Единичный круг - Unit circle

Иллюстрация единичного круга. Переменная t - это угловая мера.

Анимация разворачивания окружности единичной окружности, окружности радиуса 1. Так как

C = 2π r

, длина окружности единичной окружности равна

2π

.

В математике , А единичный круг представляет собой окружность единичного радиуса , то есть, радиус 1. Часто, особенно в тригонометрии , единичный круг представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0) в системе координат декартовой в евклидовой плоскости . В топологии его часто обозначают как $S 1,$ потому что это одномерная единица $n$ -сферы .

Если $(x, y)$ - точка на окружности единичной окружности, то $| х |$ и $| y |$ являются длины ног прямоугольного треугольника которого имеет длину гипотенузы 1. Таким образом, по теореме Пифагора , $х$ и $у$ удовлетворяют уравнению

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Поскольку $x 2 = (- x) 2$ для всех $x$ , и поскольку отражение любой точки на единичной окружности относительно оси $x$ или $y$ также находится на единичной окружности, приведенное выше уравнение выполняется для всех точек $(x, y)$ на единичной окружности, а не только в первом квадранте.

Внутренняя часть единичной окружности называется открытым единичным диском , а внутренняя часть единичной окружности в сочетании с самой единичной окружностью называется замкнутым единичным диском.

Можно также использовать другие понятия «расстояния» для определения других «единичных окружностей», таких как риманова окружность ; дополнительные примеры см. в статье о математических нормах .

В комплексной плоскости

Единичный круг можно рассматривать как единичные комплексные числа , т. Е. Набор комплексных чисел $z$ вида

{\ displaystyle z = e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t = \ operatorname {cis} (t)}

для всех $t$ (см. также: cis ). Это соотношение представляет собой формулу Эйлера . В квантовой механике это называется фазовым фактором .

Анимация единичного круга с углами

Тригонометрические функции на единичной окружности

Все тригонометрические функции угла &

thetas

(тета) может быть построена геометрически в терминах единичной окружности с центром в точке O .

Функция синуса на единичном круге (вверху) и ее график (внизу)

Тригонометрическая функция косинус и синус угла & $thetas$ могут быть определены на единичной окружности следующим образом : если $(х, у)$ является точка на единичной окружности, и если луч от начала координат $(0, 0)$ до $(х, у)$ составляет угол $θ$ от положительной оси $x$ (где поворот против часовой стрелки положителен), то

{\ displaystyle \ cos \ theta = x \ quad {\ text {and}} \ quad \ sin \ theta = y.}

Уравнение $x 2 + y 2 = 1$ дает соотношение

{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1.}

Единичный круг также демонстрирует, что синус и косинус являются периодическими функциями с тождествами

{\ Displaystyle \ соз \ тета = \ соз (2 \ пи к + \ тета)}

{\ Displaystyle \ грех \ тета = \ грех (2 \ пи К + \ тета)}

для любого целого $k$ .

Треугольники, построенные на единичной окружности, также можно использовать для иллюстрации периодичности тригонометрических функций. Сначала построим радиус $OP$ от начала координат $O$ до точки $P (x 1, y 1)$ на единичной окружности, такой, что угол $t$ с $0 < t <.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} π/2$ формируется с положительным плечом оси $x$ . Теперь рассмотрим точку $Q (x 1, 0)$ и отрезки $PQ ⊥ OQ$ . В результате $получился$ прямоугольный треугольник $△ OPQ$ с $∠QOP = t$ . Поскольку $PQ$ имеет длину $y 1$ , длину $OQ$ $x 1$ , а $OP$ имеет длину 1 как радиус на единичной окружности, $sin (t) = y 1$ и $cos (t) = x 1$ . Установив эти эквивалентности, возьмите другой радиус $OR$ от начала координат до точки $R (- x 1, y 1)$ на окружности так, чтобы тот же угол $t$ образовался с отрицательным плечом оси $x$ . Теперь рассмотрим точку $S (- x 1, 0)$ и отрезки $RS ⊥ OS$ . В результате получается прямоугольный треугольник $ORS$ с $∠SOR = t$ . Отсюда видно, что, поскольку $∠ROQ = π - t$ , $R$ находится в $(cos (π - t), sin (π - t))$ точно так же, как P находится в $(cos (t), sin (t))$ . Вывод заключается в том, что, поскольку $(- x 1, y 1)$ совпадает с $(cos (π - t), sin (π - t)),$ а $(x 1, y 1)$ совпадает с $(cos (t) , sin (t))$ верно, что $sin (t) = sin (π - t)$ и $-cos (t) = cos (π - t)$ . Аналогичным образом можно вывести, что $tan (π - t) = -tan (t)$ , поскольку $tan (t) = у 1 / х 1$ и $tan (π - t) = у 1 / - х 1$ . Простую демонстрацию сказанного выше можно увидеть в равенстве $sin (π / 4) = грех (3π / 4 знак равно 1 / \sqrt 2$ .

При работе с прямоугольными треугольниками синус, косинус и другие тригонометрические функции имеют смысл только для углов, измеряемых больше нуля и меньше $π$ /2. Однако, когда они определены с помощью единичного круга, эти функции производят значимые значения для любой действительной угловой меры - даже если она больше 2 $π$ . Фактически, все шесть стандартных тригонометрических функций - синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, а также архаические функции, такие как версина и эксеканс, - могут быть определены геометрически в терминах единичного круга, как показано справа.

Используя единичный круг, значения любой тригонометрической функции для многих углов, кроме отмеченных, можно легко вычислить вручную, используя формулы суммы и разности углов .

Единичный круг, показывающий координаты определенных точек

Круговая группа

Комплексные числа можно отождествить с точками на евклидовой плоскости , а именно число $a + bi$ отождествляется с точкой $(a, b)$ . Согласно этому отождествлению, единичный круг - это группа умножения, называемая круговой группой ; это обычно обозначается. На плоскости умножение на $cos$ $θ$ $+$ $i$ $sin$ $θ$ дает вращение против часовой стрелки на $θ$ . Эта группа имеет важные приложения в математике и естественных науках. ${\ displaystyle \ mathbb {T}.}$

Сложная динамика

Единичный круг в сложной динамике

Жюлиа в дискретной нелинейной динамической системы с функцией эволюции :

{\ displaystyle f_ {0} (х) = х ^ {2}}

- единичный круг. Это простейший случай, поэтому он широко используется при изучении динамических систем.

Languages

In other projects

Единичный круг - Unit circle

СОДЕРЖАНИЕ

В комплексной плоскости

Тригонометрические функции на единичной окружности

Круговая группа

Сложная динамика

Примечания

использованная литература

Смотрите также