Вероятность - Probability


Из Википедии, свободной энциклопедии

Вероятность является мерой по вероятности , что событие произойдет. См глоссария вероятности и статистики . Вероятность квантифицирует как число между 0 и 1, где, грубо говоря, 0 означает невозможность и 1 указывает на определенность. Выше вероятность события, тем больше вероятность того, что событие произойдет. Простым примером является качка справедливого (объективной) монеты. Так как монета является справедливым, два результата ( «головы» и «хвосты») являются равновероятными; вероятность «орлы» равна вероятность «хвосты»; и так как никакие другие результаты не возможны, вероятность либо «головы» или «хвостов» равна 1/2 (что также может быть записана в виде 0,5 или 50%).

Эти понятия были дан аксиоматический математическая формализация в теории вероятностей , которая широко используется в таких областях исследований , как математики , статистики , финансов , играть в азартные игры , наука (в частности , физики ), искусственный интеллект / машинное обучение , информатика , теория игр , и философия , к примеру, сделать выводы о предполагаемой частоте событий. Теория вероятностей также используется для описания основных механиков и закономерности сложных систем .

Интерпретации

При работе с экспериментами , которые являются случайными и четко определены в чисто теоретическом обстановке (например , бросание монету), вероятности могут быть численно описано количеством желаемых результатов , деленное на общее число всех исходов. Например, подбрасывая монету дважды даст «голова-голова», «голова-хвост», «хвост-голова» и «хвост-хвост» результаты. Вероятность получения исхода «голова-голова» 1 из 4 результатов, или, в числовом выражении, 1/4, 0,25 или 25%. Однако, когда дело доходит до практического применения, существуют две основные конкурирующие категории вероятностных интерпретаций, чьи приверженцы имеют различные представления о фундаментальной природе вероятности:

  1. Объективисты присвоить номера , чтобы описать некоторые объективные или физическое состояние дел. Наиболее популярная версия объективной вероятности частотная вероятность того , что утверждает , что вероятность случайного события обозначает относительную частоту возникновения исхода эксперимента , в, при повторении эксперимента. Эта интерпретация рассматривает вероятность быть относительная частота «в долгосрочной перспективе» результатов. Модификация этого является вероятность Склонность , который интерпретирует вероятность как тенденция некоторого эксперимента с получением определенного результата, даже если она выполняется только один раз.
  2. Субъективисты присваивать номера на субъективную вероятность, то есть, как степень веры. Степень веры была истолкована как «цена , по которой вы бы купить или продать ставку , которая платит 1 единицу полезности , если Е, 0 , если не E.» Самая популярная версия субъективной вероятности байесовский вероятности , которая включает в себя экспертные знания, а также экспериментальные данные для производства вероятности. Экспертные знания представляются некоторыми (субъективные) априорным распределением вероятностей . Эти данные включены в функции правдоподобия . Продукт предыдущих и правдоподобие, нормализуется, приводит к распределению вероятностей задних , которая включает в себя всю информацию , известную на сегодняшний день. По теореме Ауманна соглашения , байесовской агентов , чьи убеждения до подобны будет в конечном итоге с аналогичными жевательных верованиями. Тем не менее, достаточно разные настоятели могут привести к разным выводам независимо от того, сколько информации агентов разделяют.

Этимология

Слово вероятность происходит от латинского probabilitas , который также может означать « неподкупность », меру органа о наличии свидетеля в судебном деле , в Европе , и часто коррелирует с свидетеля благородством . В некотором смысле, это сильно отличается от современного значения вероятности , что, напротив, является мерой веса эмпирических данных , и прибыли в из индуктивных рассуждений и статистических выводов .

история

Научное исследование вероятности представляет собой современное развитие математики . Азартные игры показывают , что наблюдается интерес к количественной оценке идеи вероятности на протяжении тысячелетий, но точные математические описания возникло гораздо позже. Есть причины медленного развития математики вероятности. В то время как азартные игры послужили толчком для математического исследования вероятности, фундаментальные вопросы , которые до сих пор скрыты от суеверий игроков.

Христиан Гюйгенс, вероятно, опубликовал первую книгу по теории вероятностей

По словам Ричарда Джеффри , «До середины семнадцатого века, термин„вероятный“(лат probabilis ) означал утверждаемый , и был применен в этом смысле, однозначно, по мнению и к действию. Вероятное действие или мнение было одним из таких , как здравомыслящие люди будут проводить или проводить в обстоятельствах «. Однако в правовом контексте , особенно, «вероятный» может также применяться к предложениям , для которых было хорошее доказательство.

Кардано

Шестнадцатого век итальянский полимат Кардано продемонстрировал эффективность определения шансов как отношение к благоприятному неблагоприятным исходам (что означает , что вероятность события определяется отношением благоприятных исходов к общему числу возможных исходов). Помимо элементарной работы Кардано, учение о вероятности относится к переписке Пьер де Ферма и Блез Паскаль (1654). Христиан Гюйгенс (1657) дал самое раннее известное научное лечение субъекта. Якоб Бернулли «s Искусство предположений (посмертно, 1713) и Муавр » s Доктрина Возможностей (1718) рассматривал предмет в области математики. См Ian Hacking «s Появление вероятности и Джеймс Франклина Науку гипотезы для истории раннего развития самого понятия математической вероятности.

Теория ошибок может быть прослежена до Roger Cotes «s Opera альманаха (посмертного 1722), но мемуаров , подготовленный Томасом Симпсоном в 1755 году (напечатанный 1756) первым применил теорию к обсуждению ошибок наблюдений. Переиздание (1757) этот мемуар ложится аксиомы , что положительные и отрицательные ошибки равновероятны, и что некоторые назначаемые пределы определяют диапазон всех ошибок. Симпсон также обсуждает непрерывные ошибки и описывает кривую вероятности.

Первые два закона ошибки , которые были предложены как возник с Лаплас . Первый закон был опубликован в 1774 году и заявил , что частота ошибки может быть выражена в виде экспоненциальной функции численной величины ошибки, пренебрегая знак. Второй закон ошибок был предложен в 1778 году Лаплас и заявил , что частота ошибок является экспоненциальной функцией квадрата ошибки. Второй закон ошибок называется нормальным распределением или закон Гаусса. «Трудно исторически отнести этот закон к Гаусс, который, несмотря на его хорошо известной скороспелость, вероятно , не сделал это открытие , прежде чем ему было два года.»

Даниил Бернулли (1778) ввел принцип максимума произведения вероятностей системы одновременных ошибок.

Гаусс

Лежандр (1805) разработал метод наименьших квадратов , и ввел его в своих Nouvelles méthodes налить ла решимостью де orbites де comètes ( новые методы для определения орбит комет ). В незнании вклада Лежандра, ирландский-американский писатель, Роберт Адрейн , редактор «Аналитик» (1808), первый вывел закон объекта ошибки,

где константа , зависящая от точности наблюдения, и является масштабный фактор обеспечения , что площадь под кривой равна 1. Он дал два доказательства, второе по существу такой же , как Джон Гершель «s (1850). Гаусс дал первое доказательство того, что , кажется, было известно в Европе (третий после Adrain в) в 1809 г. Дальнейшие доказательства были даны Лаплас (1810, 1812), Гаусс (1823), Джеймс Слоновой Кости (1825, 1826), Хаген (1837 ), Бессель (1838), WF Donkin (1844, 1856), и Морган Crofton (1870). Другие участники были Ellis (1844), Де Морган (1864), Glaisher (1872) и Джованни Скиапарелли (1875). Петерс «s (1856) формула для г , то возможная погрешность одного наблюдения, хорошо известна.

По мнению авторов девятнадцатого века по общим теориям включена Лаплас , Сильвестр Лакруа (1816), Литтры (1833), Кетл (1853), Дедекинд (1860), Гельмерты (1872), Герман Лоран (1873), Liagre, Дидион, и Карл Пирсон . Огастес де Морган и Джордж Буль улучшили изложение теории.

Андрей Марков ввел понятие цепей Маркова (1906), которая сыграла важную роль в стохастических процессов теории и ее приложений. Современная теория вероятностей на основе теории меры была разработана Андреем Колмогоровым (1931).

С геометрической стороны (см Интегральная геометрия ) вкладчиков в Образовательные времена были влиятельными (Miller, Crofton, Макколл, Wolstenholme, Уотсон, и Artemas Martin ).

теория

Как и другие теории , то теория вероятностей является представление ее понятий в формальных терминах, то есть, в терминах , которые можно рассматривать отдельно от их значения. Эти формальные условия манипулируют по правилам математики и логики, и любые результаты интерпретированы или переведены обратно в проблемной области.

Там были по меньшей мере , две успешных попыток формализации вероятности, а именно Колмогоров формулировки и Кокса композиции. В формулировке Колмогорова (см вероятностного пространства ), наборы интерпретируются как события и вероятность себя в качестве меры по классу множеств. В теореме Коксы , вероятность берутся как примитив (то есть, далее не анализируется) и акцент делается на построение последовательного присвоения значений вероятности к суждениям. В обоих случаях законы вероятности одинаковы, за исключением технических деталей.

Существуют и другие методы количественной неопределенности, такие как теория Демпстер Шафера или возможности теории , но те , существенно отличаются и не совместимы с законами вероятности , как правило , понимается.

Приложения

Теория вероятностей применяется в повседневной жизни в опасности оценки и моделирования . Страховая отрасль и рынки используют актуарную науку для определения цен и принимать торговые решения. Правительства применяют вероятностные методы экологического регулирования , анализ Прав ( теория надежности старения и продолжительность жизни ) и финансовое регулирование .

Хороший пример использования теории вероятностей в торговле акциями является следствием воспринятой вероятности любого широкого ближневосточного конфликта на ценах на нефть, которые имеют волновой эффект в экономике в целом. Оценка по товарному торговцу , что война более вероятно может послать цены этого товара вверх или вниз, а также сигналы других трейдеров этого мнения. Соответственно, вероятности не являются ни оценены независимо друг от друга , ни обязательно очень рационально. Теория поведенческих финансов возникла , чтобы описать эффект такого группового мышления о ценах, о политике, и о мире и конфликтах.

В дополнение к финансовой оценке, вероятность может быть использована для анализа тенденций в области биологии (например , распространение болезни), а также экологию (например , биологические Punnett квадратов). Как с финансами, оценка риски может быть использована в качестве статистического инструмента для расчета вероятности нежелательных событий , происходящих и может помочь с реализацией протоколов , чтобы избежать столкновений с такими обстоятельствами. Вероятность используются для разработки азартных игр , так что казино может сделать гарантированную прибыль, но обеспечить выплаты игроков, которые достаточно часто , чтобы стимулировать продолжение игры.

Открытие строгих методов оценки и объединить оценки вероятности изменилось общество.

Еще одно существенное применение теории вероятностей в повседневной жизни надежность . Многие потребительские товары, такие как автомобили и бытовая электроника, использовать теории надежности в разработке продукта , чтобы уменьшить вероятность отказа. Вероятность отказа может повлиять на решения изготовителя на изделие по гарантии .

Языковая модель кэша и другие статистические модели языка , которые используются в обработке естественного языка также являются примерами применений теории вероятностей.

Математическая обработка

Рассмотрим эксперимент , который может произвести ряд результатов. Совокупность всех возможных результатов называется выборочным пространством эксперимента. Мощности устанавливается в выборочном пространстве формируется с учетом всех различных коллекций возможных результатов. Так , например, прокатка кости может производить шесть возможных результаты. Одна коллекция возможных результатов дает нечетное число на кубиках. Таким образом, подмножество {1,3,5} является элементом мощности , установленного образца пространства бросков костей. Эти коллекции называются «событием». В этом случае, {1,3,5} является событие , что кости падают на некотором нечетном числе. Если результаты , которые на самом деле происходят падение в данном случае, это событие , как говорят, произошло.

Вероятность является способом присвоения каждого события значения между нулем и единицей, с требованием о том , что событие из всех возможных результатов (в нашем примере, событие {1,2,3,4,5,6}) является присваивается значение одного. Для того, чтобы квалифицировать в качестве вероятности, присвоение значений должно удовлетворять требованию , что если вы посмотрите на коллекцию взаимоисключающих событий (событий без общих результатов, например, события {1,6}, {3} и {2, 4} все взаимно исключают друг друга), вероятность того, что по крайней мере одно из событий будет происходить определяется суммой вероятностей всех отдельных событий.

Вероятность события А записывается в виде , или . Это математическое определение вероятности может распространяться на бесконечные выборочные пространства, и даже бесчисленные выборочные пространства, используя понятие меры.

Напротив или дополнение какое - либо событие А это событие [не ] (то есть событие не происходит), часто обозначаются как или ; его вероятность определяется P (не A ) = 1 - Р ( ) . В качестве примера, вероятность не прокатки шесть на шестигранный кубик является 1 - (шанс прокатки шесть) . См комплементарного события для более полного лечения.

Если два события и B происходят на одном выполнении эксперимента, это называется пересечение или совместные вероятностями из А и В , обозначается как .

Независимые события

Если два события, и B являются независимыми , то совместная вероятность

например, если две монеты перевернуты шанс обеих находящихся головок .

Взаимоисключающие события

Если какой- либо событие или событие B , но не оба происходит на одном выполнении эксперимента, то они называются взаимоисключающими событиями.

Если два события взаимно исключают друг друга , то вероятность того , как происходит обозначается как .

Если два события взаимно исключают друг друга , то вероятность либо происходит, обозначается как .

Так , например, вероятность прокатки 1 или 2 в шестигранной матрице является

Не взаимоисключающие события

Если события не являются взаимоисключающими, то

Например, при рисовании одну карту случайным образом из обычной колоды карт, шанс получить сердце или лицо карты (J, Q, K) (или тот , который является одновременно) является , так как из 52 карт палуба 13 являются сердцем, 12 являются лицевыми картами и 3 являются: здесь возможностями , включенных в «3 , что оба» включены в каждый из «13 сердец» и «12 граней карты» , но следует учитывать только один раз ,

Условная возможность

Условные вероятности вероятность некоторого события А , учитывая наличие какогото другого события B . Условные вероятности записываютсяи считываются «вероятность А , учитывая B ». Она определяется

Если затем формально определено этим выражением. Тем не менее, можно определить условную вероятность для некоторых нулевой вероятности событий с использованием а-алгебры таких событий (например, тех , которые возникают из непрерывной случайной величины ).

Так , например, в сумке 2 красных шаров и 2 синих шаров (4 шаров в общей сложности), вероятность принятия красного шара ; Однако, принимая во второй мяч, то вероятность , что является либо красный шар или синий шар зависит от шара ранее принятых, например, если красный шар был взят, вероятность выбора красного шара снова будет , так как только 1 красных и 2 синие шары бы остались.

Обратная вероятность

В теории вероятностей и применения, правила Байеса связывает шансы события к событию , ранее (до) и после (задней) , чтобы кондиционирования на другом случае . Шансы на событию просто отношение вероятностей двух событий. При сколь угодно много событий представляют интерес, а не только два, то правило можно перефразировать задний пропорционален уровень раза вероятность , где символ соразмерности означает , что левая часть пропорциональна (т.е. равно постоянное время) правую рука сторона , как меняется, для фиксированной или с учетом (Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012). В таком виде она восходит к Лапласу (1774) и Курно (1843); см Финберг (2005). См Inverse вероятности и правило Байеса .

Резюме вероятностей

Резюме вероятностей
Событие Вероятность
A
а не
А или В
А и В
Данный Б

Отношение к случайности и вероятности в квантовой механике

В детерминированной Вселенной, на основе ньютоновских понятий, то не было бы никакой вероятности , если известно все условия ( демон Лапласа ), (но есть ситуации , в которых чувствительность к начальным условиям превышает нашу способность измерять их, то есть знать их). В случае рулетки колеса, если сила руки и периода этой силы , как известно, число , на котором остановится шарик будет определенность (хотя с практической точки зрения, это, вероятно , будет верно только из колесо рулетки , которые не были точно выровнены - как Томас А. Басс ньютоновских казино показали). Это также предполагает знание инерции и трения колес, вес, гладкость и округлость шара, вариации в скорости рук во время поворота , и так далее. Таким образом , Вероятностное описание может быть более полезным , чем ньютоновская механика для анализа картины результатов повторных рулонов колеса рулетки. Физики сталкиваются с той же ситуации в кинетической теории газов, где система, в то время как детерминированный , в принципе , является настолько сложным (с числом молекул обычно порядок величины Авогадро 6,02 × 10 23 ) , что только статистическое описание его свойства осуществимы.

Теория вероятностей требуются для описания квантовых явлений. Революционное открытие в начале двадцатого века физики было случайным характером всех физических процессов , которые происходят в субатомных масштабах и регулируются законами квантовой механики . Цель волновая функция эволюционирует детерминированно , но, в соответствии с копенгагенской интерпретации , она имеет дело с вероятностями наблюдения, результат будучи объяснено коллапса волновой функции , когда наблюдение производится. Тем не менее, потеря детерминизма ради инструментализма не встретило всеобщее одобрение. Альберт Эйнштейн лихо заметил в письме к Максу Борну : «Я убежден , что Бог не играет в кости». Как и Эйнштейн, Эрвин Шрёдингер , который открыл волновую функцию, как полагают квантовая механика является статистическим приближением нижележащей детерминированной реальности . В некоторых современных интерпретациях статистической механики измерения, Декогеренция вызываются для объяснения появления субъективно вероятностных экспериментальных результатов.

Смотрите также

В законе

Заметки

Список используемой литературы

  • Kallenberg, О. (2005) Вероятностные Симметрии и принципы инвариантности . Springer-Verlag, Нью - Йорк. 510 стр.  ISBN  0-387-25115-4
  • Kallenberg, О. (2002) Основы современной теории вероятностей, 2 - е изд. Springer серии в статистике. 650 стр.  ISBN  0-387-95313-2
  • Олофссон, Питер (2005) Вероятность, статистика и случайные процессы , Wiley-Interscience. 504 С. ISBN  0-471-67969-0 .

внешняя ссылка