Геометрическое исчисление - Geometric calculus

В математике , геометрическое исчисление расширяет геометрическую алгебру включать дифференцирование и интегрирование . Этот формализм мощен и, как можно показать, охватывает другие математические теории, включая дифференциальную геометрию и дифференциальные формы .

Дифференциация

С данной геометрической алгеброй, пусть и будут векторами и пусть быть многовекторной функцией вектора. Производная по направлению от по меньшей определяется как ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle (\ nabla _ {b} F) (a) = \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} {\ frac {F (a + \ epsilon b) -F (a)} {\ epsilon}},}

при условии, что предел существует для всех , где предел взят за скаляр . Это похоже на обычное определение производной по направлению, но расширяет его до функций, которые не обязательно являются скалярными. ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

Затем выберите набор базисных векторов и рассмотрите обозначенные операторы , которые производят производные по направлениям в направлениях : ${\ Displaystyle \ {е_ {я} \}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {я}}$ ${\ displaystyle e_ {i}}$

{\ displaystyle \ partial _ {i}: F \ mapsto (x \ mapsto (\ nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}

Затем, используя обозначение суммирования Эйнштейна , рассмотрим оператор:

{\ displaystyle e ^ {i} \ partial _ {i},}

что значит

{\ Displaystyle F \ mapsto e ^ {i} \ partial _ {i} F,}

где геометрическое произведение нанесено после производной по направлению. Более подробно:

{\ displaystyle F \ mapsto (x \ mapsto e ^ {i} (\ nabla _ {e_ {i}} F) (x)).}

Этот оператор не зависит от выбора кадра и, таким образом, может использоваться для определения геометрической производной :

{\ displaystyle \ nabla = e ^ {i} \ partial _ {i}.}

Это похоже на обычное определение градиента , но оно также распространяется на функции, которые не обязательно являются скалярными.

Производная по направлению линейна относительно своего направления, то есть:

{\ displaystyle \ nabla _ {\ alpha a + \ beta b} = \ alpha \ nabla _ {a} + \ beta \ nabla _ {b}.}

Из этого следует, что производная по направлению является внутренним произведением ее направления на геометрическую производную. Все, что нужно соблюдать, это то, что направление может быть записано так, чтобы: ${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle а = (а \ cdot е ^ {я}) е_ {я}}$

{\ displaystyle \ nabla _ {a} = \ nabla _ {(a \ cdot e ^ {i}) e_ {i}} = (a \ cdot e ^ {i}) \ nabla _ {e_ {i}} = a \ cdot (e ^ {i} \ nabla _ {e_ {i}}) = a \ cdot \ nabla.}

По этой причине часто отмечается . ${\ displaystyle \ nabla _ {a} F (x)}$ ${\ Displaystyle а \ cdot \ набла F (х)}$

Стандартный порядок операций для геометрической производной таков, что она действует только на функцию, ближайшую к ней справа. Учитывая две функции и , например, мы имеем ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$

{\ Displaystyle \ nabla FG = (\ nabla F) G.}

Правило продукта

Хотя частная производная демонстрирует правило произведения , геометрическая производная наследует это свойство только частично. Рассмотрим две функции и : ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ nabla (FG) & = e ^ {i} \ partial _ {i} (FG) \\ & = e ^ {i} ((\ partial _ {i} F) G + F (\ partial _ {i} G)) \\ & = e ^ {i} (\ partial _ {i} F) G + e ^ {i} F (\ partial _ {i} G). \ End {выровнено}}}

Поскольку геометрическое произведение не коммутативно с в общем случае, нам потребуется новое обозначение, чтобы продолжить. Решение состоит в том, чтобы принять нотацию овердот , в которой объем геометрической производной с наложенной точкой представляет собой многовекторную функцию, разделяющую ту же точку. В этом случае, если мы определим ${\ displaystyle e ^ {i} F \ neq Fe ^ {i}}$

{\ displaystyle {\ dot {\ nabla}} F {\ dot {G}} = e ^ {i} F (\ partial _ {i} G),}

то правило произведения для геометрической производной

{\ displaystyle \ nabla (FG) = \ nabla FG + {\ dot {\ nabla}} F {\ dot {G}}.}

Внутренняя и внешняя производная

Пусть будет мультивекторный класс. Затем мы можем определить дополнительную пару операторов, внутренние и внешние производные, ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle \ nabla \ cdot F = \ langle \ nabla F \ rangle _ {r-1} = e ^ {i} \ cdot \ partial _ {i} F,}

{\ Displaystyle \ nabla \ клин F = \ langle \ nabla F \ rangle _ {r + 1} = e ^ {i} \ клин \ partial _ {i} F.}

В частности, если это оценка 1 (вектор-функция), то мы можем написать ${\ displaystyle F}$

{\ Displaystyle \ набла F = \ набла \ CDOT F + \ набла \ клин F}

и идентифицировать расхождение и завиток как

{\ Displaystyle \ набла \ cdot F = \ OperatorName {div} F,}

{\ Displaystyle \ набла \ клин F = I \, \ operatorname {curl} F.}

В отличие от геометрической производной, ни оператор внутренней производной, ни оператор внешней производной не обратимы.

Интеграция

Позвольте быть набором базисных векторов, которые охватывают -мерное векторное пространство. Из геометрической алгебры, мы интерпретируем псевдоскаляр быть подписан объемом из - параллелепипеда , натянутого на этих базисные векторах. Если базисные векторы ортонормированы , то это единичный псевдоскаляр. ${\ Displaystyle \ {е_ {1}, \ ldots, е_ {п} \}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle е_ {1} \ клин е_ {2} \ клин \ cdots \ клин е_ {п}}$ ${\ displaystyle n}$

В более общем смысле, мы можем ограничиться подмножеством базисных векторов, где мы будем рассматривать длину, площадь или другой общий объем подпространства в общем -мерном векторном пространстве. Обозначим эти выбранные базисные векторы через . Общий объем -параллелоэдра, на который опираются эти базисные векторы, является многовектором степеней . ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle 1 \ Leq К \ Leq N}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ {е_ {я_ {1}}, \ ldots, е_ {я_ {к}} \}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle е_ {я_ {1}} \ клин е_ {я_ {2}} \ клин \ cdots \ клин е_ {я_ {к}}}$

В более общем плане мы можем рассмотреть новый набор векторов, пропорциональных базисным векторам, где каждый из них является компонентом, масштабирующим один из базисных векторов. Мы вольны выбирать настолько бесконечно малые компоненты, насколько захотим, пока они не равны нулю. Поскольку внешнее произведение этих терминов можно интерпретировать как -объем, естественным способом определения меры является ${\ displaystyle \ {x ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}}, \ ldots, x ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ {х ^ {я_ {j}} \}}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle {\ begin {align} d ^ {k} X & = \ left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} \ right) \ wedge \ left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} \ right) \ wedge \ cdots \ wedge \ left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \ right) \\ & = \ left (e_ {i_ {1} } \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k }}. \ end {выравнивается}}}

Следовательно, мера всегда пропорциональна единице псевдоскаляра a -мерного подпространства векторного пространства. Сравните риманову форму объема в теории дифференциальных форм. Интеграл берется по этой мере: ${\ displaystyle k}$

{\ Displaystyle \ int _ {V} F (x) \, d ^ {k} X = \ int _ {V} F (x) \ left (e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2}) } \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k}}.}

Более формально рассмотрим некоторый направленный объем подпространства. Мы можем разделить этот объем на сумму симплексов . Позвольте быть координаты вершин. В каждой вершине мы назначаем меру как среднюю меру симплексов, разделяющих вершину. Тогда интеграл от по этому объему получается в пределе более тонкого разбиения объема на более мелкие симплексы: ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ Delta U_ {i} (x)}$ ${\ Displaystyle F (х)}$ ${\ Displaystyle U (х)}$

{\ displaystyle \ int _ {V} F \, dU = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {n} F (x_ {i}) \, \ Delta U_ {i }(Икс).}

Основная теорема геометрического исчисления

Причина определения геометрической производной и интеграла, как указано выше, заключается в том, что они допускают сильное обобщение теоремы Стокса . Пусть будет многовекторной функцией входных данных и общего положения , линейной по первому аргументу. Тогда основная теорема геометрического исчисления связывает интеграл от производной по объему с интегралом по его границе: ${\ Displaystyle {\ mathsf {L}} (А; х)}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ mathsf {L}}} \ left ({\ dot {\ nabla}} dX; x \ right) = \ oint _ {\ partial V} {\ mathsf { L}} (dS; x).}$

В качестве примера, пусть для векторнозначной функции и ( ) -градусного многовектора . Мы находим, что ${\ Displaystyle {\ mathsf {L}} (A; x) = \ langle F (x) AI ^ {- 1} \ rangle}$ ${\ Displaystyle F (х)}$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle A}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ int _ {V} {\ dot {\ mathsf {L}}} \ left ({\ dot {\ nabla}} dX; x \ right) & = \ int _ {V } \ langle {\ dot {F}} (x) {\ dot {\ nabla}} \, dX \, I ^ {- 1} \ rangle \\ & = \ int _ {V} \ langle {\ dot { F}} (x) {\ dot {\ nabla}} \, | dX | \ rangle \\ & = \ int _ {V} \ nabla \ cdot F (x) \, | dX |. \ End {выровнено} }}

Точно так же

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ partial V} {\ mathsf {L}} (dS; x) & = \ oint _ {\ partial V} \ langle F (x) \, dS \, I ^ {- 1} \ rangle \\ & = \ oint _ {\ partial V} \ langle F (x) {\ hat {n}} \, | dS | \ rangle \\ & = \ oint _ {\ partial V} F (x) \ cdot {\ hat {n}} \, | dS |. \ End {align}}}

Таким образом, мы восстанавливаем теорему о расходимости ,

{\ Displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot F (x) \, | dX | = \ oint _ {\ partial V} F (x) \ cdot {\ hat {n}} \, | dS |. }

Ковариантная производная

Достаточно гладкая -поверхность в -мерном пространстве называется многообразием . К каждой точке на многообразии мы можем прикрепить -лезвие , касающееся многообразия. Локально действует как псевдоскаляр -мерного пространства. Эта лопатка определяет проекцию векторов на многообразие: ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {B} (A) = (A \ cdot B ^ {- 1}) B.}

Так же, как геометрическая производная определена во всем -мерном пространстве, мы можем захотеть определить внутреннюю производную , локально определенную на многообразии: ${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ partial}$

{\ Displaystyle \ partial F = {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla) F.}

(Примечание: правая часть вышеупомянутого может не лежать в касательном пространстве к многообразию. Следовательно, это не то же самое, что и , которое обязательно лежит в касательном пространстве.) ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla F)}$

Если - вектор, касательный к многообразию, то на самом деле и геометрическая производная, и внутренняя производная дают одну и ту же производную по направлению: ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle a \ cdot \ partial F = a \ cdot \ nabla F.}

Хотя эта операция вполне допустима, она не всегда полезна, потому что сама по себе не обязательно находится на коллекторе. Поэтому мы определяем ковариантную производную как принудительную проекцию внутренней производной обратно на многообразие: ${\ displaystyle \ partial F}$

{\ displaystyle a \ cdot DF = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot \ partial F) = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot {\ mathcal {P}} _ {B} (\ nabla) F).}

Поскольку любой общий многовектор может быть выражен как сумма проекции и отклонения, в этом случае

{\ displaystyle a \ cdot \ partial F = {\ mathcal {P}} _ {B} (a \ cdot \ partial F) + {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ partial F),}

мы вводим новую функцию, тензор формы , которая удовлетворяет ${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} (а)}$

{\ displaystyle F \ times {\ mathsf {S}} (a) = {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ partial F),}

где - коммутаторное произведение . В локальном базисе координат, охватывающем касательную поверхность, тензор формы имеет вид ${\ displaystyle \ times}$ ${\ Displaystyle \ {е_ {я} \}}$

{\ displaystyle {\ mathsf {S}} (a) = e ^ {i} \ wedge {\ mathcal {P}} _ {B} ^ {\ perp} (a \ cdot \ partial e_ {i}).}

Важно отметить, что на общем многообразии ковариантная производная не коммутирует. В частности, коммутатор связан с тензором формы соотношением

{\ displaystyle [a \ cdot D, \, b \ cdot D] F = - ({\ mathsf {S}} (a) \ times {\ mathsf {S}} (b)) \ ​​times F.}

Очевидно, термин представляет интерес. Однако она, как и собственная производная, не обязательно находится на многообразии. Следовательно, мы можем определить тензор Римана как проекцию обратно на многообразие: ${\ Displaystyle {\ mathsf {S}} (а) \ раз {\ mathsf {S}} (б)}$

{\ displaystyle {\ mathsf {R}} (a \ wedge b) = - {\ mathcal {P}} _ {B} ({\ mathsf {S}} (a) \ times {\ mathsf {S}} ( б)).}

Наконец, если имеет степень , то мы можем определить внутренние и внешние ковариантные производные как ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle r}$

{\ Displaystyle D \ cdot F = \ langle DF \ rangle _ {r-1},}

{\ Displaystyle D \ клин F = \ langle DF \ rangle _ {r + 1},}

и аналогично для внутренней производной.

Отношение к дифференциальной геометрии

На многообразии локально мы можем назначить касательную поверхность, натянутую на набор базисных векторов . Мы можем связать компоненты метрического тензора , символы Кристоффеля и тензора кривизны Римана следующим образом: ${\ Displaystyle \ {е_ {я} \}}$

{\ displaystyle g_ {ij} = e_ {i} \ cdot e_ {j},}

{\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = (e_ {i} \ cdot De_ {j}) \ cdot e ^ {k},}

{\ displaystyle R_ {ijkl} = ({\ mathsf {R}} (e_ {i} \ wedge e_ {j}) \ cdot e_ {k}) \ cdot e_ {l}.}

Эти соотношения включают теорию дифференциальной геометрии в геометрическое исчисление.

Отношение к дифференциальным формам

В локальной системе координат ( ) дифференциалы координат , ... образуют базовый набор единичных форм в таблице координат . Учитывая мультииндекс с for , мы можем определить -форму ${\ Displaystyle х ^ {1}, \ ldots, х ^ {п}}$ ${\ displaystyle dx ^ {1}}$ ${\ displaystyle dx ^ {n}}$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, \ ldots, i_ {k})}$ ${\ displaystyle 1 \ leq i_ {p} \ leq n}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq k}$ ${\ displaystyle k}$

{\ displaystyle \ omega = f_ {I} \, dx ^ {I} = f_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}} \, dx ^ {i_ {1}} \ wedge dx ^ { i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {i_ {k}}.}

В качестве альтернативы мы можем ввести многовектор -уровень как ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A = f_ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k}} e ^ {i_ {1}} \ wedge e ^ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e ^ {i_ {k}}}

и мера

{\ displaystyle {\ begin {align} d ^ {k} X & = \ left (dx ^ {i_ {1}} e_ {i_ {1}} \ right) \ wedge \ left (dx ^ {i_ {2}} e_ {i_ {2}} \ right) \ wedge \ cdots \ wedge \ left (dx ^ {i_ {k}} e_ {i_ {k}} \ right) \\ & = \ left (e_ {i_ {1} } \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}} \ right) dx ^ {i_ {1}} dx ^ {i_ {2}} \ cdots dx ^ {i_ {k }}. \ end {выравнивается}}}

Помимо тонкой разницы в значении внешнего продукта по отношению к дифференциальным формам и внешнего продукта по отношению к векторам (в первом приращения являются ковекторами, тогда как во втором они представляют собой скаляры), мы видим соответствия дифференциальной формы