Обратные функции и дифференцирование - Inverse functions and differentiation

Правило: Пример для произвольного :

{\ displaystyle {\ color {CornflowerBlue} {f '}} (x) = {\ frac {1} {{\ color {Salmon} {(f ^ {- 1})'}} ({\ color {Синий} {f}} (x))}}}

{\ displaystyle x_ {0} \ приблизительно 5,8}

{\ displaystyle {\ color {CornflowerBlue} {f '}} (x_ {0}) = {\ frac {1} {4}}}

{\ displaystyle {\ color {Salmon} {(f ^ {- 1}) '}} ({\ color {Blue} {f}} (x_ {0})) = 4 ~}

В математике , то обратная из функции является функцией , которая, в некотором роде, «Отменяет» эффект (см обратной функции для формального и детального определения). Инверсия обозначается как , где тогда и только тогда, когда . ${\ Displaystyle у = е (х)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = x}$ ${\ Displaystyle е (х) = у}$

Две их производные, если предположить, что они существуют, взаимны , как предполагает обозначение Лейбница ; то есть:

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} \, \ cdot \, {\ frac {dy} {dx}} = 1.}

Это соотношение получается путем дифференцирования уравнения по $x$ и применения цепного правила , в результате чего получается : ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = x}$

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} \, \ cdot \, {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dx} {dx}}}

учитывая, что производная $x$ по $x$ равна 1.

Записав явно зависимость $y$ от $x$ и точку, в которой происходит дифференцирование, формула для производной обратной принимает вид (в обозначениях Лагранжа):

{\ displaystyle \ left [f ^ {- 1} \ right] '(a) = {\ frac {1} {f' \ left (f ^ {- 1} (a) \ right)}}}

.

Эта формула, вообще говоря, верна всякий раз, когда она непрерывна и инъективна на интервале $I$ , будучи дифференцируемой в точках ( ) и где . Эта же формула эквивалентна выражению ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (а)}$ ${\ displaystyle \ in I}$ ${\ displaystyle f '(f ^ {- 1} (а)) \ neq 0}$

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ left [f ^ {- 1} \ right] = {\ frac {1} {({\ mathcal {D}} f) \ circ \ left (f ^ {- 1 }\Правильно)}},}

где обозначает оператор унарной производной (в пространстве функций) и обозначает композицию функций . ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ displaystyle \ circ}$

Геометрически функция и обратная функция имеют графики, которые являются отражениями на линии . Эта операция отражения превращает градиент любой линии в ее обратную . ${\ displaystyle y = x}$

Предполагая , что имеет обратный в окрестности части и что его производная в этой точке не равна нулю, его обратный гарантированно будет дифференцируема в и имеют производное дано приведенной выше формулой. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Примеры

${\ Displaystyle у = х ^ {2}}$ (для положительного $x$ ) имеет обратный . ${\ displaystyle x = {\ sqrt {y}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = 2x {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}}; {\ mbox {}} {\ mbox { }} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}} = {\ frac {1} { 2x}}}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \, \ cdot \, {\ frac {dx} {dy}} = 2x \ cdot {\ frac {1} {2x}} = 1.}

При , однако, возникает проблема: график функции квадратного корня становится вертикальным, что соответствует горизонтальной касательной для функции квадрата. ${\ displaystyle x = 0}$

${\ Displaystyle у = е ^ {х}}$ (для действительного $x$ ) имеет обратный (для положительного ) ${\ displaystyle x = \ ln {y}}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}}; {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {y}}}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \, \ cdot \, {\ frac {dx} {dy}} = e ^ {x} \ cdot {\ frac {1} {y}} = {\ гидроразрыв {e ^ {x}} {e ^ {x}}} = 1}

Дополнительные свойства

Интеграция этих отношений дает

{\ displaystyle {f ^ {- 1}} (x) = \ int {\ frac {1} {f '({f ^ {- 1}} (x))}} \, {dx} + C.}

Это полезно, только если существует интеграл. В частности, нам нужно быть ненулевым во всем диапазоне интеграции.

{\ displaystyle f '(x)}

Отсюда следует, что функция, имеющая непрерывную производную, имеет обратную в окрестности каждой точки, где производная отлична от нуля. Этого не должно быть, если производная не является непрерывной.

Еще одно очень интересное и полезное свойство:

{\ displaystyle \ int f ^ {- 1} (x) \, {dx} = xf ^ {- 1} (x) -F (f ^ {- 1} (x)) + C}

Где обозначает первообразную .

{\ displaystyle F}

{\ displaystyle f}

Высшие производные

Приведенное выше цепное правило получается дифференцированием тождества по $x$ . Можно продолжить тот же процесс для более высоких производных. Дифференцируя тождество дважды по $x$ , получаем ${\ Displaystyle е ^ {- 1} (е (х)) = х}$