Многопараметрическое исчисление - Multivariable calculus

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

Многовариантное исчисление (также известное как многомерное исчисление ) - это расширение исчисления с одной переменной до исчисления с функциями нескольких переменных : дифференцирование и интегрирование функций, включающих несколько переменных, а не только одну.

Типичные операции

Пределы и преемственность

Изучение пределов и непрерывности в исчислении многих переменных дает множество противоречивых результатов, которые не демонстрируются функциями одной переменной. Например, есть скалярные функции двух переменных с точками в их области определения, которые дают разные пределы при приближении к ним по разным путям. Например, функция

${\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}}}$

стремится к нулю всякий раз, когда приближается к точке по линиям, проходящим через начало координат ( ). Однако при приближении к началу координат по параболе значение функции имеет предел . Поскольку разные пути к одной и той же точке дают разные предельные значения, общего предела здесь не существует. ${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle y = kx}$ ${\ displaystyle y = \ pm x ^ {2}}$${\ displaystyle \ pm 1/2}$

Непрерывность в каждом аргументе, недостаточная для многомерной непрерывности, также можно увидеть из следующего примера. В частности, для вещественнозначной функции с двумя действительными параметрами, непрерывность in для фиксированного и непрерывность in для фиксированного не означает непрерывность . ${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$

Рассмотреть возможность

${\ displaystyle f (x, y) = {\ begin {cases} {\ frac {y} {x}} - y & {\ text {if}} \ quad 0 \ leq y <x \ leq 1 \\ {\ frac {x} {y}} - x & {\ text {if}} \ quad 0 \ leq x <y \ leq 1 \\ 1-x & {\ text {if}} \ quad 0 <x = y \\ 0 & {\ text {везде}}. \ end {case}}}$

Легко проверить, что эта функция по определению равна нулю на границе и вне четырехугольника . Кроме того, функция , определенная для постоянная и и пути ${\ Displaystyle (0,1) \ раз (0,1)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle 0 \ leq a \ leq 1}$

${\ displaystyle g_ {a} (x) = f (x, a) \ quad}$ а также ${\ displaystyle \ quad h_ {a} (y) = f (a, y) \ quad}$

непрерывны. Конкретно,

${\ displaystyle g_ {0} (x) = f (x, 0) = h_ {0} (0, y) = f (0, y) = 0}$для всех x и y .

Однако последовательность (для естественного ) сходится к , делая функцию прерывистой в . Приближение к началу координат не параллельно осям - и - обнаруживает этот разрыв. ${\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {1} {n}}, {\ tfrac {1} {n}} \ right)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f \ left ({\ tfrac {1} {n}}, {\ tfrac {1} {n}} \ right) = 1}$${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Непрерывность функционального состава

Если является непрерывным в точке и является непрерывной функцией одной переменной в точке, то составная функция, определяемая с помощью, является непрерывной в точке${\ displaystyle f (x, y)}$${\ Displaystyle (а, б),}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f (a, b),}$${\ displaystyle h = g \ circ f}$${\ Displaystyle ч (х, у) = г (е (х, у))}$${\ displaystyle (a, b).}$

Например, и${\ Displaystyle \ ехр (ху)}$${\ Displaystyle \ ln (1 + ху-4х + 10у).}$

Свойства непрерывных функций

Если и оба непрерывны в то ${\ displaystyle f (x, y)}$${\ Displaystyle г (х, у)}$${\ Displaystyle (а, б)}$

(i) непрерывны в${\ Displaystyle е (х, у) \ пм г (х, у)}$${\ displaystyle (a, b).}$

(ii) непрерывна в точке для любой постоянной c . ${\ Displaystyle cf (х, у)}$${\ Displaystyle (а, б)}$

(iii) непрерывна в точке${\ displaystyle f (x, y)}$ ${\ displaystyle.}$ ${\ Displaystyle г (х, у)}$${\ displaystyle (a, b).}$

(iv) непрерывна в точке, если${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {е (х, у)} {г (х, у)}}}$${\ Displaystyle (а, б),}$${\ displaystyle g (a, b) \ neq 0.}$

(v) непрерывна в${\ Displaystyle \ мид е (х, у) \ мид}$${\ displaystyle (a, b).}$

Частичная дифференциация

Частная производная обобщает понятие производной на более высокие измерения. Частная производная функции многих переменных - это производная по одной переменной, при этом все остальные переменные остаются постоянными.

Частные производные можно комбинировать интересными способами для создания более сложных выражений производной. В векторном исчислении , то дель оператор ( ) используется для определения понятия градиента , дивергенции и ротора в терминах частных производных. Матрица частных производных, матрица Якоби , может использоваться для представления производной функции между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом, производную можно понимать как линейное преобразование, которое напрямую изменяется от точки к точке в области определения функции. ${\ displaystyle \ nabla}$

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называются уравнениями в частных производных или PDE. Эти уравнения, как правило, труднее решить, чем обыкновенные дифференциальные уравнения , которые содержат производные только по одной переменной.

Множественная интеграция

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла до функций любого числа переменных. Двойные и тройные интегралы могут использоваться для вычисления площадей и объемов областей на плоскости и в пространстве. Теорема Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть оценен как повторяющийся интеграл или повторяющийся интеграл, если подынтегральное выражение непрерывно во всей области интегрирования.

Интегральная поверхность и интегральная линия используются для интеграции более изогнутые коллекторов , таких как поверхности и кривые .

Основная теорема многомерного исчисления

В исчислении с одной переменной основная теорема исчисления устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в многомерном исчислении воплощается в интегральных теоремах векторного исчисления:

• Теорема о градиенте
• Теорема Стокса
• Теорема расходимости
• Теорема Грина .

При более продвинутом изучении многомерного исчисления видно, что эти четыре теоремы являются конкретными воплощениями более общей теоремы, обобщенной теоремы Стокса , которая применяется к интегрированию дифференциальных форм по многообразиям .

Приложения и использование

Методы многомерного исчисления используются для изучения многих интересных объектов материального мира. Особенно,

		Тип функций	Применимые методы
Кривые		${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ для ${\ displaystyle n> 1}$	Длины кривых, линейные интегралы и кривизна .
Поверхности		${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ для ${\ displaystyle n> 2}$	Площади поверхностей, поверхностные интегралы , поток через поверхности и кривизна.
Скалярные поля		${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$	Максимумы и минимумы, множители Лагранжа , производные по направлениям , множества уровней .
Векторные поля		${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$	Любые операции векторного исчисления, включая градиент , дивергенцию и завиток .

Многовариантное исчисление может применяться для анализа детерминированных систем , имеющих несколько степеней свободы . Функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, часто используются для моделирования этих систем, а многомерное исчисление предоставляет инструменты для описания динамики системы .

Многофакторное исчисление используются в контроле оптимального из непрерывного времени динамических систем . Он используется в регрессионном анализе для вывода формул для оценки взаимосвязей между различными наборами эмпирических данных .

Многовариантное исчисление используется во многих областях естественных и социальных наук и инженерии для моделирования и изучения многомерных систем, которые демонстрируют детерминированное поведение. В экономике , например, выбор потребителя в отношении разнообразных товаров и выбор производителя в отношении различных ресурсов для использования и результатов для производства моделируются с помощью многомерного исчисления. Количественные аналитики в области финансов также часто используют многомерный расчет для прогнозирования будущих тенденций на фондовом рынке .

Недетерминированные или стохастические системы можно изучать с помощью другого вида математики, например, стохастического исчисления .

Смотрите также

• Список тем многомерного исчисления
• Многовариантная статистика

использованная литература

внешние ссылки

• Видеолекции Калифорнийского университета в Беркли по многомерному исчислению, осень 2009 г., профессор Эдвард Френкель
• Видеолекции Массачусетского технологического института по многомерному исчислению, осень 2007 г.
• Многовариантное исчисление : бесплатный онлайн-учебник Джорджа Кейна и Джеймса Ирода
• Многопараметрическое исчисление в Интернете : бесплатный онлайн-учебник Джеффа Книсли
• Многопараметрическое исчисление - очень быстрый обзор , профессор Блэр Перо, Массачусетский университет, Амхерст
• Многопараметрическое исчисление , онлайн-текст доктора Джерри Шурмана