Обобщенное цепное правило в исчислении
Формула Фаа ди Бруно - это тождество в математике, обобщающее цепное правило на высшие производные. Он назван в честь Франческо Фаа ди Бруно ( 1855 , 1857 ), хотя он не был первым, кто сформулировал или доказал эту формулу. В 1800 году, более чем за 50 лет до Фа ди Бруно, французский математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст сформулировал формулу в учебнике по математическому анализу, который считается первым опубликованным справочником по этому вопросу.
Возможно, самая известная форма формулы Фаа ди Бруно гласит:
где сумма ведется по всем n - наборам неотрицательных целых чисел ( m 1 , ..., m n ), удовлетворяющих ограничению
Иногда, чтобы придать ему запоминающийся узор, он написан таким образом, что коэффициенты, которые имеют комбинаторную интерпретацию, обсуждаемую ниже, менее явны:
Комбинируя члены с одинаковым значением m 1 + m 2 + ... + m n = k и замечая, что m j должен быть равен нулю для j > n - k + 1, мы получаем несколько более простую формулу, выражаемую в терминах Белла многочлены B n , k ( x 1 , ..., x n - k +1 ):
Комбинаторная форма
Формула имеет «комбинаторный» вид:
куда
-
π пробегает множество Π всех разбиений множества {1, ..., n },
- « B ∈ π » означает, что переменная B пробегает список всех «блоков» разбиения π , и
- | А | обозначает мощность множества A (так что | π | - количество блоков в разбиении π, а | B | - размер блока B ).
Пример
Ниже приводится конкретное объяснение комбинаторной формы для случая n = 4 .
Шаблон такой:
Фактор очевидным образом соответствует разделению 2 + 1 + 1 целого числа 4. Фактор, который связан с ним, соответствует тому факту, что в этом разбиении есть три слагаемых. Коэффициент 6, связанный с этими факторами, соответствует тому факту, что есть ровно шесть разделов набора из четырех элементов, которые разбивают его на одну часть размера 2 и две части размера 1.
Точно так же множитель в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 целого числа 4 (4, потому что мы находим четвертую производную), а соответствует тому факту, что в этом разбиении есть два слагаемых (2 + 2) . Коэффициент 3 соответствует тому факту, что есть способы разбить 4 объекта на группы по 2. То же самое относится и к остальным.
Запоминающаяся схема выглядит следующим образом:
Комбинаторика коэффициентов Фаа ди Бруно
Эти подсчитывающие разбиения коэффициенты Фаа ди Бруно имеют выражение в "замкнутой форме". Количество разделов набора размера n, соответствующих целочисленному разделу
целого числа n равно
Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла , которые имеют отношение к изучению кумулянтов .
Вариации
Многовариантная версия
Пусть y = g ( x 1 , ..., x n ). Тогда следующая идентичность сохраняется независимо от того, являются ли все n переменных различными, или все идентичны, или разделены на несколько различимых классов неотличимых переменных (если это кажется непрозрачным, см. Очень конкретный пример ниже):
где (как указано выше)
-
π пробегает множество Π всех разбиений множества {1, ..., n },
- « B ∈ π » означает, что переменная B пробегает список всех «блоков» разбиения π , и
- | А | обозначает мощность множества A (так что | π | - количество блоков в разбиении π, а | B | - размер блока B ).
Более общие версии верны для случаев, когда все функции векторны и даже банаховозначны . В этом случае необходимо рассматривать производную Фреше или производную Гато .
- Пример
Пять членов в следующем выражении очевидным образом соответствуют пяти разбиениям множества {1, 2, 3}, и в каждом случае порядок производной f - это количество частей в разбиении:
Если три переменные неотличимы друг от друга, то три из пяти указанных выше терминов также неотличимы друг от друга, и тогда у нас есть классическая формула с одной переменной.
Формальная версия серии power
Предположим, что
и
являются формальными степенными рядами и .
Тогда композиция снова является формальным степенным рядом,
где C 0 = 0 , а другой коэффициент с п для п ≥ 1 может быть выражен в виде суммы по композициям из п или в виде эквивалентной суммы по разделам из п :
куда
набор композиций из n, где k обозначает количество частей,
или
куда
представляет собой набор разбиений n на k частей в форме частоты частей.
Первая форма получаются, выбирая коэффициент х п
в «осмотр», а вторая форма затем получаются путем сбора подобных терминов, или в качестве альтернативы, пути применения полиномиальной теоремы .
Частный случай f ( x ) = e x , g ( x ) = Σ n ≥ 1 a n / n ! x n дает экспоненциальную формулу . Частный случай f ( x ) = 1 / (1 - x ), g ( x ) = Σ n ≥ 1 (- a n ) x n дает выражение для обратной величины формального степенного ряда Σ n ≥ 0 a n x n в случае a 0 = 1.
Стэнли дает версию экспоненциального степенного ряда. В формальном степенном ряду
у нас есть n- я производная в 0:
Это не следует рассматривать как значение функции, поскольку эти ряды являются чисто формальными; в этом контексте нет таких понятий, как конвергенция или расхождение.
Если
а также
а также
тогда коэффициент c n (который был бы n- й производной h, оцененной как 0, если бы мы имели дело со сходящимися рядами, а не с формальными степенными рядами) определяется как
где π пробегает множество всех разбиений множества {1, ..., n }, а B 1 , ..., B k - блоки разбиения π , а | B j | - количество членов j- го блока для j = 1, ..., k .
Эта версия формулы особенно хорошо подходит для целей комбинаторики .
Мы также можем написать с учетом обозначений выше
где B n , k ( a 1 , ..., a n - k +1 ) - полиномы Белла .
Особый случай
Если f ( x ) = e x , то все производные f одинаковы и являются множителем, общим для каждого члена. В случае, если g ( x ) является кумулянт-производящей функцией , тогда f ( g ( x )) является генерирующей функцией момента , а многочлен от различных производных g является многочленом, который выражает моменты как функции кумулянтов .
Примечания
использованная литература
Исторические обзоры и очерки
-
Бригалья, Альдо (2004), «L'Opera Matematica», в Джакарди, Ливия (редактор), Франческо Фаа ди Бруно. Научное исследование и разработка , Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (на итальянском языке), XII , Турин : Deputazione Subalpina di Storia Patria, стр. 111–172. « Математическая работа » - это эссе о математической деятельности, описывающее как исследовательскую, так и педагогическую деятельность Франческо Фа ди Бруно.
-
Крейк Alex DD (февраль 2005), "Предыстория формулы FAA ди Бруно", American Mathematical Monthly , 112 (2): 217-234, DOI : 10,2307 / 30037410 , JSTOR 30037410 , MR 2121322 , Zbl 1088,01008.
-
Джонсон, Уоррен П. (март 2002), "Загадочная история Формулы FAA ди Бруно" (PDF) , American Mathematical Monthly , 109 (3): 217-234, CiteSeerX 10.1.1.109.4135 , DOI : 10,2307 / 2695352 , JSTOR 2695352 , MR 1903577 , Zbl 1024.01010.
Исследовательские работы
-
Arbogast, LFA (1800), Du Calcul des diverations [ Об исчислении производных ] (на французском языке), Страсбург: Левро, стр. Xxiii + 404, Полностью бесплатно доступны из книг Google .
-
Faà di Bruno, F. (1855), «Sullo sviluppo delle funzioni» [О развитии функций], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (на итальянском языке), 6 : 479–480, LCCN 06036680. Полностью бесплатно доступны из книг Google . Известная статья, в которой Франческо Фаа ди Бруно представляет две версии формулы, которая теперь носит его имя, опубликована в журнале, основанном Барнабой Тортолини .
-
Фаа ди Бруно, Ф. (1857 г.), «Note sur une nouvelle formule de Calcul Differenceel» [О новой формуле дифференциального исчисления], Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики (на французском языке), 1 : 359–360. Полностью бесплатно доступны из книг Google .
-
Faà di Bruno, Francesco (1859), Théorie générale de l'élimination [ Общая теория исключения ] (на французском языке), Париж: Leiber et Faraguet, стр. X + 224. Полностью бесплатно доступны из книг Google .
-
Фландрия, Harley (2001) "От Форда к Faa", Американского математического ежемесячника 108 (6): 558-61 дои : 10,2307 / 2695713
-
Френкель, Л. Е. (1978), "Формулы для высоких производных сложных функций", Математические слушания Кембриджского философского общества , 83 (2): 159–165, DOI : 10.1017 / S0305004100054402 , MR 0486377 , Zbl 0388.46032.
-
Кранц, Стивен Г .; Паркс, Гарольд Р. (2002), Учебник по действительным аналитическим функциям , Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (второе издание), Бостон: Birkhäuser Verlag , стр. Xiv + 205, ISBN 978-0-8176-4264-8, Руководство по ремонту 1916029 , Zbl 1015.26030
-
Портеус, Ян Р. (2001), «Параграф 4.3: формула Фаа ди Бруно» , Геометрическое дифференцирование (второе изд.), Кембридж: Cambridge University Press , стр. 83–85, ISBN 978-0-521-00264-6, MR 1871900 , Zbl 1013.53001.
-
TA, (Tiburce Abadie, JFC) (1850 г.), «Sur la différentiation des fonctions de fonctions» [О выводе функций], Nouvelles annales de mathématiques, журнал кандидатов aux écoles polytechnique et normale , Série 1 (на французском языке), 9 : 119–125, доступно на NUMDAM . Эта статья, согласно Джонсону (2002 , стр. 228), является одним из предшественников Faà di Bruno 1855 : обратите внимание, что автор подписывается только как «TA», и авторство JFC Tiburce Abadie снова связано с Джонсоном.
-
A., (Tiburce Abadie, JFC) (1852), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Сери де Бурманн, де Лагранж, де Вронски" [О выводе функций. Бурманн, серия Лагранжа и Вронского.], Nouvelles annales de mathématiques, Journal des Candats aux écoles polytechnique et normale , Série 1 (на французском языке), 11 : 376–383, доступно на NUMDAM . Эта статья, согласно Джонсону (2002 , стр. 228), является одним из предшественников Faà di Bruno 1855 : обратите внимание, что автор подписывается только буквой «А», и авторство JFC Tiburce Abadie снова связано с Джонсоном.
внешние ссылки