Интеграция заменой - Integration by substitution

В исчислении , интеграции путем замены , также известный как у ЗАМЕНА или замена переменных , является метод оценки интегралов и первообразные . Это аналог цепного правила для дифференциации , и его можно условно представить как использование цепного правила «в обратном направлении».

Замена одной переменной

Вступление

Прежде чем строго сформулировать результат , рассмотрим простой случай с использованием неопределенных интегралов .

Вычислить . ${\ displaystyle \ textstyle \ int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) \, dx}$

Установить . Это означает , или в дифференциальной форме , . Теперь ${\ displaystyle u = 2x ^ {3} +1}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {du} {dx}} = 6x ^ {2}}$ ${\ displaystyle du = 6x ^ {2} \, dx}$

{\ displaystyle \ int (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}) \, dx = {\ frac {1} {6}} \ int \ underbrace {(2x ^ {3} +1) ^ {7}} _ {u ^ {7}} \ underbrace {(6x ^ {2}) \, dx} _ {du} = {\ frac {1} {6}} \ int u ^ { 7} \, du = {\ frac {1} {6}} \ left ({\ frac {1} {8}} u ^ {8} \ right) + C = {\ frac {1} {48}} (2x ^ {3} +1) ^ {8} + C}

,

где - произвольная постоянная интегрирования . ${\ displaystyle C}$

Эта процедура используется часто, но не все интегралы имеют форму, позволяющую ее использовать. В любом случае результат следует проверить путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left [{\ frac {1} {48}} (2x ^ {3} +1) ^ {8} + C \ right] = {\ frac {1 } {6}} (2x ^ {3} +1) ^ {7} (6x ^ {2}) = (2x ^ {3} +1) ^ {7} (x ^ {2}).}

Для определенных интегралов также необходимо настроить пределы интегрирования, но процедура в основном такая же.

Определенные интегралы

Пусть $φ : [a, b] \to I$ - дифференцируемая функция с непрерывной производной, где $I \subseteq R$ - интервал . Предположим, что $f : I \to R$ - непрерывная функция . потом

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (\ varphi (x)) \ varphi '(x) \, dx = \ int _ {\ varphi (a)} ^ {\ varphi (b)} f (и) \, ду.}

В обозначениях Лейбница замена $u = φ (x)$ дает

{\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} = \ varphi '(x).}

Эвристическая работа с бесконечно малыми дает уравнение

{\ displaystyle du = \ varphi '(x) \, dx,}

что предполагает приведенную выше формулу замены. (Это уравнение можно положить на строгий фундамент, интерпретировав его как утверждение о дифференциальных формах .) Можно рассматривать метод интегрирования путем подстановки как частичное обоснование обозначений Лейбница для интегралов и производных.

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл. При использовании прежним способом это иногда называют u -замещением или w -замещением, в котором новая переменная определяется как функция исходной переменной, находящейся внутри составной функции, умноженной на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется в тригонометрической замене , заменяя исходную переменную тригонометрической функцией новой переменной, а исходный дифференциал - дифференциалом тригонометрической функции.

Доказательство

Интегрирование подстановкой можно вывести из основной теоремы исчисления следующим образом. Пусть $f$ и $φ$ - две функции, удовлетворяющие вышеприведенной гипотезе о том, что $f$ непрерывна на $I,$ а $φ'$ интегрируема на отрезке $[a, b]$ . Тогда функция $f (φ (x)) φ' (x)$ также интегрируема на $[a, b]$ . Следовательно, интегралы

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (\ varphi (x)) \ varphi '(x) \, dx}

а также

{\ Displaystyle \ int _ {\ varphi (а)} ^ {\ varphi (b)} е (и) \, ду}

на самом деле существуют, и осталось показать, что они равны.

Так как $F$ непрерывна, она имеет первообразную $F$ . Сложная функция $F \circ φ$ затем определена. Поскольку $φ$ дифференцируема, объединение цепного правила и определения первообразной дает

{\ Displaystyle (F \ circ \ varphi) '(x) = F' (\ varphi (x)) \ varphi '(x) = f (\ varphi (x)) \ varphi' (x).}

Двойное применение основной теоремы исчисления дает

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {a} ^ {b} f (\ varphi (x)) \ varphi '(x) \, dx & = \ int _ {a} ^ {b} (F \ circ \ varphi) '(x) \, dx \\ & = (F \ circ \ varphi) (b) - (F \ circ \ varphi) (a) \\ & = F (\ varphi (b)) - F (\ varphi (a)) \\ & = \ int _ {\ varphi (a)} ^ {\ varphi (b)} f (u) \, du, \ end {выровнено}}}

которое является правилом подстановки.

Примеры

Пример 1

Рассмотрим интеграл

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} x \ cos (x ^ {2} +1) dx.}

Сделайте замену, чтобы получить значение . Следовательно, ${\ Displaystyle и = х ^ {2} +1}$ ${\ displaystyle du = 2xdx}$ ${\ displaystyle \ textstyle xdx = {\ frac {1} {2}} du}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {x = 0} ^ {x = 2} x \ cos (x ^ {2} +1) dx & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {u = 1} ^ {u = 5} \ cos (u) \, du \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} (\ sin (5) - \ sin (1)). \ конец {выровнено}}}

Так как нижний предел был заменен , а верхний предел с , преобразование обратно в терминах не было необходимости. ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle u = 1}$ ${\ displaystyle x = 2}$ ${\ displaystyle 2 ^ {2} + 1 = 5}$ ${\ displaystyle x}$

В качестве альтернативы можно сначала полностью вычислить неопределенный интеграл ( см. Ниже ), а затем применить граничные условия. Это становится особенно удобным при использовании нескольких замен.

Пример 2

Для интегральной

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, dx,}

требуется вариант вышеописанной процедуры. Подстановка, подразумевающая , полезна, потому что . Таким образом, мы имеем ${\ Displaystyle х = \ грех и}$ ${\ Displaystyle dx = \ соз и \, ду}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} u}} = \ cos (u)}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \, dx & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} { \ sqrt {1- \ sin ^ {2} u}} \ cos (u) \, du \\ [6pt] & = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos ^ {2} u \ , du \\ [6pt] & = \ left [{\ frac {u} {2}} + {\ frac {\ sin (2u)} {4}} \ right] {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi / 2} \\ [6pt] & = {\ frac {\ pi} {4}} + 0 = {\ frac {\ pi} {4}}. \ end {align}}}

Полученный интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или формулы двойного угла , с последующим еще одной замены. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом, равным единице, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или . ${\ Displaystyle 2 \ соз ^ {2} и = 1 + \ соз (2u)}$ ${\ displaystyle \ pi / 4}$

Первообразные

Замещение можно использовать для определения первообразных . Каждый выбирает отношение между и , определяет соответствующее отношение между и путем дифференцирования и выполняет замены. Можно надеяться, что первообразная замещенной функции может быть определена; исходная замена между и затем отменяется. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle dx}$ ${\ displaystyle du}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle u}$

Подобно примеру 1 выше, с помощью этого метода можно получить следующую первообразную:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int x \ cos (x ^ {2} +1) \, dx & = {\ frac {1} {2}} \ int 2x \ cos (x ^ {2} +1 ) \, dx \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ int \ cos u \, du \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ sin u + C = {\ frac {1} {2}} \ sin (x ^ {2} +1) + C, \ end {выровнено}}}

где - произвольная постоянная интегрирования . ${\ displaystyle C}$

Не было интегральных границ для преобразования, но на последнем этапе необходимо было вернуть исходную замену . При вычислении определенных интегралов подстановкой можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены. ${\ Displaystyle и = х ^ {2} +1}$

Функция тангенса может быть интегрирована с помощью подстановки, выразив ее через синус и косинус:

{\ displaystyle \ int \ tan x \, dx = \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} \, dx}

Использование подстановки дает и ${\ Displaystyle и = \ соз х}$ ${\ displaystyle du = - \ sin x \, dx}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ tan x \, dx & = \ int {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} \, dx \\ & = \ int - {\ frac {du} {u}} \\ & = - \ ln | u | + C \\ & = - \ ln | \ cos x | + C = \ ln | \ sec x | + C. \ end {align}}}

Замена нескольких переменных

Также можно использовать подстановку при интегрировании функций нескольких переменных . Здесь функция подстановки $(v 1, ..., v n) = φ (u 1, ..., u n)$ должна быть инъективной и непрерывно дифференцируемой, а дифференциалы преобразуются как

{\ displaystyle dv_ {1} \ cdots dv_ {n} = \ left | \ det (D \ varphi) (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) \ right | \, du_ {1} \ cdots du_ {n},}

где $Det (d ^) (U 1, ..., у п)$ обозначает определитель из матрицы Якоби из частных производных от $ф$ в точке $(U 1, ..., у п)$ . Эта формула выражает тот факт, что абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелоэдра, охватываемого его столбцами или строками.

Точнее, формула замены переменных сформулирована в следующей теореме:

Теорема . Пусть $U$ открытое множество в $R н$ и $φ : U \to R п$ инъективны дифференцируемая функция с непрерывными частными производными, якобиан которого отличен от нуля для каждого $х$ в $U$ . Тогда для любой вещественной непрерывной функции $f$ с компактным носителем и носителем, содержащимся в $φ (U)$ ,

{\ Displaystyle \ int _ {\ varphi (U)} е (\ mathbf {v}) \, d \ mathbf {v} = \ int _ {U} f (\ varphi (\ mathbf {u})) \ left | \ det (D \ varphi) (\ mathbf {u}) \ right | \, d \ mathbf {u}.}

Условия теоремы можно ослабить разными способами. Во-первых, требование, чтобы $φ$ была непрерывно дифференцируемой, можно заменить более слабым предположением, что $φ$ просто дифференцируема и имеет непрерывное обратное. Это гарантированно выполняется, если функция $φ$ непрерывно дифференцируема по теореме об обратной функции . В качестве альтернативы требование, чтобы $det (Dφ) 0,$ можно исключить, применив теорему Сарда .

Для измеримых по Лебегу функций теорема может быть сформулирована в следующем виде:

Теорема . Пусть $U$ - измеримое подмножество $R n,$ а $φ : U \to R n$ - инъективная функция , и предположим, что для каждого $x$ из $U$ существует $φ' (x)$ в $R n, n$ такое, что $φ (y) = φ (x) + φ ' (х) (у - х) + о (|| у - х ||)$ , как $у \to х$ (здесь $о$ есть мало- о нотации ). Тогда $φ (U)$ измеримо, и для любой действительной функции $f,$ определенной на $φ (U)$ ,

{\ Displaystyle \ int _ {\ varphi (U)} е (v) \, dv = \ int _ {U} f (\ varphi (u)) \ left | \ det \ varphi '(u) \ right | \ , du}

в том смысле, что если один интеграл существует (включая возможность быть собственно бесконечным), то существует и другой интеграл, и они имеют одинаковое значение.

Другой очень общий вариант теории меры заключается в следующем:

Теорема . Пусть $X$ - локально компактное хаусдорфово пространство, снабженное конечной радоновской мерой $μ$ , и пусть $Y$ - σ-компактное хаусдорфово пространство с σ-конечной радоновской мерой $ρ$ . Пусть $φ : X \to Y$ - непрерывная и абсолютно непрерывная функция (где последнее означает, что $ρ (φ (E)) = 0,$ если $μ (E) = 0$ ). Тогда существует вещественнозначная измеримая по Борелю функция $w$ на $X$ такая, что для любой интегрируемой по Лебегу функции $f : Y \to R$ функция $(f \circ φ) \cdot w$ интегрируема по Лебегу на $X$ и

{\ Displaystyle \ int _ {Y} е (у) \, d \ rho (y) = \ int _ {X} (е \ circ \ varphi) (x) \, w (x) \, d \ mu ( Икс).}

Кроме того, можно написать

{\ Displaystyle вес (х) = (г \ circ \ varphi) (х)}

для некоторого борелевском измеримой функции $г$ на $Y$ .

В геометрической теории меры применяется интегрирование подстановкой с липшицевыми функциями . Билипшицевой функцией называется липшицева функция $φ : U \to R n,$ которая инъективна и обратная функция которой $φ -1 : φ (U) \to U$ также липшицева. По теореме Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду . В частности, $якобиев$ определитель $билипшицевого$ отображения $det Dφ$ корректно определен почти всюду. Тогда имеет место следующий результат:

Теорема. Пусть $U$ - открытое подмножество $R n$ и $φ : U \to R n$ - билипшицево отображение. Пусть $f : φ (U) \to R$ измеримо. потом

{\ Displaystyle \ int _ {U} (е \ circ \ varphi) (x) | \ det D \ varphi (x) | \, dx = \ int _ {\ varphi (U)} f (x) \, dx }

в том смысле, что если один интеграл существует (или собственно бесконечен), то существует и другой интеграл, и они имеют одинаковое значение.

Приведенная выше теорема была впервые предложена Эйлером, когда он разработал понятие двойных интегралов в 1769 году. Хотя она была обобщена на тройные интегралы Лагранжем в 1773 году, использовалась Лежандром , Лапласом , Гауссом и впервые обобщена на $n$ переменных Михаилом Остроградским в 1836 году, он удивительно долго сопротивлялся полностью строгому формальному доказательству и был впервые удовлетворительно разрешен 125 лет спустя Эли Картаном в серии статей, начиная с середины 1890-х годов.

Применение по вероятности

Замена может быть использована для ответа на следующий важный вопрос вероятности: дана случайная величина с плотностью вероятности и другой случайной величиной такими , что , какова плотность вероятности ? ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle p_ {X}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Y = \ phi (X)}$ ${\ displaystyle Y}$

На этот вопрос проще всего ответить, сначала ответив на несколько другой вопрос: какова вероятность того, что принимает значение в некотором конкретном подмножестве ? Обозначим эту вероятность . Конечно, если есть плотность вероятности, то ответ будет ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle P (Y \ in S)}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle p_ {Y}}$

{\ Displaystyle P (Y \ in S) = \ int _ {S} p_ {Y} (y) \, dy,}

но это бесполезно, потому что мы не знаем ; это то, что мы пытаемся найти. Мы можем добиться прогресса, рассматривая проблему в переменной . принимает значение всякий раз, когда принимает значение , поэтому ${\ displaystyle p_ {Y}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ phi ^ {- 1} (S)}$

{\ Displaystyle P (Y \ in S) = \ int _ {\ phi ^ {- 1} (S)} p_ {X} (x) \, dx.}

Переход от переменной к дает ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

{\ Displaystyle P (Y \ in S) = \ int _ {\ phi ^ {- 1} (S)} p_ {X} (x) \, dx = \ int _ {S} p_ {X} (\ phi ^ {- 1} (y)) \ left | {\ frac {d \ phi ^ {- 1}} {dy}} \ right | \, dy.}

Объединение этого с нашим первым уравнением дает

{\ displaystyle \ int _ {S} p_ {Y} (y) \, dy = \ int _ {S} p_ {X} (\ phi ^ {- 1} (y)) \ left | {\ frac {d \ phi ^ {- 1}} {dy}} \ right | \, dy,}

так

{\ displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} (\ phi ^ {- 1} (y)) \ left | {\ frac {d \ phi ^ {- 1}} {dy}} \ right | .}

В случае, когда и зависят от нескольких некоррелированных переменных, т. Е. И , можно найти путем подстановки нескольких переменных, рассмотренных выше. Результат ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle p_ {X} = p_ {X} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ Displaystyle у = \ фи (х)}$ ${\ displaystyle p_ {Y}}$

{\ displaystyle p_ {Y} (y) = p_ {X} (\ phi ^ {- 1} (y)) \ left | \ det D \ phi ^ {- 1} (y) \ right |.}

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011), Calculus / Early Transcendentals (Single Variable ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
Ferzola, Энтони П. (1994), "Эйлер и дифференциалы" , Колледж Математика Journal , 25 (2): 102-111, DOI : 10,2307 / 2687130
Фремлин, Д.Х. (2010), Теория меры, Том 2 , Торрес Фремлин, ISBN 978-0-9538129-7-4.
Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
Кац, В. (1982), "Изменение переменных в кратных интегралах: Эйлер к Картанен", Математике Magazine , 55 (1): 3-11, DOI : 10.2307 / 2689856
Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

Languages

In other projects