Формула Фаа ди Бруно - Faà di Bruno's formula

Формула Фаа ди Бруно - это тождество в математике, обобщающее цепное правило на высшие производные. Он назван в честь Франческо Фаа ди Бруно  ( 1855 , 1857 ), хотя он не был первым, кто сформулировал или доказал эту формулу. В 1800 году, более чем за 50 лет до Фа ди Бруно, французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст сформулировал формулу в учебнике по математическому анализу, который считается первым опубликованным справочником по этому вопросу.

Возможно, самая известная форма формулы Фаа ди Бруно гласит:

где сумма ведется по всем n - наборам неотрицательных целых чисел ( m 1 , ..., m n ), удовлетворяющих ограничению

Иногда, чтобы придать ему запоминающийся узор, он написан таким образом, что коэффициенты, которые имеют комбинаторную интерпретацию, обсуждаемую ниже, менее явны:

Комбинируя члены с одинаковым значением m 1  +  m 2  + ... +  m n  =  k и замечая, что m j должен быть равен нулю для j  >  n  -  k  + 1, мы получаем несколько более простую формулу, выражаемую в терминах Белла многочлены B n , k ( x 1 , ..., x n - k +1 ):

Комбинаторная форма

Формула имеет «комбинаторный» вид:

куда

  • π пробегает множество Π всех разбиений множества {1, ..., n },
  • « Bπ » означает, что переменная B пробегает список всех «блоков» разбиения π , и
  • | А | обозначает мощность множества A (так что | π | - количество блоков в разбиении π, а | B | - размер блока B ).

Пример

Ниже приводится конкретное объяснение комбинаторной формы для случая n = 4 .

Шаблон такой:

Фактор очевидным образом соответствует разделению 2 + 1 + 1 целого числа 4. Фактор, который связан с ним, соответствует тому факту, что в этом разбиении есть три слагаемых. Коэффициент 6, связанный с этими факторами, соответствует тому факту, что есть ровно шесть разделов набора из четырех элементов, которые разбивают его на одну часть размера 2 и две части размера 1.

Точно так же множитель в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 целого числа 4 (4, потому что мы находим четвертую производную), а соответствует тому факту, что в этом разбиении есть два слагаемых (2 + 2) . Коэффициент 3 соответствует тому факту, что есть способы разбить 4 объекта на группы по 2. То же самое относится и к остальным.

Запоминающаяся схема выглядит следующим образом:

Комбинаторика коэффициентов Фаа ди Бруно

Эти подсчитывающие разбиения коэффициенты Фаа ди Бруно имеют выражение в "замкнутой форме". Количество разделов набора размера n, соответствующих целочисленному разделу

целого числа n равно

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла , которые имеют отношение к изучению кумулянтов .

Вариации

Многовариантная версия

Пусть y = g ( x 1 , ..., x n ). Тогда следующая идентичность сохраняется независимо от того, являются ли все n переменных различными, или все идентичны, или разделены на несколько различимых классов неотличимых переменных (если это кажется непрозрачным, см. Очень конкретный пример ниже):

где (как указано выше)

  • π пробегает множество Π всех разбиений множества {1, ..., n },
  • « Bπ » означает, что переменная B пробегает список всех «блоков» разбиения π , и
  • | А | обозначает мощность множества A (так что | π | - количество блоков в разбиении π, а | B | - размер блока B ).

Более общие версии верны для случаев, когда все функции векторны и даже банаховозначны . В этом случае необходимо рассматривать производную Фреше или производную Гато .

Пример

Пять членов в следующем выражении очевидным образом соответствуют пяти разбиениям множества {1, 2, 3}, и в каждом случае порядок производной f - это количество частей в разбиении:

Если три переменные неотличимы друг от друга, то три из пяти указанных выше терминов также неотличимы друг от друга, и тогда у нас есть классическая формула с одной переменной.

Формальная версия серии power

Предположим, что и являются формальными степенными рядами и .

Тогда композиция снова является формальным степенным рядом,

где C 0 = 0 , а другой коэффициент с п для п ≥ 1 может быть выражен в виде суммы по композициям из п или в виде эквивалентной суммы по разделам из п :

куда

набор композиций из n, где k обозначает количество частей,

или

куда

представляет собой набор разбиений n на k частей в форме частоты частей.

Первая форма получаются, выбирая коэффициент х п в «осмотр», а вторая форма затем получаются путем сбора подобных терминов, или в качестве альтернативы, пути применения полиномиальной теоремы .

Частный случай f ( x ) = e x , g ( x ) = Σ n ≥ 1 a n / n ! x n дает экспоненциальную формулу . Частный случай f ( x ) = 1 / (1 -  x ), g ( x ) = Σ n ≥ 1 (- a n ) x n дает выражение для обратной величины формального степенного ряда Σ n ≥ 0 a n x n в случае a 0 = 1.

Стэнли дает версию экспоненциального степенного ряда. В формальном степенном ряду

у нас есть n- я производная в 0:

Это не следует рассматривать как значение функции, поскольку эти ряды являются чисто формальными; в этом контексте нет таких понятий, как конвергенция или расхождение.

Если

а также

а также

тогда коэффициент c n (который был бы n- й производной h, оцененной как 0, если бы мы имели дело со сходящимися рядами, а не с формальными степенными рядами) определяется как

где π пробегает множество всех разбиений множества {1, ..., n }, а B 1 , ...,  B k - блоки разбиения π , а | B j  | - количество членов j- го блока для  j  = 1, ...,  k .

Эта версия формулы особенно хорошо подходит для целей комбинаторики .

Мы также можем написать с учетом обозначений выше

где B n , k ( a 1 , ..., a n - k +1 ) - полиномы Белла .

Особый случай

Если f ( x ) = e x , то все производные f одинаковы и являются множителем, общим для каждого члена. В случае, если g ( x ) является кумулянт-производящей функцией , тогда f ( g ( x )) является генерирующей функцией момента , а многочлен от различных производных g является многочленом, который выражает моменты как функции кумулянтов .

Примечания

использованная литература

Исторические обзоры и очерки

Исследовательские работы

внешние ссылки