Единичный диск - Unit disk

Открытый евклидов единичный диск

В математике , на открытом единичном круге (или диск ) вокруг P (где P представляет данную точку в плоскости ), является множество точек, расстояние от P меньше , чем 1:

${\ Displaystyle D_ {1} (P) = \ {Q: \ vert PQ \ vert <1 \}. \,}$

Замкнутый единичный круг вокруг P представляет собой множество точек, расстояние от Р меньше или равна одной:

${\ displaystyle {\ bar {D}} _ {1} (P) = \ {Q: | PQ | \ leq 1 \}. \,}$

Блочные диски - это частные случаи дисков и единичных шаров ; как таковые, они содержат внутреннюю часть единичной окружности и, в случае замкнутого единичного диска, саму единичную окружность.

Без дальнейших уточнений, термин блок диск используется для открытого единичного круга о происхождении , по отношению к стандартной евклидовой метрике . Это внутренняя часть круга радиуса 1 с центром в начале координат. Этот набор можно идентифицировать с набором всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы. Если рассматривать как подмножество комплексной плоскости ( C ), часто обозначают единичный диск . ${\ displaystyle D_ {1} (0)}$${\ Displaystyle \ mathbb {D}}$

Открытый единичный диск, плоскость и верхняя полуплоскость

Функция

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z} {1- | z | ^ {2}}}}$

является примером вещественной аналитической и биективной функции от открытого единичного круга до плоскости; его обратная функция также является аналитической. Поэтому открытый единичный круг, рассматриваемый как реальное двумерное аналитическое многообразие , изоморфен всей плоскости. В частности, открытый единичный круг гомеоморфен всей плоскости.

Однако не существует конформного биективного отображения между открытым единичным диском и плоскостью. Поэтому открытый единичный круг, рассматриваемый как риманова поверхность , отличается от комплексной плоскости .

Между открытым единичным кругом и открытой верхней полуплоскостью существуют конформные биективные отображения . Таким образом, рассматриваемый как риманова поверхность, открытый единичный круг изоморфен («биголоморфен» или «конформно эквивалентен») верхней полуплоскости, и эти два понятия часто используются как взаимозаменяемые.

В более общем плане теорема об отображении Римана утверждает, что каждое открытое односвязное подмножество комплексной плоскости, которое отличается от самой комплексной плоскости, допускает конформное и биективное отображение в открытый единичный круг.

Одно биективное конформное отображение открытого единичного круга в открытую верхнюю полуплоскость - это преобразование Мёбиуса

${\ Displaystyle г (z) = я {\ гидроразрыва {1 + z} {1-z}}}$   что является обратным преобразованию Кэли .

Геометрически можно представить, что реальная ось изгибается и сжимается, так что верхняя полуплоскость становится внутренней частью диска, а реальная ось образует окружность диска, за исключением одной точки наверху, «бесконечно удаленной точки». Биективное конформное отображение открытого единичного диска в открытую верхнюю полуплоскость также может быть построено как композиция двух стереографических проекций : сначала единичный диск стереографически проецируется вверх на единичную верхнюю полусферу, принимая «южный полюс». "единичной сферы в качестве центра проекции, а затем эта полусфера проецируется сбоку на вертикальную полуплоскость, касающуюся сферы, принимая точку на полусфере, противоположную точке касания, в качестве центра проекции.

Единичный диск и верхняя полуплоскость не взаимозаменяемы как области для пространств Харди . Этому различию способствует тот факт, что единичный круг имеет конечную (одномерную) меру Лебега, а действительная прямая - нет.

Гиперболическая плоскость

Открытый единичный круг образует множество точек для модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости. Дуги окружности, перпендикулярные единичному кругу, образуют «линии» в этой модели. Единичный круг - это абсолют Кэли, который определяет метрику на диске с помощью перекрестного отношения в стиле метрики Кэли – Клейна . На языке дифференциальной геометрии дуги окружности, перпендикулярные единичной окружности, являются геодезическими , показывающими кратчайшее расстояние между точками модели. Модель включает движения, которые выражаются специальной унитарной группой SU (1,1) . Модель диска может быть преобразована в модель полуплоскости Пуанкаре с помощью отображения g, приведенного выше.

И диск Пуанкаре, и полуплоскость Пуанкаре являются конформными моделями гиперболической плоскости, то есть углы между пересекающимися кривыми сохраняются благодаря движениям их групп изометрий.

Другая модель гиперболического пространства также построена на открытом единичном диске: модель Бельтрами-Клейна . Он не конформен , но обладает тем свойством, что геодезические являются прямыми линиями.

Единичные диски по отношению к другим показателям

Сверху вниз: открытого единичного круга в евклидовой метрике , таксомотора метрики и Чебышева метрики .

Также рассматриваются единичные диски по отношению к другим показателям . Например, с таксомотора метрики и метрики Чебышева диски выглядят как квадраты (даже несмотря на то, лежащие в основе топологии такие же , как евклидовой).

Площадь евклидова единичного диска равна π, а его периметр равен 2π. Напротив, периметр (относительно метрики такси) единичного диска в геометрии такси равен 8. В 1932 году Станислав Голомб доказал, что в метриках, возникающих из нормы , периметр единичного диска может принимать любое значение от 6 и 8, и что эти экстремальные значения получаются тогда и только тогда, когда единичный круг представляет собой правильный шестиугольник или параллелограмм соответственно.

Смотрите также

• Граф юнит-диска
• Единичная сфера
• Гипотеза Бибербаха

Ссылки

• С. Голаб, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Шахты Кракови 6 (1932), 179.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Единичный диск» . MathWorld .
• По периметру и площади единичного диска , Дж. К. Альварес Павия и А. К. Томпсон