История исчисления - History of calculus


Из Википедии, свободной энциклопедии

Исчисление , известный в своей ранней истории как исчисления бесконечно малых , является математическая дисциплина сосредоточена на границах , функций , производных , интегралов и бесконечных рядов . Исаак Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга обнаружили исчисление в середине 17-го века. Тем не менее, оба изобретатели утверждают , что другая украла его работы, а исчисление споры Лейбница Ньютон продолжали до конца своей жизни.

Пионеры исчисления

древний

Архимеда использовал метод истощения , чтобы вычислить площадь внутри круга

Древний период внес некоторые идеи , которые привели к интегральному исчислению, но , кажется, не развил эти идеи в строгой и систематической основе. Расчеты объемов и площадей, одной цели интегрального исчисления, можно найти в Egyptian Московского папируса (с. 1820 до н.э.), но формулы приведены только для конкретных чисел, некоторые из них лишь приближенно, и они не являются производными от дедуктивного рассуждения. Вавилоняне , возможно, обнаружили трапеции , делая астрономические наблюдения Юпитера .

С возраста греческой математики , Евдокс (ок. 408-355 до н.э.) использовал метод исчерпывания , который предвосхищает понятие предела, для вычисления площадей и объемов, а Архимед (ок. 287-212 до н.э.) развил эту идею дальше , изобретение эвристики , которые напоминают методы интегрального исчисления. Греческие математики также приписывают значительное использование инфинитезималей . Демокрит является первым человеком , записанным серьезно рассмотреть разделение объектов на бесконечное число сечений, но его неспособность к рационализации отдельных сечений с плавным наклоном конуса помешала ему принять идею. Примерно в то же время Зенон Элейского дискредитирован бесконечно малый дальше его артикуляцией парадоксов , которые они создают.

Архимед разработал этот метод в дальнейшем, а также изобретают эвристические методы, напоминающие современные концепции день несколько его квадратуры параболы , Метода , и на сфере и цилиндре . Не следует думать , что бесконечно малые были поставлены на строгую основу в течение этого времени, однако. Только тогда , когда она была дополнена правильным геометрическим доказательством бы греческие математики принять предложение , как верно. Он не был до 17 - го века , что метод был формализуется Кавальери как метод неделимых и в конечном счете включен по Ньютону в общие рамки интегрального исчисления . Архимеда был первым , чтобы найти касательную к кривой другому , чем круг, в методе сродни дифференциальное исчисление. При изучении спираль, он отделил движение точки , на две компоненты, одной радиальной составляющей движения и одного кругового движения компонента, а затем продолжил , чтобы добавить два компонента движения вместе, таким образом , нахождение касательной к кривой. Пионеры исчисления , таких как Исаак Барроу и Иоганна Бернулли были прилежными учениками Архимеда; смотри, например , CS Роеро (1983).

средневековый

Метод исчерпывания был заново в Китае от Лю Хуэй в 4 веке нашей эры, чтобы найти площадь круга. В 5 веке н.э., Цз Чунчжи создан метод , который позже будет называться принципом Кавальрайте найти объем шара . На Ближнем Востоке, Альхазен вывел формулу для суммы четвертых степеней . Он использовал результаты для выполнения того, что теперь будет называться интеграции , где формулы для сумм целых квадратов и четвертых степеней позволило ему рассчитать объем параболоида . В 14 - м века, индийский математик Мадхав из Сангамаграмы и школа Кералы астрономии и математики заявили компоненты исчисления таких , как ряд Тейлора и бесконечные ряды приближения. Тем не менее, они не были в состоянии объединить многие различные идеи по двум объединяющим темам производной и интеграла , показать связь между ними, и превратить исчисление в мощный инструмент решения проблем мы имеем сегодня.

Математическое исследование непрерывности было восстановлено в 14 веке Оксфорд калькуляторы и французскими коллаборационистами , такие как Николай Орем . Они доказали «Мертон теоремы о среднем скорости »: что равноускоренное тело перемещается на таком же расстоянии , как тела с одинаковой скоростью, скорость которого равна половиной конечной скоростью ускоренного тела.

Современный

Затенение площадь одного единичного квадрата меры , когда х = 2,71828 ... Открытие числа Эйлера е, и его эксплуатации с функциями е х и натуральный логарифм, завершена теория интегрирования для исчисления рациональных функций.

В 17 - м веке европейские математики Исаак Барроу , Рене Декарт , Пьер де Ферма , Блез Паскаль , Джон Уоллис и другие обсуждали идею производной . В частности, в Methodus объявлений disquirendam maximam и др минимумов , а в De tangentibus linearum curvarum , Ферма разработал adequality метод определения максимумов, минимумов и касательных к различным кривым, тесно связанных с дифференциацией. Исаак Ньютон позже напишет , что его собственные ранние представления об исчислении пришло непосредственно из «пути Ферма касательных рисования».

На интегральной стороне, Кавальери разработал свой метод неделимых в 1630 и 1640 - х годов, обеспечивая более современную форму древнего греческого метода исчерпывания , и вычисление квадратурной формулы Кавальери , площадь под кривыми х п высшей степени, который ранее только были вычислены для параболы, Архимеда. Торричелли расширили эту работу на другие кривой , такие как циклоиды , а затем формула была обобщена на дробные и отрицательные степени по Wallis в 1656 году В 1659 трактате, Ферма приписывают изобретательную трик для оценки интеграла от любой степенной функции непосредственно. Фермы получены также метод для нахождения центров тяжести различных плоских и твердых фигур, которые повлияли на дальнейшую работу в квадратуре. Джеймс Грегори , под влиянием вкладов Ферма как в касанию и в квадратуре, затем смог доказать ограниченную версию второй основной теоремы исчисления в середине 17-го века. Первое полное доказательство основной теоремы исчисления было дано Исааком Барроу .

Одной из предпосылок к созданию исчисления функций действительного переменного участие нахождение первообразной для рациональной функции Эта проблема может быть сформулированного в квадратуре прямоугольной гиперболы ху = 1. В 1647 Грегуар де Сент-Винсент отметил , что искомая функция F удовлетворено , так что геометрическая последовательность стала, под F , в арифметической последовательности . А. де Sarasa связаны эта функция с помощью современных алгоритмов , называемых логарифмами , что сэкономленных арифметики путем оказания умножений в дополнения. Так F был первый известный как «гиперболического логарифм». После того, как Эйлер эксплуатировал е = 2,71828 ..., и F была определена как обратная функция от экспоненциальной функции , он стал натуральным логарифмом , удовлетворяющим

Первое доказательство теоремы Ролля было дано Ролль в 1691 с использованием методов , разработанных голландский математик Иоганн ван Waveren Hudde . Теорема среднего значения в его современной форме заявили Бернард Больцано и Огюстен Луи Коши (1789-1857) , также после основания современного исчисления. Существенный вклад также были сделаны Барроу , Гюйгенса , и многие другие.

Ньютон и Лейбниц

До Ньютона и Лейбница , слово «исчисление» относится к любому телу математики, но и в последующие годы, «исчисление» стал популярным термином для области математики на основе их идей. Ньютон и Лейбниц, опираясь на эту работу, независимо друг от друга разработали окружающую теорию исчисления бесконечно малых в конце 17 -го века. Кроме того , Лейбниц сделал большую работу с разработкой последовательного и полезное обозначения и понятия. Ньютон при условии , некоторые из наиболее важных применений в физике, в частности интегрального исчисления . Целью данного раздела является изучение Ньютона и Лейбница исследования в развивающейся области исчисления бесконечно малого. Особое значение будет уделено обоснованию и описательные термины , которые они использовали в попытке понять исчисление , как они сами задумали его.

К середине 17 - го века европейские математики изменили свое первичное хранилище знаний. По сравнению с прошлым веком, поддерживавшими эллинистической математикой в качестве отправной точки для исследования, Ньютон, Лейбниц и их современники чаще смотрели в стороне произведений более современных мыслителей. Европа стала родиной расцветающей математического сообщества и с появлением усовершенствованных институциональных и организационных основ новый уровень организации и академической интеграции в настоящее время достигнуты. Важно, однако, сообщество не было формализма; вместо этого он состоял из неупорядоченной массы различных методов, методик, нотации , теорий и парадоксов .

Ньютон пришел к исчислению как часть его исследований в области физики и геометрии . Он рассматривал исчисление как научное описание генерации движения и величину . Для сравнения, Лейбниц сосредоточены на проблеме касательной и пришел к выводу , что исчисление было метафизическое объяснение изменения. Важно отметить, что в основе их пониманий была формализация обратных свойств между интегралом и с дифференциалом функции . Это понимание было предусмотрено их предшественниками, но они были первыми , чтобы представить себе исчисление как система , в которой были созданы новая риторика и описательные термины. Их уникальные открытия лежали не только в их воображении, но и в их способности синтезировать идеи вокруг них в универсальный алгоритмический процесс, формируя тем самым новую математическую систему.

Ньютон

Ньютон завершил не окончательного издания формализующего его нежесткость исчисления; а многие из его математических открытий были переданы через переписку, меньшие или документы , как встроенные аспекты в других его окончательных компиляциях, такие как Principia и Оптика . Ньютон начинал свою математическую подготовку в качестве избранного наследника Исаака Барроу в Кембридже . Его способность была признана рано , и он быстро изучил современные теории. К 1664 году Ньютон сделал свой первый важный вклад продвижения бинома , которую он протянутый включать дробные и отрицательные показатели . Ньютон удалось расширить применимость бинома Ньютона, применяя алгебру конечных величин в анализе бесконечных рядов . Он показал готовность просматривать бесконечные ряды не только в качестве приближенных устройств, но и в качестве альтернативных форм выражения термина.

Многие из критических прозрений Ньютона произошли во время чумы 1665-1666 лет , которые он позже описали как «штрих моего возраста изобретения и склонную математику и [естественные] философии больше , чем в любое время с тех пор.» Это было во время его чумы , вызванной изоляции , что первое письменное представление о fluxionary исчислении был зафиксирован в неопубликованной De Analysi на Aequationes Numero Terminorum Infinitas . В данной работе, Ньютон определил площадь под кривой , сначала вычисляют мгновенную скорость изменения , а затем экстраполировать общую площадь. Он начал с рассуждения о бесконечно малом треугольнике, площадь которого зависит от й и у . Он рассудил , что бесконечно малое увеличение абсциссы будет создать новую формулу , где х = х + о (главное, о это буква, а не цифра 0). Затем он пересчитывается область с помощью биномиальной теоремы удалены все величины , содержащие букву O и переформирован алгебраическое выражение для области. Важно отметить, что Ньютон затем «вычеркивать» величину , содержащую о потому , что термины «умноженные на нем не будут ничего в отношении остального».

В этот момент Ньютон начал осознавать центральное свойство инверсии. Он создал выражение для площади под кривой, рассматривая мгновенное увеличение в точке. В действительности, фундаментальная теорема исчисления была построена в свои расчеты. Несмотря на то , что его новая формулировку предложила невероятный потенциал, Ньютон был хорошо осведомлен о своих логических ограничениях в то время. Он признает , что «ошибки не должны приниматься во внимание в математике, независимо от того , насколько мал» и то , что он достиг был «вскоре объяснил, чем точно продемонстрирована.»

В попытке дать исчислению более строгие экспликации и рамки, Ньютон составлен в 1671 Methodus Fluxionum и др Serierum Infinitarum . В этой книге, строгий Ньютон эмпиризма формы и определил его нежесткость исчисления. Он использовал мгновенное движение и бесконечно малых неформально. Он использовал математику в качестве методического инструмента для объяснения физического мира. Основание пересмотренного исчисления Ньютона стала преемственность; как таковой он пересмотрел свои расчеты в терминах непрерывного плавного движения. Для Ньютона, переменные величины не являются агрегатами бесконечно малых элементов, но генерируются неоспоримым фактом движения. Как и многие из его работ, Ньютон с задержкой публикации. Methodus Fluxionum не был опубликован до 1736.

Ньютон пытался избежать использования бесконечно малого путем формирования расчетов , основанные на соотношениях изменений. В Methodus Fluxionum он определил скорость изменения генерируемого в качестве флюксии , которое он представлял пунктирную буквой, а количество генерируется он определен как свободно . Например, если и являются флюэнты, то и их соответствующие Флюксии. Это пересмотренное исчисление коэффициентов продолжало развиваться и зрело заявили в 1676 тексте De Quadratura Curvarum где Ньютон пришел , чтобы определить нынешний день производный в качестве конечных отношений изменений, которые он определяется как отношение между приращением затухающего (отношение течений ) чисто на данный момент в вопросе. По существу, в конечном итоге отношение представляет собой отношение , как приращения исчезают в небытие. Важно отметить, что Ньютон объяснил существование конечной соотношении, обращаясь к движению;

«Ибо конечная скорость означает, что, с которой тело движется, ни до его появления на его последнем месте, когда движение прекращается, ни после, но в тот самый момент, когда он приходит ... в конечном итоге соотношение затухающих величин не является следует понимать, отношение величин не раньше, чем они исчезают, а не после того, как, но, с которыми они исчезают»

Ньютон разработал свою нежесткость исчисления в попытке уйти от неформального использования инфинитезималей в своих расчетах.

Лейбниц

В то время как Ньютон начал разработку своей нежесткости исчисления в 1665-1666 его выводы не стали широко распространены позже. В последующие годы Лейбниц также стремился создать свое исчисление. По сравнению с Ньютоном , который пришел к математике в раннем возрасте, Лейбниц начал строгие математические исследования зрелого интеллекта. Он был эрудитом , и его интеллектуальные интересы и достижения участвуют метафизик , закон , экономику , политику , логику и математику . Для того , чтобы понять рассуждения Лейбница в исчислении его фон должен иметь в виду. В частности, его метафизика , которые описаны вселенную как Монадологии , и его планы создания точной формальной логики при этом, «общий метод , в котором все истины причине было бы сведено к виду расчета.»

В 1672 году Лейбниц встретился математик Гюйгенс , который убедил Лейбница посвятить значительное время изучению математики. К 1673 году он прогрессировал читать Паскаль «s Traité де Sinus ей Quarte Cercle , и это было во время его в основном автодидактического исследования, Лейбниц сказал„свет включен“. Как Ньютон, Лейбниц, увидел тангенс как отношение , но сказали , что она просто соотношение между ординатами и абсциссой . Он продолжал это рассуждение , чтобы возразить , что интеграл в действительности сумма ординат для бесконечно малых интервалов в абсциссе; в сущности, сумма бесконечного числа прямоугольников. Из этих определений обратной связи или дифференцированный стало ясно , и Лейбниц быстро осознал потенциал , чтобы сформировать новую систему математики. Где Ньютон в течение своей карьеры использовал несколько подходов в дополнении к подходу с использованием бесконечно малых , Лейбниц это краеугольным камнем его обозначения и исчисления сделал.

В рукописях 25 октября по 11 ноября 1675 года , Лейбниц записал свои открытия и эксперименты с различными формами нотации. Он остро осознает нотации терминов , используемых и его прежних планов для формирования точной логической символики стала очевидной. В конце концов, Лейбниц обозначены бесконечно малые приращения абсцисс и ординат дх и ду , а суммирование бесконечного числа бесконечно тонких прямоугольников в качестве длинных х (∫), которые стали настоящим символом интеграла .

Хотя обозначения Лейбница используется современной математики, его логическая база отличается от нашего нынешнего. Лейбниц обнял бесконечно малые и много писал так, «чтобы не сделать из бесконечно малой тайны, как и у Паскаля». По словам Жиля Делез , обнуляет Лейбниц «являются бездельники, но они не являются абсолютными бездельниками, они бездельники соответственно» (цитируют текст Лейбница „Обоснование исчисления бесконечно малых по исчислению обычной алгебры“). Кроме того , он определяет их как «меньше любого заданного количества.» Для Лейбница, мир был совокупностью бесконечно малых точек и отсутствие научных доказательств для их существования не беспокоила его. Инфинитезимали Лейбница были идеальными величинами разного типа из заметных количеств. Правда непрерывности было доказано само существование. Для Лейбница , таким образом был обеспечен принцип преемственности и обоснованность его исчисления. Триста лет после работы Лейбница, Абрахам Робинсон показал , что с помощью бесконечно малых величин в исчислении может дать прочную основу.

наследие

Возвышение исчисления выделяется как уникальный момент в математике. Исчисление является математикой движения и изменений, и как таковые, его изобретение требует создания новой математической системы. Важно отметить, что Ньютон и Лейбниц не создать такое же исчисление, и они не зачать современное исчисление. Несмотря на то, что они оба были вовлечены в процессе создания математической системы, чтобы иметь дело с переменными величинами их элементной базой была другим. Для Ньютона, изменение было переменная величиной с течением времени и для Лейбница это разница пробегающей последовательности бесконечно близких значений. Следует отметить, что описательные термины каждая система создана, чтобы описать изменение было по-другому.

Исторически сложилось, что было много споров, было ли это Ньютон или Лейбниц , который первым «изобрел» исчисление. Этот аргумент, то Лейбниц и Ньютон исчисление споры с участием Лейбница, который был немец и англичанин Ньютон, привел к расколу в длящейся более столетия европейского математического сообщества. Лейбниц был первым , чтобы опубликовать свои исследования; Однако, хорошо известно , что Ньютон начал свою работу несколько лет до Лейбница и уже разработал теорию касательных к тому времени , Лейбниц стал интересоваться вопросом. Не известно , насколько это возможно, повлияло Лейбниц. Первые обвинения были сделаны студентами и сторонниками двух великих ученых на рубеже веков, но после 1711 оба стали лично принимал участие, обвиняя друг друга в плагиате .

Приоритетные споры имели эффект разделения говорящие по -английски математиков из тех , в континентальной Европе в течение многих лет. Только в 1820 - х годах, благодаря усилиям аналитического общества , сделал Лейбниц аналитического исчисления стало принято в Англии. Сегодня, как Ньютон и Лейбниц дают кредит самостоятельно разрабатывать основы исчисления. Это Лейбниц, однако, которому приписывают предоставление новой дисциплины имя это известно на сегодняшний день: «исчисление». Имя Ньютона для него было «наука о флюенте и течения ».

Работа как Ньютон и Лейбниц находит свое отражение в обозначениях , используемых сегодня. Ньютон введены обозначения для производной от функции F . Лейбниц ввел символ для интеграла и написал производную от функции у от переменной х , как , оба из которых до сих пор.

Со времен Лейбница и Ньютона, многие математики внесли свой вклад в непрерывное развитие исчисления. Одним из первых и наиболее полных работ на обоих бесконечно малых и интегрального исчисления была написана в 1748 году Аньези .

Оперативные методы

Антуан Арбогаст (1800) был первым , чтобы отделить символ операции от количества в дифференциальном уравнении. Франсуа Джозеф Сервуа (1814) , похоже, был первым , чтобы дать правильные правила по этому вопросу. Чарльз Джеймс Харгрэйв (1848) применял эти методы в своих мемуарах по дифференциальным уравнениям и Джордж Буль свободно использовал их. Грассман и Ганкель сделали большое использование теории, бывшей в изучении уравнений , последней в его теории комплексных чисел .

Вариационное исчисление

Исчисление вариаций можно сказать , чтобы начать с проблемой Иоганн Бернулли (1696). Она сразу же оккупировала внимание Якоба Бернулли , но Леонард Эйлер первым разработало тему. Его вклад начался в 1733 году, и его Elementa Исчисление Variationum дало науку свое название. Жозеф Луи Лагранж внесла большой вклад в теорию и Лежандр (1786) заложен метод, не вполне удовлетворителен, для различения максимумов и минимумов. Для этой дискриминации Brunacci (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Пуассон (1831), Михаил Васильевич Остроградского (1834), и Карл Густав Якоб Якоби (1837) были среди участников. Важное общая работа является то , что Sarrus (1842) , который был конденсируется и усовершенствован Коши (1844). Другие ценные трактаты и мемуары были написаны Штраухом (1849), Jellett (1850), Отто Гессе (1857), Клебш (1858), и Carll (1885 г.), но , пожалуй, самая важная работа века является то , что Карл Вейерштрасса . Его курс по теории можно утверждать , чтобы быть первым , чтобы поместить исчисление на твердую и строгую основу.

Интегралы

Нильс Хенрик Абель , кажется, был первым , чтобы рассмотреть в общих чертах вопроса о том , что дифференциальных выражениях может быть интегрирован в конечной форме при помощи обычных функций, расследование продлено Лиувиллем . Коши рано предприняли общую теорию определения определенных интегралов , а субъект был видным в течение 19 - го века. Frullani интеграла , Дэвид Биеренс Де Хан «работа по теории и его сложным таблицам, Лежен Дирихле » лекция s воплощена в Meyer трактата «s, а также многочисленные мемуары Лежандра , Пуассон , Plana , Рааб , Sohncke , Schlömilch , Эллиот , Leudesdorf , и Кронекера среди примечательных вкладов.

Eulerian интегралы впервые были исследованы Эйлером , а затем исследовались Лежандр, по которым они были классифицированы как эйлеровые интегралы первого и второго вида, а именно:

хотя они не были точные формы обучения Эйлера.

Если п является положительным целым числом, то отсюда следует , что:

но интеграл сходится для всех положительных реального и определяет аналитическое продолжение в факторных функциях всех комплексной плоскости для полюсов в нуле и отрицательные , кроме целых чисел . Для него Лежандр присвоен символ , и он теперь называется гамма - функцией . Помимо того , что аналитическая более положительных числа+ ,   также пользуется однозначно определяющим свойством , что является выпуклым , что эстетически оправдывает это аналитическое продолжение функции факториала над любым другим аналитическим продолжением. К вопросу Лежен Дирихле внесла важную теорему (лиувиллеву, 1839), который был выработанный Лиувиллем , каталанский , Лесли Эллис и другие. Об оценке и Раабе (1843-44), Бауэр (1859 г.), и Gudermann (1845) написал. Большой стол Лежандра появился в 1816 году.

Приложения

Применение исчисления бесконечно малых проблем в физике и астрономии был современником происхождения науки. На протяжении всего 18 - го века эти приложения не умножались, пока в его тесной Лаплас и Лагранж привел весь спектр исследования сил в области анализа. Для Лагранжа (1773) мы обязаны введение теории потенциала в динамику, хотя название « потенциальная функция » и фундаментальная биография субъекта обусловлены Грину (1827, напечатанном в 1828 году). Название « потенциал » связанно с Гаусс (1840 г.), а также различие между потенциальной и потенциальной функцией в Клаузиус . С его развитием связаны имена Лежен Дирихле , Римана , фон Неймана , Гейне , Кронекера , Липшиц , Кристоффелем , Кирхгофа , Бельтрами , и многие из ведущих физиков века.

Это невозможно в это место , чтобы войти в великое множество других применений анализа к физическим проблемам. Среди них исследования Эйлера на вибрирующих аккордов; Софи Жермен на эластичных мембран; Пуассона, Ламе , Сен-Венана и Клебша- на эластичность трехмерных тел; Фурье от тепловой диффузии; Френеля на свет ; Максвелл , Гельмгольц и Герц на электроэнергию ; Хансен, Хилл и Gyldén по астрономии ; Maxwell на сферических гармоник ; Лорд Рэлей по акустике ; и вклады Лежен Дирихле, Вебер , Кирхгофа , Ф. Нейман , лорд Кельвин , Клаузиус , Бьеркнесом , МакКулагу и Фурмана к физике в целом. Труд Гельмгольц следует особо отметил, поскольку он способствовал теории динамики, электричество и т.д., и принес свои большие аналитические способности нести на фундаментальных аксиомах механики, а также на тех , чистую математику.

Кроме того, исчисление бесконечно малое было введено в социальные науки, начиная с неоклассической экономикой . Сегодня она является ценным инструментом в мейнстриме.

Смотрите также

Заметки

дальнейшее чтение

внешняя ссылка