Арифметико-геометрическая последовательность - Arithmetico–geometric sequence

В математике , арифметико-геометрическая прогрессия является результатом термина-по-перспектива умножения геометрической прогрессии с соответствующими терминами арифметической прогрессии . Проще говоря, n- й член арифметико-геометрической последовательности является произведением n- го члена арифметической последовательности. и n- й член геометрического. Арифметико-геометрические последовательности возникают в различных приложениях, таких как вычисление ожидаемых значений в теории вероятностей . Например, последовательность

{\ displaystyle {\ dfrac {\ color {blue} {0}} {\ color {green} {1}}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {1}} {\ color {green} {2) }}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {2}} {\ color {green} {4}}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {3}} {\ color {green} {8}}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {4}} {\ color {green} {16}}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {5}} {\ color { зеленый} {32}}}, \ cdots}

представляет собой арифметико-геометрическую последовательность. Арифметическая составляющая отображается в числителе (синим цветом), а геометрическая - в знаменателе (зеленым цветом).

Суммирование этой бесконечной последовательности известно как арифметико-геометрический ряд , а его основная форма получила название лестницы Габриэля :

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ color {blue} k} {\ color {green} r ^ {k}} = {\ frac {r} {(1-r) ^ {2}}}, \ quad \ mathrm {для \} 0 <r <1}

Номинал также может применяться к различным объектам, представляющим характеристики как арифметических, так и геометрических последовательностей; например, французское понятие арифметико-геометрической последовательности относится к последовательностям формы , которые обобщают как арифметические, так и геометрические последовательности. Такие последовательности являются частным случаем линейных разностных уравнений . ${\ displaystyle u_ {n + 1} = au_ {n} + b}$

Условия последовательности

Первые несколько членов арифметико-геометрической последовательности, состоящей из арифметической прогрессии ( выделено синим цветом) с разницей и начальным значением и геометрической прогрессии ( выделено зеленым цветом) с начальным значением и общим соотношением , выражаются следующим образом: ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle {\ begin {align} t_ {1} & = \ color {blue} a \ color {green} b \\ t_ {2} & = \ color {blue} (a ​​+ d) \ color {green} br \\ t_ {3} & = \ color {blue} (a ​​+ 2d) \ color {green} br ^ {2} \\ & \ \, \ vdots \\ t_ {n} & = \ color {blue} [а + (п-1) г] \ цвет {зеленый} бр ^ {п-1} \ конец {выровнено}}}

Пример

Например, последовательность

{\ displaystyle {\ dfrac {\ color {blue} {0}} {\ color {green} {1}}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {1}} {\ color {green} {2) }}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {2}} {\ color {green} {4}}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {3}} {\ color {green} {8}}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {4}} {\ color {green} {16}}}, \ {\ dfrac {\ color {blue} {5}} {\ color { зеленый} {32}}}, \ cdots}

определяется , и . ${\ displaystyle d = b = 1}$ ${\ displaystyle a = 0}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {2}}}$

Сумма условий

Сумма первых $n$ членов арифметико-геометрической последовательности имеет вид

{\ displaystyle {\ begin {align} S_ {n} & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} t_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left [a + (k -1) d \ right] br ^ {k-1} \\ & = ab + [a + d] br + [a + 2d] br ^ {2} + \ cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n-1} \\ & = A_ {1} G_ {1} + A_ {2} G_ {2} + A_ {3} G_ {3} + \ cdots + A_ {n} G_ {n}, \ end {выровнено}}}

где и - $i-$ е члены арифметической и геометрической последовательности соответственно. ${\ displaystyle A_ {i}}$ ${\ displaystyle G_ {i}}$

Эта сумма имеет выражение в замкнутой форме

{\ displaystyle {\ begin {align} S_ {n} & = {\ frac {ab- (a + nd) \, br ^ {n}} {1-r}} + {\ frac {dbr \, (1 -r ^ {n})} {(1-r) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {A_ {1} G_ {1} -A_ {n + 1} G_ {n + 1}} {1-r}} + {\ frac {dr} {(1-r) ^ {2}}} \, (G_ {1} -G_ {n + 1}). \ End {выравнивается}}}

Доказательство

Умножение,

{\ Displaystyle S_ {n} = a + [a + d] r + [a + 2d] r ^ {2} + \ cdots + [a + (n-1) d] r ^ {n-1}}

по $г$ , дает

{\ displaystyle rS_ {n} = ar + [a + d] r ^ {2} + [a + 2d] r ^ {3} + \ cdots + [a + (n-1) d] r ^ {n}.}

Вычитая $rS n$ из $S n$ , и используя технику телескопирования серии, получаем

{\ displaystyle {\ begin {align} (1-r) S_ {n} = {} & \ left [a + (a + d) r + (a + 2d) r ^ {2} + \ cdots + [a + (n -1) d] r ^ {n-1} \ right] \\ [5pt] & {} - \ left [ar + (a + d) r ^ {2} + (a + 2d) r ^ {3} + \ cdots + [a + (n-1) d] r ^ {n} \ right] \\ [5pt] = {} & a + d \ left (r + r ^ {2} + \ cdots + r ^ {n- 1} \ right) - \ left [a + (n-1) d \ right] r ^ {n} \\ [5pt] = {} & a + d \ left (r + r ^ {2} + \ cdots + r ^ {n-1} + r ^ {n} \ right) - \ left (a + nd \ right) r ^ {n} \\ [5pt] = {} & a + dr \ left (1 + r + r ^ {2} + \ cdots + r ^ {n-1} \ right) - \ left (a + nd \ right) r ^ {n} \\ [5pt] = {} & a + {\ frac {dr (1-r ^ {n})} {1-r}} - (a + nd) r ^ {n}, \ end {выравнивается}}}

где последнее равенство является результатом выражения суммы геометрического ряда . Наконец, деление на $1 - r$ дает результат.

Бесконечная серия

Если −1 < r <1, то сумма S арифметико-геометрического ряда , то есть сумма всех бесконечно многих членов прогрессии, равна

{\ displaystyle {\ begin {align} S & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} t_ {k} = \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} \\ & = {\ frac {ab} {1-r}} + {\ frac {dbr} {(1-r) ^ {2}}} \\ & = {\ frac {A_ {1} G_ {1}} {1-r} } + {\ frac {dG_ {1} r} {(1-r) ^ {2}}}. \ end {align}}}

Если r выходит за пределы указанного диапазона, серия либо

расходится (когда r > 1, или когда r = 1, где ряд арифметический, а a и d не равны нулю; если и a, и d равны нулю в последнем случае, все члены ряда равны нулю, а ряд постоянен )
или чередуется (когда r ≤ −1).

Пример: применение к ожидаемым значениям

Например, сумма

{\ displaystyle S = {\ dfrac {\ color {blue} {0}} {\ color {green} {1}}} + {\ dfrac {\ color {blue} {1}} {\ color {green} { 2}}} + {\ dfrac {\ color {blue} {2}} {\ color {green} {4}}} + {\ dfrac {\ color {blue} {3}} {\ color {green} { 8}}} + {\ dfrac {\ color {blue} {4}} {\ color {green} {16}}} + {\ dfrac {\ color {blue} {5}} {\ color {green} { 32}}} + \ cdots}

,

являющаяся сумма из серии arithmetico-геометрическая , определенной , и , сходится к . ${\ displaystyle d = b = 1}$ ${\ displaystyle a = 0}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ Displaystyle S = 2}$

Эта последовательность соответствует ожидаемому количеству подбрасываний монеты до получения «решки». Вероятность получения решки впервые при k- м броске следующая: ${\ displaystyle T_ {k}}$

{\ displaystyle T_ {1} = {\ frac {1} {2}}, \ T_ {2} = {\ frac {1} {4}}, \ dots, T_ {k} = {\ frac {1} {2 ^ {k}}}}

.

Таким образом, ожидаемое количество бросков равно

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} kT_ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ color {blue} k} {\ color {зеленый } 2 ^ {k}}} = S = 2}

.

использованная литература

дальнейшее чтение

Д. Хаттар. Руководство Пирсона по математике для IIT-JEE, 2 / e (новое издание) . Pearson Education India. п. 10.8. ISBN 81-317-2876-5.
П. Гупта. Комплексная математика XI . Публикации Лакшми. п. 380. ISBN 81-7008-597-7.

Languages

In other projects