Тесты сходимости - Convergence tests

В математике , конвергенция тесты являются методами тестирования для сходимости , условная сходимость , абсолютная сходимость , интервал сходимости или расходимости бесконечных рядов . ${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} а_ {п}}$

Список тестов

Предел слагаемого

Если предел слагаемого не определен или не равен нулю, то есть ряд должен расходиться. В этом смысле частичные суммы суть Коши, только если этот предел существует и равен нулю. Проверка неубедительна, если предел слагаемого равен нулю. Это также известно как тест энного срока. ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ neq 0}$

Соотношение тест

Это также известно как критерий Даламбера .

Предположим, что существует такое, что

{\ displaystyle r}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}

Если r <1, то ряд абсолютно сходится. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, тест отношения неубедителен, и ряды могут сходиться или расходиться.

Корневой тест

Это также известно как критерий корня n- й степени или критерий Коши .

Позволять

{\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

где обозначает верхний предел (возможно ; если предел существует, то это то же значение).

{\ displaystyle \ limsup}

{\ displaystyle \ infty}

Если r <1, то ряд сходится. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, проверка корня неубедительна, и ряды могут сходиться или расходиться.

Корневой тест сильнее, чем тест отношения: всякий раз, когда тест отношения определяет сходимость или расхождение бесконечного ряда, корневой тест делает то же самое, но не наоборот. Например, для сериала

1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ... = 4,

сходимость следует из теста корня, но не из теста отношения. Последовательность соотношений по построению чередуется от 1 до 1/2, а последовательность корней сходится вниз к . Чтобы увидеть это, перепишите члены в виде степени 1/2 и вычислите предел показателей. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}}}$

Интегральный тест

Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расхождение. Позвольте быть неотрицательной и монотонно убывающей функцией такой, что . Если ${\ displaystyle f: [1, \ infty) \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle f (n) = a_ {n}}$

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} е (х) \, dx = \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {t} f (x) \, dx < \ infty,}

тогда ряд сходится. Но если интеграл расходится, то расходится и ряд. Другими словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл.

{\ displaystyle {a_ {n}}}

тест серии p

Часто используемым следствием интегрального теста является тест p-серии. Пусть . Тогда сходится, если . ${\ displaystyle k> 0}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ bigg (} {\ frac {1} {n ^ {p}}} {\ bigg)}}$ ${\ displaystyle p> 1}$

Случай дает расходящийся гармонический ряд. Случай - это

проблема Базеля, и ряд сходится к . В общем, для , ряд равен дзета-функции Римана, примененной к , то есть .

{\ displaystyle p = 1, k = 1}

{\ displaystyle p = 2, k = 1}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

{\ displaystyle p> 1, k = 1}

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle \ zeta (p)}

Тест прямого сравнения

Если ряд является

абсолютно сходящимся рядом и при достаточно большом n , то он сходится абсолютно.

{\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} b_ {п}}

{\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}

{\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} а_ {п}}

Предел сравнительного теста

Если (то есть каждый элемент двух последовательностей положительный) и предел существует, конечен и не равен нулю, то расходится

тогда и только тогда, когда расходится.

{\ displaystyle \ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}> 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}

{\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} а_ {п}}

{\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} b_ {п}}

Тест конденсации Коши

Позвольте быть положительной невозрастающей последовательности. Тогда сумма сходится

тогда и только тогда, когда она сходится. Более того, если они сходятся, то верно.

{\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}

{\ Displaystyle А = \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} а_ {п}}

{\ displaystyle A ^ {*} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}}}

{\ Displaystyle A \ leq A ^ {*} \ leq 2A}

Тест Авеля

Предположим, что верны следующие утверждения:

${\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}$ сходящийся ряд,
${\ Displaystyle \ влево \ {Ь_ {п} \ вправо \}}$ - монотонная последовательность, а
${\ Displaystyle \ влево \ {Ь_ {п} \ вправо \}}$ ограничен.

Тогда тоже сходится. ${\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}$

Тест абсолютной сходимости

Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Испытание чередующейся серии

Предположим, что верны следующие утверждения:

${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} а_ {п} = 0}$ и
для каждого п , . ${\ displaystyle | a_ {n + 1} | \ leq | a_ {n} |}$

Тогда и сходятся ряды. Этот тест также известен как

критерий Лейбница .

{\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}

{\ Displaystyle \ сумма _ {п = к} ^ {\ infty} (- 1) ^ {п + 1} а_ {п}}

Тест Дирихле

Если это

последовательность из действительных чисел и последовательность комплексных чисел , удовлетворяющая

{\ Displaystyle \ {а_ {п} \}}

{\ displaystyle \ {b_ {n} \}}

${\ Displaystyle а_ {п} \ geq а_ {п + 1}}$

${\ displaystyle \ lim _ {п \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}$

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}$ для любого натурального числа N

где M - некоторая постоянная, то ряд

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}

сходится.

Тест Раабе-Дюамеля

Пусть . ${\ displaystyle a_ {n}> 0}$

Определять

{\ displaystyle b_ {n} = n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right).}

Если

{\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}

существует три возможности:

если L > 1, ряд сходится
если L <1, ряд расходится
и если L = 1, проверка неубедительна.

Альтернативная формулировка этого теста следующая. Пусть { a _n } будет серией действительных чисел. Тогда, если b > 1 и K (натуральное число) существуют такие, что

{\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | \ leq 1 - {\ frac {b} {n}}}

для всех n > K ряд { a _n } сходится.

Тест Бертрана

Пусть { a _n } - последовательность положительных чисел.

Определять

{\ displaystyle b_ {n} = \ ln n \ left (n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) -1 \ right).}

Если

{\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}

существует, есть три возможности:

если L > 1, ряд сходится
если L <1, ряд расходится
и если L = 1, проверка неубедительна.

Тест Гаусса

Пусть { a _n } - последовательность положительных чисел. Если для некоторого β> 1, то сходится, если

α> 1,

и расходится, если

α \leq 1

.

{\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} = 1 + {\ frac {\ alpha} {n}} + O (1 / n ^ {\ beta})}

{\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}

Куммера

Пусть { a _n } - последовательность положительных чисел. Затем:

(1) сходится тогда и только тогда, когда существует последовательность положительных чисел и действительное число

c > 0 такие, что .

{\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}

{\ displaystyle b_ {n}}

{\ displaystyle b_ {k} (a_ {k} / a_ {k + 1}) - b_ {k + 1} \ geq c}

(2) расходится тогда и только тогда, когда существует последовательность положительных чисел такая, что ${\ Displaystyle \ сумма а_ {п}}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$ ${\ displaystyle b_ {k} (a_ {k} / a_ {k + 1}) - b_ {k + 1} \ leq 0}$

и расходится. ${\ Displaystyle \ сумма 1 / b_ {п}}$

Примечания

Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для рядов Фурье существует тест Дини .

Примеры

Рассмотрим серию

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}.}

( я )

Из критерия конденсации Коши следует, что ( i ) конечно сходится, если

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {\ alpha}}

( ii )

конечно сходится. С

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {\ alpha} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {nn \ alpha} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {(1- \ alpha) n}}

( ii ) представляет собой геометрический ряд с соотношением . (

ii ) конечно сходится, если его отношение меньше единицы (а именно ). Таким образом, ( i ) конечно сходится тогда и только тогда, когда .

{\ Displaystyle 2 ^ {(1- \ альфа)}}

{\ displaystyle \ alpha> 1}

{\ displaystyle \ alpha> 1}

Конвергенция продуктов

Хотя большинство тестов имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их также можно использовать, чтобы показать сходимость или расхождение бесконечных произведений . Это может быть достигнуто с помощью следующей теоремы: Позвольте быть последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд . Точно так же, если выполняется, то приближается к ненулевому пределу тогда и только тогда, когда ряд сходится. ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ prod _ {п = 1} ^ {\ infty} (1 + а_ {п})}$ ${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} а_ {п}}$ ${\ Displaystyle 0 <а_ {п} <1}$ ${\ Displaystyle \ prod _ {п = 1} ^ {\ infty} (1-а_ {п})}$ ${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} а_ {п}}$

Это можно доказать, логарифмируя произведение и используя тест сравнения пределов.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Лейтольд, Луи (1972). Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.). Нью-Йорк: Харпер и Роу. С. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.

внешние ссылки

Блок-схема выбора теста сходимости

Languages

In other projects