Интеграция Лебега - Lebesgue integration

Интеграл от положительной функции можно интерпретировать как площадь под кривой.

В математике , то интеграл от неотрицательной функции одного переменного можно рассматривать, в простейшем случае, как области между графиком этой функции и $х$ Оу. Интеграл Лебега , названный в честь французского математика Анри Лебега , расширяет интеграл для более широкого класса функций. Он также расширяет области, в которых могут быть определены эти функции.

Задолго до 20 века математики уже понимали, что для неотрицательных функций с достаточно гладким графиком - таких как непрерывные функции на замкнутых ограниченных интервалах - площадь под кривой может быть определена как интеграл и вычислена с использованием методов аппроксимации на области на полигонах . Однако по мере того, как возникла потребность в рассмотрении более нерегулярных функций - например, в результате ограничивающих процессов математического анализа и математической теории вероятностей - стало ясно, что для определения подходящего интеграла необходимы более тщательные методы аппроксимации. Кроме того, можно захотеть интегрировать в более общие пространства, чем реальная линия. Интеграл Лебега обеспечивает для этого необходимые абстракции.

Интеграл Лебега играет важную роль в теории вероятностей , реальном анализе и многих других областях математики. Он назван в честь Анри Лебега (1875–1941), который ввел интеграл ( Lebesgue 1904 ). Это также центральная часть аксиоматической теории вероятности .

Термин интегрирование по Лебегу может означать либо общую теорию интегрирования функции относительно общей меры , введенную Лебегом, либо частный случай интегрирования функции, определенной на подобласти вещественной прямой относительно Мера Лебега .

Вступление

Интеграл от положительной функции $f$ между пределами $a$ и $b$ можно интерпретировать как площадь под графиком $f$ . Это просто для таких функций, как многочлены , но что это означает для более экзотических функций? В общем, для какого класса функций имеет смысл «площадь под кривой»? Ответ на этот вопрос имеет большое теоретическое и практическое значение.

В рамках общего движения к строгости в математике в девятнадцатом веке математики пытались поставить интегральное исчисление на прочный фундамент. Интеграл Римана -proposed по Бернхарда Римана (1826-1866) -является широко успешную попытку обеспечить такую основу. Определение Римана начинается с построения последовательности легко вычисляемых областей, которые сходятся к интегралу заданной функции. Это определение является успешным в том смысле, что оно дает ожидаемый ответ на многие уже решенные проблемы и дает полезные результаты для многих других проблем.

Однако интеграция Римана плохо взаимодействует с ограничением последовательностей функций, что затрудняет анализ таких ограничивающих процессов. Это важно, например, при изучении рядов Фурье , преобразование Фурье , и другие темы. Интеграл Лебега лучше описать , как и когда можно взять пределы под знаком интеграла (по теореме монотонной сходимости и теореме доминированной сходимости ).

В то время как интеграл Римана рассматривает площадь под кривой как составленную из вертикальных прямоугольников, определение Лебега рассматривает горизонтальные плиты, которые не обязательно являются просто прямоугольниками, поэтому оно более гибкое. По этой причине определение Лебега позволяет вычислять интегралы для более широкого класса функций. Например, функция Дирихле , которая равна 0, если ее аргумент иррациональна, и 1 в противном случае, имеет интеграл Лебега, но не имеет интеграла Римана. Кроме того, интеграл Лебега этой функции равен нулю, что согласуется с интуицией, что при выборе действительного числа равномерно случайным образом из единичного интервала вероятность выбора рационального числа должна быть равна нулю.

Лебег резюмировал свой подход к интеграции в письме к Полу Монтелю :

Мне нужно заплатить определенную сумму, которую я собрал в кармане. Я вынимаю из кармана банкноты и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в котором я их нахожу, пока не наберу общую сумму. Это интеграл Римана. Но я могу поступить иначе. После того, как я вынул все деньги из своего кармана, я заказываю банкноты и монеты по идентичной стоимости, а затем я плачу несколько куч один за другим кредитору. Это мой интеграл.

- Источник : ( Siegmund-Schultze 2008 ).

Понимание состоит в том, что нужно иметь возможность свободно переставлять значения функции, сохраняя при этом значение интеграла. Этот процесс перестройки может преобразовать очень патологическую функцию в ту, которая «приятна» с точки зрения интеграции, и, таким образом, позволить таким патологическим функциям интегрироваться.

Интуитивная интерпретация

Интеграция Римана-Дарбу (синий цвет) и интеграция Лебега (красный цвет).

Чтобы получить некоторое представление о различных подходах к интеграции, представим, что мы хотим найти объем горы (над уровнем моря).

Подход Римана – Дарбу: Разделите основание горы на сетку из квадратов по 1 метр. Измерьте высоту горы в центре каждого квадрата. Объем на одном квадрате сетки составляет приблизительно 1 м ² × (высота этого квадрата), поэтому общий объем составляет 1 м ^2, умноженную на сумму высот.

Подход Лебега: Нарисуйте контурную карту горы, на которой соседние контуры находятся на расстоянии 1 метра высоты друг от друга. Объем, содержащийся в контуре, составляет приблизительно 1 м × (площадь этого контура), поэтому общий объем равен сумме этих площадей, умноженных на 1 м.

Фолланд резюмирует разницу между подходами Римана и Лебега следующим образом: «чтобы вычислить интеграл Римана от $f$ , нужно разбить область $[a, b]$ на подинтервалы», а в интеграле Лебега «фактически разбить диапазон $f$ . "

Показана измеримая функция вместе с множеством (по оси x ). Интеграл Лебега получается путем сечения по оси y с использованием одномерной меры Лебега для измерения «ширины» срезов.

{\ Displaystyle \ {х: е (х)> т \}}

Для определения интеграла Лебега требуется формальное понятие меры , что, грубо говоря, сопоставляет каждое множество $А$ вещественных числа неотрицательного числа $М ( )$ , представляющих «размер» $A$ . Это понятие «размера» должно соответствовать обычной длине интервала или непересекающемуся объединению интервалов. Предположим, что $f : R \to R +$ - неотрицательная вещественнозначная функция. Площадь небольшой горизонтальной плиты под графиком f высотой dt равна ширине полосы, умноженной на dt . Эту элементарную область можно записать как

{\ Displaystyle \ му \ влево (\ {х \ середина е (х)> т \} \ вправо) \, dt,}

а интеграл Лебега может быть определен путем сложения этих элементарных площадей.

Лебег (1904) строит свой интеграл, ограничивая приближения верхней и нижней суммы к этой сумме элементарных площадей, аналогично подходу Римана – Дарбу. Это эквивалентно современным методам лечения с помощью простых функций . В качестве альтернативы интеграл Лебега можно определить, взяв несобственный интеграл Римана от элементарных площадей.

Теория меры

Изначально теория меры была создана, чтобы предоставить полезную абстракцию понятия длины подмножеств реальной прямой - и, в более общем плане, площади и объема подмножеств евклидовых пространств. В частности, был дан систематический ответ на вопрос, какие подмножества $R$ имеют длину. Как показали более поздние разработки теории множеств (см. Неизмеримое множество ), на самом деле невозможно присвоить длину всем подмножествам $R$ таким образом, чтобы сохранить некоторые естественные свойства аддитивности и трансляционной инвариантности. Это говорит о том, что выбор подходящего класса измеримых подмножеств является важным предварительным условием.

В интеграле Римана явно используется понятие длины. Действительно, элементом вычисления интеграла Римана является прямоугольник $[a, b] \times [c, d]$ , площадь которого вычисляется как $(b - a) (d - c)$ . Величина $b - a$ - длина основания прямоугольника, а $d - c$ - высота прямоугольника. Риман мог использовать только плоские прямоугольники для аппроксимации площади под кривой, потому что не было адекватной теории для измерения более общих множеств.

В развитии теории в большинстве современных учебников (после 1950 г.) подход к измерению и интегрированию является аксиоматическим . Это означает, что мера - это любая функция μ, определенная на определенном классе $X$ подмножеств множества $E$ , которая удовлетворяет определенному списку свойств. Можно показать, что эти свойства выполняются во многих различных случаях.

Измеримые функции

Начнем с мерой пространства $(Е, X, μ)$ , где $Е$ представляет собой множество , $Х$ представляет собой σ-алгебра подмножеств $Е$ , а μ является (не отрицательно ) мерой на $Е$ , определенные на множествах $X$ .

Например, $E$ может быть евклидовым $n$ -пространством $R n$ или некоторым его измеримым по Лебегу подмножеством, $X$ - это σ-алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств $E$ , а μ - мера Лебега. В математической теории вероятностей мы ограничиваем наше исследование вероятностной мерой $μ$ , для которой $μ (E) = 1$ .

Теория Лебега определяет интегралы для класса функций, называемых измеримыми функциями . Действительная функция $f$ на $E$ измерима, если прообраз каждого интервала вида $(t, \infty)$ находится в $X$ :

{\ displaystyle \ {x \, \ mid \, f (x)> t \} \ in X \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}

Можно показать , что это равносильно тому, что прообраз любого борелевского подмножества R быть в $X$ . Множество измеримых функций замкнуто относительно алгебраических операций, но, что более важно, оно замкнуто относительно различных видов точечных последовательных ограничений :

{\ displaystyle \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}, \ quad \ liminf _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}, \ quad \ limsup _ {k \ in \ mathbb {N}} е_ {к}}

измеримы, если исходная последовательность $(f k) k$ , где $k \in N$ , состоит из измеримых функций.

Есть несколько подходов к определению интеграла:

{\ displaystyle \ int _ {E} е \, d \ mu = \ int _ {E} f \ left (x \ right) \, d \ mu \ left (x \ right)}

для измеримых вещественных функций $F$ , определенный на $Е$ .

Определение

Теория интеграла Лебега требует теории измеримых множеств и мер на этих множествах, а также теории измеримых функций и интегралов от этих функций.

С помощью простых функций

Аппроксимация функции простыми функциями.

Один из подходов к построению интеграла Лебега состоит в использовании так называемых простых функций : конечных вещественно-линейных комбинаций индикаторных функций . Для новичка в теории меры такое построение интеграла Лебега имеет более интуитивный смысл по сравнению с тем, как сумма Римана используется с определением / построением интеграла Римана . Простые функции могут использоваться для аппроксимации измеримой функции путем разделения диапазона на слои. Интеграл простой функции равен размеру данного слоя, умноженному на высоту этого слоя. Интеграл неотрицательной общей измеримой функции затем определяется как подходящая верхняя грань приближений простыми функциями, а интеграл (не обязательно положительной) измеримой функции - это разность двух интегралов неотрицательных измеримых функций.

Функции индикатора

Чтобы присвоить значение интегралу индикаторной функции $1 S$ измеримого множества $S,$ согласующегося с данной мерой μ, единственный разумный выбор состоит в том, чтобы установить:

{\ Displaystyle \ int 1_ {S} \, d \ mu = \ mu (S).}

Обратите внимание, что результат может быть равен $+ \infty$ , если $μ не$ является конечной мерой.

Простые функции

Конечная линейная комбинация индикаторных функций

{\ displaystyle \ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}}

где коэффициенты $a k$ - действительные числа, а $S k$ - непересекающиеся измеримые множества, называется измеримой простой функцией . Продолжим интеграл по линейности на неотрицательные измеримые простые функции. Когда коэффициенты $a k$ положительны, полагаем

{\ displaystyle \ int \ left (\ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}} \ right) \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \ int 1_ {S_ { k}} \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \, \ mu (S_ {k})}

конечна ли эта сумма или + ∞. Простую функцию можно по-разному записать как линейную комбинацию индикаторных функций, но интеграл будет таким же по аддитивности мер.

При определении интеграла от простой функции с действительным знаком требуется некоторая осторожность , чтобы избежать неопределенного выражения $\infty - \infty$ : предполагается, что представление

{\ displaystyle f = \ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}}

такова, что $μ (S k) <\infty,$ если $a k \neq 0$ . Тогда приведенная выше формула для интеграла от f имеет смысл, и результат не зависит от конкретного представления $f,$ удовлетворяющего предположениям.

Если $B$ - измеримое подмножество $E$ и $s$ - измеримая простая функция, определяется

{\ Displaystyle \ int _ {B} s \, d \ mu = \ int 1_ {B} \, s \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \, \ mu (S_ {k} \ cap B).}

Неотрицательные функции

Пусть $f$ - неотрицательная измеримая функция на $E$ , которой мы позволяем достичь значения $+ \infty$ , другими словами, $f$ принимает неотрицательные значения в расширенной действительной числовой строке . Мы определяем

{\ Displaystyle \ int _ {E} е \, d \ mu = \ sup \ left \ {\, \ int _ {E} s \, d \ mu: 0 \ leq s \ leq f, \ s \ {\ текст {простой}} \, \ right \}.}

Нам нужно показать, что этот интеграл совпадает с предыдущим, определенным на множестве простых функций, когда E - отрезок [ a , b ]. Также возникает вопрос, соответствует ли это каким-либо образом римановскому понятию интегрирования. Можно доказать, что ответ на оба вопроса положительный.

Мы определили интеграл F для любого неотрицательных расширенных вещественной измеримой функции на Е . Для некоторых функций этот интеграл $\int E f dμ$ бесконечен.

Часто бывает полезно иметь конкретную последовательность простых функций, которая хорошо аппроксимирует интеграл Лебега (аналогично сумме Римана). Для неотрицательной измеримой функции $F$ , пусть будут простая функция, значение которого всякий раз , когда , по к неотрицательному целому числу меньше (например) . Тогда можно прямо доказать, что ${\ Displaystyle s_ {п} (х)}$ ${\ Displaystyle к / 2 ^ {п}}$ ${\ Displaystyle к / 2 ^ {п} \ Leq е (х) <(к + 1) / 2 ^ {п}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {n}}$

{\ displaystyle \ int е \, d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int s_ {n} \, d \ mu}

и что предел в правой части существует как расширенное действительное число. Это устраняет связь между подходом к интегралу Лебега с использованием простых функций и мотивацией для интеграла Лебега с использованием разбиения диапазона.

Подписанные функции

Чтобы обрабатывать подписанные функции, нам нужно еще несколько определений. Если $f$ - измеримая функция множества $E$ в действительных числах (включая $\pm \infty$ ), то мы можем написать

{\ displaystyle f = f ^ {+} - f ^ {-},}

куда

{\ displaystyle f ^ {+} (x) = {\ begin {case} f (x) & {\ text {if}} f (x)> 0 \\ 0 & {\ text {else}} \ end {case }}}

{\ displaystyle f ^ {-} (x) = {\ begin {cases} -f (x) & {\ text {if}} f (x) <0 \\ 0 & {\ text {else}} \ end { случаи}}}

Обратите внимание, что и $f +,$ и $f -$ неотрицательные измеримые функции. Также обратите внимание, что

{\ Displaystyle | е | = е ^ {+} + е ^ {-}. \ quad}

Мы говорим, что интеграл Лебега измеримой функции $f$ существует или определен, если хотя бы один из и конечен: ${\ textstyle \ int е ^ {+} \, д \ му}$ ${\ textstyle \ int е ^ {-} \, д \ му}$

{\ displaystyle \ min \ left (\ int f ^ {+} \, d \ mu, \ int f ^ {-} \, d \ mu \ right) <\ infty.}

В этом случае мы определяем

{\ displaystyle \ int f \, d \ mu = \ int f ^ {+} \, d \ mu - \ int f ^ {-} \, d \ mu.}

Если

{\ Displaystyle \ int | е | \, д \ му <\ infty,}

мы говорим , что $е$ является интегрируемой по Лебегу .

Оказывается, это определение дает желаемые свойства интеграла.

Через несобственный интеграл Римана

Предполагая, что это измеримо и неотрицательно, функция ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f ^ {*} (t) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ mu \ left (\ {x \ in E \ mid f (x)> t \} \ right ).}

монотонно не возрастает. Интеграл Лебега затем может быть определен как ненадлежащей интеграл Римана от : ${\ displaystyle f ^ {*}}$

{\ displaystyle \ int _ {E} е \, d \ mu \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ int _ {0} ^ {\ infty} f ^ {*} (т) \, dt.}

Этот интеграл несобственный в нуле и (возможно) также в нуле. Он существует с учетом того, что может быть бесконечным. ${\ displaystyle \ infty}$

Как и выше, интеграл от интегрируемой по Лебегу (не обязательно неотрицательной) функции определяется вычитанием интеграла от ее положительной и отрицательной частей.

Комплексные функции

Комплекснозначные функции можно интегрировать аналогичным образом, если рассматривать действительную и мнимую части отдельно.

Если h = f + ig для действительных интегрируемых функций f , g , то интеграл от h определяется как

{\ displaystyle \ int h \, d \ mu = \ int f \, d \ mu + i \ int g \, d \ mu.}

Функция интегрируема по Лебегу , если и только если его абсолютная величина интегрируема по Лебегу (см абсолютно интегрируемая функция ).

Пример

Рассмотрим индикаторную функцию рациональных чисел $1 Q$ , также известную как функция Дирихле. Эта функция нигде не является непрерывной .

${\ displaystyle 1 _ {\ mathbf {Q}}}$ не интегрируем по Риману на $[0, 1]$ : независимо от того, как множество $[0, 1]$ разбивается на подинтервалы, каждое разбиение содержит по крайней мере одно рациональное и по крайней мере одно иррациональное число, потому что рациональные и иррациональные числа плотны в реалы. Таким образом, все верхние суммы Дарбу равны единице, а нижние суммы Дарбу равны нулю.
${\ displaystyle 1 _ {\ mathbf {Q}}}$ интегрируем по Лебегу на $[0, 1]$ с использованием меры Лебега : действительно, это индикаторная функция рациональных чисел, поэтому по определению ${\ displaystyle \ int _ {[0,1]} 1 _ {\ mathbf {Q}} \, d \ mu = \ mu (\ mathbf {Q} \ cap [0,1]) = 0,}$ потому , что $Q$ является счетным .

Область интеграции

Техническая проблема интеграции Лебега заключается в том, что область интеграции определяется как набор (подмножество пространства мер) без понятия ориентации. В элементарном исчислении интеграция определяется по ориентации :

{\ displaystyle \ int _ {b} ^ {a} f: = - \ int _ {a} ^ {b} f.}

Обобщение этого на более высокие измерения дает интеграцию дифференциальных форм . Напротив, интегрирование Лебега обеспечивает альтернативное обобщение, интегрируя по подмножествам относительно меры; это можно обозначить как

{\ Displaystyle \ int _ {A} е \, d \ mu = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}

указать интегрирование по подмножеству $A$ . Подробнее о связи между этими обобщениями см. Дифференциальная форма § Связь с мерами .

Ограничения интеграла Римана

С появлением рядов Фурье возникло множество аналитических задач, связанных с интегралами, для удовлетворительного решения которых потребовалось поменять местами предельные процессы и знаки интеграла. Однако условия, при которых интегралы

{\ displaystyle \ sum _ {k} \ int f_ {k} (x) dx, \ quad \ int \ left [\ sum _ {k} f_ {k} (x) \ right] dx}

равны, что оказалось довольно неуловимым в рамках Римана. Есть и другие технические трудности с интегралом Римана. Это связано с упомянутой выше трудностью установления лимита.

Нарушение монотонной сходимости . Как показано выше, индикаторная функция $1 Q$ на рациональных числах не интегрируема по Риману. В частности, теорема о монотонной сходимости неверна. Чтобы понять, почему, пусть ${a k}$ будет перечислением всех рациональных чисел в $[0, 1]$ (они счетны, так что это можно сделать). Затем пусть

{\ displaystyle g_ {k} (x) = {\ begin {case} 1 & {\ text {if}} x = a_ {j}, j \ leq k \\ 0 & {\ text {else}} \ end {case }}}

Функция $g k$ равна нулю всюду, кроме конечного множества точек. Следовательно, его интеграл Римана равен нулю. Каждый $g k$ неотрицателен, и эта последовательность функций монотонно возрастает, но ее предел при $k \to \infty$ равен $1 Q$ , что не интегрируемо по Риману.

Непригодность для неограниченных интервалов . Интеграл Римана может интегрировать функции только на ограниченном интервале. Однако его можно расширить до неограниченных интервалов, взяв пределы, если это не дает ответа, такого как $\infty - \infty$ .

Интегрирование по структурам, отличным от евклидова пространства . Интеграл Римана неразрывно связан со структурой порядка вещественной прямой.

Основные теоремы интеграла Лебега

Две функции называются равными почти всюду ( для краткости), если является подмножеством нулевого множества . ${\ displaystyle f \ {\ stackrel {\ text {ae}} {=}} \ g}$ ${\ Displaystyle \ {х \ середина е (х) \ neq g (x) \}}$

Измеримость множества является не требуется. ${\ Displaystyle \ {х \ середина е (х) \ neq g (x) \}}$

Если $f, g$ - неотрицательные измеримые функции (возможно, принимающие значение $+ \infty$ ) такие, что $f = g$ почти всюду, то ${\ displaystyle \ int е \, d \ mu = \ int g \, d \ mu.}$ То есть интеграл учитывает отношение эквивалентности равенства почти всюду.
Если $f, g$ - функции такие, что $f = g$ почти всюду, то $f$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда $g$ интегрируема по Лебегу, а интегралы от $f$ и $g$ совпадают, если они существуют.
Линейность : если $f$ и $g$ - интегрируемые по Лебегу функции, а $a$ и $b$ - действительные числа, то $af + bg$ интегрируем по Лебегу и ${\ displaystyle \ int (af + bg) \, d \ mu = a \ int f \, d \ mu + b \ int g \, d \ mu.}$
Монотонность : если $f \leq g$ , то ${\ displaystyle \ int е \, d \ mu \ leq \ int g \, d \ mu.}$
Позвольте быть мерой пространства. Обозначим в алгебру борелевских множеств на . (По определению содержит множество и все борелевские подмножества .) Рассмотрим -измеримую неотрицательную функцию . Для набора определите ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$ ${\ Displaystyle \ {+ \ infty \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$ ${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$ ${\ displaystyle s: \ Omega \ to [0, + \ infty]}$ ${\ Displaystyle S \ in \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ Nu (S) = \ int _ {S} s \, d \ mu.}$ Тогда - мера Лебега на . ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle (\ Omega, \ Sigma)}$
Теорема о монотонной сходимости : предположим, что ${f k} k \in N$ - последовательность неотрицательных измеримых функций такая, что ${\ displaystyle f_ {k} (x) \ leq f_ {k + 1} (x) \ quad \ forall k \ in \ mathbb {N}, \, \ forall x \ in E.}$ Тогда поточечный предел $f$ функции $f k$ измерим по Лебегу и ${\ displaystyle \ lim _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.}$ Значение любого из интегралов может быть бесконечным.
Лемма Фату : если ${f k} k \in N$ - последовательность неотрицательных измеримых функций, то ${\ displaystyle \ int \ liminf _ {k} f_ {k} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu.}$ Опять же, значение любого из интегралов может быть бесконечным.
Теорема о доминирующей сходимости : предположим, что ${f k} k \in N$ - последовательность комплексных измеримых функций с поточечным пределом $f$ , и существует интегрируемая по Лебегу функция $g$ (т. Е. $G$ принадлежит $пространству L 1)$ такая, что $| f k | \leq g$ для всех $k$ .
Тогда $f$ интегрируема по Лебегу и ${\ displaystyle \ lim _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.}$

Альтернативные составы

Можно построить интеграл по мере Лебега, не полагаясь на весь аппарат теории меры. Один из таких подходов обеспечивается интегралом Даниэля .

Существует также альтернативный подход к развитию теории интеграции с помощью методов функционального анализа . Интеграл Римана существует для любой непрерывной функции $f$ с компактным носителем, определенной на $R n$ (или фиксированном открытом подмножестве). На основе этих интегралов можно строить интегралы от более общих функций.

Пусть $C c$ - пространство всех вещественнозначных непрерывных функций из R с компактным носителем . Определим норму на $C c следующим$ образом:

{\ Displaystyle \ влево \ | е \ вправо \ | = \ int | е (х) | \, дх.}

Тогда $C c$ - нормированное векторное пространство (и, в частности, это метрическое пространство.) Все метрические пространства имеют хаусдорфовы пополнения , поэтому пусть $L 1$ будет его пополнением. Это пространство изоморфно пространству интегрируемых по Лебегу функций по модулю подпространства функций с целым нулем. Кроме того, интеграл Римана $\int$ является равномерно непрерывным функционалом относительно нормы на $C c$ , плотной в $L 1$ . Следовательно, $\int$ имеет единственное продолжение на все $L 1$ . Этот интеграл и есть интеграл Лебега.

В более общем смысле, когда пространство меры, на котором определены функции, также является локально компактным топологическим пространством (как в случае с действительными числами R ), меры, совместимые с топологией в подходящем смысле ( меры Радона , из которых мера Лебега является примером) интеграл по ним может быть определен таким же образом, начиная с интегралов непрерывных функций с компактным носителем . Точнее, функции с компактным носителем образуют векторное пространство с естественной топологией , а мера (радонова) определяется как непрерывный линейный функционал на этом пространстве. Тогда значение меры для функции с компактным носителем также по определению является интегралом функции. Затем переходят к расширению меры (интеграла) до более общих функций по непрерывности и определяют меру набора как интеграл его индикаторной функции. Это подход, принятый Бурбаки (2004) и некоторыми другими авторами. Подробнее см. Радоновые меры .

Ограничения интеграла Лебега

Основная цель интеграла Лебега - предоставить интегральное понятие, в котором пределы интегралов сохраняются при мягких предположениях. Нет гарантии, что каждая функция интегрируема по Лебегу. Но может случиться так, что несобственные интегралы существуют для функций, не интегрируемых по Лебегу. Одним из примеров может быть функция sinc :

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}}}

по всей реальной линии. Эта функция не интегрируема по Лебегу, так как

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ right | dx = \ infty.}

С другой стороны, существует как несобственный интеграл и может быть вычислен как конечный; это удвоенный интеграл Дирихле .

{\ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} dx}

Смотрите также

Анри Лебегу , за нетехническое описание интеграции Лебега
Нулевой набор
Интеграция
Мера
Сигма-алгебра
Пространство Лебега
Интеграция Лебега-Стилтьеса
Интеграл Римана
Интеграл Хенстока – Курцвейла

Примечания

использованная литература

Бартл, Роберт Г. (1995). Элементы интегрирования и меры Лебега . Библиотека Wiley Classics. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. xii + 179. ISBN 0-471-04222-6. Руководство по ремонту 1312157 .
Бауэр, Хайнц (2001). Теория меры и интеграции . Исследования Де Грюйтера по математике 26. Берлин: Де Грюйтер. 236. ISBN. 978-3-11-016719-1.
Бурбаки, Николас (2004). Интеграция. I. Главы 1–6. Перевод Стерлинга К. Бербериана с французских оригиналов 1959, 1965 и 1967 годов . Элементы математики (Берлин). Берлин: Springer-Verlag. xvi + 472. ISBN 3-540-41129-1. MR 2018901 .
Дадли, Ричард М. (1989). Реальный анализ и вероятность . Серия Математики Уодсворта и Брукса / Коула. Пасифик Гроув, Калифорния: Уодсворт и Брукс / Продвинутые книги и программное обеспечение Коула. xii + 436. ISBN 0-534-10050-3. Руководство по ремонту 0982264 . Очень тщательный подход, особенно для вероятностников с хорошими заметками и историческими ссылками.
Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения . Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк) (второе изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. xvi + 386. ISBN 0-471-31716-0. Руководство по ремонту 1681462 .
Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: D. Van Nostrand Company, Inc., стр. Xi + 304. Руководство по ремонту 0033869 . Классическая, но несколько устаревшая презентация.
«Интеграл Лебега» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Лебег, Анри (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives". Париж: Готье-Виллар. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
Лебег, Анри (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq Volume) (на французском языке). Женева: Институт математики Женевского университета. п. 405. MR 0389523 .
Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике . 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0821827833.
Лумис, Линн Х. (1953). Введение в абстрактный гармонический анализ . Торонто-Нью-Йорк-Лондон: D. Van Nostrand Company, Inc., стр. X + 190. Руководство по ремонту 0054173 . Включает представление интеграла Даниэля.
Марсден (1974), Элементарный классический анализ , WH Freeman.
Манро, Мэн (1953). Введение в измерение и интеграцию . Кембридж, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company Inc., стр. X + 310. Руководство по ремонту 0053186 . Хорошая трактовка теории внешних мер.
Ройден, HL (1988). Реальный анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: издательство Macmillan Publishing Company. С. xx + 444. ISBN 0-02-404151-3. Руководство по ремонту 1013117 .
Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (третье изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., стр. X + 342. Руководство по ремонту 0385023 . Известный как Маленький Рудин , содержит основы теории Лебега, но не рассматривает такой материал, как теорема Фубини .
Рудин, Вальтер (1966). Реальный и комплексный анализ . Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., стр. Xi + 412. Руководство по ремонту 0210528 .Известен как Большой Рудин . Полное и тщательное изложение теории. Хорошее изложение теорем Рисса о продолжении. Однако есть небольшой недостаток (в первом издании) в доказательстве одной из теорем о расширении, открытие которой составляет упражнение 21 главы 2.
Сакс, Станислав (1937). Теория интеграла . Monografie Matematyczne . 7 (2-е изд.). Warszawa - львовский : GE Stechert & Co. JFM 63.0183.05 . Zbl 0017.30004 .. Английский перевод Лоуренса Чисхолма Янга с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха .
Шилов Г.Е .; Гуревич Б.Л. (1977). Интеграл, мера и производная: единый подход. Перевод с русского под редакцией Ричарда А. Сильвермана . Дуврские книги по высшей математике. Нью-Йорк: Dover Publications Inc., xiv + 233. ISBN 0-486-63519-8. Руководство по ремонту 0466463 .Подчеркивает интеграл Даниэля .
Зигмунд-Шульце, Рейнхард (2008), «Анри Лебег», в Тимоти Гауэрсе; Джун Барроу-Грин; Имре Лидер (ред.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press.
Тешл, Джеральд . Темы реального и функционального анализа . (конспект лекций).
Да, Джеймс (2006). Реальный анализ: теория меры и интеграл 2-й. Издание в мягкой обложке . Сингапур: World Scientific Publishing Company Pte. ООО п. 760. ISBN 978-981-256-6.

Languages

In other projects