Силовая серия - Power series

В математике , а силовые серии (в одной переменной) представляет собой бесконечный ряд вида

где a _n представляет собой коэффициент при n- м члене, а c - константа. Серия питания полезны в математическом анализе , где они возникают , как ряд Тейлора в бесконечно дифференцируемых функций . Фактически, из теоремы Бореля следует, что любой степенной ряд является рядом Тейлора некоторой гладкой функции.

Во многих ситуациях c ( центр ряда) равно нулю, например, при рассмотрении ряда Маклорена . В таких случаях степенной ряд принимает более простой вид

Помимо своей роли в математическом анализе, степенные ряды также встречаются в комбинаторике как производящие функции (разновидность формальных степенных рядов ) и в электронной технике (под названием Z-преобразование ). Знакомую десятичную систему счисления для действительных чисел также можно рассматривать как пример степенного ряда с целочисленными коэффициентами, но с аргументом x, фиксированным равным 1 ⁄ 10 . В теории чисел концепция p-адических чисел также тесно связана с концепцией степенного ряда.

Примеры

Любой многочлен можно легко выразить в виде степенного ряда вокруг любого центра c , хотя все коэффициенты, кроме конечного, будут равны нулю, поскольку степенной ряд по определению имеет бесконечно много членов. Например, многочлен можно записать в виде степенного ряда вокруг центра как ${\ textstyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 3}$${\ textstyle c = 0}$

${\ displaystyle f (x) = 3 + 2x + 1x ^ {2} + 0x ^ {3} + 0x ^ {4} + \ cdots}$

или вокруг центра как ${\ textstyle c = 1}$

${\ Displaystyle f (x) = 6 + 4 (x-1) +1 (x-1) ^ {2} +0 (x-1) ^ {3} +0 (x-1) ^ {4} + \ cdots}$

или действительно вокруг любого другого центра c . Можно рассматривать степенные ряды как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются многочленами.

Геометрическая прогрессия формула

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots,}$

что справедливо для , является одним из наиболее важных примеров степенного ряда, как и формула экспоненциальной функции ${\ textstyle | х | <1}$

${\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2} } {2!}} + {\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + \ Cdots,}$

и формула синуса

${\ displaystyle \ sin (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} } = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7!} } + \ cdots,}$

действительно для всех реальных x .

Эти степенные ряды также являются примерами рядов Тейлора .

О наборе показателей

Отрицательные степени не допускаются в степенных рядах; например, не считается степенным рядом (хотя это ряд Лорана ). Точно так же не разрешены дробные степени, такие как (но см. Серию Пюизо ). Коэффициенты не могут зависеть , например, от: ${\ textstyle 1 + x ^ {- 1} + x ^ {- 2} + \ cdots}$${\ textstyle х ^ {\ гидроразрыва {1} {2}}}$${\ textstyle a_ {n}}$${\ textstyle x}$

${\ displaystyle \ sin (x) x + \ sin (2x) x ^ {2} + \ sin (3x) x ^ {3} + \ cdots}$

не является степенным рядом.

Радиус схождения

Степенной ряд является сходящимся для некоторых значений переменных х , которое всегда будет включать в себя х = гр (как обычно, вычисляется как${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}}$${\ displaystyle (xc) ^ {0}}$1 , а сумма ряда, таким образом , для й = С ). При других значениях x ряды могут расходиться . Если c - не единственная точка сходимости, то всегда существует число r с 0 < r ≤ ∞ такое, что ряд сходится всякий раз, когда | х - с | < r и расходится всякий раз, когда | х - с | > р . Число r называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем это дается как ${\ displaystyle a_ {0}}$

${\ displaystyle r = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ left | a_ {n} \ right | ^ {- {\ frac {1} {n}}}}$

или, что то же самое,

${\ displaystyle r ^ {- 1} = \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left | a_ {n} \ right | ^ {\ frac {1} {n}}}$

(это теорема Коши – Адамара ; объяснение обозначений см. в разделе « Верхний предел и нижний предел» ). Соотношение

${\ displaystyle r ^ {- 1} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {a_ {n + 1} \ over a_ {n}} \ right |}$

также выполняется, если этот предел существует.

Множество таких комплексных чисел , что | х - с | < r называется диском сходимости ряда. Ряд сходится абсолютно внутри своего круга сходимости и сходится равномерно на каждом компактном подмножестве диска сходимости.

Для | х - с | = r , общего утверждения о сходимости ряда нет. Однако теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится для некоторого значения z, такого что | z - c | = r , то сумма ряда для x = z является пределом суммы ряда для x = c + t ( z - c ), где t - действительная переменная, меньшая, чем1, который имеет тенденцию1 .

Операции над степенными рядами

Сложение и вычитание

Когда две функции f и g разлагаются в степенной ряд вокруг одного и того же центра c , степенной ряд суммы или разности функций может быть получен путем почленного сложения и вычитания. То есть, если

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}}$ и ${\ Displaystyle г (х) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} b_ {п} (хс) ^ {п}}$

потом

${\ displaystyle f (x) \ pm g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (a_ {n} \ pm b_ {n}) (xc) ^ {n}.}$

Неверно, что если два степенных ряда и имеют одинаковый радиус сходимости, то также имеет этот радиус сходимости. Если и , то оба ряда имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд имеет радиус сходимости 3. ${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} x ^ {n}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} + b_ {n} \ right) x ^ {n}}$${\ textstyle a_ {n} = (- 1) ^ {n}}$${\ textstyle b_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {n}}} \ right)}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} + b_ {n} \ right) x ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {(-1) ^ {n}} {3 ^ {n}}} x ^ {n}}$

Умножение и деление

При тех же определениях и степенной ряд произведения и частного функций может быть получен следующим образом: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} е (х) г (х) & = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n} \ right) \\ & = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ { j = 0} ^ {\ infty} a_ {i} b_ {j} (xc) ^ {i + j} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ { i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} \ right) (xc) ^ {n}. \ end {align}}}$

Последовательность известна как свертка последовательностей и .${\ textstyle m_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n}}$

Для деления, если определить последовательность как ${\ displaystyle d_ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}} { \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} d_ {n} (xc) ^ {n }}$

потом

${\ displaystyle f (x) = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} d_ {n} (xc) ^ {n} \ right)}$

и можно рекурсивно решить для членов , сравнивая коэффициенты. ${\ displaystyle d_ {n}}$

Решение соответствующих уравнений приводит к формулам, основанным на определителях некоторых матриц коэффициентов и${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle d_ {0} = {\ frac {a_ {0}} {b_ {0}}}}$

${\ displaystyle d_ {n} = {\ frac {1} {b_ {0} ^ {n + 1}}} {\ begin {vmatrix} a_ {n} & b_ {1} & b_ {2} & \ cdots & b_ { n} \\ a_ {n-1} & b_ {0} & b_ {1} & \ cdots & b_ {n-1} \\ a_ {n-2} & 0 & b_ {0} & \ cdots & b_ {n-2} \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {0} & 0 & 0 & \ cdots & b_ {0} \ end {vmatrix}}}$

Дифференциация и интеграция

После того, как функция задается как степенной ряд , как указано выше, она дифференцируема на внутренней части области сходимости. Его можно довольно легко дифференцировать и интегрировать , рассматривая каждый термин отдельно: ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f '(x) & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n (xc) ^ {n-1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n + 1} (n + 1) (xc) ^ {n}, \\\ int f (x) \, dx & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {a_ {n} (xc) ^ {n + 1}} {n + 1}} + k = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n-1) } (xc) ^ {n}} {n}} + k. \ end {выравнивается}}}$

Обе эти серии имеют тот же радиус сходимости, что и исходная.

Аналитические функции

Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U в R или C , называется аналитической, если она локально задается сходящимся степенным рядом. Это означает , что каждый ∈ U имеет открытую окрестность V ⊆ U , такие , что существует степенной ряд с центром а , который сходится к F ( х ) для каждого х ∈ V .

Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен внутри своей области сходимости. Все голоморфные функции комплексно-аналитичны. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.

Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в реальном случае обратное, как правило, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a _n могут быть вычислены как

${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {f ^ {\ left (n \ right)} \ left (c \ right)} {n!}}}$

где обозначает n- ю производную f в точке c , а . Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена ​​своим рядом Тейлора . ${\ Displaystyle е ^ {(п)} (с)}$${\ Displaystyle е ^ {(0)} (с) = е (с)}$

Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g - две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U , и если существует элемент c ∈ U такой, что f ^{( n )} ( с ) = г ^{( п )} ( с ) для всех п ≥ 0, то F ( х ) = г ( х ) для всех х ∈ U .

Если дан степенной ряд с радиусом сходимости r , можно рассматривать аналитические продолжения ряда, т. Е. Аналитические функции f, которые определены на множествах, больших, чем { x  : | х - с | < r } и согласитесь с данным степенным рядом на этом множестве. Число r является максимальным в следующем смысле: всегда существует комплексное число x с | х - с | = r такое, что аналитическое продолжение ряда не может быть определено в точке x .

Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции может быть определено с помощью теоремы об обращении Лагранжа .

Поведение около границы

Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри диска сходимости. Однако в точках на границе этого диска может происходить различное поведение. Например:

1. Дивергенция, когда сумма продолжается до аналитической функции : имеет радиус сходимости, равный и расходится в каждой точке . Тем не менее, сумма равна , которая является аналитической во всех точках плоскости, кроме .${\ textstyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} г ^ {п}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | z | = 1}$${\ Displaystyle | г | <1}$${\ textstyle {\ frac {1} {1-z}}}$${\ displaystyle z = 1}$
2. В одних точках сходится, в других - расходится : имеет радиус сходимости . Он сходится при , а расходится при${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle z = -1}$
3. Абсолютная сходимость в каждой точке границы : имеет радиус сходимости , в то время как она сходится абсолютно и равномерно в каждой точке из- за М-критерия Вейерштрасса, примененного с гипергармоническим сходящимся рядом .${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n ^ {2}}}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | z | = 1}$ ${\ textstyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {1} {п ^ {2}}}}$
4. Сходящаяся на замыкании круга сходимости, но не непрерывная сумма : Серпинский привел пример степенного ряда с радиусом сходимости , сходящегося во всех точках с , но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дает теорема Абеля .${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | z | = 1}$

Формальный степенной ряд

В абстрактной алгебре пытаются уловить суть степенных рядов, не ограничиваясь полями действительных и комплексных чисел и без необходимости говорить о сходимости. Это приводит к концепции формальных степенных рядов , концепции большой полезности в алгебраической комбинаторике .

Ряд степеней в нескольких переменных

Расширение теории необходимо для целей многомерного исчисления . Под степенным рядом здесь понимается бесконечный ряд вида

${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {j_ {1}, \ dots, j_ {n} = 0} ^ {\ infty} a_ {j_ {1}, \ dots, j_ {n}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x_ {k} -c_ {k}) ^ {j_ {k}},}$

где j = ( j ₁ ,…, j _n ) - вектор натуральных чисел, коэффициенты a _{( j 1 ,…, j n )} обычно являются действительными или комплексными числами, а центр c = ( c ₁ ,…, c _n ) и аргумент x = ( x ₁ ,…, x _n ) обычно являются действительными или комплексными векторами. Этот символ является символом продукта , обозначающим умножение. В более удобной многоиндексной записи это можно записать ${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {n}} a _ {\ alpha} (xc) ^ {\ alpha}.}$

где есть множество натуральных чисел , и поэтому есть множество упорядоченных п - кортежи натуральных чисел. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {n}}$

Теория таких рядов сложнее, чем рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд абсолютно сходится в множестве между двумя гиперболами. (Это пример лог-выпуклого множества в том смысле, что множество точек , лежащих в указанной выше области, является выпуклым множеством. В более общем плане, можно показать, что когда c = 0, внутренняя часть области абсолютной сходимости всегда является лог-выпуклым множеством в этом смысле.) С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, как это можно сделать с обычными степенными рядами. ${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x_ {1} ^ {n} x_ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}): | x_ {1} x_ {2} | <1 \}}$${\ Displaystyle (\ журнал | x_ {1} |, \ журнал | x_ {2} |)}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$

Порядок степенного ряда

Пусть α - мультииндекс для степенного ряда f ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ). Порядок в степенной ряд F определяется как наименьшее значение таково , что существует _{& alpha} ; ≠ 0, или , если F ≡ 0. В частности, для степенной ряд F ( х ) в одной переменной х , порядок f - наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряд Лорана . ${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle г = | \ альфа | = \ альфа _ {1} + \ альфа _ {2} + \ cdots + \ альфа _ {п}}$${\ displaystyle \ infty}$

Примечания

использованная литература

• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Силовые ряды" , Энциклопедия математики , EMS Press

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Формальная степенная серия" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Силовая серия» . MathWorld .
• Полномочия комплексных чисел Майкла Шрайбера, Wolfram Demonstrations Project .