Обозначения для дифференциации - Notation for differentiation

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая , Вейерштрасса , Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

В дифференциальном исчислении нет единого единого обозначения для дифференцирования . Вместо этого, различные обозначения для производной из функции или переменной были предложены различными математиками. Полезность каждой нотации зависит от контекста, и иногда полезно использовать более одной нотации в данном контексте. Наиболее распространенные обозначения для дифференцирования (и его противоположной операции, антидифференцирования или неопределенного интегрирования ) перечислены ниже.

Обозначения Лейбница

Оригинальные обозначения, использованные Готфридом Лейбницем , используются во всей математике. Это особенно часто встречается, когда уравнение y = f ( x ) рассматривается как функциональная связь между зависимыми и независимыми переменными y и x . Обозначения Лейбница делают это отношение явным, записывая производную как

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}.}$

Поэтому функция, значение которой в точке x является производной от f в точке x, записывается как

${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} (x) {\ text {or}} {\ frac {df (x)} {dx}} {\ text {or}} {\ frac {d} { dx}} f (x).}$

Высшие производные записываются как

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}, {\ frac {d ^ {3} y} {dx ^ {3}}}, {\ frac {d ^ { 4} y} {dx ^ {4}}}, \ ldots, {\ frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}}.}.}$

Это наводящий на размышления прием записи, который происходит от формальных манипуляций с символами, например,

${\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right)} {dx}} = \ left ({\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {2} y = {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}}.}$

С логической точки зрения эти равенства не являются теоремами . Вместо этого они просто определения обозначений. Действительно, оценка выше с использованием правила частного и использования dd для отличия от d ² в приведенных выше обозначениях дает

${\ displaystyle {\ frac {d \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right)} {dx}} = {\ frac {ddy} {dx ^ {2}}} - {\ frac {dy } {dx}} {\ frac {ddx} {dx ^ {2}}}.}$

Значение производной y в точке x = a может быть выражено двумя способами с использованием обозначений Лейбница:

${\ displaystyle \ left. {\ frac {dy} {dx}} \ right | _ {x = a} {\ text {или}} {\ frac {dy} {dx}} (a)}$.

Нотация Лейбница позволяет указать переменную для дифференцирования (в знаменателе). Это особенно полезно при рассмотрении частных производных . Это также упрощает запоминание и распознавание цепного правила :

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dy} {du}} \ cdot {\ frac {du} {dx}}.}$

Обозначения Лейбница для дифференциации не требуют присвоения значения таким символам, как dx или dy, сами по себе, и некоторые авторы не пытаются приписывать этим символам значение. Лейбниц считал эти символы бесконечно малыми . Позднее авторы придали им другие значения, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные .

Некоторые авторы и журналы установить дифференциальный символ D в латиницей вместо курсива : d х . Руководство по научному стилю ISO / IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Обозначение Лейбница для антидифференцировки

Лейбниц ввел интегральный символ ∫ в Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae instance (оба из 1675 г.). Теперь это стандартный символ для интеграции .

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ int y '\, dx & = \ int f' (x) \, dx = f (x) + C_ {0} = y + C_ {0} \\\ int y \ , dx & = \ int f (x) \, dx = F (x) + C_ {1} \\\ iint y \, dx ^ {2} & = \ int \ left (\ int y \, dx \ right) dx = \ int _ {X \ times X} f (x) \, dx = \ int F (x) \, dx = g (x) + C_ {2} \\\ underbrace {\ int \ dots \ int} _ {\! \! n} y \, \ underbrace {dx \ dots dx} _ {n} & = \ int _ {\ underbrace {X \ times \ cdots \ times X} _ {n}} f (x) \, dx = \ int s (x) \, dx = S (x) + C_ {n} \ end {выровнено}}}$

Обозначения Лагранжа

Одно из самых распространенных современных обозначений дифференциации названо в честь Жозефа Луи Лагранжа , хотя на самом деле оно было изобретено Эйлером и только что популяризировано им. В обозначениях Лагранжа штрих обозначает производную. Если f - функция, то ее производная, вычисленная в x , записывается как

${\ displaystyle f '(x)}$.

Впервые он появился в печати в 1749 году.

Высшие производные обозначаются дополнительными штрихами, как для второй производной и для третьей производной . Использование повторяющихся штрихов со временем становится громоздким. Некоторые авторы продолжают использовать римские цифры , обычно в нижнем регистре, как в ${\ displaystyle f '' (х)}$${\ displaystyle f '' '(х)}$

${\ displaystyle f ^ {\ mathrm {iv}} (x), f ^ {\ mathrm {v}} (x), f ^ {\ mathrm {vi}} (x), \ ldots,}$

для обозначения производных четвертого, пятого, шестого и более высоких порядков. Другие авторы используют арабские цифры в скобках, как в

${\ displaystyle f ^ {(4)} (x), f ^ {(5)} (x), f ^ {(6)} (x), \ ldots.}$

Это обозначение также позволяет описать производную n , где n - переменная. Это написано

${\ displaystyle f ^ {(n)} (x).}$

Символы Юникода, относящиеся к нотации Лагранжа, включают

• U + 2032 ◌ ′ PRIME (производная)
• U + 2033 ◌ ″ DOUBLE PRIME (двойная производная)
• U + 2034 ◌ ‴ TRIPLE PRIME (третья производная)
• U + 2057 ◌ ⁗ ЧЕТВЕРКА ПРАЙМ (четвертая производная)

Когда есть две независимые переменные для функции f ( x ,  y ), можно следовать следующему соглашению:

${\ displaystyle {\ begin {align} f ^ {\ prime} & = {\ frac {df} {dx}} = f_ {x} \\ f _ {\ prime} & = {\ frac {df} {dy} } = f_ {y} \\ f ^ {\ prime \ prime} & = {\ frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} = f_ {xx} \\ f _ {\ prime} ^ {\ prime} & = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} \ = f_ {xy} \\ f _ {\ prime \ prime} & = {\ frac {d ^ {2} f} {dy ^ {2}}} = f_ {yy} \ end {выровнено}}}$

Обозначение Лагранжа для антидифференцировки

Принимая первообразную, Лагранж следовал обозначениям Лейбница:

${\ Displaystyle е (х) = \ int f '(x) \, dx = \ int y \, dx.}$

Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией дифференцирования, обозначения Лагранжа для производных более высокого порядка распространяются и на интегралы. Повторяющиеся интегралы от f можно записать как

${\ Displaystyle е ^ {(- 1)} (х)}$для первого интеграла (его легко спутать с обратной функцией ),${\ displaystyle f ^ {- 1} (х)}$

${\ Displaystyle е ^ {(- 2)} (х)}$ для второго интеграла

${\ Displaystyle f ^ {(- 3)} (х)}$ для третьего интеграла и

${\ Displaystyle е ^ {(- п)} (х)}$для n- го интеграла.

Обозначения Эйлера

Обозначения Леонарда Эйлера используют дифференциальный оператор, предложенный Луи Франсуа Антуан Арбогастом , обозначенный как D ( оператор D ) или D̃ ( оператор Ньютона – Лейбница ). Применительно к функции f ( x ) он определяется следующим образом:

${\ displaystyle (Df) (x) = {\ frac {df (x)} {dx}}.}$

Высшие производные в качестве «нотированы полномочий» из D (где верхние индексы обозначают итерационную композицию из D ), как в

${\ displaystyle D ^ {2} f}$ для второй производной

${\ displaystyle D ^ {3} f}$ для третьей производной и

${\ displaystyle D ^ {n} f}$для n- й производной.

Нотация Эйлера оставляет неявной переменную, по которой производится дифференцирование. Однако эту переменную также можно указать явно. Когда f является функцией переменной x , это делается записью

${\ displaystyle D_ {x} f}$ для первой производной,

${\ displaystyle D_ {x} ^ {2} f}$ для второй производной

${\ displaystyle D_ {x} ^ {3} f}$ для третьей производной и

${\ displaystyle D_ {x} ^ {n} f}$для n- й производной.

Когда е является функцией нескольких переменных, это общепринятая использовать « ∂ » , а не D . Как и выше, нижние индексы обозначают взятые производные. Например, вторые частные производные функции f ( x , y ) :

${\ displaystyle \ partial _ {xx} f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}},}$

${\ displaystyle \ partial _ {xy} f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}},}$

${\ displaystyle \ partial _ {yx} f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}},}$

${\ displaystyle \ partial _ {yy} f = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}}.}$

См. § Частные производные .

Обозначения Эйлера полезны для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений , поскольку они упрощают представление дифференциального уравнения, что может облегчить понимание основных элементов проблемы.

Нотация Эйлера для антидифференцировки

Обозначения Эйлера могут использоваться для антидифференцировки точно так же, как обозначения Лагранжа:

${\ Displaystyle D ^ {- 1} е (х)}$ для первого первообразного,

${\ Displaystyle D ^ {- 2} е (х)}$ для второй первообразной, и

${\ Displaystyle D ^ {- п} е (х)}$для n- го первообразного.

Обозначение Ньютона

В нотации Ньютона для дифференцирования (также называемой точечной нотацией или иногда, грубо говоря, нотацией для дифференцирования) ставится точка над зависимой переменной. То есть, если y является функцией t , то производная y по t равна

${\ displaystyle {\ dot {y}}}$

Высшие производные представлены с использованием нескольких точек, как в

${\ displaystyle {\ ddot {y}}, {\ overset {...} {y}}}$

Ньютон довольно далеко расширил эту идею:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ ddot {y}} & \ Equiv {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) = {\ frac {d} {dt}} {\ Bigl (} {\ dot {y}} {\ Bigr)} = {\ frac {d} {dt}} {\ Bigl (} f '(t) {\ Bigr)} = D_ {t} ^ {2} y = f' '(t) = y' '_ {t} \\ {\ overset { ...} {y}} & = {\ dot {\ ddot {y}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {3} y} {dt ^ {3}}} = D_ {t} ^ {3 } y = f '' '(t) = y' '' _ {t} \\ {\ overset {\, 4} {\ dot {y}}} & = {\ overset {....} {y }} = {\ ddot {\ ddot {y}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {4} y} {dt ^ {4}}} = D_ {t} ^ {4} y = f ^ {\ rm {IV}} (t) = y_ {t} ^ {(4)} \\ {\ overset {\, 5} {\ dot {y}}} & = {\ ddot {\ overset {...} {y}}} = {\ dot {\ ddot {\ ddot {y}}}} = {\ ddot {\ dot {\ ddot {y}}}} \ Equ {\ frac {d ^ {5} y} {dt ^ {5}}} = D_ {t} ^ {5} y = f ^ {\ rm {V}} (t) = y_ {t} ^ {(5)} \\ {\ overset {\, 6} {\ dot {y}}} & = {\ overset {...} {\ overset {...} {y}}} \ Equ {\ frac {d ^ {6} y} {dt ^ { 6}}} = D_ {t} ^ {6} y = f ^ {\ rm {VI}} (t) = y_ {t} ^ {(6)} \\ {\ overset {\, 7} {\ точка {y}}} & = {\ dot {\ overset {...} {\ overset {...} {y}}}} \ Equ {\ frac {d ^ {7} y} {dt ^ { 7}}} = D_ {t} ^ {7} y ​​= f ^ {\ rm {VII}} (t) = y_ {t} ^ {(7)} \\ {\ overset {\, 10} {\ точка {y}}} & = {\ ddot {\ ddot {\ ddot {\ ddot {\ ddot {y}}}}}} \ Equiv {\ frac {d ^ {10} y} {dt ^ {10}}} = D_ {t} ^ {10} y = f ^ {\ rm {X}} (t) = y_ {t} ^ {(10)} \\ {\ overset {\, n} {\ dot {y}}} & \ Equiv {\ frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} = D_ {t} ^ {n} y = f ^ {(n)} (t) = y_ {t} ^ {(n)} \ end {выровнено}}}$

К символам Юникода, относящимся к нотации Ньютона, относятся:

• U + 0307 ◌̇ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТОЧКИ ВЫШЕ (производная)
• U + 0308 ◌̈ КОМБИНИРОВАННЫЙ ДИАРЕЗ (двойная производная)
• U + 20DB ◌⃛ ОБЪЕДИНЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК ВЫШЕ (третья производная) ← заменено на «объединение диэрезиса» + «объединение точки сверху».
• U + 20DC ◌⃜ ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧЕТЫРЕ ТОЧЕК ВЫШЕ (четвертая производная) ← дважды заменено на «объединение диэрезиса».
• U + 030D ◌̍ КОМБИНИРОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНАЯ ЛИНИЯ НАД (интеграл)
• U + 030E ◌̎ ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВОЙНОЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЛИНИИ ВЫШЕ (второй интеграл)
• U + 25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК (интегральный)
• U + 20DE ◌⃞ ОБЪЕДИНИТЕЛЬНЫЙ ПЛОЩАДЬ (цельный)
• U + 1DE0 ◌ᷠ ОБЪЕДИНЕНИЕ СТРОЧНОЙ ЛАТИНСКОЙ БУКВЫ N ( n- я производная)

Обозначение Ньютона обычно используется, когда независимая переменная обозначает время . Если положение y является функцией t , то обозначает скорость и обозначает ускорение . Это обозначение популярно в физике и математической физике . Он также появляется в областях математики, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения . Он популярен только для первой и второй производных, но в приложениях это обычно единственные производные, которые необходимы. ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$${\ displaystyle {\ ddot {y}}}$

При взятии производной зависимой переменной y = f ( x ) существует альтернативное обозначение:

${\ displaystyle {\ frac {\ dot {y}} {\ dot {x}}} = {\ dot {y}}: {\ dot {x}} \ Equiv {\ frac {dy} {dt}}: {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {\ frac {dy} {dt}} {\ frac {dx} {dt}}} = {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d} {dx}} {\ Bigl (} f (x) {\ Bigr)} = Dy = f '(x) = y'.}$

Ньютон разработал следующие операторы в частных производных, используя боковые точки на изогнутом X (ⵋ). Определения, данные Whiteside, приведены ниже:

${\ Displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {X}} \ & = \ f (x, y) \ ,, \\\ cdot {\ mathcal {X}} \ & = \ x {\ frac {\ частичный f} {\ partial x}} = xf_ {x} \ ,, \\ {\ mathcal {X}} \! \ cdot \ & = \ y {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} = yf_ {y} \ ,, \\\ двоеточие \! {\ mathcal {X}} \, {\ text {или}} \, \ cdot \! \ left (\ cdot {\ mathcal {X}} \ right) \ & = \ x ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = x ^ {2} f_ {xx} \ ,, \\ {\ mathcal { X}} \ двоеточие \, {\ text {или}} \, \ left ({\ mathcal {X}} \ cdot \ right) \! \ Cdot \ & = \ y ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y ^ {2}}} = y ^ {2} f_ {yy} \ ,, \\\ cdot {\ mathcal {X}} \! \ Cdot \ \ & = \ xy {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} = xyf_ {xy} \ ,, \ end {выровнено}}}$

Обозначение Ньютона для интегрирования

Ньютон разработал множество различных обозначений для интегрирования в своей Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах : он написал небольшую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ( y̍ ), прямоугольник с префиксом ( ▭ y ) или вложение члена в прямоугольник ( у ) для обозначения свободно или временной интеграл ( absement ).

${\ displaystyle {\ begin {align} y & = \ Box {\ dot {y}} \ Equiv \ int {\ dot {y}} \, dt = \ int f '(t) \, dt = D_ {t} ^ {- 1} (D_ {t} y) = f (t) + C_ {0} = y_ {t} + C_ {0} \\ {\ overset {\, \ prime} {y}} & = \ Коробка y \ Equiv \ int y \, dt = \ int f (t) \, dt = D_ {t} ^ {- 1} y = F (t) + C_ {1} \ end {align}}}$

Для обозначения нескольких интегралов Ньютон использовал две маленькие вертикальные черты или простые числа ( y̎ ) или комбинацию предыдущих символов ▭ y̍  y̍ для обозначения второго интеграла по времени (абсолютность).

${\ Displaystyle {\ overset {\, \ prime \ prime} {y}} = \ Box {\ overset {\, \ prime} {y}} \ Equiv \ int {\ overset {\, \ prime} {y} } \, dt = \ int F (t) \, dt = D_ {t} ^ {- 2} y = g (t) + C_ {2}}$

Интегралы по времени высшего порядка были следующими:

${\ Displaystyle {\ begin {align} {\ overset {\, \ prime \ prime \ prime} {y}} & = \ Box {\ overset {\, \ prime \ prime} {y}} \ Equiv \ int { \ overset {\, \ prime \ prime} {y}} \, dt = \ int g (t) \, dt = D_ {t} ^ {- 3} y = G (t) + C_ {3} \\ {\ overset {\, \ prime \ prime \ prime \ prime} {y}} & = \ Box {\ overset {\, \ prime \ prime \ prime} {y}} \ Equiv \ int {\ overset {\, \ prime \ prime \ prime} {y}} \, dt = \ int G (t) \, dt = D_ {t} ^ {- 4} y = h (t) + C_ {4} \\ {\ overset {\; n} {\ overset {\, \ prime} {y}}} & = \ Box {\ overset {\; n-1} {\ overset {\, \ prime} {y}}} \ Equiv \ int {\ overset {\; n-1} {\ overset {\, \ prime} {y}}} \, dt = \ int s (t) \, dt = D_ {t} ^ {- n} y = S (t) + C_ {n} \ end {выровнено}}}$

Это математическое обозначение не получило широкого распространения из-за трудностей с печатью и разногласий по исчислению Лейбница-Ньютона .

Частные производные

Когда необходимы более конкретные типы дифференцирования, например, в многомерном исчислении или тензорном анализе , используются другие обозначения.

Для функции f независимой переменной x мы можем выразить производную, используя индексы независимой переменной:

${\ displaystyle {\ begin {align} f_ {x} & = {\ frac {df} {dx}} \\ f_ {xx} & = {\ frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2} }}. \ end {выровнены}}}$

Этот тип записи особенно полезен для получения частных производных от функции нескольких переменных.

Частные производные обычно отличаются от обычных производных заменой дифференциального оператора d символом « ∂ ». Например, мы можем указать частную производную f ( x ,  y ,  z ) по x , но не по y или z несколькими способами:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = f_ {x} = \ partial _ {x} f.}$

Что делает это различие важным, так это то, что непчастная производная, такая как может , в зависимости от контекста, интерпретироваться как скорость изменения относительно того, когда все переменные могут изменяться одновременно, тогда как с частной производной, такой как она является явной что только одна переменная должна изменяться. ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {df} {dx}}}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}$

Другие обозначения можно найти в различных подполях математики, физики и инженерии; смотри, например, отношения Максвелла из термодинамики . Символ является производной температуры Т по отношению к объему V , сохраняя при этом постоянную энтропия (индекс) S , а является производной от температуры по отношению к объему, сохраняя при этом константа давления P . Это становится необходимым в ситуациях, когда количество переменных превышает количество степеней свободы, поэтому нужно выбирать, какие другие переменные следует оставить фиксированными. ${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial V}} \ right) _ {\! S}}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial T} {\ partial V}} \ right) _ {\! P}}$

Частные производные высшего порядка по одной переменной выражаются как

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = f_ {xx},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {3} f} {\ partial x ^ {3}}} = f_ {xxx},}$

и так далее. Смешанные частные производные могут быть выражены как

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} = f_ {xy}.}$

В этом последнем случае переменные записываются в обратном порядке между двумя обозначениями, что объясняется следующим образом:

${\ displaystyle (f_ {x}) _ {y} = f_ {xy},}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \! \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) = {\ frac {\ partial ^ {2} f } {\ partial y \ partial x}}.}$

Так называемая многоиндексная нотация используется в ситуациях, когда приведенная выше нотация становится громоздкой или недостаточно выразительной. При рассмотрении функций на , определим многоиндексных быть упорядоченный список неотрицательных целых чисел: . Затем определим обозначение для ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, .., \ alpha _ {n}), \ \ alpha _ {i} \ in \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to X}$

${\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} f = {\ frac {\ partial ^ {\ alpha _ {1}}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}}}} \ cdots {\ гидроразрыв {\ partial ^ {\ alpha _ {n}}} {\ partial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} f}$

Таким образом можно кратко выразить некоторые результаты (например, правило Лейбница ), которые утомительно писать другими способами - некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексах .

Обозначения в векторном исчислении

Вектор Исчисление касается дифференциации и интеграции в вектор или скалярных полей . Распространены несколько обозначений, характерных для трехмерного евклидова пространства .

Предположим, что ( x , y , z ) - заданная декартова система координат , что A - векторное поле с компонентами , и это скалярное поле . ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = (\ mathbf {A} _ {x}, \ mathbf {A} _ {y}, \ mathbf {A} _ {z})}$${\ Displaystyle \ varphi = \ varphi (х, y, z)}$

Дифференциальный оператор, введенный Уильямом Роуэном Гамильтоном , который обозначается буквой и называется дель или набла, символически определяется в виде вектора:

${\ displaystyle \ nabla = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \Правильно)\!,}$

где терминология символически отражает, что оператор ∇ также будет рассматриваться как обычный вектор.

• Градиент : градиентскалярного поля- это вектор, который символически выражается умножением и скалярного поля,${\ Displaystyle \ mathrm {grad \,} \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {grad} \ varphi & = \ left ({\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial y }}, {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial z}} \ right) \\ & = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial} { \ partial y}}, {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ right) \ varphi \\ & = \ nabla \ varphi \ end {align}}}$

• Дивергенция : Дивергенциявекторного поля A является скаляром, который символически выражается скалярным произведением и вектора A ,${\ Displaystyle \ mathrm {div} \, \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {div} \ mathbf {A} & = {\ partial A_ {x} \ over \ partial x} + {\ partial A_ {y} \ over \ partial y} + { \ partial A_ {z} \ over \ partial z} \\ & = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial} {\ partial y}}, {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ right) \ cdot \ mathbf {A} \\ & = \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ end {align}}}$

• Лапласиан : лапласианскалярного поля- это скаляр, который символически выражается скалярным умножением ∇ ² и скалярным полем φ ,${\ displaystyle \ operatorname {div} \ operatorname {grad} \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ OperatorName {div} \ OperatorName {grad} \ varphi & = \ nabla \ cdot (\ nabla \ varphi) \\ & = (\ nabla \ cdot \ nabla) \ varphi \\ & = \ nabla ^ {2} \ varphi \\ & = \ Delta \ varphi \\\ конец {выровнено}}}$

• Вращение : вращениеиливекторного поля A является вектором, который символически выражается перекрестным произведением ∇ и вектора A ,${\ Displaystyle \ mathrm {завиток} \, \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle \ mathrm {rot} \, \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {curl} \ mathbf {A} & = \ left ({\ partial A_ {z} \ over {\ partial y}} - {\ partial A_ {y} \ over { \ partial z}}, {\ partial A_ {x} \ over {\ partial z}} - {\ partial A_ {z} \ over {\ partial x}}, {\ partial A_ {y} \ over {\ partial x}} - {\ partial A_ {x} \ over {\ partial y}} \ right) \\ & = \ left ({\ partial A_ {z} \ over {\ partial y}} - {\ partial A_ { y} \ over {\ partial z}} \ right) \ mathbf {i} + \ left ({\ partial A_ {x} \ over {\ partial z}} - {\ partial A_ {z} \ over {\ partial x}} \ right) \ mathbf {j} + \ left ({\ partial A_ {y} \ over {\ partial x}} - {\ partial A_ {x} \ over {\ partial y}} \ right) \ mathbf {k} \\ & = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ {\ cfrac {\ partial} {\ partial x}} и {\ cfrac {\ partial} {\ partial y}} & {\ cfrac {\ partial} {\ partial z}} \\ A_ {x} & A_ {y} & A_ {z} \ end {vmatrix}} \\ & = \ nabla \ times \ mathbf {A} \ end {выровнено}}}$

Многие символические операции над производными можно напрямую обобщить с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения с одной переменной имеет прямой аналог в умножении скалярных полей путем применения оператора градиента, как в

${\ displaystyle (fg) '= f'g + fg' ~~~ \ Longrightarrow ~~~ \ nabla (\ phi \ psi) = (\ nabla \ phi) \ psi + \ phi (\ nabla \ psi).}$

Многие другие правила исчисления с одной переменной имеют аналоги векторного исчисления для градиента, дивергенции, ротации и лапласиана.

Дальнейшие обозначения были разработаны для более экзотических типов пространств. Для расчетов в пространстве Минковского , то Д'Аламбера оператор , называемый также даламбертиан, волна оператора или оператора коробки представлена в виде , или когда не в конфликте с символом лапласиана. ${\ displaystyle \ Box}$${\ displaystyle \ Delta}$

Смотрите также

• Аналитическое общество
• Производная  - операция в исчислении
• Матрица Гессе  - (Математическая) матрица вторых производных
• Матрица якобиана
• Список математических символов по предметам  - список математических символов в Википедии, организованный по предметам

использованная литература

внешние ссылки

• Самые ранние случаи использования символов исчисления , поддержанные Джеффом Миллером ( Архивировано 26 июля 2020 г. ^{(несоответствие даты)} на Wayback Machine ).