Теорема Фубини - Fubini's theorem

В математическом анализе теорема Фубини , представленная Гвидо Фубини в 1907 году, представляет собой результат, который дает условия, при которых можно вычислить двойной интеграл , используя повторный интеграл . Можно изменить порядок интегрирования, если двойной интеграл дает конечный ответ, когда подынтегральное выражение заменяется его абсолютным значением.

{\ displaystyle \ int _ {X \ times Y} f (x, y) \, {\ text {d}} (x, y) = \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} f ( x, y) \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} f (x, y) \ , {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y}

Как следствие, это позволяет изменять порядок интегрирования в определенных повторных интегралах. Теорема Фубини означает, что два повторных интеграла равны соответствующему двойному интегралу по его подынтегральным выражениям. Теорема Тонелли , введенная Леонидой Тонелли в 1909 году, аналогична, но применяется к неотрицательной измеримой функции, а не к интегрируемой по их областям.

Связанная с этим теорема часто называется теоремой Фубини для бесконечных рядов , которая утверждает, что если это дважды индексированная последовательность действительных чисел, а если абсолютно сходится, то ${\ textstyle \ {a_ {m, n} \} _ {m = 1, n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ textstyle \ sum _ {(m, n) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} a_ {m, n}}$

{\ displaystyle \ sum _ {(m, n) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} a_ {m, n} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {m, n} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} a_ {m, n}}

Хотя теорема Фубини для бесконечных рядов является частным случаем более общей теоремы Фубини, нецелесообразно характеризовать ее как логическое следствие теоремы Фубини. Это связано с тем, что некоторые свойства мер, в частности субаддитивность, часто доказываются с помощью теоремы Фубини для бесконечных рядов. В этом случае общая теорема Фубини является логическим следствием теоремы Фубини для бесконечных серий.

История

Частный случай теоремы Фубини для непрерывных функций на произведении замкнутых ограниченных подмножеств вещественных векторных пространств был известен Леонарду Эйлеру в 18 веке. Анри Лебег ( 1904 ) распространил это на ограниченные измеримые функции на произведении интервалов. Леви (1906) предположил, что теорема может быть распространена на интегрируемые, а не ограниченные функции, и это было доказано Фубини (1907) . Леонида Тонелли ( 1909 ) дала вариант теоремы Фубини, который применяется к неотрицательным функциям, а не к интегрируемым функциям.

Меры по продукту

Если X и Y являются пространствами мер с мерами, существует несколько естественных способов определить меру продукта на их продукте.

Продукт Х × Y пространств с мерой (в смысле теории категорий ) имеет в качестве своих измеримых множеств в а-алгебре , порожденные продуктами × B измеримых подмножеств X и Y .

Мера μ на X × Y называется мерой произведения, если μ ( A × B ) = μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) для измеримых подмножеств A ⊂ X и B ⊂ Y и меры µ ₁ на X и µ ₂ на Y . В общем, на X × Y может быть много разных мер продукта . И теорема Фубини, и теорема Тонелли нуждаются в технических условиях, чтобы избежать этого усложнения; наиболее распространенным способом является предположить , что все пространства с мерой являются σ-конечной , в этом случае существует единственная мера произведения на X × Y . Всегда существует единственная мера максимального произведения на X × Y , где мерой измеримого множества является inf мер содержащих его множеств, которые являются счетными объединениями произведений измеримых множеств. Меру максимального произведения можно построить, применив теорему Каратеодори о продолжении к аддитивной функции μ такой, что μ ( A × B ) = μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) на кольце множеств, порожденных произведениями измеримых множеств. (Теорема Каратеодори о расширении дает меру на пространстве с мерой, которое в общем случае содержит больше измеримых множеств, чем пространство с мерой X × Y , поэтому, строго говоря, мера должна быть ограничена до σ-алгебры, порожденной произведениями A × B измеримых подмножеств X и Y. )

Произведение двух полных пространств с мерой обычно не является полным. Например, произведение меры Лебега на единичном отрезке I с собой не мера Лебега на площади I × I . Существует разновидность теоремы Фубини для полных мер, в которой используется пополнение произведения мер, а не незавершенное произведение.

Для интегрируемых функций

Предположим, что X и Y - пространства с σ-конечной мерой, и предположим, что X × Y задана мера произведения (которая уникальна, поскольку X и Y σ-конечны). Теорема утверждает Фубини , что если F является X × Y интегрируема, то есть , что п является измеримой функцией и

{\ displaystyle \ int _ {X \ times Y} | f (x, y) | \, {\ text {d}} (x, y) <\ infty,}

тогда

{\ displaystyle \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} f (x, y) \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} f (x, y) \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = \ int _ {X \ times Y} f (x, y) \, {\ text {d}} (x, y).}

Первые два интеграла являются повторными интегралами по двум мерам, соответственно, а третий - по мере произведения. Частные интегралы и не нужно определять везде, но это не имеет значения, поскольку точки, в которых они не определены, образуют набор меры 0. ${\ textstyle \ int _ {Y} f (x, y) \, {\ text {d}} y}$ ${\ textstyle \ int _ {X} е (х, у) \, {\ текст {d}} х}$

Если указанный выше интеграл абсолютного значения не является конечным, то два повторных интеграла могут иметь разные значения. См. Ниже иллюстрацию этой возможности.

Условие σ-конечности X и Y обычно безвредно, потому что на практике почти все пространства с мерой, для которых вы хотите использовать теорему Фубини, σ-конечны. Теорема Фубини имеет некоторые довольно технические расширения на случай, когда X и Y не считаются σ-конечными ( Fremlin 2003 ) . Основная дополнительная сложность в этом случае заключается в том, что на X × Y может быть более одной меры продукта . Теорема Фубини остается верной для максимальной меры продукта, но может не работать для других мер продукта. Например, существует мера произведения и неотрицательная измеримая функция f, для которой двойной интеграл | f | равен нулю, но два повторных интеграла имеют разные значения; см. ниже раздел о контрпримерах. Теорема Тонелли и теорема Фубини – Тонелли (сформулированная ниже) могут быть неверными на не σ-конечных пространствах даже для максимальной меры произведения.

Теорема Тонелли для неотрицательных измеримых функций

Теорема Тонелли (названная в честь Леониды Тонелли ) является преемницей теоремы Фубини. Заключение теоремы Тонелли идентично заключению теоремы Фубини, но предположение о конечном интеграле заменяется предположением о неотрицательной измеримой функции. ${\ displaystyle | f |}$ ${\ displaystyle f}$

Теорема Тонелли утверждает, что если ( X , A , μ) и ( Y , B , ν) являются пространствами с σ-конечной мерой , а f от X × Y до [0, ∞] - неотрицательная измеримая функция, то

{\ displaystyle \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} f (x, y) \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} f (x, y) \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = \ int _ {X \ times Y} f (x, y) \, {\ text {d}} (x, y).}

Частным случаем теоремы Тонелли является перестановка сумм, например , где неотрицательны для всех x и y . Суть теоремы в том, что смена порядка суммирования сохраняется даже при расходе ряда. Фактически, единственный способ, которым изменение порядка суммирования может изменить сумму, - это когда существуют некоторые подпоследовательности, которые расходятся, а другие расходятся . Если все элементы неотрицательны, этого не происходит в указанном примере. ${\ textstyle \ sum _ {x} \ sum _ {y} a_ {xy} = \ sum _ {y} \ sum _ {x} a_ {xy}}$ ${\ displaystyle a_ {xy}}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$

Без условия σ-конечности пространств мер все три интеграла могут иметь разные значения. Некоторые авторы дают обобщения теоремы Тонелли на некоторые пространства с мерой, которые не являются σ-конечными, но эти обобщения часто добавляют условия, которые сразу же сводят проблему к σ-конечному случаю. Например, можно было бы взять σ-алгебру на A × B как порожденную произведением подмножеств конечной меры, а не порожденную всеми произведениями измеримых подмножеств, хотя это имеет нежелательное последствие, что проекции из произведения к его факторам A и B не поддаются измерению. Другой способ - добавить условие, что носитель f содержится в счетном объединении произведений множеств конечной меры. Фремлин (2003) дает некоторые довольно технические расширения теоремы Тонелли на некоторые не σ-конечные пространства. Ни одно из этих обобщений не нашло каких-либо значимых приложений вне абстрактной теории меры, в основном потому, что почти все пространства с мерой, представляющие практический интерес, σ-конечны.

Теорема Фубини – Тонелли.

Объединение теоремы Фубини с теоремой Тонелли дает теорему Фубини – Тонелли (часто называемую просто теоремой Фубини), которая утверждает, что если X и Y являются пространствами с σ-конечной мерой и если f - измеримая функция, то

{\ displaystyle \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} | f (x, y) | \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} | f (x, y) | \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = \ int _ {X \ times Y} | f (x, y) | \, {\ text {d}} (x, y)}

Кроме того, если любой из этих интегралов конечен, то

{\ displaystyle \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} f (x, y) \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} f (x, y) \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = \ int _ {X \ times Y} f (x, y) \, {\ text {d}} (x, y).}

Абсолютное значение f в приведенных выше условиях может быть заменено либо положительной, либо отрицательной частью f ; эти формы включают теорему Тонелли как частный случай, поскольку отрицательная часть неотрицательной функции равна нулю и, следовательно, имеет конечный интеграл. Неформально все эти условия говорят о том, что двойной интеграл от f определен правильно, хотя, возможно, и бесконечен.

Преимущество теоремы Фубини – Тонелли перед теоремой Фубини состоит в том, что повторяющиеся интегралы модуля | f | может быть легче изучить, чем двойной интеграл. Как и в теореме Фубини, одиночные интегралы могут не быть определены на множестве меры 0.

Для полных мер

Приведенные выше версии теорем Фубини и Тонелли неприменимы к интегрированию на произведении действительной прямой R на себя с мерой Лебега. Проблема в том, что мера Лебега на R × R не является произведением меры Лебега на R с самой собой, а скорее завершением этого: произведение двух полных пространств с мерой X и Y , вообще говоря, не является полным. По этой причине иногда используются версии теоремы Фубини для полных мер: грубо говоря, все меры просто заменяются их пополнениями. Различные версии теоремы Фубини похожи на версии, приведенные выше, со следующими небольшими отличиями:

Вместо того, чтобы брать произведение X × Y двух пространств с мерой, берется пополнение некоторого произведения.
Если f является измеримым при завершении X × Y, то его ограничения на вертикальные или горизонтальные линии могут быть неизмеримыми для подмножества линий с нулевой мерой, поэтому необходимо учитывать возможность того, что вертикальные или горизонтальные интегралы не определены на набор меры 0, потому что они включают интегрирование неизмеримых функций. Это не имеет большого значения, потому что они уже могут быть неопределенными из-за того, что функции не интегрируются.
Обычно также предполагается, что меры на X и Y полны, в противном случае два частичных интеграла по вертикальной или горизонтальной линиям могут быть четко определены, но не измеримы. Например, если f является характеристической функцией произведения измеримого множества и неизмеримого множества, содержащегося в наборе меры 0, то его единственный интеграл хорошо определен везде, но неизмеримо.

Доказательства

Доказательства теорем Фубини и Тонелли обязательно носят несколько технический характер, поскольку они должны использовать гипотезу, связанную с σ-конечностью. Большинство доказательств включает построение полных теорем путем их доказательства для все более сложных функций с помощью следующих шагов.

Используйте тот факт, что мера на произведении является мерой произведения, чтобы доказать теоремы для характеристических функций прямоугольников.
Используйте условие σ-конечности пространств (или какое-либо связанное с этим условие), чтобы доказать теорему для характеристических функций измеримых множеств. Это также относится к случаю простых измеримых функций (измеримых функций, принимающих только конечное число значений).
Используйте условие измеримости функций, чтобы доказать теоремы для положительно измеримых функций, аппроксимируя их простыми измеримыми функциями. Это доказывает теорему Тонелли.
Используйте условие интегрируемости функций, чтобы записать их как разность двух положительно интегрируемых функций, и примените теорему Тонелли к каждой из них. Это доказывает теорему Фубини.

Интегралы Римана

Для интегралов Римана теорема Фубини доказывается путем уточнения разбиений по оси x и оси y, чтобы создать совместное разбиение формы , которое является разбиением над . Это используется, чтобы показать, что двойные интегралы любого порядка равны интегралам по . ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}] \ times [y_ {j}, y_ {j + 1}]}$ ${\ Displaystyle X \ раз Y}$ ${\ Displaystyle X \ раз Y}$

Контрпримеры

Следующие примеры показывают, как теорема Фубини и теорема Тонелли могут потерпеть неудачу, если какая-либо из их гипотез опущена.

Несостоятельность теоремы Тонелли для не σ-конечных пространств

Предположим, что X - единичный интервал с измеримыми по Лебегу множествами и мерой Лебега, а Y - единичный интервал со всеми измеримыми подмножествами и считающей мерой , так что Y не является σ-конечным. Если F является характеристической функцией диагонали X × Y , то интегрирование е вдоль X дает 0 функцию на Y , но интегрирования F вдоль Y дает функцию 1 на X . Таким образом, два повторных интеграла различны. Это показывает, что теорема Тонелли может быть неверной для пространств, которые не являются σ-конечными, независимо от того, какая мера произведения выбрана. Обе меры разложимы , что показывает, что теорема Тонелли неверна для разложимых мер (которые немного более общие, чем σ-конечные меры).

Несостоятельность теоремы Фубини для немаксимальных мер произведения

Теорема Фубини верна для пространств, даже если они не предполагаются σ-конечными, при условии, что используется максимальная мера произведения. В приведенном выше примере для максимальной меры произведения диагональ имеет бесконечную меру, поэтому двойной интеграл от | f | бесконечно, и теорема Фубини выполняется бессмысленно. Однако, если мы дадим X × Y такую меру произведения, что мера множества является суммой мер Лебега его горизонтальных сечений, то двойной интеграл от | f | равен нулю, но два повторных интеграла по-прежнему имеют разные значения. Это дает пример меры продукта, где теорема Фубини не работает.

Это дает пример двух разных мер произведения на одном и том же произведении двух пространств мер. Для произведений двух пространств с σ-конечной мерой существует только одна мера произведения.

Несостоятельность теоремы Тонелли для неизмеримых функций

Предположим, что X - первый несчетный ординал с конечной мерой, где измеримые множества либо счетные (с мерой 0), либо множества счетного дополнения (с мерой 1). (Неизмеримое) подмножество E в X × X, заданное парами ( x , y ) с x < y , счетно на каждой горизонтальной прямой и имеет счетное дополнение на каждой вертикальной прямой. Если f является характеристической функцией E, то два повторных интеграла f определены и имеют разные значения 1 и 0. Функция f не измерима. Это показывает, что теорема Тонелли может быть неверной для неизмеримых функций.

Несостоятельность теоремы Фубини для неизмеримых функций

Вариант приведенного выше примера показывает, что теорема Фубини может быть неверной для неизмеримых функций, даже если | f | интегрируем, и оба повторяющихся интеграла корректно определены: если взять f равным 1 на E и –1 на дополнении к E , то | f | интегрируема на произведении с интегралом 1, и оба повторяющихся интеграла определены корректно, но имеют разные значения 1 и –1.

Предполагая гипотезу континуума, можно отождествить X с единичным интервалом I , поэтому существует ограниченная неотрицательная функция на I × I , два повторных интеграла которой (с использованием меры Лебега) определены, но не равны. Этот пример нашел Вацлав Серпинский ( 1920 ). Более сильные версии теоремы Фубините на произведении двух единичных интервалов с мерой Лебега, где функция больше не предполагается измеримыми , а лишь о том , что две итерации интегралы хорошо определена и существует, не зависят от стандартных Цермели-Френкель аксиом из теория множеств . Гипотеза континуума и аксиома Мартина подразумевают, что существует функция на единичном квадрате, повторные интегралы которой не равны, в то время как Харви Фридман ( 1980 ) показал, что это согласуется с ZFC, что сильная теорема типа Фубини для [0, 1] действительно выполняется, и всякий раз, когда существуют два повторных интеграла, они равны. См. Список утверждений, неразрешимых в ZFC .

Несостоятельность теоремы Фубини для неинтегрируемых функций

Теорема Фубини говорит нам, что (для измеримых функций на произведении σ-конечных пространств с мерой), если интеграл от модуля конечен, то порядок интегрирования не имеет значения; если мы проинтегрируем сначала по x, а затем по y , мы получим тот же результат, как если бы мы интегрировали сначала по y, а затем по x . Предположение, что интеграл от модуля конечен, является « интегрируемостью по Лебегу », и без него два повторяющихся интеграла могут иметь разные значения.

Простой пример, показывающий, что повторяющиеся интегралы могут быть разными в общем случае, - это принять два пространства мер как положительные целые числа и взять функцию f ( x , y ) равной 1, если x = y , −1, если x = y +1 и 0 в противном случае. Тогда два повторяющихся интеграла имеют разные значения 0 и 1.

Другой пример для функции

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} = - {\ frac {\ partial ^ {2 }} {\ partial x \ partial y}} \ arctan (y / x).}

В итерированными интегралы

{\ displaystyle \ int _ {x = 0} ^ {1} \ left (\ int _ {y = 0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = {\ frac {\ pi} {4} }}

а также

{\ displaystyle \ int _ {y = 0} ^ {1} \ left (\ int _ {x = 0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = - {\ frac {\ pi} {4 }}}

имеют разные значения. Соответствующий двойной интеграл не сходится абсолютно (другими словами, интеграл от модуля не конечен):

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ left | {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2 } + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ right | \, {\ text {d}} y \, {\ text {d}} x = \ infty.}

Смотрите также

Принцип Кавальери (ранний частный случай)
Формула Коареа (обобщение геометрической теории меры)
Теорема о дезинтеграции (ограниченное обращение к теореме Фубини)
Теорема Куратовского – Улама (аналог категории)
Симметрия вторых производных (аналог дифференцирования)

использованная литература

дальнейшее чтение

ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0117-5 , ISBN 0-8176-4231-5, MR 1897317
Биллингсли, Патрик (1995), «Мера произведения и теорема Фубини», « Вероятность и мера» , Нью-Йорк: Уайли, стр. 231–240, ISBN. 0-471-00710-2
Вейр, Алан Дж. (1973), «Теорема Фубини», Интегрирование и мера Лебега , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 83–92, ISBN. 0-521-08728-7

внешние ссылки

Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], "Теорема Фубини" , Энциклопедия математики , EMS Press
Тешл, Джеральд , Темы реального и функционального анализа , (конспекты лекций)

Languages

In other projects