Корневой тест - Root test

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Товар Цепь Мощность Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Мощность Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела
v т е

В математике , то тест корня является критерием сходимости (а тест сходимости ) в качестве бесконечного ряда . Это зависит от количества

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

где - члены ряда, и утверждает, что ряд абсолютно сходится, если эта величина меньше единицы, и расходится, если она больше единицы. Это особенно полезно при работе с силовыми рядами . ${\ displaystyle a_ {n}}$

Объяснение корневого теста

Корневой тест был впервые разработан Огюстен-Луи Коши, который опубликовал его в своем учебнике Cours d'analyse (1821). Таким образом, его иногда называют критерием корня Коши или критерием радикальности Коши . Для серии

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

в корневом тесте используется число

${\ displaystyle C = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

где "lim sup" обозначает верхний предел , возможно ∞ +. Обратите внимание, что если

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

сходится, тогда он равен C и может использоваться вместо этого в корневом тесте.

Корневой тест утверждает, что:

• если C <1, то ряд абсолютно сходится ,
• если C > 1, то ряд расходится ,
• если C = 1 и предел приближается строго сверху, то ряд расходится,
• в противном случае проверка будет безрезультатной (ряды могут расходиться, сходиться абсолютно или сходиться условно ).

Есть ряды, для которых C = 1 и ряд сходится, например , и есть другие, для которых C = 1 и ряд расходится, например . ${\ Displaystyle \ textstyle \ сумма 1 / {п ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ сумма 1 / п}$

Применение к силовому ряду

Этот тест можно использовать с серией мощности.

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (zp) ^ {n}}$

где коэффициенты c _n и центр p - комплексные числа, а аргумент z - комплексная переменная.

Тогда члены этого ряда будут заданы как a _n = c _n ( z - p ) ⁿ . Затем к a _n применяется корневой тест, как указано выше. Обратите внимание, что иногда такой ряд называют степенным рядом «вокруг p », потому что радиус сходимости - это радиус R наибольшего интервала или диска с центром в p , так что ряд будет сходиться для всех точек z строго внутри ( сходимость на границе интервала или диска обычно должна проверяться отдельно). Следствие теста корня применяется к такой степенной ряд является теорема Коши-Адамара : радиус сходимости точно заботясь о том , что мы действительно среднее значение ∞ , если знаменатель равен 0. ${\ displaystyle 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

Доказательство

Доказательство сходимости ряда Σ a _n является применением теста сравнения . Если для всех n ≥ N ( N некоторое фиксированное натуральное число ) имеем, то . Поскольку геометрический ряд сходится, то это происходит и при проверке сравнения. Следовательно, Σ a _n абсолютно сходится. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq k <1,}$${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq k ^ {n} <1}$ ${\ Displaystyle \ сумма _ {п = N} ^ {\ infty} к ^ {п}}$${\ Displaystyle \ сумма _ {п = N} ^ {\ infty} | а_ {п} |}$

Если для бесконечного числа п , то _п не сходится к 0, следовательно , ряд расходится. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}> 1}$

Доказательство следствия : для степенного ряда Σ a _n = Σ c _n ( z  -  p ) ⁿ , мы видим из вышеизложенного, что ряд сходится, если существует N такое, что для всех n ≥ N мы имеем

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} <1,}$

эквивалентно

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ cdot | zp | <1}$

для всех n ≥ N , откуда следует, что для того, чтобы ряд сходился, мы должны иметь для всех достаточно больших n . Это равносильно тому, чтобы сказать ${\ displaystyle | zp | <1 / {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}}$

${\ displaystyle | zp | <1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

так что единственное другое место, где возможна конвергенция, - это когда ${\ displaystyle R \ leq 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} = 1,}$

(поскольку точки> 1 будут расходиться), и это не изменит радиус сходимости, поскольку это просто точки, лежащие на границе интервала или круга, поэтому

${\ displaystyle R = 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

Примеры

Пример 1:

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {2 ^ {я}} {я ^ {9}}}}$

Применяя корневой тест и используя тот факт, что ${\ Displaystyle \ lim _ {п \ вправо \ infty} п ^ {1 / п} = 1,}$

${\ displaystyle C = {\ sqrt [{n}] {| {\ frac {2 ^ {n}} {n ^ {9}}} |}} = {\ frac {\ sqrt [{n}] {2 ^ {n}}} {\ sqrt [{n}] {n ^ {9}}}} = {\ frac {2} {(n ^ {1 / n}) ^ {9}}} = 2}$

Так как сериал расходится. ${\ displaystyle C = 2> 1,}$

Пример 2:

${\ displaystyle 1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ...}$

Корневой тест показывает сходимость, потому что

${\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n} ] {| .5 ^ {n} |}} =. 5 <1.}$

Этот пример показывает, насколько тест корня сильнее теста отношения . Тест отношения неубедителен для этой серии, если он нечетный (хотя и не если четный), потому что ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} =. 5 ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle r = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {2 \ cdot .5 ^ {n}} {2 \ cdot .5 ^ {n}}} \ right | = 1.}$

Смотрите также

• Соотношение тест
• Сходящийся ряд

Рекомендации

• Кнопп, Конрад (1956). «§ 3.2». Бесконечные последовательности и серии . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN   0-486-60153-6 .
• Уиттакер, Т. Т. и Уотсон, Г. Н. (1963). «§ 2.35». Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-58807-3 .

Эта статья включает материал из теста Proof of Cauchy root на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .