) S ^ {\ rho} = \ sum _ {\ mu, \ nu} \ delta '^ {\ mu} \ delta ^ {\ nu} [D _ {\ mu}, D _ {\ nu}] S _ {\ rho}.}

Можно утверждать, что некоммутативность ковариантных производных измеряет кривизну многообразия:

{\ displaystyle [D _ {\ mu}, D _ {\ nu}] S _ {\ rho} = \ pm \ sum _ {\ sigma} R ^ {\ sigma} {} _ {\ rho \ mu \ nu} S_ { \ sigma},}

где R - тензор кривизны Римана, а знак зависит от соглашения автора о знаках .

В теории групп

Переводы

В алгебре Пуанкаре мы можем определить оператор инфинитезимального сдвига P как

{\ Displaystyle \ mathbf {P} = я \ набла.}

(в I гарантирует , что P является самосопряженным оператором ) для конечного смещения λ , то унитарным гильбертово пространство представления для переводов является

{\ displaystyle U ({\ boldsymbol {\ lambda}}) = \ exp \ left (-i {\ boldsymbol {\ lambda}} \ cdot \ mathbf {P} \ right).}

Используя приведенное выше определение оператора инфинитезимального переноса, мы видим, что оператор конечного переноса является экспоненциальной производной по направлению:

{\ Displaystyle U ({\ boldsymbol {\ lambda}}) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ lambda}} \ cdot \ nabla \ right).}

Это оператор сдвига в том смысле, что он действует на функции многих переменных f ( x ) как

{\ Displaystyle U ({\ boldsymbol {\ lambda}}) f (\ mathbf {x}) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ lambda}} \ cdot \ nabla \ right) f (\ mathbf {x} ) = f (\ mathbf {x} + {\ boldsymbol {\ lambda}}).}

Доказательство последнего уравнения -

В стандартном исчислении с одной переменной производная гладкой функции f ( x ) определяется (для малых ε )

{\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} = {\ frac {f (x + \ varepsilon) -f (x)} {\ varepsilon}}.}

Это можно изменить, чтобы найти f ( x + ε ):

{\ displaystyle f (x + \ varepsilon) = f (x) + \ varepsilon \, {\ frac {df} {dx}} = \ left (1+ \ varepsilon \, {\ frac {d} {dx}} \ справа) f (x).}

Отсюда следует, что это оператор перевода. Это мгновенно обобщается на функции многих переменных f ( x ) ${\ displaystyle [1+ \ varepsilon \, (d / dx)]}$

{\ displaystyle f (\ mathbf {x} + {\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = \ left (1 + {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot \ nabla \ right) f (\ mathbf {x}). }

Вот производная по направлению по бесконечно малому смещению ε . Мы нашли бесконечно малую версию оператора перевода: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot \ nabla}$

{\ displaystyle U ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = 1 + {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot \ nabla.}

Очевидно, что групповой закон умножения U ( g ) U ( f ) = U ( gf ) принимает вид

{\ Displaystyle U (\ mathbf {a}) U (\ mathbf {b}) = U (\ mathbf {a + b}).}

Итак, предположим, что мы берем конечное смещение λ и делим его на N частей ( везде подразумевается N → ∞), так что λ / N = ε . Другими словами,

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} = N {\ boldsymbol {\ varepsilon}}.}

Тогда, применяя U ( ε ) N раз, мы можем построить U ( λ ):

{\ displaystyle [U ({\ boldsymbol {\ varepsilon}})] ^ {N} = U (N {\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = U ({\ boldsymbol {\ lambda}}).}

Теперь мы можем подставить вышеприведенное выражение для U ( ε ):

{\ Displaystyle [U ({\ boldsymbol {\ varepsilon}})] ^ {N} = \ left [1 + {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot \ nabla \ right] ^ {N} = \ left [1 + {\ frac {{\ boldsymbol {\ lambda}} \ cdot \ nabla} {N}} \ right] ^ {N}.}

Используя личность

{\ displaystyle \ exp (x) = \ left [1 + {\ frac {x} {N}} \ right] ^ {N},}

у нас есть

{\ Displaystyle U ({\ boldsymbol {\ lambda}}) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ lambda}} \ cdot \ nabla \ right).}

А поскольку U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ), имеем

{\ displaystyle [U ({\ boldsymbol {\ varepsilon}})] ^ {N} f (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x} + N {\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = f ( \ mathbf {x} + {\ boldsymbol {\ lambda}}) = U ({\ boldsymbol {\ lambda}}) f (\ mathbf {x}) = \ exp \ left ({\ boldsymbol {\ lambda}} \ cdot \ nabla \ right) f (\ mathbf {x}),}

QED

Техническое замечание: эта процедура возможна только потому, что группа сдвигов образует абелеву подгруппу ( подалгебру Картана ) в алгебре Пуанкаре. В частности, закон группового умножения U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) не следует принимать как должное. Отметим также, что Пуанкаре - связная группа Ли. Это группа преобразований T ( ξ ), которые описываются непрерывным набором вещественных параметров . Закон группового умножения принимает вид ${\ Displaystyle \ xi ^ {а}}$

{\ Displaystyle T ({\ bar {\ xi}}) T (\ xi) = T (f ({\ bar {\ xi}}, \ xi)).}

Взяв за координаты тождества, мы должны иметь ${\ displaystyle \ xi ^ {a} = 0}$

{\ displaystyle f ^ {a} (\ xi, 0) = f ^ {a} (0, \ xi) = \ xi ^ {a}.}

Фактические операторы в гильбертовом пространстве представлены унитарными операторами U ( T ( ξ )). В приведенных выше обозначениях мы убрали букву T ; запишем U ( λ ) как U ( P ( λ )). Для небольшой окрестности идентичности представление степенного ряда

{\ Displaystyle U (T (\ xi)) = 1 + я \ сумма _ {a} \ xi ^ {a} t_ {a} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {b, c} \ xi ^ {b} \ xi ^ {c} t_ {bc} + \ cdots}

неплохо. Предположим, что U (T (ξ)) образуют непроективное представление, т. Е.

{\ Displaystyle U (T ({\ bar {\ xi}})) U (T (\ xi)) = U (T (F ({\ bar {\ xi}}, \ xi))).}

Разложение f во вторую степень равно

{\ displaystyle f ^ {a} ({\ bar {\ xi}}, \ xi) = \ xi ^ {a} + {\ bar {\ xi}} ^ {a} + \ sum _ {b, c} f ^ {abc} {\ bar {\ xi}} ^ {b} \ xi ^ {c}.}

После расширения уравнения умножения представления и приравнивания коэффициентов имеем нетривиальное условие

{\ displaystyle t_ {bc} = - t_ {b} t_ {c} -i \ sum _ {a} f ^ {abc} t_ {a}.}

Поскольку он по определению симметричен по своим индексам, мы имеем стандартный коммутатор алгебры Ли : ${\ displaystyle t_ {ab}}$

{\ displaystyle [t_ {b}, t_ {c}] = я \ сумма _ {a} (- f ^ {abc} + f ^ {acb}) t_ {a} = i \ sum _ {a} C ^ {abc} t_ {a},}

где C - структурная постоянная . Генераторами переводов являются операторы с частными производными, которые коммутируют:

{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {b}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {c}}} \ right] = 0.}

Это означает, что структурные константы обращаются в нуль, а значит, равны нулю и квадратичные коэффициенты в разложении f. Это означает, что f просто аддитивно:

{\ displaystyle f _ {\ text {abelian}} ^ {a} ({\ bar {\ xi}}, \ xi) = \ xi ^ {a} + {\ bar {\ xi}} ^ {a},}

а значит, для абелевых групп

{\ Displaystyle U (T ({\ bar {\ xi}})) U (T (\ xi)) = U (T ({\ bar {\ xi}} + \ xi)).}

QED

Вращения

Оператор вращения также содержит производную по направлению. Оператор поворота на угол θ , т.е. на величину θ = | θ | вокруг оси , параллельной IS ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = {\ boldsymbol {\ theta}} / \ theta}$

{\ Displaystyle U (R (\ mathbf {\ theta})) = \ exp (-i \ mathbf {\ theta} \ cdot \ mathbf {L}).}

Здесь L - векторный оператор, генерирующий SO (3) :

{\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \ end {pmatrix}} \ mathbf {i} + {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ mathbf {j} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ mathbf {k}.}

Геометрически можно показать, что бесконечно малое правое вращение изменяет вектор положения x на

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ rightarrow \ mathbf {x} - \ delta {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {x}.}

Таким образом, при бесконечно малом вращении мы ожидаем:

{\ Displaystyle U (R (\ delta {\ boldsymbol {\ theta}})) f (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x} - \ delta {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x}) - (\ delta {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ mathbf {x}) \ cdot \ nabla f.}

Следует, что

{\ Displaystyle U (R (\ delta \ mathbf {\ theta})) = 1 - (\ delta \ mathbf {\ theta} \ times \ mathbf {x}) \ cdot \ nabla.}

Следуя той же процедуре возведения в степень, что и выше, мы приходим к оператору вращения в базисе положения, который является экспоненциальной производной по направлению:

{\ Displaystyle U (R (\ mathbf {\ theta})) = \ exp (- (\ mathbf {\ theta} \ times \ mathbf {x}) \ cdot \ nabla).}

Нормальная производная

Нормальная производная является производная по направлению берется в направлении нормали (то есть, ортогонально ) к какой - либо поверхности в пространстве, или в более общем случае вдоль вектора нормали поля , ортогонального к некоторой гиперповерхности . См., Например, граничное условие Неймана . Если направление нормали обозначено как , то нормальная производная функции f иногда обозначается как . В других обозначениях ${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {n}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {n}}} = \ nabla f (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {n} = \ nabla _ {\ mathbf {n}} {f} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {x}}} \ cdot \ mathbf {n} = Df (\ mathbf {x}) [\ mathbf {n }].}

В механике сплошной среды твердого тела

Некоторые важные результаты в механике сплошной среды требуют производных векторов по векторам и тензоров по векторам и тензорам. Директива Направленная обеспечивает систематический способ нахождения этих производных.

Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярных функций векторов

Пусть f ( v ) - вещественная функция вектора v. Тогда производная f (v) по v (или в точке v) - это вектор, определенный через его скалярное произведение с любым вектором u, равным

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = Df (\ mathbf {v}) [\ mathbf {u}] = \ left [{\ гидроразрыв {\ rm {d}} {{\ rm {d}} \ alpha}} ~ f (\ mathbf {v} + \ alpha ~ \ mathbf {u}) \ right] _ {\ alpha = 0}}

для всех векторов u. Вышеупомянутое скалярное произведение дает скаляр, а если u является единичным вектором, дает производную f по направлению в точке v в направлении u.

Характеристики:

Если тогда ${\ Displaystyle е (\ mathbf {v}) = f_ {1} (\ mathbf {v}) + f_ {2} (\ mathbf {v})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial \ mathbf {v) }}} + {\ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ right) \ cdot \ mathbf {u}}$
Если тогда ${\ Displaystyle е (\ mathbf {v}) = f_ {1} (\ mathbf {v}) ~ f_ {2} (\ mathbf {v})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial \ mathbf {v }}} \ cdot \ mathbf {u} \ right) ~ f_ {2} (\ mathbf {v}) + f_ {1} (\ mathbf {v}) ~ \ left ({\ frac {\ partial f_ {2 }} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} \ right)}$
Если тогда ${\ Displaystyle е (\ mathbf {v}) = f_ {1} (f_ {2} (\ mathbf {v}))}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial f_ {2}}} ~ {\ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u}}$

Производные векторных функций векторов

Пусть f (v) вектор-функция вектора v. Тогда производная f (v) по v (или в точке v) является тензором второго порядка, определенным через его скалярное произведение с любым вектором u, равным

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = D \ mathbf {f} (\ mathbf {v}) [\ mathbf { u}] = \ left [{\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} \ alpha}} ~ \ mathbf {f} (\ mathbf {v} + \ alpha ~ \ mathbf {u} ) \ right] _ {\ alpha = 0}}

для всех векторов u. Вышеупомянутое скалярное произведение дает вектор, и если u является единичным вектором, дает производную f по направлению в точке v в направлении u.

Характеристики:

Если тогда ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {v}) = \ mathbf {f} _ {1} (\ mathbf {v}) + \ mathbf {f} _ {2} (\ mathbf {v})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {f} _ {1 }} {\ partial \ mathbf {v}}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {f} _ {2}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ right) \ cdot \ mathbf {u}}$
Если тогда ${\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {v}) = \ mathbf {f} _ {1} (\ mathbf {v}) \ times \ mathbf {f} _ {2} (\ mathbf {v}) }$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {f} _ {1 }} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} \ right) \ times \ mathbf {f} _ {2} (\ mathbf {v}) + \ mathbf {f} _ {1} (\ mathbf {v}) \ times \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {f} _ {2}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} \ right)}$
Если тогда ${\ Displaystyle \ mathbf {е} (\ mathbf {v}) = \ mathbf {f} _ {1} (\ mathbf {f} _ {2} (\ mathbf {v}))}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u} = {\ frac {\ partial \ mathbf {f} _ {1}} { \ partial \ mathbf {f} _ {2}}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {f} _ {2}} {\ partial \ mathbf {v}}} \ cdot \ mathbf {u } \Правильно)}$

Производные скалярных функций от тензоров второго порядка

Пусть - вещественная функция тензора второго порядка . Тогда производная от по (или по ) по направлению является тензором второго порядка, определяемым как ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {S}})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$ ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {S}})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = Df ({\ boldsymbol {S}}) [{\ boldsymbol {T}} ] = \ left [{\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} \ alpha}} ~ f ({\ boldsymbol {S}} + \ alpha ~ {\ boldsymbol {T}}) \ справа] _ {\ alpha = 0}}

для всех тензоров второго порядка . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$

Характеристики:

Если тогда ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {S}}) = f_ {1} ({\ boldsymbol {S}}) + f_ {2} ({\ boldsymbol {S}})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = \ left ({\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial { \ boldsymbol {S}}}} + {\ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}} \ right): {\ boldsymbol {T}}}$
Если тогда ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {S}}) = f_ {1} ({\ boldsymbol {S}}) ~ f_ {2} ({\ boldsymbol {S}})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = \ left ({\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial { \ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} \ right) ~ f_ {2} ({\ boldsymbol {S}}) + f_ {1} ({\ boldsymbol {S}}) ~ \ left ({\ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} \ right)}$
Если тогда ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {S}}) = f_ {1} (f_ {2} ({\ boldsymbol {S}}))}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial f_ {2} }} ~ \ left ({\ frac {\ partial f_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} \ right)}$

Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка

Пусть - тензорная функция второго порядка от тензора второго порядка . Тогда производная от по (или при ) по направлению является тензором четвертого порядка, определяемым как ${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {S}})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {S}})}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = D {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {S}}) [{\ boldsymbol {T}}] = \ left [{\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} \ alpha}} ~ {\ boldsymbol {F}} ({ \ boldsymbol {S}} + \ alpha ~ {\ boldsymbol {T}}) \ right] _ {\ alpha = 0}}

для всех тензоров второго порядка . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}}}$

Характеристики:

Если тогда ${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {S}}) = {\ boldsymbol {F}} _ {1} ({\ boldsymbol {S}}) + {\ boldsymbol {F}} _ { 2} ({\ boldsymbol {S}})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = \ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}} _ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}} + {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}} _ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {S}} }} \ right): {\ boldsymbol {T}}}$
Если тогда ${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {S}}) = {\ boldsymbol {F}} _ {1} ({\ boldsymbol {S}}) \ cdot {\ boldsymbol {F}} _ {2} ({\ boldsymbol {S}})}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = \ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}} _ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} \ right) \ cdot {\ boldsymbol {F}} _ {2} ({\ boldsymbol { S}}) + {\ boldsymbol {F}} _ {1} ({\ boldsymbol {S}}) \ cdot \ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}} _ {2}} {\ частичный {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} \ right)}$
Если тогда ${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} ({\ boldsymbol {S}}) = {\ boldsymbol {F}} _ {1} ({\ boldsymbol {F}} _ {2} ({\ boldsymbol {S} }))}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F} } _ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {F}} _ {2}}}: \ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}} _ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} \ right)}$
Если тогда ${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {S}}) = f_ {1} ({\ boldsymbol {F}} _ {2} ({\ boldsymbol {S}}))}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T}} = {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial {\ boldsymbol { F}} _ {2}}}: \ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {F}} _ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {S}}}}: {\ boldsymbol {T} }\Правильно)}$

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Хильдебранд, Ф. Б. (1976). Расширенный расчет для приложений . Прентис Холл. ISBN 0-13-011189-9.
К.Ф. Райли; М. П. Хобсон; SJ Бенце (2010). Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
Шапиро, А. (1990). «О понятиях дифференцируемости по направлениям». Журнал теории оптимизации и приложений . 66 (3): 477–487. DOI : 10.1007 / BF00940933 .

внешние ссылки

СМИ, связанные с направленной производной на Викискладе?

Направленные производные в MathWorld .
Производная по направлению в PlanetMath .

Languages

In other projects

Производная по направлению - Directional derivative

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Для дифференцируемых функций

Использование только направления вектора

Ограничение на единичный вектор

Характеристики

В дифференциальной геометрии

Производная Ли

Тензор Римана

В теории групп

Переводы

Вращения

Нормальная производная

В механике сплошной среды твердого тела

Производные скалярных функций векторов

Производные векторных функций векторов

Производные скалярных функций от тензоров второго порядка

Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки