Предел функции - Limit of a function

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

В математике , то предел функции является фундаментальным понятием в исчислении и анализе о поведении этой функции вблизи конкретного входа .

Ниже приведены формальные определения, впервые разработанные в начале 19 века. Неформально функция f назначает выход f ( x ) каждому входу x . Мы говорим, что функция имеет предел L на входе p, если f ( x ) становится все ближе и ближе к L по мере того, как x перемещается все ближе и ближе к p . Более конкретно, когда f применяется к любому входу, достаточно близкому к p , выходное значение принудительно приближается к L произвольно . С другой стороны, если некоторые входы, очень близкие к p , используются для выходов, которые остаются на фиксированном расстоянии друг от друга, то мы говорим, что предел не существует .

Понятие предела имеет множество приложений в современном исчислении . В частности, многие определения непрерывности используют понятие предела: грубо говоря, функция является непрерывной, если все ее пределы согласуются со значениями функции. Понятие предела также появляется в определении производной : в исчислении одной переменных, это предельное значение наклона от секущих линий к графике функции.

История

Современная идея предела функции, хотя и подразумеваемая в развитии исчисления 17 и 18 веков, восходит к Больцано, который в 1817 году ввел основы эпсилон-дельта- техники для определения непрерывных функций. Однако его творчество при жизни не было известно.

В 1821 книге Cours d'анализа , Коши обсудили переменные величины, бесконечно малые и пределы, и определенную преемственность , говоря , что изменение ничтожно х обязательно производит изменение ничтожно у , в то время как ( Grabiner 1983 ) утверждает , что он использовал строгий эпсилон -дельта-определение в доказательствах. Вейерштрасс впервые ввел эпсилон-дельта-определение предела в том виде, в котором оно обычно пишется сегодня. Он также ввел обозначения lim и lim _{x → x 0} . ${\ Displaystyle у = е (х)}$

Современное обозначение размещения стрелки под символом предела принадлежит Харди , которое представлено в его книге «Курс чистой математики» в 1908 году.

Мотивация

Представьте себе человека, идущего по ландшафту, представленному графиком y = f ( x ). Их горизонтальное положение измеряется значением x , так же как положение, заданное картой местности или глобальной системой позиционирования . Их высота задается координатой y . Они идут к горизонтальному положению, заданному x = p . Поскольку они становятся все ближе и ближе к нему, они замечают , что их высота приближается к L . Если вопрос о высоте х = р , они затем ответить L .

Что же тогда означает, что их высота приближается к L? Это означает, что их высота становится все ближе и ближе к L - за исключением возможной небольшой ошибки в точности. Например, предположим, что мы поставили перед путешественником конкретную цель по точности: он должен приблизиться к L в пределах 10 метров . Они сообщают назад , что на самом деле, они могут получить в течение десяти вертикальных метров L , так как они отмечают , что , когда они находятся в пределах пятидесяти горизонтальных метров р , их высота над уровнем моря всегда десять метров или меньше от L .

Затем цель точности изменяется: могут ли они уложиться в пределах одного метра по вертикали? да. Если они находятся в любом месте в пределах семи горизонтальных метров р , их высота над уровнем моря всегда будет оставаться в пределах одного метра от мишени L . Таким образом, сказать, что высота путешественника приближается к L, когда его горизонтальное положение приближается к p , значит сказать, что для каждой целевой точности, какой бы маленькой она ни была, существует некоторая окрестность p , высота которой соответствует этой цели точности.

Исходное неформальное утверждение теперь можно пояснить:

Предел функции f ( x ) по мере приближения x к p - это число L со следующим свойством: при любом целевом расстоянии от L существует расстояние от p, в пределах которого значения f ( x ) остаются в пределах целевого расстояния.

Фактически, это явное утверждение довольно близко к формальному определению предела функции со значениями в топологическом пространстве .

Точнее сказать, что

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р} е (х) = L, \,}$

означает, что ƒ ( x ) можно сделать настолько близким к L, насколько это необходимо, сделав x достаточно близким, но не равным  p .

Следующие ниже определения, известные как (ε, δ) -определения, являются общепринятыми определениями предела функции в различных контекстах.

Функции одной переменной

(ε, δ) -определение предела

Пусть F  : R → R определена на вещественной прямой и р, L ∈ R . Можно сказать, что предел f , когда x приближается к p , равен L и записывается

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р} е (х) = L,}$

или, альтернативно, как:

${\ Displaystyle е (х) \ к L}$as (читается как " имеет тенденцию как стремится к ")${\ displaystyle x \ to p}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

если выполняется следующее свойство:

• Для любого действительного ε > 0 существует вещественное δ > 0 такое, что для всех действительных x 0 <| х - р | < δ влечет | f ( x ) - L | < ε .

Более общее определение применяется к функциям, определенным на подмножествах реальной прямой. Пусть ( a ,  b ) - открытый интервал в R , а p - точка ( a ,  b ). Пусть f - вещественная функция, определенная на всех ( a ,  b ), кроме, возможно, самой p . Тогда говорят, что предел f при приближении x к p равен L, если для любого действительного ε > 0 существует вещественное δ > 0 такое, что 0 <| х - р | < δ и x ∈ ( a , b ) влечет | f ( x ) - L | < ε .

Здесь обратите внимание, что значение предела не зависит от определения f в p или от значения f ( p ) - если оно определено.

Буквы ε и δ можно понимать как «погрешность» и «расстояние». Фактически, Коши использовал ε как сокращение от «ошибки» в некоторых своих работах, хотя в своем определении непрерывности он использовал бесконечно малую величину, а не ε или δ (см. Cours d'Analyse ). Таким образом, ошибка ( ε ) в измерении предельного значения может быть сделана сколь угодно малой путем уменьшения расстояния ( δ ) до предельной точки. Как обсуждается ниже, это определение также работает для функций в более общем контексте. Идея о том, что δ и ε представляют собой расстояния, помогает предложить эти обобщения. ${\ displaystyle \ alpha}$

Существование и односторонние ограничения

В качестве альтернативы x может приближаться к p сверху (справа) или снизу (слева), и в этом случае пределы могут быть записаны как

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р ^ {+}} е (х) = L}$

или

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р ^ {-}} е (х) = L}$

соответственно. Если эти пределы существуют в точке р и равны там, то это может упоминаться как в пределе е ( х ) при р . Если односторонние пределы существуют в p , но не равны, то в p нет предела (т. Е. Предела в p не существует). Если какой-либо односторонний предел не существует в p , то предел в p также не существует.

Формальное определение выглядит следующим образом. Предел f ( x ) при приближении x к p сверху равен L, если для любого ε  > 0 существует такое δ > 0, что | f ( x ) -  L | <  ε, если 0 <  x  -  p  <  δ . Предел f ( x ) при приближении x к p снизу равен L, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что | f ( x ) -  L | <  ε, если 0 <  p  -  x  <  δ .

Если предел не существует, то колебание из е в р не равен нулю.

Более общие подмножества

Помимо открытых интервалов, пределы могут быть определены для функций на произвольных подмножествах R следующим образом ( Bartle & Sherbert 2000 ) : пусть f - вещественнозначная функция, определенная на подмножестве S действительной прямой. Пусть р является предельной точкой из S , то есть, р является пределом некоторой последовательности элементов S , отличных от р. Предел f , когда x приближается к p от значений в S , равен L, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что 0 <| х - р | < δ и x ∈ S следует, что | f ( x ) - L | < ε . ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBartleSherbert2000 ( справка )

Этот предел часто записывается как:

${\ Displaystyle L = \ lim _ {\ stackrel {x \ to p} {x \ in S}} f (x).}$

Условие определения f на S состоит в том, что S является подмножеством области определения f . Это обобщение включает в себя как частные случаи пределы интервала, так и левые пределы действительных функций (например, принимая S за открытый интервал формы ) и правые пределы (например, принимая S быть открытым интервалом формы ). Он также расширяет понятие односторонних пределов на включенные конечные точки (полу) замкнутых интервалов, поэтому функция квадратного корня f ( x ) = √ x может иметь предел 0, когда x приближается к 0 сверху. ${\ Displaystyle (- \ infty, а)}$${\ Displaystyle (а, \ infty)}$

Удаленные и не удаленные лимиты

Приведенное здесь определение предела не зависит от того, как (и от того , определяется ли) f в p . Бартл (1967) называет это удаленным пределом , потому что он исключает значение f в p . Соответствующий неудаленный предел действительно зависит от значения f в p , если p находится в области f :

• Число L - это неотменяемый предел f при приближении x к p, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что | х  -  р  | <  δ и x ∈ Dm ( f ) влечет | f ( x ) -  L  | <  ε .

Определение то же самое, за исключением того, что окрестность | х  -  р  | <  δ теперь включает точку p , в отличие от удаленной окрестности 0 <| х  -  р  | <  δ . Это делает определение неудаленного лимита менее общим. Одним из преимуществ работы с неудаленными пределами является то, что они позволяют сформулировать теорему о пределах композиций без каких-либо ограничений на функции (кроме существования их неудаленных пределов) ( Hubbard (2015) ).

Бартл (1967) отмечает, что, хотя под «ограничением» некоторые авторы действительно подразумевают этот не удаленный предел, удаленные ограничения являются наиболее популярными. Например, Апостол (1974) , Курант (1924) , Харди (1921) , Рудин (1964) , Уиттакер и Ватсон (1902) все используют термин «предел» для обозначения удаленного предела. Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFWhittakerWatson1902 ( помощь )

Примеры

Отсутствие одностороннего предела (ов)

Функция

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin {\ frac {5} {x-1}} & {\ text {for}} x <1 \\ 0 & {\ text {for}} x = 1 \\ {\ frac {0.1} {x-1}} & {\ text {for}} x> 1 \ end {case}}}$

не имеет предела в (левый предел не существует из-за колебательного характера синусоидальной функции, а правый предел не существует из-за асимптотического поведения обратной функции), но имеет предел в каждом другом x -координата. ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$

Функция

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 & x {\ text {рациональное}} \\ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {cases}}}$

(также известная как функция Дирихле ) не имеет предела ни в какой x -координате.

Неравенство односторонних пределов

Функция

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} 1 & {\ text {for}} x <0 \\ 2 & {\ text {for}} x \ geq 0 \ end {cases}}}$

имеет предел в каждой ненулевой координате x (предел равен 1 для отрицательного x и равен 2 для положительного x ). Предел при x = 0 не существует (левый предел равен 1, а правый предел равен 2).

Ограничения только в одной точке

Функции

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} x & x {\ text {рациональное}} \\ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {case}}}$

а также

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} | x | & x {\ text {рациональный}} \\ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {cases}}}$

оба имеют предел при x = 0, и он равен 0.

Пределы в счетном множестве точек

Функция

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin x & x {\ text {irrational}} \\ 1 & x {\ text {рациональное}} \ end {cases}}}$

имеет предел в любой координате x вида , где n - любое целое число. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + 2n \ pi}$

Функции на метрических пространствах

Пусть М и N являются подмножествами метрических пространств A и B , соответственно, и ф  : М → N определен между M и N , при х ∈ М, р предельной точкой из M и L ∈ N . Говорят, что предел f при приближении x к p равен L, и пишем

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р} е (х) = L}$

если выполняется следующее свойство:

• Для любого ε> 0 существует такое δ> 0, что d _B ( f ( x ), L ) <ε, если 0 <  d _A ( x ,  p ) <  δ .

Опять же , обратите внимание , что р не должно быть в области е , и не L необходимости находиться в диапазоне от е , и даже если е ( р ) определяется она не должна быть равна L .

Альтернативное определение с использованием концепции соседства выглядит следующим образом:

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р} е (х) = L}$

если для любой окрестности V из L в B , существует окрестность U из р в А такой , что F (U ∩ M - { р }) ⊆ V .

Функции на топологических пространствах

Предположим, что X , Y - топологические пространства, причем Y - хаусдорфово пространство . Пусть р будет предельная точка из Ом ⊆  X и L ∈ Y . Для функции f  : Ω → Y говорят, что предел f при приближении x к p равен L (т. Е. F ( x ) → L при x → p ) и записывается

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к р} е (х) = L}$

если выполняется следующее свойство:

• Для каждой открытой окрестности V из L , существует открытая окрестность U из р такая , что F ( U  ∩ Ω - { р }) ⊆ V .

Эта последняя часть определения может быть также сформулирована «существует открытые проколотые окрестности U из р таких , что F ( U ∩Ω) ⊆ V ».

Обратите внимание, что область определения f не обязательно должна содержать p . Если это так, то значение f в p не имеет отношения к определению предела. В частности, если область F является Й  - { р } (или все из X ), то предел F , как х → р существует и равно L , если для всех подмножеств Q , из X с предельной точкой р , то предел сужения F на Q , существует и равна L . Иногда этот критерий используется для установления отсутствия двустороннего предела функции на R , показывая, что односторонние пределы либо не существуют, либо не согласуются. Такой взгляд является фундаментальным в области общей топологии , где пределы и непрерывность в точке определяются в терминах специальных семейств подмножеств, называемых фильтрами или обобщенными последовательностями, известными как сети .

В качестве альтернативы требование, чтобы Y было хаусдорфовым пространством, можно ослабить до предположения, что Y - общее топологическое пространство, но тогда предел функции может быть не единственным. В частности, больше нельзя говорить о пределе функции в точке, а скорее о пределе или наборе пределов в точке.

Функция непрерывна в граничной точке р из и в своей области , если и только если F ( р ) является (или, в общем случае, ) предел F ( х ) в виде й стремится к р .

Пределы бесконечности

Пределы на бесконечности

Пусть , а . ${\ Displaystyle S \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ in S}$${\ displaystyle f: S \ mapsto \ mathbb {R}}$

Предел f, когда x стремится к бесконечности, равен L , обозначаемый

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к \ infty} е (х) = L,}$

означает, что для всех существует c такое, что всякий раз , когда x  >  c . Или символически: ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle | е (х) -L | <\ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ существует c \; \ forall x> c: \; | f (x) -L | <\ varepsilon}$.

Точно так же предел f, когда x приближается к отрицательной бесконечности, равен L , обозначаемый

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к - \ infty} е (х) = L,}$

означает, что для всех существует c такое, что всякий раз , когда x  <  c . Или символически: ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle | е (х) -L | <\ varepsilon}$

${\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ существует c \; \ forall x <c: \; | f (x) -L | <\ varepsilon}$.

Например,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} e ^ {x} = 0. \,}$

Бесконечные пределы

Для функции, значения которой неограниченно растут, функция расходится и обычного предела не существует. Однако в этом случае можно ввести пределы с бесконечными значениями. Пусть , а . Утверждение, что предел f при приближении x к a равен бесконечности , обозначается ${\ Displaystyle S \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ in S}$${\ displaystyle f: S \ mapsto \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (х) = \ infty,}$

означает, что для всех существует такое, что всякий раз , когда${\ displaystyle N> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle f (x)> N}$${\ displaystyle 0 <| xa | <\ delta.}$

Эти идеи можно естественным образом комбинировать для получения определений различных комбинаций, таких как

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = \ infty, \ lim _ {x \ to a ^ {+}} f (x) = - \ infty.}$

Например,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ ln x = - \ infty.}$

Пределы на бесконечность связаны с понятием асимптот .

Эти понятия предела пытаются дать интерпретацию метрического пространства предельным значениям на бесконечности. Фактически, они согласуются с определением предела в топологическом пространстве, если

• окрестность −∞ определяется как содержащая интервал [−∞,  c ) для некоторого c  ∈  R ,
• окрестность точки ∞ определяется как содержащая интервал ( c , ∞], где c  ∈  R , и
• окрестность в ∈ R определяется обычным способом метрического пространства R .

В этом случае R является топологическим пространством, и любая функция вида f :  X  →  Y с X ,  Y ⊆  R подлежит топологическому определению предела. Обратите внимание, что с этим топологическим определением легко определить бесконечные пределы в конечных точках, которые не были определены выше в метрическом смысле.

Альтернативная нотация

Многие авторы позволяют использовать проективно расширенную действительную линию как способ включения бесконечных значений, а также расширенную действительную линию . В этих обозначениях расширенная вещественная прямая задается как R ∪ {−∞, + ∞}, а проективно расширенная вещественная прямая имеет вид R  ∪ {∞}, где окрестность ∞ - это множество вида { x : | х | > c }. Преимущество состоит в том, что для охвата всех случаев достаточно трех определений пределов (левого, правого и центрального). Как было сказано выше, для полностью строгого учета нам потребуется рассмотреть 15 отдельных случаев для каждой комбинации бесконечностей (пять направлений: −∞, левое, центральное, правое и + ∞; три границы: −∞, конечное или + ∞). Есть и серьезные подводные камни. Например, при работе с расширенной реальной линией не имеет центрального ограничения (что нормально): ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {1 \ over x} = + \ infty, \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} {1 \ over x} = - \ infty .}$

Напротив, при работе с проективной действительной линией бесконечности (как и 0) беззнаковые, поэтому центральный предел действительно существует в этом контексте:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} {1 \ over x} = \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} {1 \ over x} = \ lim _ {x \ to 0} {1 \ over x} = \ infty.}$

Фактически используется множество противоречащих друг другу формальных систем. В некоторых приложениях численного дифференцирования и интегрирования удобно, например, иметь нули со знаком . Простая причина связана с обратным , а именно, это удобно, чтобы считаться истинным. Такие нули можно рассматривать как приближение к бесконечно малым . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} {x ^ {- 1}} = - \ infty}$${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к - \ infty} {х ^ {- 1}} = - 0}$

Пределы на бесконечности для рациональных функций

Есть три основных правила оценки пределов на бесконечности для рациональной функции f ( x ) = p ( x ) / q ( x ): (где p и q - многочлены):

• Если степень из р больше , чем степень д , то предел положительная или отрицательная бесконечность в зависимости от признаков старших коэффициентов;
• Если степени p и q равны, предел - это старший коэффициент p, деленный на старший коэффициент q ;
• Если степень p меньше степени q , предел равен 0.

Если предел на бесконечности существует, то он представляет собой горизонтальную асимптоту у = L . Многочлены не имеют горизонтальных асимптот; однако такие асимптоты могут встречаться с рациональными функциями.

Функции более чем одной переменной

Отметив, что | х  -  р | представляет собой расстояние, определение предела может быть распространено на функции более чем одной переменной. В случае функции f  : R ² → R ,

${\ Displaystyle \ lim _ {(х, у) \ к (р, д)} е (х, у) = L}$

если

для любого ε > 0 существует такое δ> 0, что для всех ( x , y ) с 0 <|| ( x , y ) - ( p , q ) || <δ, то | f ( x , y ) -  L | <ε

где || ( x , y ) - ( p , q ) || представляет собой евклидово расстояние . Это можно распространить на любое количество переменных.

Последовательные ограничения

Пусть F  : X → Y отображение из топологического пространства X в хаусдорфово пространство Y , р ∈ X предельной точки X и L ∈ Y .

Последовательный предел из F , как х стремится к р является L , если для каждой последовательности ( х _п ) в X - { р } , что сходится к р , последовательность F ( х _п ) сходится к L .

Если L является пределом (в указанном выше смысле) f при приближении x к p , то это также последовательный предел, однако обратное утверждение не обязательно. Если вдобавок X является метризуемым , то L является последовательным пределом f, когда x приближается к p, тогда и только тогда, когда это предел (в указанном выше смысле) f, когда x приближается к p .

Другие характеристики

С точки зрения последовательностей

Для функций на действительной прямой один из способов определить предел функции - это предел последовательностей. (Это определение обычно приписывают Эдуарду Гейне .) В этой обстановке:

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (х) = L}$

тогда и только тогда, когда для всех последовательностей ( не равных a для всех n ), сходящихся к последовательности, сходится к . Как было показано Серпинский в 1916 году , что доказывает эквивалентность этого определения и определение выше, требует и эквивалентно слабой форме аксиомы выбора . Обратите внимание, что для определения того, что означает сходимость последовательности, требуется эпсилон, дельта-метод . ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f (x_ {n})}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle a}$

Аналогично тому, как это было в случае определения Вейерштрасса, более общее определение Гейне применяется к функциям, определенным на подмножествах вещественной прямой. Пусть f - вещественная функция с областью определения Dm ( f ). Пусть a - предел последовательности элементов Dm ( f ) \ { a }. Тогда предел (в этом смысле) F является L в качестве х подходов р , если для любой последовательности  ∈  Dm ( е ) \ { } (так что для всех п , не равна ) , которая сходится к , последовательность сходится к . Это то же самое, что определение последовательного предела в предыдущем разделе, полученное путем рассмотрения подмножества Dm ( f ) в R как метрического пространства с индуцированной метрикой. ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle f (x_ {n})}$${\ displaystyle L}$

В нестандартном исчислении

В нестандартном исчислении предел функции определяется:

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (х) = L}$

тогда и только тогда, когда для всех , бесконечно мал, когда бесконечно мал. Вот являются числами Гипердействительного и является естественным продолжением е к нестандартным действительным числам. Кейслер доказал, что такое гиперреальное определение предела уменьшает кванторную сложность на два квантора. С другой стороны, Хрбачек пишет, что определения действительны для всех гиперреалистических чисел, они должны быть неявно основаны на методе ε-δ, и утверждает, что с педагогической точки зрения надежда на то, что нестандартное исчисление может быть сделать без ε-δ методы не могут быть реализованы в полной мере. Bŀaszczyk et al. деталь полезности микронепрерывности в разработке прозрачного определения равномерной непрерывности, и критики характеризуют Hrbacek как «сомнительный плач». ${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {*}}$${\ displaystyle f ^ {*} (х) -L}$${\ displaystyle xa}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$${\ displaystyle f ^ {*}}$

По близости

На международном математическом конгрессе 1908 г. Ф. Рис представил альтернативный способ определения пределов и непрерывности понятия, названный «близостью». Точка определяется быть рядом с множеством , если для каждого существует точка , так что . В этой настройке ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle А \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle a \ in A}$${\ displaystyle | xa | <r}$

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (х) = L}$

если и только если для всех , рядом, когда рядом . Вот набор . Это определение также можно распространить на метрические и топологические пространства. ${\ Displaystyle А \ substeq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f (A)}$${\ Displaystyle \ {е (х) | х \ в А \}}$

Отношение к преемственности

Понятие предела функции очень тесно связано с понятием непрерывности. Функция ƒ называется непрерывной в c, если она определена в c и ее значение в c равно пределу f при приближении x к c :

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = f (c).}$

(Здесь мы предположили, что c - предельная точка области определения f .)

Характеристики

Если функция F вещественна, то предел е на р является L , если и только если обе правые предела и левой рукой предел е в р существуют и равны L .

Функция F является непрерывным в р тогда и только тогда , когда предел F ( х ) как х приближается к р существует и равен F ( р ). Если f  : M → N - функция между метрическими пространствами M и N , то это эквивалентно тому, что f преобразует каждую последовательность в M, сходящуюся к p, в последовательность в N, сходящуюся к f ( p ).

Если N - нормированное векторное пространство , то предельная операция линейна в следующем смысле: если предел f ( x ) при приближении x к p равен L, а предел g ( x ) при приближении x к p равен P , то предел F ( х ) + д ( х ) как х приближается к р является L + P . Если a - скаляр из базового поля , то предел af ( x ) при приближении x к p равен aL .

Если е и г имеют вещественные (или комплекснозначных) функции, то переходя к пределу операции на F ( х ) и г ( х ) (например, , , , , ) при определенных условиях совместим с операцией пределы f (x) и g (x) . Этот факт часто называют алгебраической предельной теоремой . Основным условием, необходимым для применения следующих правил, является наличие ограничений в правых частях уравнений (другими словами, эти пределы являются конечными значениями, включая 0). Кроме того, тождество для деления требует, чтобы знаменатель в правой части был отличным от нуля (деление на 0 не определено), а тождество для возведения в степень требует, чтобы основание было положительным или нулем, когда показатель степени положительный (конечный ). ${\ displaystyle f + g}$ ${\ displaystyle fg}$ ${\ displaystyle f \ times g}$ ${\ displaystyle f / g}$ ${\ displaystyle f ^ {g}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ lim \ limits _ {x \ to p} & (f (x) + g (x)) & = & \ lim \ limits _ {x \ to p} f (x) + \ lim \ limits _ {x \ to p} g (x) \\\ lim \ limits _ {x \ to p} & (f (x) -g (x)) & = & \ lim \ limits _ { x \ to p} f (x) - \ lim \ limits _ {x \ to p} g (x) \\\ lim \ limits _ {x \ to p} & (f (x) \ cdot g (x) ) & = & \ lim \ limits _ {x \ to p} f (x) \ cdot \ lim \ limits _ {x \ to p} g (x) \\\ lim \ limits _ {x \ to p} & (f (x) / g (x)) & = & {\ lim \ limits _ {x \ to p} f (x) / \ lim \ limits _ {x \ to p} g (x)} \\\ lim \ limits _ {x \ to p} & f (x) ^ {g (x)} & = & {\ lim \ limits _ {x \ to p} f (x) ^ {\ lim \ limits _ {x \ к p} g (x)}} \ end {matrix}}}$

Эти правила также действительны для односторонних ограничений, в том числе когда p равно ∞ или −∞. В каждом приведенном выше правиле, когда один из пределов справа равен ∞ или −∞, предел слева может иногда определяться следующими правилами.

• q + ∞ = ∞, если q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞, если q > 0
• q × ∞ = −∞, если q <0
• q / ∞ = 0, если q ≠ ∞ и q ≠ −∞
• ∞ ^q = 0, если q <0
• ∞ ^q = ∞, если q > 0
• q ^∞ = 0, если 0 < q <1
• q ^∞ = ∞, если q > 1
• q ^−∞ = ∞, если 0 < q <1
• q ^−∞ = 0, если q > 1

(см. также строку с расширенными действительными числами ).

В других случаях предел слева может все еще существовать, хотя правая часть, называемая неопределенной формой , не позволяет определить результат. Это зависит от функций f и g . Эти неопределенные формы:

• 0/0
• ± ∞ / ± ∞
• 0 × ± ∞
• ∞ + −∞
• 0 ⁰
• ∞ ⁰
• 1 ^{± ∞}

См. Далее правило L'Hôpital ниже и неопределенную форму .

Пределы составов функций

В общем, зная, что

${\ Displaystyle \ lim _ {у \ к b} е (у) = с}$и ,${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} g (x) = b}$

из этого не следует . Однако это «цепное правило» действительно, если выполняется одно из следующих дополнительных условий: ${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (г (х)) = с}$

• f ( b ) = c (то есть f непрерывна в b ), или
• g не принимает значение b рядом с a (то есть существует такое, что if then ).${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle 0 <| xa | <\ delta}$${\ displaystyle | g (x) -b |> 0}$

В качестве примера этого явления рассмотрим следующие функции, которые нарушают оба дополнительных ограничения:

${\ displaystyle f (x) = g (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 1 & {\ text {if}} x = 0 \ end {cases}} .}$

Поскольку значение в f (0) является устранимым разрывом ,

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (х) = 0}$для всех .${\ displaystyle a}$

Таким образом, наивное цепное правило предполагает, что предел f ( f ( x )) равен 0. Однако это тот случай, когда

${\ displaystyle f (f (x)) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {if}} x = 0 \ end {cases}}}$

так что

${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к а} е (е (х)) = 1}$для всех .${\ displaystyle a}$

Пределы особого интереса

Рациональные функции

Для неотрицательного целого числа и констант и , ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, \ ldots, b_ {n}}$

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {a_ {1} {x} ^ {n} + a_ {2} {x} ^ {n-1} + a_ {3} {x} ^ {n-2} + ... + a_ {n}} {b_ {1} {x} ^ {n} + b_ {2} {x} ^ {n-1} + b_ {3} {x} ^ {n-2} + ... + b_ {n}}} = {\ frac {a_ {1}} {b_ {1}}}}$

Это можно доказать, разделив числитель и знаменатель на . Если числитель является многочленом более высокой степени, предел не существует. Если знаменатель более высокой степени, предел равен 0. ${\ Displaystyle х ^ {п}}$

Тригонометрические функции

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {1- \ cos x} {x}} = 0}$

Экспоненциальные функции

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} (1 + x) ^ {\ frac {1} {x}} = \ lim _ {r \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1}) {r}} \ right) ^ {r} = e}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {x} -1} {x}} = 1}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e ^ {ax} -1} {bx}} = {\ frac {a} {b}}}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {c ^ {ax} -1} {bx}} = {\ frac {a} {b}} \ ln c}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {x} = 1}$

Логарифмические функции

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ ln (1 + x)} {x}} = 1}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ ln (1 + ax)} {bx}} = {\ frac {a} {b}}}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ log _ {c} (1 + ax)} {bx}} = {\ frac {a} {b \ ln c}}}$

Правило L'Hôpital

Это правило использует производные для нахождения пределов неопределенных форм 0/0 или ± ∞ / ∞ и применяется только к таким случаям. Другие неопределенные формы могут быть преобразованы в эту форму. Для двух функций f ( x ) и g ( x ) , определенных на открытом интервале I, содержащем желаемую предельную точку c , тогда, если:

1. ${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с} е (х) = \ lim _ {х \ к с} г (х) = 0,}$ или , и${\ Displaystyle \ lim _ {х \ к с} е (х) = \ pm \ lim _ {х \ к с} g (x) = \ pm \ infty}$
2. ${\ displaystyle f}$и дифференцируемы , и${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle I \ setminus \ {с \}}$
3. ${\ Displaystyle g '(х) \ neq 0}$для всех , и${\ Displaystyle х \ в я \ setminus \ {с \}}$
4. ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ существуют,

тогда:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g '(Икс)}}}$

Обычно первое условие является самым важным.

Например: ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (2x)} {\ sin (3x)}} = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {2 \ cos (2x) } {3 \ cos (3x)}} = {\ frac {2 \ cdot 1} {3 \ cdot 1}} = {\ frac {2} {3}}.}$

Суммирования и интегралы

Указание бесконечной границы для суммирования или интеграла - это обычное сокращение для указания предела.

Краткий способ записать предел - . Важным примером пределов сумм, таких как эти, являются серии . ${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} \ сумма _ {я = s} ^ {п} е (я)}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я = s} ^ {\ infty} е (я)}$

Краткий способ записать предел - . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {x} f (t) \; dt}$${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} f (t) \; dt}$

Краткий способ записать предел - . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} \ int _ {x} ^ {b} f (t) \; dt}$${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {b} f (t) \; dt}$

Смотрите также

• Обозначение Big O  - Обозначение, описывающее ограничивающее поведение
• Правило L'Hôpital  - математическое правило для оценки определенных пределов
• Список ограничений  - статья со списком в Википедии
• Предел последовательности  - значение, к которому "стремятся" элементы последовательности.
• Ограничьте высшее и ограничьте низшее
• Сеть (математика)  - Обобщение последовательности точек
• Нестандартное исчисление
• Теорема сжатия  - О вычислении пределов путем ограничения функции между двумя другими функциями
• Subsequential limit  - Предел некоторой подпоследовательности

Примечания

использованная литература

• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Аддисон – Уэсли, ISBN 0-201-00288-4
• Бартл, Роберт (1967), элементы реального анализа , Wiley
• Курант, Ричард (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung , Springer Verlag
• Харди, GH (1921), курс чистой математики , Cambridge University Press
• Хаббард, Джон Х. (2015), Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы: унифицированный подход (Пятое изд.), Matrix Editions
• Пейдж, Уоррен; Херш, Рувим; Селден, Энни; и др., ред. (2002), "Media Highlights", The College Mathematics , 33 (2): 147–154, JSTOR  2687124..
• Рудин, Уолтер (1964), Принципы математического анализа , McGraw-Hill
• Сазерленд, Вашингтон (1975), Введение в метрические и топологические пространства , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3
• Шерберт, Роберт (2000), Введение в реальный анализ , Wiley
• Уиттакер ; Уотсон (1904), курс современного анализа , Cambridge University Press

внешние ссылки

• MacTutor История Вейерштрасса.
• MacTutor История Больцано
• Визуальное Исчисление по Лоуренс С. Husch , Университет Теннесси (2001)