Геометрическая серия - Geometric series

Геометрический ряд 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... показан в виде областей фиолетовых квадратов. Каждый из фиолетовых квадратов имеет 1/4 площади следующего большего квадрата ( 1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16 и т. Д.). Сумма площадей фиолетовых квадратов составляет одну треть площади большого квадрата.

Другой геометрический ряд (коэффициент a = 4/9 и знаменатель r = 1/9) показан в виде областей фиолетовых квадратов. Общая фиолетовая площадь равна S = a / (1 - r ) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, что можно подтвердить, наблюдая, что внешний квадрат разделен на бесконечные количество L-образных областей, каждая с четырьмя фиолетовыми квадратами и четырьмя желтыми квадратами, наполовину фиолетовыми.

В математике , А геометрический ряд представляет собой сумму бесконечного числа терминов , которые имеют отношение постоянного между последовательными условиями. Например, сериал

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, + \, {\ frac {1} {4}} \, + \, {\ frac {1} {8}} \, + \, {\ гидроразрыв {1} {16}} \, + \, \ cdots}$

является геометрическим, потому что каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на 1/2. В общем, геометрический ряд записывается как a + ar + ar ² + ar ³ + ..., где a - коэффициент каждого члена, а r - общее отношение между соседними членами. Геометрические ряды являются одними из простейших примеров бесконечных рядов и могут служить основным введением в ряды Тейлора и Фурье . Геометрические ряды сыграли важную роль в раннем развитии исчисления , используются во всей математике и имеют важные приложения в физике , инженерии , биологии , экономике , информатике , теории массового обслуживания и финансах .

Различие между прогрессией и серией состоит в том, что прогрессия - это последовательность, а серия - это сумма.

Коэффициент а

Первые девять членов геометрического ряда 1 + r + r ² + r ³ ... нарисованные как функции (окрашенные в следующем порядке: красный, зеленый, синий, красный, зеленый, синий, ...) в диапазоне -1 < r <1. Замкнутый геометрический ряд 1 / (1 - r ) - черная пунктирная линия.

Геометрический ряд a + ar + ar ² + ar ³ + ... записан в развернутом виде. Все коэффициенты геометрического ряда одинаковы. В противоположность этому , силовые серии записывается как в ₀ + ₁ г + в ₂ г ² + ₃ г ³ + ... в развернутом виде имеет коэффициенты _я , которые могут варьироваться в зависимости от срока до срока. Другими словами, геометрический ряд - это частный случай степенного ряда. Первый член геометрического ряда в развернутой форме является коэффициентом а этого геометрического ряда.

Помимо развернутой формы геометрического ряда, существует образующая форма геометрического ряда, записанная как

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty}}$ ar ^k

и замкнутый вид геометрического ряда, записанный как

a / (1 - r ) в диапазоне | г | <1.

Вывод закрытой формы из развернутой показан в разделе « Сумма» этой статьи . Для вывода требуется, чтобы все коэффициенты ряда были одинаковыми (коэффициент a), чтобы воспользоваться преимуществом самоподобия и сократить бесконечное количество операций сложения и увеличения в развернутой форме до единственного вычитания и единственного деления в закрытая форма. Однако даже без этого вывода результат может быть подтвержден длинным делением : a, разделенное на (1 - r ), дает a + ar + ar ² + ar ³ + ..., который является расширенной формой геометрического ряда.

Обычно геометрический ряд рассматривается как сумма чисел a + ar + ar ² + ar ³ + ..., но также может рассматриваться как сумма функций a + ar + ar ² + ar ³ + ..., которые сходится к функции a / (1 - r ) в диапазоне | r | <1. На соседнем изображении показан вклад каждого из первых девяти членов (т. Е. Функций) в функцию a / (1 - r ) в диапазоне | г | <1, когда a = 1. Изменение даже одного из коэффициентов на значение, отличное от коэффициента a, привело бы (в дополнение к изменению геометрического ряда на степенной ряд) к изменению итоговой суммы функций на некоторую функцию, отличную от a / (1 - r ) в диапазоне | г | <1. Кроме того, особенно полезное изменение коэффициентов определяется рядом Тейлора , который описывает, как изменить коэффициенты так, чтобы сумма функций сходилась к любой выбранной пользователем достаточно гладкой функции в пределах диапазона.

Общее отношение r

Сходимость геометрического ряда с r = 1/2 и a = 1/2

Сходимость геометрического ряда с r = 1/2 и a = 1

Увеличенное изображение совокупной суммы функций в диапазоне -1 < r <-0,5 при добавлении первых 11 членов геометрического ряда 1 + r + r ² + r ³ + .... Геометрический ряд 1 / (1 - r ) - красная пунктирная линия.

Воспроизвести медиа

Сложный геометрический ряд (коэффициент a = 1 и знаменатель r = 0,5 e ^{iω ₀ t} ), сходящийся к окружности. В анимации каждый член геометрической серии рисуется как вектор дважды : один раз в начале координат, а затем в суммировании векторов от головы к хвосту, которое сходится к кругу. Круг пересекает действительную ось в точках 2 (= 1 / (1-1 / 2), когда θ = 0), и в 2/3 (= 1 / (1 - (- 1/2)), когда θ = 180 градусов).

Геометрический ряд a + ar + ar ² + ar ³ + ... представляет собой бесконечный ряд, определяемый всего двумя параметрами : коэффициентом a и знаменателем r . Общий коэффициент r - это отношение любого члена к предыдущему члену в ряду. Или, что то же самое, обычное отношение r - это множитель, используемый для вычисления следующего члена в ряду. В следующей таблице показано несколько геометрических рядов:

Сходимость геометрического ряда зависит от значения знаменателя r :

• Если | г | <1 члены ряда в пределе стремятся к нулю (становясь все меньше и меньше по величине ), и ряд сходится к сумме a / (1 - r ).
• Если | г | = 1, ряд не сходится. Когда r = 1, все члены ряда одинаковы, и ряд бесконечен. Когда r = -1, члены принимают два значения поочередно (например, 2, -2, 2, -2, 2, ...). Сумма членов колеблется между двумя значениями (например, 2, 0, 2, 0, 2, ...). Это другой тип расхождения. См., Например , ряд Гранди : 1 - 1 + 1 - 1 + ···.
• Если | г | > 1 члены ряда становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и ряд не сходится к сумме. (Серия расходится .)

Скорость сходимости также зависит от значения общего коэффициента r . В частности, скорость сходимости становится медленнее, когда r приближается к 1 или -1. Например, геометрический ряд с a = 1 равен 1 + r + r ² + r ³ + ... и сходится к 1 / (1 - r ), когда | г | <1. Однако количество членов, необходимых для сходимости, стремится к бесконечности, когда r приближается к 1, потому что a / (1 - r ) стремится к бесконечности и каждый член ряда меньше или равен единице. Напротив, когда r приближается к -1, сумма первых нескольких членов геометрического ряда начинает сходиться к 1/2, но слегка переворачивается вверх или вниз в зависимости от того, имеет ли последний добавленный член степень r , четную или нечетную. . Такое поведение переворачивания около r = −1 проиллюстрировано на соседнем изображении, показывающем первые 11 членов геометрического ряда с a = 1 и | г | <1.

Общее отношение r и коэффициент a также определяют геометрическую прогрессию , которая представляет собой список членов геометрического ряда, но без добавлений. Следовательно, геометрическая последовательность a + ar + ar ² + ar ³ + ... имеет геометрическую прогрессию (также называемую геометрической последовательностью) a , ar , ar ² , ar ³ , ... Геометрическая прогрессия - настолько проста, насколько это возможно. - моделирует удивительное количество природных явлений ,

• из некоторых из крупнейших наблюдений, таких как расширение Вселенной, где общее отношение r определяется постоянной Хаббла ,
• к некоторым из мельчайших наблюдений, таких как распад радиоактивных атомов углерода-14, где обычное отношение r определяется периодом полураспада углерода-14 .

Кроме того, обычное отношение r может быть комплексным числом, например | r | e ^{i θ,} где | г | представляет собой вектор величина «с (или длиной), θ представляет угол вектора (или ориентация) в комплексной плоскости , а я ² = -1. С общим соотношением | r | e ^{i θ} , развернутая форма геометрического ряда имеет вид a + a | г | е ^{я θ} + а | г | ² e ^{i2 θ} + a | г | ³ е ^{i3 θ} + ... Моделирование угол & thetas как линейно возрастает с течением времени при скорости некоторой угловой частоты ω ₀ (другими словами, делая замену & thetas = & omega ; ₀ т ), расширенная форма геометрической прогрессии становится + а | r | e ^{i ω ₀ t} + a | г | ² e ^{i2 ω ₀ t} + a | г | ³ e ^{i3 ω ₀ t} + ..., где первый член - это вектор длины a, который вообще не вращается, а все остальные члены - это векторы разной длины, вращающиеся на гармониках основной угловой частоты ω ₀ . Ограничение | r | <1 достаточно, чтобы скоординировать это бесконечное количество векторов разной длины, все вращающиеся с разной скоростью, чтобы очертить круг, как показано на соседнем видео. Подобно тому, как ряд Тейлора описывает, как изменять коэффициенты, чтобы ряд сходился к выбранной пользователем достаточно гладкой функции в пределах диапазона, ряд Фурье описывает, как изменять коэффициенты (которые также могут быть комплексными числами, чтобы указать начальные углы векторов), поэтому ряд сходится к периодической функции, выбранной пользователем .

Сумма

Формула закрытого типа

Предлагая другую перспективу по сравнению с хорошо известным алгебраическим выводом, приведенным в соседнем разделе, ниже приводится геометрический вывод замкнутой формы геометрического ряда. В общих чертах, этот геометрический вывод представляет члены геометрического ряда как области перекрывающихся квадратов, и цель состоит в том, чтобы преобразовать эти перекрывающиеся квадраты в легко вычисляемую неперекрывающуюся область. Отправной точкой является частичная сумма S = r ^m + r ^{m + 1} + ... + r ^n-1 + r ^n, когда m <n и стандартное отношение r > 1. Каждый член ряда r ⁱ представлен площадь перекрывающегося квадрата площади A _i, которая может быть преобразована в неперекрывающуюся L-образную область L _i = A _i - A _i-1 или, что то же самое, L _{i + 1} = A _{i + 1} - A _i . Поскольку A _{i + 1} = r A _i геометрический ряд . Следовательно, L _{i + 1} = A _{i + 1} - A _i = (r - 1) A _i , или A _i = L _{i + 1} / ( r - 1). Проще говоря, каждый квадрат перекрывается, но может быть преобразован в неперекрывающуюся L-образную область в следующем большем квадрате (следующая степень r ) и масштабирован на 1 / ( r - 1), так что преобразование из перекрытого квадрата в неперекрывающийся квадрат -заблокированная L-образная область сохраняет ту же площадь. Следовательно, сумма S = A _m + A _{m + 1} + ... + A _n-1 + A _n = (L _{m + 1} + L _{m + 2} + ... + L _n + L _{n + 1} ) / ( г - 1). Обратите внимание, что неперекрывающиеся L-образные области от L-образной области m + 1 до L-образной области n + 1 являются разделом неперекрывающегося квадрата A _{n + 1 за} вычетом верхнего правого квадратного выреза A _m (потому что там не являются перекрывающимися меньшими квадратами, которые можно преобразовать в выемку площадью A _m ). Следовательно, замена A _i = r ⁱ и масштабирование всех членов коэффициентом a приводит к общему геометрическому ряду замкнутой формы S = ( r ^{n + 1} - r ^m ) a / ( r - 1), когда m <n и r > 1. Хотя в приведенном выше геометрическом доказательстве предполагается, что r > 1, можно показать, что та же формула закрытой формы применима к любому значению r, за исключением, возможно, r = 0 (в зависимости от того, как вы решите определить ноль в степени ноль ). Например, для случая r = 1, S = (1 ^{n + 1} - 1 ^m ) a / (1 - 1) = 0 / 0. Однако применение правила L'Hôpital приводит к S = (n + 1 - m ) a, когда r = 1. Для случая 0 <r <1 начните с S = ( r ^{n + 1} - r ^m ) a / ( r - 1), когда m <n, r > 1, и пусть m = - ∞ и n = 0, поэтому S = ar / ( r - 1), когда r > 1. Деление числителя и знаменателя на r дает S = a / (1 - (1 / r )), когда r > 1, что эквивалентно S = a / (1 - r ), когда 0 < r <1, потому что инвертирование r меняет порядок ряда (от наибольшего к наименьшему, а не от наименьшего к наибольшему), но не меняет сумму. Диапазон 0 < r <1 может быть расширен до диапазона -1 < r <1 путем применения производной формулы S = a / (1 - r ), когда 0 < r <1, отдельно к двум разбиениям геометрического ряда: один с четными степенями r (который не может быть отрицательным), а другой с нечетными степенями r (который может быть отрицательным). Сумма по обоим разбиениям равна S = a / (1 - r ² ) + ar / (1 - r ² ) = a (1 + r ) / ((1 + r ) (1 - r )) = a / (1 - г ).

В самом деле, сумма первых n +1 членов геометрического ряда, вплоть до члена r ⁿ включительно , равна ${\ displaystyle r \ neq 1}$

${\ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots + ar ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {k} = a \ left ( {\ frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}} \ right),}$

где r - обычное отношение. Эту формулу в замкнутой форме для частичной суммы s можно получить , вычитая множество самоподобных членов следующим образом:

${\ Displaystyle {\ begin {align} s = a \ + \ & ar \ + \ ar ^ {2} \ + \ ar ^ {3} \ + \ \ cdots \ + \ ar ^ {n}, \\ rs = \ & ar \ + \ ar ^ {2} \ + \ ar ^ {3} \ + \ \ cdots \ + \ ar ^ {n} \ + \ ar ^ {n + 1}, \\ s-rs = \ & a \ - \ ar ^ {n + 1}, \\ s (1-r) = \ & a (1-r ^ {n + 1}), \\ s = \ & a \ left ({\ frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}} \ right) \ quad {\ text {(if}} r \ neq 1 {\ text {)}}. \ end {выравнивается}}}$

Когда n приближается к бесконечности, абсолютное значение r должно быть меньше единицы, чтобы ряд сходился. Сумма тогда становится

${\ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + ar ^ {4} + \ cdots = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} ar ^ {k} = {\ frac {a} {1-r}}, {\ text {for}} | r | <1.}$

Когда a = 1 , это можно упростить до

${\ displaystyle 1 \, + \, r \, + \, r ^ {2} \, + \, r ^ {3} \, + \, \ cdots \; = \; {\ frac {1} {1 -р}}.}$

Формула справедлива для комплексного г , с соответствующим ограничением, то модуль из р строго меньше единицы.

Кроме того, вопрос о том, сходится ли бесконечный ряд, по сути, является вопросом о расстоянии между двумя значениями: при достаточном количестве членов становится ли значение частичной суммы сколь угодно близким к значению, к которому оно приближается? В приведенном выше выводе замкнутой формы геометрического ряда интерпретация расстояния между двумя значениями - это расстояние между их положениями на числовой прямой . Это наиболее распространенная интерпретация расстояния между двумя значениями. Однако p-адическая метрика , которая стала критическим понятием в современной теории чисел , предлагает такое определение расстояния, что геометрический ряд 1 + 2 + 4 + 8 + ... с a = 1 и r = 2 действительно сходится до a / (1 - r ) = 1 / (1 - 2) = -1, даже если r находится вне типичного диапазона сходимости | г | <1.

Доказательство сходимости

Мы можем доказать, что геометрический ряд сходится, используя формулу суммы для геометрической прогрессии :

${\ displaystyle {\ begin {align} 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + \ cdots \ & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + r + r ^ { 2} + \ cdots + r ^ {n} \ right) \\ & = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}}. \ конец {выровнен}}}$

Второе равенство верно, потому что если тогда as и ${\ Displaystyle | г | <1,}$${\ Displaystyle г ^ {п + 1} \ к 0}$${\ Displaystyle п \ к \ infty}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (1 + r + r ^ {2} + \ cdots + r ^ {n}) (1-r) & = ((1-r) + (rr ^ {2}) + (r ^ {2} -r ^ {3}) + ... + (r ^ {n} -r ^ {n + 1})) \\ & = (1 + (- r + r) + ( -r ^ {2} + r ^ {2}) + ... + (- r ^ {n} + r ^ {n}) - r ^ {n + 1}) \\ & = 1-r ^ { n + 1}. \ end {выровнено}}}$

Сходимость геометрических рядов также можно продемонстрировать, переписав ряд как эквивалентный телескопический ряд . Рассмотрим функцию

${\ displaystyle g (K) = {\ frac {r ^ {K}} {1-r}}.}$

Обратите внимание, что

${\ Displaystyle 1 = г (0) -g (1), \ quad r = g (1) -g (2), \ quad r ^ {2} = g (2) -g (3), \ ldots}$

Таким образом,

${\ displaystyle S = 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + \ cdots = (g (0) -g (1)) + (g (1) -g (2)) + (g (2) -g (3)) + \ cdots.}$

Если

${\ Displaystyle | г | <1}$

тогда

${\ displaystyle g (K) \ longrightarrow 0 {\ text {as}} K \ to \ infty.}$

Итак, S сходится к

${\ displaystyle g (0) = {\ frac {1} {1-r}}.}$

Скорость сходимости

Кумулятивная сумма функций в диапазоне -1 < r <-0,5 складывается как первые 51 член геометрического ряда 1 + r + r ² + r ³ + .... Величина наклона при r = -1 очень постепенно увеличивается с каждым добавленным членом. Геометрический ряд 1 / (1 - r ) - красная пунктирная линия.

Как показано в приведенных выше доказательствах, замкнутая форма частичной суммы геометрического ряда до n-й степени числа r включительно представляет собой (1 - r ^{n +1} ) / (1 - r ) для любого значения r , и замкнутая форма геометрического ряда представляет собой полную сумму a / (1 - r ) в диапазоне | г | <1.

Если общее отношение находится в диапазоне 0 < r <1, тогда частичная сумма a (1 - r ^{n +1} ) / (1 - r ) увеличивается с каждым добавленным членом и в конечном итоге попадает в небольшую ошибку E , отношение полная сумма a / (1 - r ). Решая для n при этом пороге ошибки,

${\ displaystyle {\ begin {align} a \ left ({\ frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}} \ right) & \ geq a \ left ({\ frac {1-E } {1-r}} \ right), \\ 1-r ^ {n + 1} & \ geq 1-E, \\ r ^ {n + 1} & \ leq E, \\\ ln (r ^ {n + 1}) & \ leq \ ln (E), \\ (n + 1) \ ln (r) & \ leq \ ln (E), \\ n + 1 & \ geq \ left \ lceil {\ frac {\ ln (E)} {\ ln (r)}} \ right \ rceil, \ end {align}}}$

где 0 < r <1, операция потолка ограничивает n целыми числами, а деление обеих сторон на натуральный логарифм r меняет неравенство, поскольку оно отрицательное. Результат n +1 - это количество членов частичной суммы, необходимое для получения в пределах aE / (1 - r ) полной суммы a / (1 - r ). Например, чтобы получить в пределах 1% от полной суммы a / (1 - r ) при r = 0,1, только 2 (= ln ( E ) / ln ( r ) = ln (0,01) / ln (0,1)) членов частичная сумма не требуется. Однако при r = 0,9 необходимо 44 (= ln (0,01) / ln (0,9)) членов частичной суммы, чтобы получить в пределах 1% от полной суммы a / (1 - r ). ${\ Displaystyle \ lceil \ rceil}$

Если общее отношение находится в диапазоне -1 < r <0, то геометрический ряд является чередующимся рядом, но может быть преобразован в форму не чередующегося геометрического ряда путем объединения пар членов и последующего анализа скорости сходимости с использованием тот же подход, что и для диапазона общего отношения 0 < r <1. В частности, частичная сумма

s = a + ar + ar ² + ar ³ + ar ⁴ + ar ⁵ + ... + ar ^{n -1} + ar ⁿ в диапазоне -1 < r <0 эквивалентно

s = a - ap + ap ² - ap ³ + ap ⁴ - ap ⁵ + ... + ap ^{n -1} - ap ⁿ с нечетным n с заменой p = - r и в пределах 0 < p <1,

s = ( a - ap ) + ( ap ² - ap ³ ) + ( ap ⁴ - ap ⁵ ) + ... + ( ap ^{n -1} - ap ⁿ ) со смежными терминами с разными знаками, соединенными вместе,

s = a (1 - p ) + a (1 - p ) p ² + a (1 - p ) p ⁴ + ... + a (1 - p ) p ^{2 ( n -1) / 2} с a (1 - р ) за вычетом каждого члена,

s = a (1 - p ) + a (1 - p ) p ² + a (1 - p ) p ⁴ + ... + a (1 - p ) p ^{2 m} с заменой m = ( n - 1) / 2, которое является целым числом с учетом ограничения, что n нечетно,

которая теперь представлена ​​в виде первых m членов геометрического ряда с коэффициентом a (1 - p ) и знаменателем p ² . Следовательно, замкнутая форма частичной суммы - это (1 - p ) (1 - p ^{2 ( m +1)} ) / (1 - p ² ), которое увеличивается с каждым добавленным членом и в конечном итоге попадает в некоторую небольшую ошибку, E , соотношение полной суммы a (1 - p ) / (1 - p ² ). Как и раньше, решая для m на этом пороге ошибки,

${\ displaystyle {\ begin {align} a (1-p) \ left ({\ frac {1-p ^ {2m + 2}} {1-p ^ {2}}} \ right) & \ geq a ( 1-p) \ left ({\ frac {1-E} {1-p ^ {2}}} \ right), \\ 1-p ^ {2m + 2} & \ geq 1-E, \\ p ^ {2m + 2} & \ leq E, \\\ ln (p ^ {2m + 2}) & \ leq \ ln (E), \\ (2m + 2) \ ln (p) & \ leq \ ln (E), \\ m + 1 & \ geq \ left \ lceil {\ frac {\ ln (E)} {2 \ ln (p)}} \ right \ rceil, \\ m + 1 & \ geq \ left \ lceil {\ frac {\ ln (E)} {2 \ ln (-r)}} \ right \ rceil, \ end {align}}}$

где 0 < р <1 или , что эквивалентно -1 < г <0, а м результатом +1 число частичных сумм пар терминов , необходимых для получения в течение более (1 - р ) E / (1 - р ² ) из полная сумма a (1 - p ) / (1 - p ² ). Например, чтобы получить в пределах 1% от полной суммы a (1 - p ) / (1 - p ² ) при p = 0,1 или, что эквивалентно, r = -0,1, только 1 (= ln ( E ) / (2 ln ( p ) ) = ln (0,01) / (2 ln (0,1)) необходима пара членов частичной суммы. Однако при p = 0,9 или, что эквивалентно, r = -0,9, 22 (= ln (0,01) / (2 ln (0,9) )) пары членов частичной суммы необходимы, чтобы получить в пределах 1% от полной суммы a (1 - p ) / (1 - p ² ). Сравнение скорости сходимости для положительных и отрицательных значений r , n + 1 (количество членов, необходимых для достижения порога ошибки для некоторого положительного r ) всегда вдвое больше, чем m + 1 (количество пар терминов, необходимых для достижения порога ошибки для отрицательного значения r ), но m + 1 относится для определения пар вместо отдельных членов. Следовательно, скорость сходимости симметрична относительно r = 0, что может быть неожиданностью, учитывая асимметрию a / (1 - r ). Одна из точек зрения, которая помогает объяснить эту симметрию скорости сходимости, заключается в том, что на стороне r > 0 каждое добавленное слагаемое частичной суммы дает конечный результат. вклад в бесконечную сумму при r = 1, в то время как на стороне r <0 каждый добавленный член вносит конечный вклад в бесконечный наклон при r = -1.

Кроме того, этот тип анализа скорости сходимости особенно полезен при вычислении количества членов ряда Тейлора, необходимых для адекватной аппроксимации некоторой выбранной пользователем достаточно гладкой функции, или при вычислении числа членов ряда Фурье, необходимых для адекватной аппроксимации некоторой пользовательской функции. выбранная периодическая функция.

Исторические открытия

Зенон Элейский (ок. 495 - ок. 430 до н. Э.)

2500 лет назад у греческих математиков была проблема с переходом из одного места в другое. Физически они могли ходить так же хорошо, как мы сегодня, а может, и лучше. Однако логично предположить, что бесконечно длинный список чисел больше нуля суммируется до бесконечности. Таким образом, было парадоксально, когда Зенон Элейский указал, что для того, чтобы пройти из одного места в другое, вы сначала должны пройти половину расстояния, затем вы должны пройти половину оставшегося расстояния, а затем вы должны пройти половину расстояния. оставшегося расстояния, и вы продолжаете уменьшать оставшееся расстояние вдвое бесконечное количество раз, потому что независимо от того, насколько мало оставшееся расстояние, вам все равно придется пройти первую половину. Таким образом, Зенон Элейский преобразовал короткое расстояние в бесконечно длинный список уменьшенных вдвое оставшихся расстояний, все из которых больше нуля. И в этом была проблема: как расстояние может быть коротким при прямом измерении и бесконечным при суммировании по его бесконечному списку половинных остатков? Парадокс показал, что что-то не так с предположением, что бесконечно длинный список чисел больше нуля суммируется до бесконечности.

Евклид Александрийский (около 300 г. до н.э.)

Элементы геометрии, книга IX, предложение 35. «Если существует какое-либо множество постоянно пропорциональных чисел, и первое, равное, вычитается из второго и последнего, тогда как превышение второго по отношению к первому, то избыток последнего будет для всех, кто был до него ".

Для того же случая общего отношения r > 1 существуют другие геометрические доказательства замкнутой формы частичной суммы геометрического ряда. Один, который представляет термины в виде площадей, а не длин линейных сегментов, суммируется, как показано на приведенном выше рисунке, в три этапа: (ВЕРХНИЙ) Представьте элементы геометрического ряда как площади перекрывающихся одинаковых треугольников. (СРЕДНИЙ) От самого большого до самого маленького треугольника удалите перекрывающуюся часть левой области (1 / r ) из неперекрытой правой части (1-1 / r = ( r -1) / r ) и масштабируйте эту неперекрывающуюся часть. перекрытая трапеция на r / ( r -1), поэтому его площадь такая же, как и у исходного перекрытого треугольника. (ВНИЗ) Обратите внимание на то, что площадь совокупной трапеции - это площадь большого треугольника за вычетом площади пустого маленького треугольника на левом конце большого треугольника. Большой треугольник - это в точности самый большой перекрывающийся треугольник с масштабом r / ( r -1). Пустой маленький треугольник начинался как a, но эта область была преобразована в масштабированную трапецию без перекрытия, оставив пустую левую часть области (1 / r ). Однако этот пустой треугольник области a / r также должен быть масштабирован на r / ( r -1), чтобы его наклон соответствовал наклону всех неперекрывающихся масштабированных трапеций. Следовательно, S _n = площадь большого треугольника - площадь пустого малого треугольника = ar ^{n + 1} / ( r -1) - a / ( r -1) = a ( r ^{n + 1} -1) / ( r -1) .

Книга IX Евклида «Элементы геометрии », предложение 35, доказательство (предложения в подписи к соседней диаграмме):

Пусть AA ', BC, DD', EF - любое множество непрерывно пропорциональных чисел, начиная с наименьшего AA '. И пусть BG и FH, каждый равный AA ', вычтены из BC и EF. Я говорю, что как GC относится к AA ', так и EH относится к AA', BC, DD '.

Ибо пусть FK будет равно BC, а FL равно DD '. И поскольку FK равно BC, из которых FH равно BG, остаток HK равен остатку GC. И поскольку EF относится к DD ', так и DD' к BC, а BC к AA '[Проп. 7.13], и DD 'равно FL, а BC - FK, и AA' равно FH, таким образом, как EF соответствует FL, так LF соответствует FK, а FK соответствует FH. Путем разделения, как от EL к LF, так от LK к FK и от KH к FH [Props. 7.11, 7.13]. И, таким образом, как одно из ведущих относится к одному из следующих, так (сумма) всех ведущих к (сумме) всех следующих [Prop. 7.12]. Таким образом, как KH соответствует FH, так и EL, LK, KH соответствует LF, FK, HF. И KH равно CG, и FH равно AA ', и LF, FK, HF равно DD', BC, AA '. Таким образом, как CG относится к AA ', так и EH относится к DD', BC, AA '. Таким образом, как избыток второго для первого, так и избыток последнего для всех предшествующих. Именно то, что требовалось показать.

Краткость предложений и доказательств Евклида, возможно, была необходимостью. В настоящее время Elements of Geometry - это более 500 страниц предложений и доказательств. Изготовление копий этого популярного учебника было трудоемким, учитывая, что печатный станок не был изобретен до 1440 года. А популярность книги сохранялась долгое время: как указано в цитируемом введении к английскому переводу, « Элементы геометрии » «выделяются тем, что старейший в мире постоянно используемый математический учебник ». Поэтому быть очень кратким было очень практичным. Доказательство предложения 35 в книге IX могло бы быть еще более компактным, если бы Евклид мог каким-то образом избежать явного приравнивания длин определенных отрезков прямых от разных членов ряда. Например, современное обозначение для геометрической прогрессии (то есть, + ар + ар ² + ар ³ + ... + ар ^п ) не обозначать конкретные части терминов, которые равны друг другу.

Также в процитированном введении редактор комментирует:

Большинство теорем, фигурирующих в Элементах, не были открыты самим Евклидом, а были работой более ранних греческих математиков, таких как Пифагор (и его школа), Гиппократ Хиосский, Теэтет Афинский и Евдокс Книдский. Однако Евклиду обычно приписывают логическое построение этих теорем, чтобы продемонстрировать (правда, не всегда со строгостью, требуемой современной математикой), что они обязательно следуют из пяти простых аксиом. Евклиду также приписывают разработку ряда особенно оригинальных доказательств ранее открытых теорем (например, теоремы 48 в Книге 1).

Чтобы помочь перевести предложение и доказательство в форму, в которой используются текущие обозначения, на диаграмме сделано несколько изменений. Во-первых, четыре длины горизонтальной линии, представляющие значения первых четырех членов геометрического ряда, теперь помечены как a, ar, ar ² , ar ³ в левом поле диаграммы. Во-вторых, новые метки A 'и D' теперь находятся на первой и третьей строках, так что все имена сегментов линии диаграммы последовательно указывают начальную и конечную точки сегмента.

Вот фразовое толкование предложения:

Точно так же вот интерпретация доказательства предложение за предложением:

Архимед Сиракузский (ок. 287 - ок. 212 г. до н. Э.)

Архимедовское разбиение параболического отрезка на бесконечное число треугольников

Архимед использовал сумму геометрического ряда, чтобы вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой линией. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда утверждает, что общая площадь под параболой составляет 4/3 площади синего треугольника.

Архимед определил, что каждый зеленый треугольник имеет 1/8 площади синего треугольника, каждый желтый треугольник имеет 1/8 площади зеленого треугольника и так далее.

Предполагая, что синий треугольник имеет площадь 1, общая площадь представляет собой бесконечную сумму:

${\ displaystyle 1 \, + \, 2 \ left ({\ frac {1} {8}} \ right) \, + \, 4 \ left ({\ frac {1} {8}} \ right) ^ { 2} \, + \, 8 \ left ({\ frac {1} {8}} \ right) ^ {3} \, + \, \ cdots.}$

Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член - площади двух зеленых треугольников, третий член - площади четырех желтых треугольников и так далее. Упрощение дробей дает

${\ displaystyle 1 \, + \, {\ frac {1} {4}} \, + \, {\ frac {1} {16}} \, + \, {\ frac {1} {64}} \ , + \, \ cdots.}$

Это геометрический ряд с знаменателем 1/4, а дробная часть равна

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 4 ^ {- n} = 1 + 4 ^ {- 1} +4 ^ {- 2} +4 ^ {- 3} + \ cdots = { 4 \ более 3}.}$

Сумма

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-r}} \; = \; {\ frac {1} {1 - {\ frac {1} {4}}}} \; = \; {\ frac { 4} {3}}.}$

Это вычисление использует метод исчерпания , раннюю версию интеграции . Используя исчисление , ту же площадь можно найти с помощью определенного интеграла .

Николь Орем (ок. 1323 - 1382)

Двухмерная диаграмма геометрических рядов, которую Николь Орем использовала, чтобы определить, что бесконечный ряд 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + ... сходится к 2.

Среди своих исследований бесконечных рядов, в дополнение к элегантно простому доказательству дивергенции гармонических рядов, Николь Орем доказал, что ряды 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6 / 64 + 7/128 + ... сходится к 2. Его диаграмма для его геометрического доказательства, подобная диаграмме рядом, показывает двумерный геометрический ряд. Первое измерение является горизонтальным, в нижнем ряду показан геометрический ряд S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..., который представляет собой геометрический ряд с коэффициентом a = 1/2 и общим отношение r = 1/2, которое сходится к S = a / (1- r ) = (1/2) / (1-1 / 2) = 1. Второе измерение - вертикальное, где нижняя строка - новый коэффициент a. _T равняется S, и каждая последующая строка над ним масштабируется с использованием того же общего отношения r = 1/2, образуя другой геометрический ряд T = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., который является геометрический ряд с коэффициентом a _T = S = 1 и знаменателем r = 1/2, который сходится к T = a _T / (1- r ) = S / (1- r ) = a / (1- r ) / (1 - г ) = (1/2) / (1-1 / 2) / (1-1 / 2) = 2.

Несмотря на то, что идеи Орема трудно визуализировать за пределами трех измерений, они распространяются на любое измерение d . Использование суммы в г -1 измерения геометрических рядов как коэффициент а в г измерения результатов геометрической прогрессии в г - мерной геометрической прогрессии , сходящиеся к S ^д / = 1 / (1- г ) ^г в пределах диапазон | г | <1. Треугольник Паскаля и длинное деление показывают коэффициенты этого многомерного геометрического ряда, где замкнутая форма действительна только в диапазоне | г | <1.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {1}} \\ {\ text {1}} \ quad {\ text {1}} \\ {\ text {1}} \ quad {\ text {2 }} \ quad {\ text {1}} \\ {\ text {1}} \ quad {\ text {3}} \ quad {\ text {3}} \ quad {\ text {1}} \\ { \ text {1}} \ quad {\ text {4}} \ quad {\ text {6}} \ quad {\ text {4}} \ quad {\ text {1}} \ end {matrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & d \ quad S ^ {d} / a \ {\ text {(закрытая форма)}} \ quad && S ^ {d} / a \ {\ text {(развернутая форма)}} \\ & 1 \ quad 1 / (1-r) \ quad && 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + r ^ {4} + \ cdots \\ & 2 \ quad 1 / (1-r) ^ {2} \ quad && 1 + 2r + 3r ^ {2} + 4r ^ {3} + 5r ^ {4} + \ cdots \\ & 3 \ quad 1 / (1-r) ^ {3} \ quad && 1 + 3r + 6r ^ {2} + 10r ^ {3} + 15r ^ {4} + \ cdots \\ & 4 \ quad 1 / (1-r) ^ {4} \ quad && 1 + 4r + 10r ^ {2} + 20r ^ {3} + 35r ^ {4} + \ cdots \\\ конец {выровнено}}}$

Обратите внимание, что в качестве альтернативы полному делению можно также вычислить коэффициенты d- мерного геометрического ряда путем интегрирования коэффициентов размерности d -1. Это преобразование от деления на 1- r в области суммы степенного ряда к интегрированию в области коэффициентов степенного ряда является дискретной формой отображения, выполняемого преобразованием Лапласа . Профессор Массачусетского технологического института Артур Маттак показывает, как получить преобразование Лапласа из степенного ряда в этом видео лекции, где степенной ряд - это отображение между дискретными коэффициентами и суммой, а преобразование Лапласа - это отображение между непрерывными весами и интегралом.

Замкнутые формы S ^d / a связаны с производными S = ​​f ( r ) = 1 / (1- r ), но не равны им . Как показано в следующей таблице, соотношение S ^{k +1} = f ^{( k )} ( r ) / k !, где f ^{( k )} ( r ) обозначает k- ^ю производную от f ( r ) = 1 / (1- r ) и закрытая форма действительна только в пределах | г | <1.

${\ Displaystyle {\ begin {align} & k \ quad f ^ {(k)} (r) / a \ {\ text {(закрытая форма)}} \ quad && f ^ {(k)} (r) / a \ {\ text {(форма генератора)}} \\ & 0 \ quad 1 / (1-r) \ quad && \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} r ^ {j} \\ & 1 \ quad 1! / (1-r) ^ {2} \ quad && \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} jr ^ {j-1} \\ & 2 \ quad 2! / (1-r) ^ {3} \ quad && \ sum _ {j = 2} ^ {\ infty} j (j-1) r ^ {j-2} \\ & 3 \ quad 3! / (1-r) ^ {4} \ quad && \ сумма _ {j = 3} ^ {\ infty} j (j-1) (j-2) r ^ {j-3} \\ & 4 \ quad 4! / (1-r) ^ {5} \ quad && \ sum _ {j = 4} ^ {\ infty} j (j-1) (j-2) (j-3) r ^ {j-4} \\\ конец {выровнено}}}$

Приложения

Повторяющиеся десятичные дроби

Повторяющуюся десятичную дробь можно представить себе как геометрический ряд с общим отношением, равным степени 1/10. Например:

${\ displaystyle 0.7777 \ ldots \; = \; {\ frac {7} {10}} \, + \, {\ frac {7} {100}} \, + \, {\ frac {7} {1000} } \, + \, {\ frac {7} {10000}} \, + \, \ cdots.}$

Формулу суммы геометрического ряда можно использовать для преобразования десятичной дроби в дробь,

${\ displaystyle 0.7777 \ ldots \; = \; {\ frac {a} {1-r}} \; = \; {\ frac {7/10} {1-1 / 10}} \; = \; { \ frac {7/10} {9/10}} \; = \; {\ frac {7} {9}}.}$

Формула работает не только для одной повторяющейся фигуры, но и для повторяющейся группы фигур. Например:

${\ displaystyle 0.123412341234 \ ldots \; = \; {\ frac {a} {1-r}} \; = \; {\ frac {1234/10000} {1-1 / 10000}} \; = \; { \ frac {1234/10000} {9999/10000}} \; = \; {\ frac {1234} {9999}}.}$

Обратите внимание, что каждую серию повторяющихся последовательных десятичных знаков можно удобно упростить следующим образом:

${\ displaystyle 0.09090909 \ ldots \; = \; {\ frac {09} {99}} \; = \; {\ frac {1} {11}}.}$

${\ displaystyle 0.143814381438 \ ldots \; = \; {\ frac {1438} {9999}}.}$

${\ displaystyle 0.9999 \ ldots \; = \; {\ frac {9} {9}} \; = \; 1.}$

То есть повторяющаяся десятичная дробь с повторением длины n равна частному повторяющейся части (как целое число) и 10 ⁿ - 1 .

Экономика

В экономике , геометрические серии используются для представления текущей стоимости в качестве аннуитета (денежную сумму, подлежащую выплате в регулярные промежутки времени).

Например, предположим, что владельцу аннуитета будет выплачиваться 100 долларов один раз в год (в конце года) бессрочно . Получение 100 долларов через год стоит меньше, чем немедленные 100 долларов, потому что нельзя вкладывать деньги, пока не получишь их. В частности, приведенная стоимость 100 долларов в год в будущем составляет 100 долларов / (1 +  ), где - годовая процентная ставка. ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$

Точно так же платеж в размере 100 долларов через два года в будущем имеет приведенную стоимость 100 долларов / (1 +  ) ² (в квадрате, потому что двухлетние проценты теряются из-за того, что деньги не поступят прямо сейчас). Следовательно, приведенная стоимость получения 100 долларов в год бессрочно составляет ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ $ 100} {(1 + I) ^ {n}}},}$

что представляет собой бесконечную серию:

${\ displaystyle {\ frac {\ $ 100} {(1 + I)}} \, + \, {\ frac {\ $ 100} {(1 + I) ^ {2}}} \, + \, {\ frac {\ $ 100} {(1 + I) ^ {3}}} \, + \, {\ frac {\ $ 100} {(1 + I) ^ {4}}} \, + \, \ cdots.}$

Это геометрический ряд со знаменателем 1 / (1 +  ). Сумма - это первое слагаемое, деленное на (единица минус обычное отношение): ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {\ $ 100 / (1 + I)} {1-1 / (1 + I)}} \; = \; {\ frac {\ $ 100} {I}}.}$

Например, если годовая процентная ставка составляет 10% (  = 0,10), то вся рента имеет приведенную стоимость 100 долларов США / 0,10 = 1000 долларов США. ${\ displaystyle I}$

Этот вид вычислений используется для вычисления годовой процентной ставки ссуды (например, ипотечной ссуды ). Она также может быть использована для оценки текущей стоимости ожидаемых фондовых дивидендов , или конечной стоимости в виде безопасности .

Фрактальная геометрия

Внутренность снежинки Коха представляет собой объединение бесконечно множества треугольников.

В исследовании фракталов , геометрические ряды часто возникают в периметре , площади или объема в виде автомодельного фигуры.

Например, область внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного множества равносторонних треугольников (см. Рисунок). Каждая сторона зеленого треугольника составляет ровно 1/3 размера стороны большого синего треугольника и, следовательно, имеет ровно 1/9 площади. Точно так же каждый желтый треугольник имеет 1/9 площади зеленого треугольника и так далее. Принимая синий треугольник за единицу площади, общая площадь снежинки равна

${\ displaystyle 1 \, + \, 3 \ left ({\ frac {1} {9}} \ right) \, + \, 12 \ left ({\ frac {1} {9}} \ right) ^ { 2} \, + \, 48 \ left ({\ frac {1} {9}} \ right) ^ {3} \, + \, \ cdots.}$

Первый член этого ряда представляет площадь синего треугольника, второй член - общую площадь трех зеленых треугольников, третий член - общую площадь двенадцати желтых треугольников и так далее. За исключением начальной 1, этот ряд является геометрическим с постоянным соотношением r  = 4/9. Первый член геометрического ряда равен a  = 3 (1/9) = 1/3, поэтому сумма равна

${\ displaystyle 1 \, + \, {\ frac {a} {1-r}} \; = \; 1 \, + \, {\ frac {\ frac {1} {3}} {1 - {\ frac {4} {9}}}} \; = \; {\ frac {8} {5}}.}$

Таким образом, снежинка Коха занимает 8/5 площади основного треугольника.

Геометрический степенной ряд

Формула геометрического ряда

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + \ cdots}$

можно интерпретировать как степенной ряд в смысле теоремы Тейлора , сходящийся где . Отсюда можно экстраполировать и получить другой степенной ряд. Например, ${\ Displaystyle | х | <1}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ tan ^ {- 1} (x) & = \ int {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ & = \ int {\ frac {dx } {1 - (- x ^ {2})}} \\ & = \ int \ left (1+ \ left (-x ^ {2} \ right) + \ left (-x ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left (-x ^ {2} \ right) ^ {3} + \ cdots \ right) dx \\ & = \ int \ left (1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + \ cdots \ right) dx \\ & = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - { \ frac {x ^ {7}} {7}} + \ cdots \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1 }} x ^ {2n + 1}. \ end {выровнено}}}$

Смотрите также

• 0,999 ...  - Альтернативное десятичное разложение числа 1
• Асимптота  - Предел касательной в точке, стремящейся к бесконечности
• Расходящиеся геометрические ряды
• Обобщенная гипергеометрическая функция
• Геометрическая прогрессия
• Серия Неймана
• Соотношение тест
• Корневой тест
• Серия (математика)  - Бесконечная сумма
• Арифметический ряд

Определенная геометрическая серия

• Ряд Гранди  - Бесконечная сумма чередующихся 1 и -1 членов: 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯  - Бесконечный ряд
• 1-2 + 4-8 + ⋯
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
• 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• Геометрический ряд является единичным рядом (сумма ряда сходится к единице) тогда и только тогда, когда | г | <1 и a + r = 1 (эквивалент более знакомой формы S = a / (1 - r ) = 1, когда | r | <1). Следовательно, чередующийся ряд также является единичным рядом, когда -1 < r <0 и a + r = 1 (например, коэффициент a = 1,7 и знаменатель r = -0,7).
• Члены геометрического ряда также являются членами обобщенной последовательности Фибоначчи (F _n = F _n-1 + F _n-2, но без требования F ₀ = 0 и F ₁ = 1), когда коэффициент отношения геометрического ряда r удовлетворяет условию ограничение 1 + r = r ² , которое в соответствии с формулой корней квадратного уравнения имеет место, когда обычное отношение r равно золотому сечению (т. е. обычное отношение r = (1 ± √5) / 2).
• Единственный геометрические серии , что представляет собой серию блока , а также имеют условие обобщенной последовательности Фибоначчи имеет золотое сечение в качестве коэффициента а и конъюгат золотого сечение , как его общего отношение г (то есть, а = (1 + √5) / 2 и r = (1 - √5) / 2). Это единичная серия, потому что a + r = 1 и | г | <1, это обобщенная последовательность Фибоначчи, потому что 1 + r = r ² , и переменная серия, потому что r <0.

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• "Геометрическая прогрессия" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Геометрические ряды" . MathWorld .
• Геометрические ряды в PlanetMath .
• Пеппард, Ким. «Учебник по алгебре геометрических последовательностей и рядов» . Западный Техасский университет A&M.
• Кассельман, Билл. «Геометрическая интерпретация геометрического ряда» . Архивировано из оригинала (апплета) 29 сентября 2007 года.
• «Геометрическая серия» Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.