Интегрирование по формулам приведения - Integration by reduction formulae

В интегральном исчислении интегрирование по формулам редукции - это метод, основанный на рекуррентных соотношениях . Он используется , когда выражение , содержащее целочисленный параметр , как правило , в виде степеней элементарных функций или продуктов из трансцендентных функций и полиномов произвольной степени , не может быть интегрированы непосредственно. Но используя другие методы интегрирования , можно настроить формулу редукции для получения интеграла того же или подобного выражения с меньшим целочисленным параметром, постепенно упрощая интеграл до тех пор, пока он не будет вычислен. Этот метод интеграции - один из самых ранних.

Как найти формулу приведения

Формула сокращения может быть получена с использованием любого из распространенных методов интегрирования, таких как интегрирование путем подстановки , интегрирование по частям , интегрирование посредством тригонометрической подстановки , интегрирование по частичным дробям и т. Д. Основная идея состоит в том, чтобы выразить интеграл, включающий целочисленный параметр (например, power) функции, представленной I _n , в терминах интеграла, который включает меньшее значение параметра (меньшую степень) этой функции, например I _{n -1} или I _{n -2} . Это делает формулу редукции типом рекуррентного отношения . Другими словами, формула приведения выражает интеграл

{\ Displaystyle I_ {п} = \ int е (х, п) \, {\ текст {d}} х,}

с точки зрения

{\ Displaystyle I_ {к} = \ int е (х, к) \, {\ текст {d}} х,}

куда

{\ Displaystyle к <п.}

Как вычислить интеграл

Чтобы вычислить интеграл, мы устанавливаем n равным его значению и используем формулу сокращения, чтобы выразить его через интеграл ( n - 1) или ( n - 2). Интеграл с более низким индексом может использоваться для вычисления интегралов с более высоким индексом; процесс продолжается до тех пор, пока мы не достигнем точки, в которой интегрируемая функция может быть вычислена, обычно когда ее индекс равен 0 или 1. Затем мы выполняем обратную замену предыдущих результатов, пока не вычислим I _n .

Примеры

Ниже приведены примеры процедуры.

Интеграл косинуса

Обычно интегралы типа

{\ Displaystyle \ int \ соз ^ {п} х \, {\ текст {d}} х, \, \!}

можно оценить по формуле приведения.

{\ Displaystyle \ int \ соз ^ {п} (х) \, {\ текст {d}} х \!}

, для n = 1, 2 ... 30

Начните с установки:

{\ displaystyle I_ {n} = \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x. \, \!}

Теперь перепишите как:

{\ displaystyle I_ {n} = \ int \ cos ^ {n-1} x \ cos x \, {\ text {d}} x, \, \!}

Интегрируя этой заменой:

{\ Displaystyle \ соз х \, {\ текст {d}} х = {\ текст {d}} (\ грех х), \, \!}

{\ displaystyle I_ {n} = \ int \ cos ^ {n-1} x \, {\ text {d}} (\ sin x). \!}

Теперь интегрируем по частям:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x- \ int \ sin x \, { \ text {d}} (\ cos ^ {n-1} x) \\ & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ sin x \ cos ^ {n-2 } x \ sin x \, {\ text {d}} x \\ & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ {2} x \, {\ text {d}} x \\ & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x (1- \ cos ^ {2} x) \, {\ text {d}} x \\ & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ , {\ text {d}} x- (n-1) \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x \\ & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) I_ {n-2} - (n-1) I_ {n}, \ end {align}} \,}

решение для I _n :

{\ Displaystyle I_ {п} \ + (п-1) I_ {п} \ = \ соз ^ {п-1} х \ грех х \ + \ (п-1) I_ {п-2}, \,}

{\ Displaystyle пI_ {п} \ = \ соз ^ {п-1} (х) \ грех х \ + (п-1) I_ {п-2}, \,}

{\ displaystyle I_ {n} \ = {\ frac {1} {n}} \ cos ^ {n-1} x \ sin x \ + {\ frac {n-1} {n}} I_ {n-2 }, \,}

так что формула редукции:

{\ displaystyle \ int \ cos ^ {n} x \, {\ text {d}} x \ = {\ frac {1} {n}} \ cos ^ {n-1} x \ sin x + {\ frac { n-1} {n}} \ int \ cos ^ {n-2} x \, {\ text {d}} x. \!}

Чтобы дополнить пример, приведенное выше можно использовать для вычисления интеграла для (скажем) n = 5;

{\ displaystyle I_ {5} = \ int \ cos ^ {5} x \, {\ text {d}} x. \, \!}

Расчет нижних индексов:

{\ displaystyle n = 5, \ quad I_ {5} = {\ tfrac {1} {5}} \ cos ^ {4} x \ sin x + {\ tfrac {4} {5}} I_ {3}, \ ,}

{\ displaystyle n = 3, \ quad I_ {3} = {\ tfrac {1} {3}} \ cos ^ {2} x \ sin x + {\ tfrac {2} {3}} I_ {1}, \ ,}

обратное замещение:

{\ displaystyle \, потому что I_ {1} \ = \ int \ cos x \, {\ text {d}} x = \ sin x + C_ {1}, \,}

{\ displaystyle \, следовательно, I_ {3} \ = {\ tfrac {1} {3}} \ cos ^ {2} x \ sin x + {\ tfrac {2} {3}} \ sin x + C_ {2}, \ quad C_ {2} \ = {\ tfrac {2} {3}} C_ {1}, \,}

{\ displaystyle I_ {5} \ = {\ frac {1} {5}} \ cos ^ {4} x \ sin x + {\ frac {4} {5}} \ left [{\ frac {1} {3 }} \ cos ^ {2} x \ sin x + {\ frac {2} {3}} \ sin x \ right] + C, \,}

где C - постоянная.

Экспоненциальный интеграл

Другой типичный пример:

{\ displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x. \, \!}

Начните с установки:

{\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x. \, \!}

Интегрируем заменой:

{\ displaystyle x ^ {n} \, {\ text {d}} x = {\ frac {{\ text {d}} (x ^ {n + 1})} {n + 1}}, \, \ !}

{\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {1} {n + 1}} \ int e ^ {ax} \, {\ text {d}} (x ^ {n + 1}), \!}

Теперь интегрируем по частям:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int e ^ {ax} \, {\ text {d}} (x ^ {n + 1}) & = x ^ {n + 1} e ^ {ax} - \ int x ^ {n + 1} \, {\ text {d}} (e ^ {ax}) \\ & = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -a \ int x ^ {n + 1 } e ^ {ax} \, {\ text {d}} x, \ end {align}} \!}

{\ displaystyle (n + 1) I_ {n} = x ^ {n + 1} e ^ {ax} -aI_ {n + 1}, \!}

сдвиг индексов назад на 1 (так что n + 1 → n , n → n - 1):

{\ displaystyle nI_ {n-1} = x ^ {n} e ^ {ax} -aI_ {n}, \!}

решение для I _n :

{\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_ {n-1} \ right), \, \!}

так что формула редукции:

{\ displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} - n \ int x ^ {n-1} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x \ right). \!}

Альтернативный способ вывода начинается с подстановки . ${\ displaystyle e ^ {ax}}$

Интеграция заменой:

${\ displaystyle e ^ {ax} \, {\ text {d}} x = {\ frac {{\ text {d}} (e ^ {ax})} {a}}, \, \!}$

${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {1} {a}} \ int x ^ {n} \, {\ text {d}} (e ^ {ax}), \!}$

Теперь интегрируем по частям:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int x ^ {n} \, {\ text {d}} (e ^ {ax}) & = x ^ {n} e ^ {ax} - \ int e ^ { ax} \, {\ text {d}} (x ^ {n}) \\ & = x ^ {n} e ^ {ax} -n \ int e ^ {ax} x ^ {n-1} \, {\ text {d}} х, \ end {выровнено}} \!}$

что дает формулу сокращения при обратной подстановке:

${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_ {n-1} \ right), \, \!}$

что эквивалентно:

{\ displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} - n \ int x ^ {n-1} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x \ right). \!}

Другой альтернативный способ, которым вывод может быть выполнен путем интегрирования по частям:

{\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} xe ^ {ax} \, {\ text {d}} x, \!}

{\ displaystyle u = x ^ {n} {\ text {,}} \ dv = e ^ {ax},}

{\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} \ = nx ^ {n-1} {\ text {,}} \ v = {\ frac {e ^ {ax}} {a}} \}

{\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} \ - \ int nx ^ {n-1} \ {\ frac {e ^ {ax}} { а}} \ {\ текст {d}} х \}

{\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} \ - {\ frac {n} {a}} \ \ int x ^ {n-1} e ^ {ах} \ {\ текст {d}} х \}

Помнить:

{\ displaystyle I_ {n-1} = \ int x ^ {n-1} e ^ {ax} \ {\ text {d}} x \}

{\ displaystyle \ поэтому \ I_ {n} = {\ frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} \ - {\ frac {n} {a}} \ I_ {n-1}}

что дает формулу сокращения при обратной подстановке:

{\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} -nI_ {n-1} \ right), \, \!}

что эквивалентно:

{\ displaystyle \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x = {\ frac {1} {a}} \ left (x ^ {n} e ^ {ax} - n \ int x ^ {n-1} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x \ right). \!}

Таблицы формул интегральной редукции

Рациональные функции

Следующие интегралы содержат:

Факторы линейного радикала ${\ displaystyle {\ sqrt {ax + b}} \, \!}$
Линейные множители и линейный радикал ${\ displaystyle {px + q} \, \!}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {ax + b}} \, \!}$
Квадратичные факторы ${\ Displaystyle х ^ {2} + ^ {2} \, \!}$
Квадратичные коэффициенты для ${\ displaystyle x ^ {2} -a ^ {2} \, \!}$ ${\ Displaystyle х> а \, \!}$
Квадратичные коэффициенты для ${\ Displaystyle а ^ {2} -x ^ {2} \, \!}$ ${\ Displaystyle х <а \, \!}$
( Неприводимые ) квадратичные множители ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \, \!}$
Радикалы неприводимых квадратичных множителей ${\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {x ^ {n}} {\ sqrt {ax + b}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {2x ^ {n} {\ sqrt {ax + b}}} {a (2n + 1)}} - {\ frac {2nb} {a (2n + 1) }}В 1}\,\!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {n} {\ sqrt {ax + b}}}} \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) bx ^ {n-1}}} - {\ frac {a (2n-3)} {2b (n-1)}} I_ {n-1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} {\ sqrt {ax + b}} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {2x ^ {n} {\ sqrt {(ax + b) ^ {3}}}} {a (2n + 3)}} - {\ frac {2nb} { а (2n + 3)}} I_ {n-1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(ax + b) ^ {m} (px + q) ^ {n}}} \, \! }$	${\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {case} - {\ frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} \ left [{\ frac {1} {(ax + b ) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + a (m + n-2) I_ {m, n-1} \ right] \\ {\ frac {1} {( m-1) (bp-aq)}} \ left [{\ frac {1} {(ax + b) ^ {m-1} (px + q) ^ {n-1}}} + p (m + n-2) I_ {m-1, n} \ right] \ end {case}} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {case} - {\ frac {1} {(n-1) (bp-aq)}} \ left [{\ frac {(ax + b) ^ { m + 1}} {(px + q) ^ {n-1}}} + a (nm-2) I_ {m, n-1} \ right] \\ - {\ frac {1} {(nm- 1) p}} \ left [{\ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1}}} + m (bp-aq) I_ {m-1, n } \ right] \\ - {\ frac {1} {(n-1) p}} \ left [{\ frac {(ax + b) ^ {m}} {(px + q) ^ {n-1 }}} - amI_ {m-1, n-1} \ right] \ end {case}} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {(px + q) ^ {n}} {\ sqrt {ax + b}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle \ int (px + q) ^ {n} {\ sqrt {ax + b}} \, {\ text {d}} x = {\ frac {2 (px + q) ^ {n + 1} {\ sqrt {ax + b}}} {p (2n + 3)}} + {\ frac {bp-aq} {p (2n + 3)}} I_ {n} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {2 (px + q) ^ {n} {\ sqrt {ax + b}}} {a (2n + 1)}} + {\ frac {2n (aq- bp)} {a (2n + 1)}} I_ {n-1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(px + q) ^ {n} {\ sqrt {ax + b}}}} \, \!}$	${\ displaystyle \ int {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {(px + q) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {p (n-1) (px + q) ^ {n-1}}} + {\ frac {a} {2p (n-1)}} I_ {n} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sqrt {ax + b}} {(n-1) (aq-bp) (px + q) ^ {n-1}}} + {\ frac { a (2n-3)} {2 (n-1) (aq-bp)}} I_ {n-1} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}} \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n-1}}} + {\ frac {2n-3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {m} (x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}} \, \!}$	${\ displaystyle a ^ {2} I_ {n, m} = I_ {m, n-1} -I_ {m-2, n} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} + a ^ {2}) ^ {n}}} \, {\ text {d} }Икс\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n, m} = I_ {m-2, n-1} -a ^ {2} I_ {m-2, n} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n-1}}} - {\ гидроразрыв {2n-3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {m} (x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} \, \!}$	${\ displaystyle {a ^ {2}} I_ {n, m} = I_ {m-2, n} -I_ {m, n-1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {x ^ {m}} {(x ^ {2} -a ^ {2}) ^ {n}}} \, {\ text {d} }Икс\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n, m} = I_ {m-2, n-1} + a ^ {2} I_ {m-2, n} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {(a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}} \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {x} {2a ^ {2} (n-1) (a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n-1}}} + {\ frac {2n-3} {2a ^ {2} (n-1)}} I_ {n-1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {m} (a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}} \, \!}$	${\ displaystyle {a ^ {2}} I_ {n, m} = I_ {m, n-1} + I_ {m-2, n} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n, m} = \ int {\ frac {x ^ {m}} {(a ^ {2} -x ^ {2}) ^ {n}}} \, {\ text {d} }Икс\,\!}$	${\ Displaystyle I_ {n, m} = a ^ {2} I_ {m-2, n} -I_ {m-2, n-1} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {{x ^ {n}} (ax ^ {2} + bx + c)}} \, \!}$	${\ displaystyle -cI_ {n} = {\ frac {1} {x ^ {n-1} (n-1)}} + bI_ {n-1} + aI_ {n-2} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {x ^ {m} \, {\ text {d}} x} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} \, \!}$	${\ displaystyle I_ {m, n} = - {\ frac {x ^ {m-1}} {a (2n-m-1) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}} } - {\ frac {b (nm)} {a (2n-m-1)}} I_ {m-1, n} + {\ frac {c (m-1)} {a (2n-m-1) )}} I_ {m-2, n} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {x ^ {m} (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} \, \!}$	${\ displaystyle -c (m-1) I_ {m, n} = {\ frac {1} {x ^ {m-1} (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n-1}}} + {a (m + 2n-3)} I_ {m-2, n} + {b (m + n-2)} I_ {m-1, n} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle 8a (n + 1) I_ {n + {\ frac {1} {2}}} = 2 (2ax + b) (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n + {\ frac {1} {2}}} + (2n + 1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n - {\ frac {1} {2}}} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle (2n-1) (4ac-b ^ {2}) I_ {n + {\ frac {1} {2}}} = {\ frac {2 (2ax + b)} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n - {\ frac {1} {2}}}}} + {8a (n-1)} I_ {n - {\ frac {1} {2}}} \, \! }$

Отметим, что по законам индексов :

{\ displaystyle I_ {n + {\ frac {1} {2}}} = I _ {\ frac {2n + 1} {2}} = \ int {\ frac {1} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {\ frac {2n + 1} {2}}}} \, {\ text {d}} x = \ int {\ frac {1} {\ sqrt {(ax ^ {2} + bx + c ) ^ {2n + 1}}}} \, {\ text {d}} x \, \!}

Трансцендентные функции

Следующие интегралы содержат:

Факторы синуса
Коэффициенты косинуса
Коэффициенты произведений синусов и косинусов и частных
Произведения / отношения экспоненциальных множителей и степеней x
Произведение экспоненциального множителя и синуса / косинуса

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} \ sin {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle a ^ {2} I_ {n} = - ax ^ {n} \ cos {ax} + nx ^ {n-1} \ sin {ax} -n (n-1) I_ {n-2} \, \!}$
${\ displaystyle J_ {n} = \ int x ^ {n} \ cos {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle a ^ {2} J_ {n} = ax ^ {n} \ sin {ax} + nx ^ {n-1} \ cos {ax} -n (n-1) J_ {n-2} \ , \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {\ sin {ax}} {x ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$ ${\ displaystyle J_ {n} = \ int {\ frac {\ cos {ax}} {x ^ {n}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} + {\ frac {a} {n-1}} J_ {n -1} \, \!}$ ${\ displaystyle J_ {n} = - {\ frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {n-1}} I_ {n -1} \, \!}$ формулы можно объединить, чтобы получить отдельные уравнения в I _n : ${\ displaystyle J_ {n-1} = - {\ frac {\ cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} - {\ frac {a} {n-2}} I_ {п-2} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {n} = - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {n-1}} \ left [ {\ frac {\ cos {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {\ frac {a} {n-2}} I_ {n-2} \ right] \, \ !}$ ${\ displaystyle \, следовательно, I_ {n} = - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {(n-1) ( n-2)}} \ left ({\ frac {\ cos {ax}} {x ^ {n-2}}} + aI_ {n-2} \ right) \, \!}$ и J _n : ${\ displaystyle I_ {n-1} = - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {\ frac {a} {n-2}} J_ {п-2} \, \!}$ ${\ displaystyle J_ {n} = - {\ frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {n-1}} \ left [ - {\ frac {\ sin {ax}} {(n-2) x ^ {n-2}}} + {\ frac {a} {n-2}} J_ {n-2} \ right] \, \!}$ ${\ displaystyle \, следовательно, J_ {n} = - {\ frac {\ cos {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} - {\ frac {a} {(n-1) ( n-2)}} \ left (- {\ frac {\ sin {ax}} {x ^ {n-2}}} + aJ_ {n-2} \ right) \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int \ sin ^ {n} {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle anI_ {n} = - \ sin ^ {n-1} {ax} \ cos {ax} + a (n-1) I_ {n-2} \, \!}$
${\ displaystyle J_ {n} = \ int \ cos ^ {n} {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle anJ_ {n} = \ sin {ax} \ cos ^ {n-1} {ax} + a (n-1) J_ {n-2} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {\ sin ^ {n} {ax}}} \, \!}$	${\ displaystyle (n-1) I_ {n} = - {\ frac {\ cos {ax}} {a \ sin ^ {n-1} {ax}}} + (n-2) I_ {n-2 } \, \!}$
${\ displaystyle J_ {n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {\ cos ^ {n} {ax}}} \, \!}$	${\ displaystyle (n-1) J_ {n} = {\ frac {\ sin {ax}} {a \ cos ^ {n-1} {ax}}} + (n-2) J_ {n-2} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int \ sin ^ {m} {ax} \ cos ^ {n} {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {cases} - {\ frac {\ sin ^ {m-1} {ax} \ cos ^ {n + 1} {ax}} {a (m + n )}} + {\ frac {m-1} {m + n}} I_ {m-2, n} \\ {\ frac {\ sin ^ {m + 1} {ax} \ cos ^ {n-1 } {ax}} {a (m + n)}} + {\ frac {n-1} {m + n}} I_ {m, n-2} \\\ end {case}} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {{\ text {d}} x} {\ sin ^ {m} {ax} \ cos ^ {n} {ax}}} \, \! }$	${\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {cases} {\ frac {1} {a (n-1) \ sin ^ {m-1} {ax} \ cos ^ {n-1} {ax }}} + {\ frac {m + n-2} {n-1}} I_ {m, n-2} \\ - {\ frac {1} {a (m-1) \ sin ^ {m- 1} {ax} \ cos ^ {n-1} {ax}}} + {\ frac {m + n-2} {m-1}} I_ {m-2, n} \\\ end {case} } \, \!}$
${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {\ sin ^ {m} {ax}} {\ cos ^ {n} {ax}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {case} {\ frac {\ sin ^ {m-1} {ax}} {a (n-1) \ cos ^ {n-1} {ax} }} - {\ frac {m-1} {n-1}} I_ {m-2, n-2} \\ {\ frac {\ sin ^ {m + 1} {ax}} {a (n- 1) \ cos ^ {n-1} {ax}}} - {\ frac {m-n + 2} {n-1}} I_ {m, n-2} \\ - {\ frac {\ sin ^ {m-1} {ax}} {a (mn) \ cos ^ {n-1} {ax}}} + {\ frac {m-1} {mn}} I_ {m-2, n} \\ \ end {case}} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {m, n} = \ int {\ frac {\ cos ^ {m} {ax}} {\ sin ^ {n} {ax}}} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {m, n} = {\ begin {cases} - {\ frac {\ cos ^ {m-1} {ax}} {a (n-1) \ sin ^ {n-1} {ax }}} - {\ frac {m-1} {n-1}} I_ {m-2, n-2} \\ - {\ frac {\ cos ^ {m + 1} {ax}} {a ( n-1) \ sin ^ {n-1} {ax}}} - {\ frac {m-n + 2} {n-1}} I_ {m, n-2} \\ {\ frac {\ cos ^ {m-1} {ax}} {a (mn) \ sin ^ {n-1} {ax}}} + {\ frac {m-1} {mn}} I_ {m-2, n} \ \\ конец {случаи}} \, \!}$

интеграл	Формула приведения
${\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$ ${\ Displaystyle п> 0 \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {x ^ {n} e ^ {ax}} {a}} - {\ frac {n} {a}} I_ {n-1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int x ^ {- n} e ^ {ax} \, {\ text {d}} x \, \!}$ ${\ Displaystyle п> 0 \, \!}$ ${\ Displaystyle п \ neq 1 \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {-e ^ {ax}} {(n-1) x ^ {n-1}}} + {\ frac {a} {n-1}} I_ {n -1} \, \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int e ^ {ax} \ sin ^ {n} {bx} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {e ^ {ax} \ sin ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} \ left (a \ sin bx-bn \ cos bx \ right) + {\ frac {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I_ {n-2} \ , \!}$
${\ displaystyle I_ {n} = \ int e ^ {ax} \ cos ^ {n} {bx} \, {\ text {d}} x \, \!}$	${\ displaystyle I_ {n} = {\ frac {e ^ {ax} \ cos ^ {n-1} {bx}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} \ left (a \ cos bx + bn \ sin bx \ right) + {\ frac {n (n-1) b ^ {2}} {a ^ {2} + (bn) ^ {2}}} I_ {n-2} \ , \!}$