Глоссарий исчисления - Glossary of calculus

Большинство терминов, перечисленных в глоссариях Википедии, уже определены и объяснены в самой Википедии. Однако глоссарии, подобные этому, полезны для поиска, сравнения и одновременного анализа большого количества терминов. Вы можете помочь улучшить эту страницу, добавив новые термины или написав определения для существующих.

Этот глоссарий исчисления представляет собой список определений, касающихся исчисления , его подразделов и связанных областей.

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Части Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередующиеся серии Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

А

Тест Авеля

Метод испытания для сходимости в качестве бесконечного ряда .

Абсолютная конвергенция

Бесконечный ряд чисел называется абсолютно сходящимся (или быть абсолютно сходящимся ) , если сумма абсолютных значений слагаемых конечно. Точнее, говорят , что действительный или комплексный ряд сходится абсолютно, если для некоторого действительного числа . Аналогичным образом , несобственный интеграл из функции , , сходится абсолютно , если интеграл от абсолютной величины подынтегрального конечно, то есть, если${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right | = L}$${\ displaystyle \ textstyle L}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | f (x) \ right | dx = L.}$

Абсолютный максимум

Наивысшее значение, достигаемое функцией.

Абсолютный минимум

Наименьшее значение, достигаемое функцией.

Абсолютная величина

Абсолютное значение или модуль | х | из действительного числа  х является неотрицательным значением  х без учета его знака . А именно, | х | = x для положительного  x , | х | = - x для отрицательного  x (в этом случае - x положительно) и | 0 | = 0 . Например, абсолютное значение 3 равно 3, а абсолютное значение −3 также равно 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

Чередующиеся серии

Бесконечный ряд , члены которого чередуется между положительным и отрицательным.

Испытание чередующейся серии

Метод, используемый для доказательства того, что чередующийся ряд с убывающими по модулю членами является сходящимся рядом . Испытание было использовано Готфрида Лейбница и иногда известен как тест Лейбница , правило Лейбница , или критерий Лейбница .

Кольцо

Объект в форме кольца, область, ограниченная двумя концентрическими кругами .

Первообразный

Первообразная , примитивные функции , примитивный целочисленный или неопределенный интеграл из функции F является дифференцируемой функцией F , чья производная равна исходной функции F . Это можно обозначить символически как . Процесс решения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием ), а его противоположная операция называется дифференцированием, то есть процессом нахождения производной.${\ displaystyle F '= f}$

Arcsin

Площадь под кривой

Асимптота

В аналитической геометрии , асимптота из кривой представляет собой линию таким образом, что расстояние между кривой и линией приближается к нулю , как один или оба из х или у координат стремится к бесконечности . Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не могла пересекать линию бесконечно часто, но это необычно для современных авторов. В проективной геометрии и связанных контекстах асимптота кривой - это линия, которая касается кривой в бесконечно удаленной точке .

Автоматическая дифференциация

В математике и компьютерной алгебры , автоматического дифференцирования ( AD ), которая также называется алгоритмической дифференциации или вычислительной дифференциации , представляет собой набор методов для численного оценить производную функции , указанной с помощью компьютерной программы. AD использует тот факт, что каждая компьютерная программа, независимо от ее сложности, выполняет последовательность элементарных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и т. Д.) И элементарных функций (exp, log, sin, cos и т. Д.). Путем многократного применения цепного правила к этим операциям производные произвольного порядка могут быть вычислены автоматически с точностью до рабочей точности и с использованием не более небольшого постоянного множителя для большего числа арифметических операций, чем в исходной программе.

Средняя скорость изменения

B

Биномиальный коэффициент

Любое положительное целое число, которое встречается в качестве коэффициента в биномиальной теореме, является биномиальным коэффициентом . Как правило, бином коэффициент индексируются с помощью пары целых чисел п ≥ к ≥ 0 и записываются Это коэффициент из й ^K члена в полиномиальном разложении по биномиальной мощности (1 + х ) ^п , и оно дается формула ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}.}$

${\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {k! (nk)!}}.}.$

Биномиальная теорема (или биномиальное разложение )

Описывает алгебраическое расширение полномочий одного бинома .

Ограниченная функция

Функция F , определенная на некотором множестве X с вещественными или комплексными значениями называется ограниченным , если множество ее значений ограничено . Другими словами, существует действительное число M такое, что

${\ Displaystyle | е (х) | \ Leq M}$

для всех х в X . Функция, которая не ограничена называется неограниченной . Иногда, если F ( х ) ≤ для всех х в X , то функция называется ограниченной сверху от А . С другой стороны, если F ( х ) ≥ В для всех х в X , то функция называется ограниченной снизу с помощью B .

Ограниченная последовательность

.

C

Исчисление

(От латинского исчисления , буквально «камешек», используемого для счета и вычислений, как на счетах ) - это математическое изучение непрерывного изменения, точно так же, как геометрия - это изучение формы, а алгебра - изучение обобщений арифметики. операции .

Принцип Кавальери

Принцип Кавальери , современная реализация метода неделимых , названный в честь Бонавентуры Кавальери , заключается в следующем:

• Двумерный случай : предположим, что две области на плоскости включены между двумя параллельными линиями в этой плоскости. Если каждая линия, параллельная этим двум линиям, пересекает обе области линейными сегментами одинаковой длины, то две области имеют равные площади.
• Трехмерный случай : предположим, что две области в трехмерном пространстве (твердые тела) включены между двумя параллельными плоскостями. Если каждая плоскость, параллельная этим двум плоскостям, пересекает обе области в поперечных сечениях равной площади, то две области имеют равные объемы.

Правило цепи

Цепное правило является формулой для вычисления производной от композиции из двух или более функций . То есть, если f и g - функции, то цепное правило выражает производную их композиции f ∘ g (функция, которая отображает x в f ( g ( x ))) через производные f и g и произведение функций следующим образом:

${\ Displaystyle (е \ circ g) '= (f' \ circ g) \ cdot g '.}$

Это может быть эквивалентно выражено через переменную. Пусть F = f ∘ g , или, что то же самое, F ( x ) = f ( g ( x )) для всех x . Тогда можно также написать

${\ Displaystyle F '(x) = f' (g (x)) g '(x).}$

Цепное правило можно записать в обозначениях Лейбница следующим образом. Если переменная z зависит от переменной y , которая сама зависит от переменной x , так что y и z , следовательно, являются зависимыми переменными , то z через промежуточную переменную y также зависит от x . Затем цепное правило гласит:

${\ displaystyle {\ frac {dz} {dx}} = {\ frac {dz} {dy}} \ cdot {\ frac {dy} {dx}}.}$

Две версии цепного правила связаны; если и , то ${\ Displaystyle Z = F (Y)}$${\ Displaystyle у = г (х)}$

${\ displaystyle {\ frac {dz} {dx}} = {\ frac {dz} {dy}} \ cdot {\ frac {dy} {dx}} = f '(y) g' (x) = f ' (g (x)) g '(x).}$

В интеграции аналогом цепного правила является правило замещения .

Замена переменных

Это основной метод, используемый для упрощения задач, в котором исходные переменные заменяются функциями других переменных. Смысл в том, что при выражении в новых переменных проблема может стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.

Совместная работа

Функция F является cofunction некоторой функции г , если F ( ) = г ( В ) всякий раз , когда и В являются взаимодополняющими углами . Это определение обычно применяется к тригонометрическим функциям . Приставку «со-» можно встретить уже в « Триангулоруме канона» Эдмунда Гюнтера (1620 г.).

Вогнутая функция

Является отрицательным из функции выпуклой . Вогнутая функция также синонимично называется вогнутой вниз , вогнутой вниз , выпуклой вверх , выпуклой крышкой или верхней выпуклой .

Константа интеграции

Неопределенный интеграл данной функции (т.е. множество всех первообразных функции) на связной области определяется только до аддитивной постоянной, с постоянной интегрирования . Эта константа выражает неоднозначность, присущую конструкции первообразных. Если функция определена на интервале и является первообразной от , то набор всех первообразных задается функциями , где C - произвольная константа (что означает, что любое значение для C делает действительную первообразную). Константа интегрирования иногда для простоты опускается в списках интегралов .${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle F (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle F (x) + C}$${\ Displaystyle F (x) + C}$

Непрерывная функция

Является ли функция , для которой достаточно малых изменений в результате ввода в сколь угодно малых изменениях в выходном сигнале. В противном случае функция называется разрывной функцией. Непрерывная функция с непрерывной обратной функцией называется гомеоморфизмом .

Непрерывно дифференцируемый

Функция f называется непрерывно дифференцируемой, если производная f ′ ( x ) существует и сама является непрерывной функцией.

Контурная интеграция

В математической области комплексного анализа , контур интегрирование представляет собой метод оценки некоторых интегралов вдоль путей в комплексной плоскости.

Тесты сходимости

Приведены методы проверки на сходимость , условную сходимость , абсолютную сходимость , интервал сходимости или расходимость бесконечного ряда .${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} а_ {п}}$

Сходящийся ряд

В математике , серия является суммой из слагаемых в бесконечной последовательности чисел. Принимая во внимание бесконечной последовательности , то п - е частичной суммы есть сумма первых п членов последовательности, то есть, ${\ displaystyle \ left (a_ {1}, \ a_ {2}, \ a_ {3}, \ dots \ right)}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$

${\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}.}$

Ряд сходится, если последовательность его частичных сумм стремится к пределу ; это означает, что частичные суммы становятся все ближе и ближе к заданному числу, когда количество их членов увеличивается. Точнее, ряд сходится, если существует число таких , что для любого сколь угодно малого положительного числа , существует (достаточно большой) число таких , что для всех , ${\ displaystyle \ left \ {S_ {1}, \ S_ {2}, \ S_ {3}, \ dots \ right \}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle п \ geq \ N}$

${\ displaystyle \ left | S_ {n} - \ ell \ right \ vert \ leq \ \ varepsilon.}$

Если ряд сходится, число (обязательно уникальное) называется суммой ряда . Любой несходящийся ряд называется расходящимся .${\ displaystyle \ ell}$

Выпуклая функция

В математике , А вещественная функция , определенная на п - мерный интервал , называется выпуклым (или выпуклые вниз или вогнутым вверх ) , если отрезок между любыми двумя точками на графике функции лежит выше или на графике, в евклидове пространство (или, в более общем смысле, векторное пространство ) по крайней мере двух измерений. Эквивалентно функция является выпуклой, если ее надграфик (множество точек на графике функции или над ним) является выпуклым множеством . Для дважды дифференцируемой функции одной переменной, если вторая производная всегда больше или равна нулю для всей ее области определения, тогда функция будет выпуклой. Хорошо известные примеры выпуклых функций включают квадратичную функцию и экспоненциальную функцию .${\ displaystyle x ^ {2}}$ ${\ displaystyle e ^ {x}}$

Правило Крамера

В линейной алгебре , правило Крамера явная формула для решения системы линейных уравнений с таким количеством уравнений как неизвестные, действительным , когда система имеет единственное решение. Он выражает решение в терминах определителей (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектор-столбцом правых частей уравнений. Он назван в честь Габриэля Крамера (1704–1752), который опубликовал правило для произвольного числа неизвестных в 1750 году, хотя Колин Маклорен также опубликовал частные случаи правила в 1748 году (и, возможно, знал о нем еще в 1729 году).

Критическая точка

Критическая точка или стационарная точка из дифференцируемой функции в виде реального или комплексной переменной любое значение в своей области , где ее производная равна 0.

Изгиб

Кривая (также называется кривой линии в старых текстах), вообще говоря, объект , похожий на линии , но это не должно быть прямой .

Построение кривых

В геометрии , исследование функция (или кривая трассировка ) включает в себя методы , которые могут быть использованы для получения примерного представления об общем виде плоские кривых с учетом его уравнением без вычисления большого числа точек , необходимых для детального сюжета. Это приложение теории кривых для определения их основных характеристик. Здесь ввод - это уравнение. В цифровой геометрии это метод рисования кривой по пикселям. Здесь ввод - это массив (цифровое изображение).

D

Затухающая синусоида

Является синусоидальная функция , амплитуда которых стремится к нулю при увеличении времени.

Степень полинома

Является высшей степенью его одночленов (отдельных членов) с ненулевыми коэффициентами. Степень термина является суммой показателей степеней переменных , которые появляются в нем, и , таким образом , представляет собой неотрицательное целое число.

Производная

Производный из функции действительных переменной меры чувствительности к изменению (выходное значение) значения функции по отношению к изменению его аргумент (входное значение). Производные - это фундаментальный инструмент исчисления . Например, производной положения движущегося объекта по времени является его скорость : она измеряет, насколько быстро положение объекта изменяется с течением времени.

Производный тест

Тест производной использует производные функции, чтобы найти критические точки функции и определить, является ли каждая точка локальным максимумом , локальным минимумом или седловой точкой . Производные тесты также могут дать информацию о вогнутости функции.

Дифференцируемая функция

Дифференцируемая функция одной вещественной переменной является функцией которой производная существует в каждой точке своей области . В результате график дифференцируемой функции должен иметь (не вертикальную ) касательную линию в каждой точке своей области определения, быть относительно гладким и не может содержать никаких разрывов, изгибов или выступов .

Дифференциальный (бесконечно малый)

Термин дифференциал используется в исчислении для обозначения бесконечно малого (бесконечно малого) изменения некоторой переменной величины . Например, если x - переменная , то изменение значения x часто обозначается как Δ x (произносится как дельта x ). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x . Идея бесконечно малого или бесконечно медленного изменения чрезвычайно полезна интуитивно, и есть несколько способов сделать это понятие математически точным. Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом, используя производные . Если y является функцией от x , то дифференциал dy от y связан с dx формулой

${\ displaystyle dy = {\ frac {dy} {dx}} \, dx,}$

где д / дх обозначает производная от у по й . Эта формула суммирует интуитивную идею о том, что производная y по x является пределом отношения разностей Δ y / Δ x, когда Δ x становится бесконечно малым.

Дифференциальное исчисление

Подполе исчисления, связанное с изучением темпов изменения количества. Это один из двух традиционных разделов исчисления, другой - интегральное исчисление , изучение области под кривой.

Дифференциальное уравнение

Является ли математическое уравнение , связывающее некоторую функцию с ее производными . В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорость их изменения, а уравнение определяет взаимосвязь между ними.

Дифференциальный оператор

.

Дифференциал функции

В исчислении , то дифференциальное представляет собой основную часть этого изменения в функции у  =  ф ( х ) относительно изменений в независимой переменной. Дифференциал dy определяется как

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx,}$

где это производная от F по отношению к й и ому является дополнительным реальным переменным (так что ду является функцией х и дм ). Обозначения таковы, что уравнение ${\ displaystyle f '(x)}$

${\ displaystyle dy = {\ frac {dy} {dx}} \, dx}$

где производная представлена ​​в обозначении Лейбница dy / dx , и это согласуется с рассмотрением производной как частного дифференциалов. Еще один пишет

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx.}$

Точное значение переменных dy и dx зависит от контекста приложения и требуемого уровня математической строгости. Область этих переменных может иметь особое геометрическое значение, если дифференциал рассматривается как особая форма дифференциала , или аналитическое значение, если дифференциал рассматривается как линейное приближение к приращению функции. Традиционно переменные dx и dy считаются очень малыми ( бесконечно малыми ), и такая интерпретация делается строго в нестандартном анализе .

Правила дифференциации

.

Тест прямого сравнения

Тест сходимости, в котором бесконечный ряд или несобственный интеграл сравнивается с одним с известными свойствами сходимости.

Тест Дирихле

Является ли метод тестирования для сходимости в виде ряда . Она названа в честь его автора Дирихля , и была опубликовано посмертно в журнале де Mathématiques Пурески и др Appliquées в 1862. Испытанных состояний, если это последовательность из действительных чисел и последовательность комплексных чисел , удовлетворяющая ${\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}$${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$

• ${\ Displaystyle а_ {п + 1} \ leq а_ {п}}$

• ${\ displaystyle \ lim _ {п \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}$

• ${\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}$для любого натурального числа N

где M - некоторая постоянная, то ряд

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}$

сходится.

Интеграция с дисками

Также известно в интегральном исчислении как метода диска , является средством расчета объема о наличии тела вращения из твердотельного материала , когда интегрирующие вдоль оси «параллельно» к оси вращения .

Расходящаяся серия

Является бесконечной серией , которая не сходится , а это означает , что бесконечная последовательность из частичных сумм ряда не имеет конечный предел .

Прерывность

Непрерывные функции имеют первостепенное значение в математике , функциях и приложениях. Однако не все функции непрерывны. Если функция не является непрерывной в какой-либо точке своей области определения , говорят, что она имеет разрыв в этом месте. Множество всех точек разрыва функции может быть дискретным множеством , плотным множеством или даже всей областью определения функции.

Скалярное произведение

В математике , то скалярное произведение или скалярное произведение представляет собой алгебраическая операция , которая принимает два равной длину последовательности чисел (обычно координаты векторов ) и возвращает единственное число. В евклидовой геометрии скалярное произведение декартовых координат двух векторов широко используется и часто называется « внутренним продуктом» (или редко проекционным продуктом ) евклидова пространства, хотя это не единственный внутренний продукт, который может быть определен в евклидовом пространстве. ; см. также внутреннее пространство продукта .

Двойной интеграл

Кратный интеграл является определенным интегралом из функции более чем одной реальных переменных , например, F ( х , у ) или F ( х , у , г ) . Интегралы от функции двух переменных по области в R ² называются двойными интегралами , а интегралы от функции трех переменных по области в R ³ называются тройными интегралами .

E

e (математическая константа)

Число e - математическая константа , являющаяся основанием натурального логарифма : уникальное число, натуральный логарифм которого равен единице. Это приблизительно равно 2,71828 , и является пределом в (1 + 1 / п ) ^п , как п приближается к бесконечности , выражение , которое возникает при изучении сложных процентов . Его также можно рассчитать как сумму бесконечного ряда

${\ displaystyle е = \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n!}} = {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1 } {1}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} + \ cdots}$

Эллиптический интеграл

В интегральном исчислении , эллиптические интегралы , первоначально возникли в связи с проблемой придания длины дуги в качестве эллипса . Впервые они были изучены Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером ( около  1750 г. ). Современная математика определяет «эллиптический интеграл» как любую функцию f, которая может быть выражена в виде

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {c} ^ {x} R \ left (t, {\ sqrt {P (t)}} \ right) \, dt,}$

где R - рациональная функция двух своих аргументов, P - многочлен степени 3 или 4 без повторяющихся корней, а c - константа.

Существенный разрыв

Для существенного разрыва только один из двух односторонних пределов может не существовать или быть бесконечным. Рассмотрим функцию

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin {\ frac {5} {x-1}} & {\ mbox {for}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {for}} x = 1 \\ {\ frac {1} {x-1}} & {\ mbox {for}} x> 1 \ end {case}}}$

Тогда точка является существенным разрывом . В этом случае не существует и бесконечно, тем самым удовлетворяя дважды условиям существенного разрыва. Таким образом, x ₀ является существенным разрывом , бесконечным разрывом или разрывом второго рода . (Это отличается от термина существенная особенность, который часто используется при изучении функций комплексных переменных .${\ Displaystyle \ scriptstyle x_ {0} \; = \; 1}$${\ displaystyle \ scriptstyle L ^ {-}}$${\ displaystyle \ scriptstyle L ^ {+}}$

Метод Эйлера

Метод Эйлера - это численный метод решения дифференциального уравнения первого порядка с заданным начальным значением. Это самый основной явный метод для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и является самым простым методом Рунге-Кутта . Метод Эйлера назван в честь Леонарда Эйлера , который рассмотрел его в своей книге « Institutionum Calculi Integratedis» (опубликованной в 1768–1870 гг.).

Экспоненциальная функция

В математике , экспоненциальная функция является функцией вида

${\ Displaystyle е (х) = ab ^ {х},}$

где b - положительное действительное число, а аргумент x встречается как показатель степени. Для действительных чисел c и d функция формы также является экспоненциальной функцией, так как ее можно переписать как ${\ Displaystyle е (х) = ab ^ {cx + d}}$

${\ displaystyle ab ^ {cx + d} = \ left (ab ^ {d} \ right) \ left (b ^ {c} \ right) ^ {x}.}$

Теорема об экстремальном значении

Штаты , что если вещественная функция F является непрерывным на замкнутом интервале [ , Ь ], то F должно достигать максимум и минимум , каждый из которых по крайней мере один раз. То есть существуют числа c и d в [ a , b ] такие, что:

${\ displaystyle f (c) \ geq f (x) \ geq f (d) \ quad {\ text {для всех}} x \ in [a, b].}$

Связанная с этим теорема - это теорема об ограниченности, которая утверждает, что непрерывная функция f на отрезке [ a , b ] ограничена на этом интервале. То есть существуют действительные числа m и M такие, что:

${\ displaystyle m <f (x) <M \ quad {\ text {для всех}} x \ in [a, b].}$

Теорема об экстремальном значении обогащает теорему об ограниченности, утверждая, что функция не только ограничена, но также достигает своей наименьшей верхней границы как своего максимума и своей максимальной нижней границы как своего минимума.

Экстремум

В математическом анализе , то максимумы и минимумы (соответствующие формах множественного числа от максимума и минимума ) в виде функции , известной под общим названием экстремумов (множественное числом экстремума ), являются самым крупным и наималейшим значением функции, либо в пределах заданного диапазона (The местных или относительные экстремумы) или на всей области определения функции ( глобальные или абсолютные экстремумы). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общую технику, адекватность , для нахождения максимумов и минимумов функций. Как определено в теории множеств , максимум и минимум набора - это наибольший и наименьший элементы в наборе, соответственно. Неограниченные бесконечные множества, такие как множество действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

F

Формула Фаа ди Бруно

Это тождество в математике, обобщающее правило цепочки на высшие производные, названное в честь Франческо Фаа ди Бруно  ( 1855 , 1857 ), хотя он не был первым, кто сформулировал или доказал эту формулу. В 1800 году, более чем за 50 лет до Фа ди Бруно, французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст изложил формулу в учебнике по математическому анализу, который считается первым опубликованным справочником по этому вопросу. Возможно, самая известная форма формулы Фаа ди Бруно гласит:

${\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum {\ frac {n!} {m_ {1}! \, 1! ^ {m_ {1} } \, m_ {2}! \, 2! ^ {m_ {2}} \, \ cdots \, m_ {n}! \, n! ^ {m_ {n}}}} \ cdot f ^ {(m_ {1} + \ cdots + m_ {n})} (g (x)) \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left (g ^ {(j)} (x) \ right) ^ {m_ {j}},}$

где сумма ведется по всем n - наборам неотрицательных целых чисел ( m ₁ ,…, m _n ), удовлетворяющих ограничению

${\ displaystyle 1 \ cdot m_ {1} +2 \ cdot m_ {2} +3 \ cdot m_ {3} + \ cdots + n \ cdot m_ {n} = n.}$

Иногда, чтобы придать ему запоминающийся узор, он написан таким образом, что коэффициенты, которые имеют комбинаторную интерпретацию, обсуждаемую ниже, менее явны:

${\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \, m_ {n}!}} \ cdot f ^ {(m_ {1} + \ cdots + m_ {n})} (g (x)) \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {g ^ {(j)} (x)} {j!}} \ right) ^ {m_ {j}}.}$

Объединение членов с одинаковым значением m ₁  +  m ₂  + ... +  m _n  =  k и наблюдение за тем, что m _j должно быть равным нулю для j  >  n  -  k  + 1, приводит к несколько более простой формуле, выраженной в терминах Белла многочлены B _{n , k} ( x ₁ , ..., x _{n - k +1} ):  

${\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) \ cdot B_ {n, k} \ left (g '(x), g' '(x), \ dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) \ right).}$

Многочлен первой степени

Тест первой производной

Первый тест производной исследует монотонные свойства функции (где функция увеличивается или уменьшается), сосредотачиваясь на конкретной точке в ее области определения. Если функция «переключается» с увеличения на уменьшение в этой точке, тогда функция достигает наивысшего значения в этой точке. Точно так же, если функция «переключается» с уменьшения на увеличение в этой точке, тогда она достигнет наименьшего значения в этой точке. Если функция не может «переключиться» и продолжает увеличиваться или продолжает уменьшаться, то максимальное или наименьшее значение не достигается.

Дробное исчисление

Является филиал математического анализа , изучающие несколько различных возможностей определения действительного числа полномочий или комплексного числа полномочия оператора дифференцирования D

${\ displaystyle Df (x) = {\ dfrac {d} {dx}} f (x)}$,

и оператора интегрирования J

${\ displaystyle Jf (x) = \ int _ {0} ^ {x} \! \! \! \! f (s) {ds}}$,

и разработать исчисление таких операторов, обобщающее классическое. В этом контексте термин мощности относится к итеративному применению линейного оператора к функции, в некоторой аналогии с составом функции, действующей на переменную, то есть f  ^∘2 ( x ) =  f  ∘  f  ( x ) =  f  (  f  ( x )) .

Frustum

В геометрии , A усеченное (множественное число: frusta или усеченные ) представляет собой части твердое вещество (обычно конус или пирамиды ) , которая лежит между одной или двумя параллельными плоскостями резки его. Правая усеченный является параллельным усечением из правой пирамиды или правого конуса.

Функция

Является ли процесс или отношение , которое связывает каждый элемент х из множества X , то домен функции, к одному элементу у другого множество Y (возможно , тот же набор), то область значений функции. Если функция называется f , это отношение обозначается y = f  ( x ) (читать f из x ), элемент x является аргументом или входом функции, а y является значением функции , выходом или изображение из й по F . Символ, который используется для представления ввода, - это переменная функции (часто говорят, что f является функцией переменной x ).

Функциональный состав

Операция, которая принимает две функции f и g и производит функцию h такую, что h ( x ) = g ( f ( x )) . В этой операции, функция г будет применяться к результату применения функции п к й . То есть, функции F  : X → Y и G  : Y → Z являются состоит , чтобы получить функцию , которая отображает х в X в г ( ф ( х )) в Z .

Основная теорема исчисления

Фундаментальная теорема исчисления является теоремой , которая связывает понятие дифференциации в функции с концепцией интеграции функции. Первая часть теоремы, иногда называемая первой фундаментальной теоремой исчисления , утверждает, что одна из первообразных (также называемая неопределенным интегралом ), скажем F , некоторой функции f может быть получена как интеграл от f с переменной границей интегрирования . Отсюда следует существование первообразных для непрерывных функций . И наоборот, вторая часть теоремы, иногда называемая второй фундаментальной теоремой исчисления , утверждает, что интеграл функции f на некотором интервале может быть вычислен с использованием любой одной, скажем F , ее бесконечного числа первообразных . Эта часть теоремы имеет ключевые практические приложения, поскольку явное нахождение первообразной функции посредством символьного интегрирования позволяет избежать численного интегрирования для вычисления интегралов. Это обычно обеспечивает лучшую числовую точность.

грамм

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница , названный в честь Лейбниц , обобщающее правило продукта (который также известен как «правило Лейбница»). В нем говорится, что если и являются дифференцируемыми в разы функциями , то произведение также дифференцируемо в раз и его производная дается формулой ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle (fg) ^ {(n)} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ choose k} f ^ {(nk)} g ^ {(k)},}$

где - биномиальный коэффициент, и Это можно доказать с помощью правила произведения и математической индукции .${\ displaystyle {n \ select k} = {n! \ над k! (nk)!}}$${\ Displaystyle f ^ {(0)} \ Equiv f.}$

Глобальный максимум

В математическом анализе , то максимумы и минимумы (соответствующие формах множественного числа от максимума и минимума ) в виде функции , известной под общим названием экстремумов (множественное числом экстремума ), являются самым крупным и наималейшим значением функции, либо в пределах заданного диапазона (The местных или относительные экстремумы) или на всей области определения функции ( глобальные или абсолютные экстремумы). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общую технику, адекватность , для нахождения максимумов и минимумов функций. Как определено в теории множеств , максимум и минимум набора - это наибольший и наименьший элементы в наборе, соответственно. Неограниченные бесконечные множества, такие как множество действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

Глобальный минимум

В математическом анализе , то максимумы и минимумы (соответствующие формах множественного числа от максимума и минимума ) в виде функции , известной под общим названием экстремумов (множественное числом экстремума ), являются самым крупным и наималейшим значением функции, либо в пределах заданного диапазона (The местных или относительные экстремумы) или на всей области определения функции ( глобальные или абсолютные экстремумы). Пьер де Ферма был одним из первых математиков, предложивших общую технику, адекватность , для нахождения максимумов и минимумов функций. Как определено в теории множеств , максимум и минимум набора - это наибольший и наименьший элементы в наборе, соответственно. Неограниченные бесконечные множества, такие как множество действительных чисел , не имеют минимума или максимума.

Золотая спираль

В геометрии , А золотая спираль является логарифмическая спираль , рост которой фактор φ , то золотое сечение . То есть золотая спираль становится шире (или дальше от своего источника) в φ раз на каждую четверть оборота.

Градиент

Является многовариантным обобщением производной . В то время как производная может быть определена для функций одной переменной, для функций нескольких переменных ее место занимает градиент. Градиент является векторной функцией , в отличие от производной, которая имеет скалярное значение .

ЧАС

Гармоническая прогрессия

В математике , А гармоника прогрессия (или гармоническая последовательность ) прогрессия формируется путем принятия обратных в арифметической прогрессии . Это последовательность вида

${\ displaystyle {\ frac {1} {a}}, \ {\ frac {1} {a + d}} \, {\ frac {1} {a + 2d}} \, {\ frac {1} { a + 3d}} \, \ cdots, {\ frac {1} {a + kd}},}$

где −a / d - не натуральное число, а k - натуральное число. Эквивалентно, последовательность - это гармоническая прогрессия, когда каждый член является гармоническим средним соседних членов. Невозможно для гармонической прогрессии (кроме тривиального случая, когда a = 1 и k = 0) суммировать до целого числа . Причина в том, что по крайней мере один знаменатель прогрессии обязательно будет делиться на простое число, которое не делит никакой другой знаменатель.

Высшая производная

Пусть f - дифференцируемая функция, а f ′ - ее производная. Производная от f ′ (если она есть) записывается f ′ ′ и называется второй производной от f . Точно так же производная второй производной, если она существует, записывается как f ′ ′ ′ и называется третьей производной от f . Продолжая этот процесс, можно определить, если она существует, n- ю производную как производную от ( n -1) -й производной. Эти повторяющиеся производные называются производными более высокого порядка . Производная n- го порядка также называется производной n-го порядка .

Однородное линейное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение может быть однородным в любом из двух отношений. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если оно может быть записано

${\ Displaystyle f (x, y) dy = g (x, y) dx,}$

где f и g - однородные функции одной степени от x и y . В этом случае замена переменной y = ux приводит к уравнению вида

${\ displaystyle {\ frac {dx} {x}} = h (u) du,}$

что легко решить путем объединения двух элементов. В противном случае дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородной функцией неизвестной функции и ее производных. В случае линейных дифференциальных уравнений это означает отсутствие постоянных членов. Решения любого линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка могут быть выведены интегрированием из решения однородного уравнения, полученного удалением постоянного члена.

Гиперболическая функция

Гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических или круговых функций.

я

Функция идентичности

Также называется тождественным соотношением или тождественным отображением или тождественным преобразованием , является функцией , которая всегда возвращает то же значение, которое используют в качестве аргумента. В уравнениях функция задается как f ( x ) = x .

Мнимое число

Является комплексным числом , которое может быть записано в виде действительное число , умноженное на мнимую единицу я , которая определяется его свойством я ² = -1 . Квадрат мнимого числа би является - б ² . Например, 5 i - мнимое число, а его квадрат равен −25 . Ноль считается как реальным, так и мнимым.

Неявная функция

В математике неявное уравнение - это отношение вида , где - функция нескольких переменных (часто полином ). Например, неявное уравнение единичной окружности является . Неявная функция является функцией , которая определяется неявно посредством неявного уравнения, сопоставляя одну из переменных (далее значения ) с другими (то аргументами ). Таким образом, неявная функция for в контексте единичного круга неявно определяется с помощью . Это неявное уравнение определяет как функцию только тогда, когда и рассматривают только неотрицательные (или неположительные) значения для значений функции. Теорема о неявной функции обеспечивает условия , при которых некоторых виды отношений определяют неявную функцию, а именно отношения , определенные как функции индикатора от нулевого множества некоторой непрерывно дифференцируемой многофакторной функции.${\ Displaystyle R (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x ^ {2} + f (x) ^ {2} -1 = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle -1 \ Leq х \ Leq 1}$

Неделимая дробь

Обычные дроби могут быть классифицированы как правильные и неправильные. Когда числитель и знаменатель положительны, дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. В общем, обычная дробь называется правильной дробью, если абсолютное значение дроби строго меньше единицы, то есть если дробь больше -1 и меньше 1. Она называется неправильной дробью. , или иногда верхняя фракция, если абсолютное значение дроби больше или равно 1. Примеры правильных дробей: 2/3, –3/4 и 4/9; примеры неправильных дробей: 9/4, –4/3 и 3/3.

Неправильный интеграл

В математическом анализе , несобственный интеграл есть предел из определенного интеграла как конечная точка интервала (ов) интеграции подходов либо заданное действительное число , , или , в некоторых случаях , как оба конечных точки приближаются пределы. Такой интеграл часто записывается символически, как стандартный определенный интеграл, в некоторых случаях с бесконечностью как предел интегрирования. В частности, несобственный интеграл - это предел вида: ${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx, \ qquad \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx,}$

или

${\ displaystyle \ lim _ {c \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx, \ quad \ lim _ {c \ to a ^ {+}} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, dx,}$

в котором принимается ограничение в одной или другой (а иногда и в обеих) конечных точках ( Апостол 1967 , §10.23) .ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFApostol1967 ( справка )

Точка перегиба

В дифференциальном исчислении , с точкой перегиба , точки перегиба , гибкий трубопровод , или перегиб (британский английский: перегиб ) является точкой на непрерывной плоской кривой , при которой кривая изменения от быть вогнутой (вогнутой вниз) к выпуклой (вогнутой вверх) или наоборот.

Мгновенная скорость изменения

Производная функции одной переменной при выбранном значении входного сигнала, когда оно существует, то есть наклон от касательной к графику функции в этой точке. Касательная линия является наилучшим линейным приближением функции вблизи этого входного значения. По этой причине производная часто описывается как «мгновенная скорость изменения», то есть отношение мгновенного изменения зависимой переменной к изменению независимой переменной. .

Мгновенная скорость

Если мы рассматриваем v как скорость и x как вектор смещения (изменения положения), то мы можем выразить (мгновенную) скорость частицы или объекта в любой конкретный момент времени t как производную положения по времени:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = \ lim _ {{\ Delta t} \ to 0} {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {x}}} {\ Delta t}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {x}}} {d {\ mathit {t}}}}.}$

Из этого производного уравнения в одномерном случае можно увидеть, что площадь под изменением скорости в зависимости от времени ( график v в зависимости от t ) представляет собой смещение, x . В терминах исчисления интеграл функции скорости v ( t ) является функцией перемещения x ( t ) . На рисунке это соответствует желтой области под кривой, обозначенной s ( s - альтернативное обозначение смещения).

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = \ int {\ boldsymbol {v}} \ d {\ mathit {t}}.}$

Поскольку производная положения по времени дает изменение положения (в метрах ), деленное на изменение во времени (в секундах ), скорость измеряется в метрах в секунду (м / с). Хотя концепция мгновенной скорости на первый взгляд может показаться нелогичной, ее можно рассматривать как скорость, с которой объект продолжал бы двигаться, если бы в этот момент он прекратил ускоряться. .

интеграл

Интеграл присваивает числа функциям таким образом, чтобы они могли описывать смещение, площадь, объем и другие понятия, возникающие при объединении бесконечно малых данных. Интегрирование - одна из двух основных операций исчисления, обратная операция - дифференцирование - вторая. .

Интегральный символ

Интегральный символ:

∫ ( Юникод ), ( LaTeX )${\ displaystyle \ displaystyle \ int}$

используется для обозначения интегралов и первообразных в математике . .

Интегрировать

Функция, которую нужно интегрировать в интеграл.

Интеграция по частям

В исчислении, а в более общем смысле, в математическом анализе , интегрирования по частям или частичной интеграции представляет собой процесс , который находит интеграл от в продукте функций в терминах интеграла от их производной и первообразной. Он часто используется для преобразования первообразной произведения функций в первообразную, для которой легче найти решение. Правило может быть легко получено путем интегрирования правила продукта по дифференциации . Если u = u ( x ) и du = u ′ ( x ) dx , а v = v ( x ) и dv = v ′ ( x ) dx , то интегрирование по частям утверждает, что:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ int _ {a} ^ {b} u (x) v '(x) \, dx & = {\ Big [} u (x) v (x) {\ Big]} _ {a} ^ {b} - \ int _ {a} ^ {b} u '(x) v (x) \, dx \\ & = u (b) v (b) -u (a) v ( a) - \ int _ {a} ^ {b} u '(x) v (x) \, dx \ end {выровнено}}}$

или более компактно:

${\ displaystyle \ int u \, dv = uv- \ int v \, du.}$

Математик Брук Тейлор открыл интеграцию по частям, впервые опубликовав эту идею в 1715 году . Более общие формулировки интегрирования по частям существуют для интегралов Римана – Стилтьеса и Лебега – Стилтьеса . Дискретный аналог последовательностей называется суммированием по частям . .

Интеграция заменой

Также известный как u -замена, это метод решения интегралов . Использование основной теоремы исчисления часто требует поиска первообразной . По этой и другим причинам интегрирование путем подстановки является важным инструментом математики. Она является аналогом к цепному правилу для дифференциации . .

Теорема о промежуточном значении

В математическом анализе , промежуточное значение теорема утверждает , что если непрерывная функция , е , с интервалом , [ , Ь ], в качестве области , принимает значения F ( в ) и ф ( б ) на каждом конце интервала, то он также принимает любое значение от f ( a ) до f ( b ) в некоторой точке интервала. Это имеет два важных следствия :

1. Если непрерывная функция имеет значения противоположного знака внутри интервала, то она имеет корень в этом интервале ( теорема Больцано ).
2. Изображение непрерывной функции на интервале сам интервал. .

Обратные тригонометрические функции

(Также называемые функции ARCUS, antitrigonometric функция или функция) cyclometric являются обратными функциями этих тригонометрических функций (с соответствующим образом ограниченных областями ). В частности, они являются обратными функциями синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса и косеканса и используются для получения угла из любого из тригонометрических соотношений угла.

J

Прыжок прерывистости

Рассмотрим функцию

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} x ^ {2} & {\ mbox {for}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {for}} x = 1 \\ 2- (x- 1) ^ {2} & {\ mbox {for}} x> 1 \ end {case}}}$

Тогда точка x ₀ = 1 является скачкообразным разрывом . В этом случае единственного предела не существует, потому что односторонние пределы L ^- и L ⁺ существуют и конечны, но не равны: так как L ^- ≠ L ⁺ , предел L не существует. Тогда x ₀ называется скачком , скачком или скачком первого рода . Для этого типа разрыва функция f может иметь любое значение при x ₀ .

K

L

Интеграция Лебега

В математике интеграл неотрицательной функции одной переменной можно рассматривать в простейшем случае как площадь между графиком этой функции и осью x . Интеграл Лебега расширяет интеграл для более широкого класса функций. Он также расширяет области, в которых могут быть определены эти функции.

Правило L'Hôpital

Правило L'Hôpital или правило L'Hospital использует производные, чтобы помочь оценить пределы, связанные с неопределенными формами . Применение (или повторное применение) правила часто преобразует неопределенную форму в выражение, которое может быть вычислено путем подстановки, что упрощает оценку предела. Правило названо в честь французского математика 17 века Гийома де л'Опиталя . Хотя вклад правила часто приписывается L'Hôpital, теорема была впервые представлена ​​L'Hôpital в 1694 году швейцарским математиком Иоганном Бернулли . Правило Лопиталя гласит, что для функций f и g , дифференцируемых на открытом интервале I, за исключением, возможно, точки c, содержащейся в I , если для всех x в I с x ≠ c и существует, то ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0 {\ text {или}} \ pm \ infty,}$ ${\ Displaystyle g '(х) \ neq 0}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g '(Икс)}}.}$

Дифференцирование числителя и знаменателя часто упрощает частное или преобразует его в предел, который можно вычислить напрямую.

Предел сравнительного теста

Тест сравнения пределов позволяет определить сходимость одного ряда на основе сходимости другого.

Предел функции

.

Пределы интеграции

.

Линейная комбинация

В математике линейная комбинация - это выражение, составленное из набора терминов путем умножения каждого члена на константу и сложения результатов (например, линейная комбинация x и y будет любым выражением формы ax + by , где a и b являются константами). Концепция линейных комбинаций занимает центральное место в линейной алгебре и смежных областях математики.

Линейное уравнение

Линейное уравнение - это уравнение, связывающее две или более переменных друг с другом в форме с максимальной степенью каждой переменной, равной 1.${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} + b = 0,}$

Линейная система

.

Список интегралов

.

Логарифм

.

Логарифмическое дифференцирование

.

Нижняя граница

.

M

Теорема о среднем значении

.

Монотонная функция

.

Кратный интеграл

.

Мультипликативное исчисление

.

Многопараметрическое исчисление

.

N

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм ряда является его логарифмом к основанию в математических постоянная е , где е является иррациональным и трансцендентным числом , приблизительно равным2,718 281 828 459 . Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log _e x или иногда, если основание e неявно, просто log x . Для ясности иногда добавляются круглые скобки , что дает ln ( x ), log _e ( x ) или log ( x ). Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является отдельным символом, чтобы предотвратить двусмысленность.

Неньютоновское исчисление

.

Нестандартное исчисление

.

Обозначения для дифференцирования

.

Численное интегрирование

.

О

Односторонний предел

.

Обыкновенное дифференциальное уравнение

.

п

Теорема Паппа о центроиде

(Также известный как теорема Guldinus , Летучка-Guldinus теорема или теорема Паппа в ) либо из двух смежных теорем , связанных с площадью поверхности и объема на поверхностях и твердых тел вращения.

Парабола

Есть плоская кривая , которая является зеркально-симметричным и приблизительно U- форме . Он соответствует нескольким другим на первый взгляд другим математическим описаниям, которые, как можно доказать, определяют одни и те же кривые.

Параболоид

.

Частная производная

.

Уравнение в частных производных

.

Разложение на частичную дробь

.

Частное решение

.

Кусочно-определенная функция

Функция, определяемая несколькими подфункциями, которые применяются к определенным интервалам области определения функции.

Вектор положения

.

Правило власти

.

Интеграл продукта

.

Правило продукта

.

Правильная дробь

.

Правильная рациональная функция

.

теорема Пифагора

.

Пифагорейская тригонометрическая идентичность

.

Q

Квадратичная функция

В алгебре , А квадратичная функция , А квадратичный полином , А многочлен степени 2 , или просто квадратичные , является полиномиальной функцией с одним или несколькими переменными , в которых с наибольшей степенью термин второй степени. Например, квадратичная функция от трех переменных x , y и z содержит исключительно члены x ² , y ² , z ² , xy , xz , yz , x , y , z и константу:

${\ displaystyle f (x, y, z) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j,}$

по крайней мере, один из коэффициентов a, b, c, d, e или f членов второй степени отличен от нуля. Одномерный (одной переменной) квадратичная функция имеет вид

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c, \ quad a \ neq 0}$

в единственной переменной x . График из однофакторного квадратичной функции является парабола , ось симметрии параллельна у оси х, как показано справа. Если квадратичная функция установлена ​​равной нулю, то результатом будет квадратное уравнение . Решения уравнения одной переменной называются корнями функции одной переменной. Двумерный случай в терминах переменных x и y имеет вид

${\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + by ^ {2} + cxy + dx + ey + f \, \!}$

с хотя бы одним из a, b, c, не равным нулю, и уравнение, устанавливающее эту функцию равной нулю, дает начало коническому сечению ( окружность или другой эллипс , парабола или гипербола ). В общем, может быть сколь угодно большое количество переменных, и в этом случае результирующая поверхность называется квадрикой , но член наивысшей степени должен иметь степень 2, например x ² , xy , yz и т. Д.

Квадратичный полином

.

Правило частного

Формула для нахождения производной функции, являющейся отношением двух функций.

р

Радиан

Это единица СИ для измерения углов и стандартная единица измерения угла , используемая во многих областях математики . Длина дуги единичного круга численно равна измеренному в радианах углу, который он образует ; один радиан чуть ниже 57,3 градуса (расширение в OEIS :  A072097 ). Ранее эта единица была дополнительной единицей СИ , но эта категория была упразднена в 1995 году, и теперь радиан считается производной единицей СИ . Отдельно единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан .

Соотношение тест

.

Взаимная функция

.

Взаимное правило

.

Интеграл Римана

.

Связанные ставки

.

Устраняемая несплошность

.

Теорема Ролля

.

Корневой тест

.

S

Скалярный

.

Секущая линия

.

Полином второй степени

.

Вторая производная

.

Тест второй производной

.

Дифференциальное уравнение второго порядка

.

Серии

.

Интеграция с оболочкой

.

Правило Симпсона

.

Синус

.

Синусоидальная волна

.

Поле уклона

.

Теорема сжатия

.

Правило сумм в дифференцировании

.

Правило суммы в интеграции

.

Суммирование

.

Дополнительный угол

.

Площадь поверхности

.

Система линейных уравнений

.

Т

Таблица интегралов

.

Серия Тейлора

.

Теорема Тейлора

.

Касательная

.

Полином третьей степени

.

Третья производная

.

Тороид

.

Общий дифференциал

.

Тригонометрические функции

.

Тригонометрические тождества

.

Тригонометрический интеграл

.

Тригонометрическая замена

.

Тригонометрия

.

Тройной интеграл

.

U

Верхняя граница

.

V

Переменная

.

Вектор

.

Векторное исчисление

.

W

стиральная машина

.

Метод мойки

.

Икс

Y

Z

[[]]

]]

Смотрите также

• Исчисление
• Схема исчисления
• Глоссарий областей математики
• Глоссарий астрономии
• Глоссарий биологии
• Глоссарий ботаники
• Глоссарий химии
• Глоссарий экологии
• Глоссарий инженерии
• Глоссарий физики
• Глоссарий вероятности и статистики

использованная литература

Примечания