Гармонический ряд (математика) - Harmonic series (mathematics)

В математике , то гармонический ряд является расходящимся бесконечной серии

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots.}$

Его название происходит от концепции обертонов или гармоник в музыке : длины волн обертонов вибрирующей струны равны1/2, 1/3, 1/4и т. д. основной длины волны струны . Каждый член ряда после первого представляет собой гармоническое среднее значение соседних членов; фраза « гармоническое среднее» также происходит от музыки.

История

Дивергенция гармонического ряда была впервые доказана в XIV веке Николь Орем , но это достижение осталось в тени. Доказательства были даны в 17 веке Пьетро Менголи и Иоганном Бернулли , последнее доказательство опубликовал и популяризировал его брат Якоб Бернулли .

Исторически сложилось так, что гармонические последовательности пользовались определенной популярностью у архитекторов. Это было так особенно в барочном период, когда архитекторы использовали их , чтобы установить пропорции из поэтажных планов , из возвышенностей , и установить гармоничные отношения между внутренним и наружными архитектурными деталями храмов и дворцами.

Расхождение

Есть несколько хорошо известных доказательств расходимости гармонического ряда. Некоторые из них приведены ниже.

Сравнительный тест

Один из способов доказать дивергенцию - сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, где каждый знаменатель заменен следующей по величине степенью двойки :

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {8} 1 & + {\ frac {1} {2}} && + {\ frac {1} {3}} && + {\ frac {1} {4}} && + {\ frac {1} {5}} && + {\ frac {1} {6}} && + {\ frac {1} {7}} && + {\ frac {1} {8}} && + {\ frac {1} {9}} && + \ cdots \\ [5pt] {} \ geq 1 & + {\ frac {1} {2}} && + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {4}}}} && + {\ frac {1} {4}} && + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {8}}}} && + {\ frac {1} { \ color {red} {\ mathbf {8}}}} && + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {8}}}} && + {\ frac {1} {8}} && + {\ frac {1} {\ color {красный} {\ mathbf {16}}}} && + \ cdots \ end {alignat}}}$

Каждый член гармонического ряда больше или равен соответствующему члену второго ряда, и поэтому сумма гармонического ряда должна быть больше или равна сумме второго ряда. Однако сумма второй серии бесконечна:

${\ displaystyle {\ begin {align} & 1 + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4} } \ right) + \ left ({\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8} } \ right) + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ cdots + {\ frac {1} {16}} \ right) + \ cdots \\ [5pt] {} = {} & 1+ { \ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + \ cdots = \ infty. \ конец {выровнен}}}$

(Здесь " " - это просто условное обозначение, указывающее, что частичные суммы ряда неограниченно растут.) ${\ displaystyle = \ infty}$

Отсюда следует (из сравнительного теста ), что сумма гармонического ряда также должна быть бесконечной. Точнее, приведенное выше сравнение доказывает, что

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {2 ^ {k}} {\ frac {1} {n}} \ geq 1 + {\ frac {k} {2}}}$

для любого положительного целого числа к .

Это доказательство, предложенное Николь Орем примерно в 1350 году, многие в математическом сообществе считают вершиной средневековой математики . Сегодня это стандартное доказательство, которому преподают на уроках математики. Тест конденсации Коши является обобщением этого аргумента.

Интегральный тест

Иллюстрация интегрального теста.

Расхождение гармонического ряда можно доказать, сравнив его сумму с несобственным интегралом . В частности, рассмотрите расположение прямоугольников, показанных на рисунке справа. Каждый прямоугольник имеет ширину 1 единицу и1/п единиц высотой, поэтому общая площадь бесконечного числа прямоугольников является суммой гармонического ряда:

${\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area of}} \\ {\ text {rectangles}} \ end {array}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + { \ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots}$

Кроме того, общая площадь под кривой y =1/Иксот 1 до бесконечности дается расходящимся несобственным интегралом :

${\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area under}} \\ {\ text {curve}} \ end {array}} = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ infty.}$

Поскольку эта область полностью заключена в прямоугольники, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной. Точнее, первые прямоугольники полностью покрывают область под кривой для и поэтому ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle 1 \ Leq х \ Leq к + 1}$

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n}}> \ int _ {1} ^ {k + 1} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ ln (k + 1).}$$

Обобщение этого аргумента известно как интегральный тест .

Скорость расхождения

Гармонический ряд расходится очень медленно. Например, сумма первых 10 ⁴³ членов меньше 100. Это связано с тем, что частичные суммы ряда имеют логарифмический рост . Особенно,

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n}} = \ ln k + \ gamma + \ varepsilon _ {k} \ leq (\ ln k) +1}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони, а ε _k ∼1/2 ккоторый стремится к 0, когда k стремится к бесконечности. Леонард Эйлер доказал и это, и еще более поразительный факт: сумма, включающая только обратные числам простых чисел, также расходится, т. Е.

${\ displaystyle \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} { 17}} + \ cdots = \ infty.}$

Частичные суммы

Конечные частичные суммы расходящихся гармонических рядов,

${\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}},}$

называются гармоническими числами .

Разница между H _n и ln n сходится к постоянной Эйлера – Маскерони . Разница между любыми двумя номерами гармоник никогда не бывает целой. Никакие гармонические числа не являются целыми, за исключением H ₁ = 1 .

Связанные серии

Переменный гармонический ряд

Первые четырнадцать частичных сумм переменного гармонического ряда (черные отрезки) показаны сходящимися к натуральному логарифму 2 (красная линия).

Сериал

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2}} + { \ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots}$

известен как чередующийся гармонический ряд . Этот ряд сходится с помощью теста чередующихся рядов . В частности, сумма равна натуральному логарифму 2 :

${\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots = \ ln 2.}$

Чередующийся гармонический ряд, хотя и условно сходится , не является абсолютно сходящимся : если члены ряда систематически переупорядочиваются, в общем случае сумма становится другой и, в зависимости от перестановки, возможно, даже бесконечной.

Переменная гармонический ряд формула является частным случаем серии Меркатора , в ряде Тейлора для натурального логарифма.

Родственный ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}$

Это известно как серия Лейбница .

Общий гармонический ряд

Вообще гармонический ряд имеет вид

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {an + b}},}$

где a ≠ 0 и b - действительные числа, аб/а не равно нулю или отрицательному целому числу.

При проверке предельного сравнения с гармоническим рядом все общие гармонические ряды также расходятся.

p- серия

Обобщение гармонических рядов является р -ряды (или гипергармонич серии ), определяемые как

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {p}}}}$

для любого действительного числа p . Когда р = 1 , то р -ряды является гармонический ряд, который расходится. Либо интегральный тест, либо тест конденсации Коши показывают, что p- ряд сходится для всех p > 1 (в этом случае он называется надгармоническим рядом ) и расходится для всех p ≤ 1 . Если p > 1, то сумма p- ряда равна ζ ( p ) , т. Е. Дзета-функция Римана, вычисленная в p .

Проблема нахождения суммы для p = 2 называется проблемой Базеля ; Леонард Эйлер показал, что этоπ ²/6. Значение суммы для p = 3 называется постоянной Апери , поскольку Роджер Апери доказал, что это иррациональное число .

ln-серия

Относящиеся к р -рядов является ЛН-серии , определяемые как

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (\ ln n) ^ {p}}}}$

для любого положительного действительного числа p . Это можно показать с помощью интегрального теста, что он расходится при p ≤ 1, но сходится при всех p > 1 .

φ- серия

Для любой выпуклой вещественнозначной функции φ такой, что

${\ displaystyle \ limsup _ {u \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ varphi \ left ({\ frac {u} {2}} \ right)} {\ varphi (u)}} <{\ гидроразрыв {1} {2}},}$

сериал

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} \ varphi \ left ({\ frac {1} {n}} \ right)}$

сходится.

Случайный гармонический ряд

Случайный гармонический ряд

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {s_ {n}} {n}},}$

где s _n - независимые , одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения +1 и −1 с равной вероятностью1/2, является хорошо известным примером в теории вероятностей для ряда случайных величин, сходящегося с вероятностью 1 . Факт этой сходимости является простым следствием либо теоремы Колмогорова о трех рядах, либо тесно связанного с ней максимального неравенства Колмогорова . Байрон Шмуланд из Университета Альберты дополнительно исследовал свойства случайного гармонического ряда и показал, что сходящийся ряд - это случайная величина с некоторыми интересными свойствами. В частности, функция плотности вероятности этой случайной величины, оцененная как +2 или −2, принимает значение0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 764 ..., отличных от1/8менее чем на 10 ⁻⁴² . В статье Шмуланда объясняется, почему эта вероятность так близка, но не совсем точна,1/8. Точное значение этой вероятности дается бесконечным интегралом произведения косинусов C _2, деленным на π .

Истощенный гармонический ряд

Истощены гармонический ряд , где все условия , в которых цифра 9 появляется где - нибудь в знаменателе удаляются может быть показано сходиться к значению 22,92067 66192 64150 34816 ... . Фактически, когда все термины, содержащие какую-либо конкретную строку цифр (в любом основании ), удаляются, ряд сходится.

Приложения

Гармонический ряд может показаться нелогичным для студентов, впервые столкнувшихся с ним, потому что это расходящийся ряд, даже если предел n- го члена, когда n стремится к бесконечности, равен нулю. Дивергенция гармонического ряда также является источником некоторых очевидных парадоксов . Один из примеров - « червяк на резинке ». Предположим, что червь ползет по бесконечно эластичной резиновой ленте длиной один метр, в то время как резинка равномерно растянута. Если червь перемещается со скоростью 1 сантиметр в минуту, а лента растягивается на 1 метр в минуту, дойдет ли червь когда-нибудь до конца резинки? Ответ, как это ни парадоксально, - «да», поскольку через n минут отношение расстояния, пройденного червяком, к общей длине резиновой ленты равно

${\ displaystyle {\ frac {1} {100}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}.}$

(На самом деле фактическое соотношение немного меньше этой суммы, поскольку полоса непрерывно расширяется.)

Поскольку ряд становится произвольно большим по мере увеличения n , в конечном итоге это отношение должно превышать 1, что означает, что червяк достигает конца резиновой ленты. Однако значение n, при котором это происходит, должно быть чрезвычайно большим: примерно e ¹⁰⁰ , т.е. число, превышающее 10 ⁴³ минут (10 ³⁷ лет). Хотя гармонический ряд действительно расходится, это происходит очень медленно.

Другая проблема, связанная с гармоническим рядом, - это проблема Jeep , которая (в одной форме) спрашивает, сколько всего топлива требуется джипу с ограниченной топливной вместимостью, чтобы пересечь пустыню, возможно, оставляя капли топлива на маршруте. Расстояние, которое можно преодолеть с заданным количеством топлива, связано с частичными суммами гармонического ряда, которые растут логарифмически. Таким образом, необходимое количество топлива увеличивается экспоненциально с желаемой дистанцией.

Проблема укладки блоков: блоки, выровненные по гармоническим последовательностям, соединяют сколы любой ширины.

Другой пример - проблема с укладкой блоков : учитывая набор одинаковых доминошек, очевидно, что их можно сложить на краю стола так, чтобы они свешивались с края стола, не падая. Противоречивый результат состоит в том, что их можно сложить таким образом, чтобы свес был сколь угодно большим, при условии, что домино достаточно.

С другой стороны, более простой пример - пловец, который продолжает прибавлять скорость, касаясь стенок бассейна. Пловец начинает пересекать 10-метровый бассейн со скоростью 2 м / с, и с каждым переходом к скорости прибавляется еще 2 м / с. Теоретически скорость пловца не ограничена, но количество переходов через бассейн, необходимое для достижения этой скорости, становится очень большим; например, чтобы достичь скорости света (игнорируя специальную теорию относительности ), пловцу нужно пересечь бассейн 150 миллионов раз. В отличие от этого большого числа, время, необходимое для достижения заданной скорости, зависит от суммы ряда при любом заданном количестве переходов (итераций) пула:

${\ displaystyle {\ frac {10} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}.}$

Подсчет суммы (итеративно) показывает, что для достижения скорости света требуется всего 97 секунд. Продолжая движение дальше этой точки (превышая скорость света, снова игнорируя специальную теорию относительности ), время, необходимое для пересечения бассейна, фактически приближается к нулю, поскольку количество итераций становится очень большим, и хотя время, необходимое для пересечения бассейна, кажется, стремятся к нулю (при бесконечном количестве итераций), сумма итераций (время, затрачиваемое на полное пересечение пула) все равно будет расходиться с очень медленной скоростью.

Смотрите также

• Эта функция Дирихле
• Гармоническая прогрессия
• Список сумм обратных величин

использованная литература

внешние ссылки

• "Гармонический ряд" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Гармонический ряд расходится снова и снова» (PDF) . Обзор AMATYC . 27 : 31–43. 2006 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гармонический ряд» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Задача укладки книг" . MathWorld .
• Худельсон, Мэтт (1 октября 2010 г.). «Доказательство без слов: сумма переменного гармонического ряда равна ln 2» (PDF) . Математический журнал . 83 (4): 294. DOI : 10,4169 / 002557010X521831 . S2CID  119484945 .