Кляйнианская группа - Kleinian group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , А клейнова группа является дискретной подгруппой в PSL (2,  С ) . Группы PSL (2,  С ) 2 по 2 комплексных матриц из определителем 1 по модулю его центр имеет несколько природных представлений: в качестве конформных преобразований в сфере Римана , а также сохраняющих ориентацию изометрий 3-мерного гиперболического пространства H ³ , и , как Сохраняющие ориентацию конформные отображения открытого единичного шара B ³ в R ³ в себя. Поэтому клейнову группу можно рассматривать как дискретную подгруппу, действующую в одном из этих пространств.

История

Теория общих клейнианских групп была основана Феликсом Кляйном  ( 1883 г. ) и Анри Пуанкаре  ( 1883 г. ), которые назвали их в честь Феликса Клейна . Частный случай групп Шоттки был изучен Шоттки несколькими годами ранее, в 1877 году.

Определения

Рассматривая границу шара, клейнову группу можно также определить как подгруппу Γ в PGL (2, C ), комплексную проективную линейную группу , которая действует преобразованиями Мёбиуса на сфере Римана . Классически от клейнианской группы требовалось, чтобы она действовала должным образом прерывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана, но современное использование допускает любую дискретную подгруппу.

Когда Γ изоморфна фундаментальной группе о наличии гиперболического 3-многообразия , то фактор - пространстве H ³ / Γ становится моделью клейнова многообразия. Многие авторы используют термины кляйнианская модель и кляйнианская группа как синонимы, позволяя одному заменять другое. ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$

Из дискретности следует, что точки в B ³ имеют конечные стабилизаторы и дискретные орбиты относительно группы Γ. Но орбита Γ p точки p обычно накапливается на границе замкнутого шара . ${\ displaystyle {\ bar {B}} ^ {3}}$

Аполлоническая прокладка представляет собой пример предельного множества клейновой группы

Граница замкнутого шара называется сферой на бесконечности и обозначается . Множество точек накопления Γ p in называется предельным множеством Γ и обычно обозначается . Дополнение называется областью разрыва или обычным множеством, или регулярным множеством . Из теоремы Альфорса о конечности следует, что если группа конечно порождена, то она является римановым поверхностным орбифолдом конечного типа. ${\ Displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}$${\ Displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Lambda (\ Gamma)}$${\ Displaystyle \ Omega (\ Gamma) = S _ {\ infty} ^ {2} - \ Lambda (\ Gamma)}$${\ Displaystyle \ Omega (\ Gamma) / \ Gamma}$

Единичный шар B ³ с его конформной структурой является моделью Пуанкара из гиперболического 3-пространства . Когда мы думаем об этом метрически, с метрической

${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4 \, \ left | dx \ right | ^ {2}} {\ left (1- | x | ^ {2} \ right) ^ {2}}} }$

это модель 3-мерного гиперболического пространства H ³ . Набор конформных отображений в себя B ³ становится набором изометрий (т. Е. Сохраняющих расстояние отображений) H ³ при этом отождествлении. Такие отображения ограничиваются конформными отображениями в себя , которые являются преобразованиями Мёбиуса . Есть изоморфизмы ${\ Displaystyle S _ {\ infty} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Mob} (S _ {\ infty} ^ {2}) \ cong \ operatorname {Conf} (B ^ {3}) \ cong \ operatorname {Isom} (\ mathbf {H} ^ {3} ).}$

Все подгруппы этих групп, состоящие из сохраняющих ориентацию преобразований, изоморфны группе проективных матриц: PSL (2, C ) посредством обычного отождествления единичной сферы с комплексной проективной прямой P ¹ ( C ).

Вариации

Есть несколько вариантов определения клейновой группы: иногда кляйновым группам разрешается быть подгруппами в PSL (2, C ) .2 (то есть в PSL (2, C ), расширенных комплексными сопряжениями), другими словами, в имеют элементы, изменяющие ориентацию, и иногда предполагается, что они конечно порождены , а иногда от них требуется, чтобы они действовали должным образом прерывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана.

Типы

• Клейнова группа называется конечным типом, если ее область разрыва имеет конечное число орбит компонентов под действием группы, а факторное отношение каждой компоненты по ее стабилизатору представляет собой компактную риманову поверхность с удаленным конечным числом точек и покрытие разветвлено в конечном числе точек.
• Клейнова группа называется конечно порожденной, если она имеет конечное число образующих. Теорема Альфорса о конечности утверждает, что такая группа имеет конечный тип.
• Клейнова группа Γ имеет конечный коволюм, если H ³ / Γ имеет конечный объем. Любая клейнова группа конечного кообъема конечно порождена.
• Клейнова группа называется геометрически конечной, если у нее есть фундаментальный многогранник (в трехмерном гиперболическом пространстве) с конечным числом сторон. Альфорс показал, что если предельное множество не является всей сферой Римана, то оно имеет меру 0.
• Клейнова группа Γ называется арифметической, если она соизмерима с элементами групповой нормы 1 порядка алгебры кватернионов A, разветвленных во всех вещественных точках над числовым полем k ровно с одной комплексной точкой. Арифметические клейновы группы имеют конечный ковобъем.
• Клейнова группа Γ называется кокомпактной, если H ³ / Γ компактна или, что эквивалентно, SL (2, C ) / Γ компактна. Кокомпактные клейновы группы имеют конечный ковобъем.
• Клейнова группа называется топологически ручной, если она конечно порождена и ее гиперболическое многообразие гомеоморфно внутренности компактного многообразия с краем.
• Кляйновская группа называется геометрически ручной, если ее концы либо геометрически конечны, либо просто вырождены ( Thurston 1980 ).
• Клейнова группа называется группой типа 1, если предельным множеством является вся сфера Римана, и группы типа 2 в противном случае.

Примеры

Группы Бьянки

Группа Бианки - это клейнова группа вида PSL (2, O _d ), где - кольцо целых чисел мнимого квадратичного поля для положительного целого числа без квадратов . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-d}})}$

Элементарные и приводимые клейновы группы

Клейнова группа называется элементарной, если ее предельное множество конечно, и в этом случае предельное множество имеет 0, 1 или 2 точки. Примеры элементарных клейновых групп включают конечные клейновы группы (с пустым предельным множеством) и бесконечные циклические клейновы группы.

Клейнова группа называется приводимой, если все элементы имеют общую неподвижную точку на сфере Римана. Приводимые клейновы группы элементарны, но некоторые элементарные конечные клейновы группы неприводимы.

Фуксовы группы

Любая фуксова группа (дискретная подгруппа в PSL (2, R )) является клейновой группой, и, наоборот, любая клейнова группа, сохраняющая вещественную прямую (в ее действии на сфере Римана), является фуксовой группой. В более общем смысле, каждая клейнова группа, сохраняющая окружность или прямую в сфере Римана, сопряжена с фуксовой группой.

Группы Koebe

• Фактор группы кляйнианской G является подгруппой Н максимальна при соблюдении следующих свойств:
  • H имеет односвязную инвариантную компоненту D
  • Сопряжение элемента h из H конформной биекцией является параболическим или эллиптическим тогда и только тогда, когда h есть.
  • Любая параболическая элемент G фиксации граничной точки D в H .
• Клейнова группа называется группой Кёбе, если все ее факторы элементарны или фуксовы.

Квазифуксовы группы

Предельное множество квазифуксовой группы

Клейнова группа, сохраняющая жорданову кривую , называется квазифуксовой группой . Когда кривая Жордана представляет собой окружность или прямую линию, они просто сопряжены с фуксовыми группами при конформных преобразованиях. Конечно порожденные квазифуксовы группы сопряжены фуксовым группам относительно квазиконформных преобразований. Предельное множество содержится в инвариантной жордановой кривой, и если она совпадает с жордановой кривой, группа называется группой типа один , в противном случае она называется группой типа 2 .

Группы Шоттки

Пусть C _i - граничные окружности конечного набора непересекающихся замкнутых дисков. Группа, порожденная инверсией в каждом круге, имеет предельное множество канторово множество , а фактор H ³ / G является зеркальным орбифолдом с подлежащим пространством шаром. Он дважды покрыт с помощью кренделя ; соответствующая подгруппа индекса 2 является клейновой группой, называемой группой Шоттки .

Кристаллографические группы

Пусть T - периодическая мозаика трехмерного гиперболического пространства. Группа симметрий мозаики является клейновой группой.

Фундаментальные группы трехмерных гиперболических многообразий

Фундаментальная группа любого ориентированного гиперболического трехмерного многообразия является клейновой группой. Есть много таких примеров, например, дополнение к узлу в форме восьмерки или пространство Зейферта – Вебера . Наоборот, если клейнова группа не имеет нетривиальных элементов кручения, то это фундаментальная группа трехмерного гиперболического многообразия.

Вырожденные клейновы группы

Клейнова группа называется вырожденной, если она не элементарна и ее предельное множество односвязно. Такие группы можно построить, взяв подходящий предел квазифуксовых групп, такой, что одна из двух компонент регулярных точек стягивается до пустого множества; эти группы называются однократно вырожденными . Если обе компоненты регулярного набора сжимаются до пустого набора, то предельное множество становится кривой, заполняющей пространство, и группа называется дважды вырожденной . Существование вырожденных клейновых групп было впервые косвенно показано Берсом (1970) , а первый явный пример был найден Йоргенсеном. Кэннон и Терстон (2007) привели примеры дважды вырожденных групп и кривых заполнения пространства, связанных с псевдоаносовскими отображениями .

Смотрите также

• Гипотеза о мере Альфорса
• Теорема плотности для клейновых групп
• Завершающая теорема о ламинировании
• Теорема приручения (гипотеза Мардена)

использованная литература

• Берс, Липман (1970), "О границах Тайхмюллера пространств и на Клейн группы I.", Анналы математики , вторая серия 91 (3): 570-600, DOI : 10,2307 / 1970638 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970638 , MR  0297992
• Берс, Липман ; Кра, Ирвин , ред. (1974), ускоренный курс по группам Кляйниана (PDF) , конспект лекций по математике, 400 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0065671 , hdl : 10077/4140 , ISBN 978-3-540-06840-2, MR  0346152
• Кэннон, Джеймс У .; Терстон, Уильям П. (2007) [1982], "Групповые инвариантные кривые Пеано", Геометрия и топология , 11 (3): 1315–1355, DOI : 10.2140 / gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060 , MR  2326947
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Эрстер Бэнд; Die gruppentheoretischen Grundlagen (на немецком языке), Лейпциг: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (на немецком языке), Лейпциг: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01
• Харви, Уильям Джеймс (1978), "Кляйновские группы (обзор).", Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77), Exp. No. 491 , Lecture Notes в математике,. 677 , Springer, Berlin, стр 30-45,. Дои : 10.1007 / BFb0070752 , ISBN 978-3-540-08937-7, Руководство по ремонту  0521758
• Капович, Майкл (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы , Современная классика Биркхойзера, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4913-5 , ISBN 978-0-8176-4912-8, Руководство по ремонту  1792613
• Клейн, Феликс (1883), "Neue Beiträge цур Riemann'schen Functionentheorie" , Mathematische Annalen , 21 (2): 141-218, DOI : 10.1007 / BF01442920 , ISSN  0025-5831 , СУЛ  15.0351.01 , S2CID  120465625
• Кра, Ирвин (1972), Автоморфные формы и клейновы группы , Серия лекций по математике, WA Benjamin, Inc., Рединг, Массачусетс, ISBN 9780805323429, Руководство по ремонту  0357775
• Крушкал, С.Л. (2001) [1994], "Клейнианская группа" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических 3-многообразий , Тексты для выпускников по математике, 219 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , CiteSeerX  10.1.1.169.1318 , DOI : 10.1007 / 978-1-4757- 6720-9 , ISBN 978-0-387-98386-8, MR  1937957
• Маскит, Бернар (1988), клейновские группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 287 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17746-3, Руководство по ремонту  0959135
• Мацудзаки, Кацухико; Танигучи, Масахико (1998), Гиперболические многообразия и клейновые группы , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850062-9, Руководство по ремонту  1638795
• Мамфорд, Дэвид ; Сериал, Кэролайн ; Райт, Дэвид (2002), жемчуг Индры , Cambridge University Press , DOI : 10,1017 / CBO9781107050051.024 , ISBN 978-0-521-35253-6, MR  1913879
• Пуанкаре, Анри (1883), "Мемуаре Ле Groupes kleinéens", Acta Mathematica , 3 : 49-92, DOI : 10.1007 / BF02422441 , ISSN  0001-5962 , СУЛ  15.0348.02
• Series, Caroline (2005), «Ускоренный курс по клейнианским группам» , Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste , 37 (1): 1–38, ISSN  0049-4704 , MR  2227047 , заархивировано с оригинала на 2011-07-22
  • Терстон, Уильям (1980), Геометрия и топология трехмерных многообразий , Примечания к лекциям Принстона
• Thurston, Уильям П. (1982), "Трехмерные многообразия, кляйнианские группы и гиперболической геометрии", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 6 (3): 357-381, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1982 -15003-0 , ISSN  0002-9904 , MR  0648524

внешние ссылки

• Изображение предельного множества квазифуксовой группы из ( Fricke & Klein 1897 , p. 418).
• Изображение предельного множества клейнианской группы из ( Fricke & Klein 1897 , p. 440). Это была одна из первых картинок с установленным лимитом. Компьютерный чертеж того же набора пределов
• Анимации предельных множеств клейновой группы
• Образы Макмаллена, связанные с клейнианскими группами
• Вайсштейн, Эрик В. «Кляйнианская группа» . MathWorld .