Нормальная подгруппа - Normal subgroup

В абстрактной алгебре , A нормальная подгруппа (также известная как инвариантная подгруппа или Самосопряэюенные подгруппы ) является подгруппой , инвариантный относительно сопряжения членов группы которой она является частью. Другими словами, подгруппа группы нормальна в том и только в том случае, если для всех и Обычное обозначение для этого отношения:

Нормальные подгруппы важны, потому что они (и только они) могут использоваться для построения фактор-групп данной группы. Кроме того, нормальные подгруппы в точности ядра из группы гомоморфизмов с доменом что означает , что они могут быть использованы для внутренне классифицировать эти гомоморфизмы.

Эварист Галуа был первым, кто осознал важность существования нормальных подгрупп.

Определения

Подгруппа группы называется нормальной подгруппой в , если она инвариантна относительно сопряжения ; то есть, сопряжение элемента из элементом из всегда находится в . Обычное обозначение для этого отношения:

Эквивалентные условия

Для любой подгруппы из следующих условий эквивалентны , чтобы быть нормальной подгруппой Таким образом, любой из них может быть принято в качестве определения:

  • Образ сопряжения любым элементом из является подмножеством
  • Образ сопряжения любым элементом из равен
  • Для всех правых и левых классов смежности и равны.
  • Множества левых и правых смежных классов по in совпадают.
  • Произведение элемента левого смежного класса по по и элемента левого смежного класса по по является элементом левого смежного класса по по : для всех, если, а затем
  • является объединением из классов сопряженных с
  • сохраняется с помощью внутренних автоморфизмов из
  • Существует некоторый гомоморфизм групп , ядро которого
  • Для всех и коммутатор находится в
  • Любые два элемента коммутируют относительно нормального отношения принадлежности к подгруппе: для всех тогда и только тогда, когда

Примеры

Для любой группы тривиальная подгруппа, состоящая только из единичного элемента, всегда является нормальной подгруппой группы Аналогично, сама всегда является нормальной подгруппой группы (Если это единственные нормальные подгруппы, то она называется простой .) Другие названные нормальные подгруппы группы произвольная группа включает центр группы (набор элементов, которые коммутируют со всеми другими элементами) и коммутаторную подгруппу В более общем смысле, поскольку сопряжение является изоморфизмом, любая характеристическая подгруппа является нормальной подгруппой.

Если это абелева группа, то каждая подгруппа в нормальна, потому что группа, которая не является абелевой, но для которой каждая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой группой .

Пример из бетона нормальной подгруппы подгруппа из симметрической группы , состоящей из идентичности и обоих трех циклов. В частности, можно проверить, что каждый смежный класс либо равен себе, либо равен. С другой стороны, подгруппа не является нормальной в, поскольку

В группе кубика Рубика подгруппы, состоящие из операций, которые влияют только на ориентацию угловых или краевых частей, являются нормальными.

Группа трансляций - нормальная подгруппа евклидовой группы в любом измерении. Это означает: применение жесткого преобразования, за которым следует перенос, а затем обратное жесткое преобразование, имеет тот же эффект, что и одиночный перенос. Напротив, подгруппа всех вращений вокруг начала координат не является нормальной подгруппой евклидовой группы, пока размерность не меньше 2: сначала перенос, затем вращение вокруг начала координат, а затем перенос назад обычно не фиксирует начало координат. и поэтому не будет иметь такого же эффекта, как одиночный поворот вокруг начала координат.

Характеристики

  • Если является нормальной подгруппой и является подгруппой содержащего, то является нормальной подгруппой
  • Нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы не обязательно должна быть нормальной в группе. То есть нормальность - это не переходное отношение . Наименьшей группой, демонстрирующей это явление, является группа диэдра порядка 8. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной. Группа, в которой нормальность транзитивна, называется T-группой .
  • Две группы и являются нормальными подгруппами своего прямого произведения
  • Если группа является полупрямым продуктом, то это нормально, хотя и не обязательно.
  • Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах; то есть, если является сюръективным гомоморфизмом группы и нормален в, то образ нормален в
  • Нормальность сохраняется за счет получения инверсных изображений ; то есть, если является гомоморфизмом группы и нормален в, то прообраз нормален в
  • Нормальность сохраняется при приеме продуктов прямого действия ; то есть, если и тогда
  • Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. В более общем смысле, подгруппа конечного индекса в содержит нормальную по индексу подгруппу деления индекса, называемую нормальным ядром . В частности, если - наименьшее простое число, делящее порядок, то каждая подгруппа индекса нормальна.
  • Тот факт, что нормальные подгруппы группы являются в точности ядрами гомоморфизмов групп, определенных на, объясняет некоторую важность нормальных подгрупп; они являются способом внутренней классификации всех гомоморфизмов, определенных на группе. Например, нетождественная конечная группа проста тогда и только тогда, когда она изоморфна всем своим нетождественным гомоморфным образам, конечная группа совершенна тогда и только тогда, когда у нее нет нормальных подгрупп простого индекса , а группа является несовершенным тогда и только тогда, когда производная подгруппа не дополняется какой-либо собственной нормальной подгруппой.

Решетка нормальных подгрупп

С учетом два нормальных подгрупп, и от их пересечений и их произведение также нормальные подгруппы

Нормальные подгруппы образуют решетку под включения подмножества с наименьшим элементом , и наибольший элемент , The концами двух нормальных подгрупп, и в этом решетка является их пересечение , и присоединиться к их продукт.

Решетка комплектная и модульная .

Нормальные подгруппы, фактор-группы и гомоморфизмы

Если это нормальная подгруппа, мы можем определить умножение на смежных классах следующим образом:

Это отношение определяет отображение. Чтобы показать, что это отображение правильно определено, нужно доказать, что выбор репрезентативных элементов не влияет на результат. С этой целью рассмотрим некоторые другие репрезентативные элементы. Тогда существуют такие, что Отсюда следует, что
где мы также использовали тот факт, что это нормальная подгруппа, и, следовательно, существует такая, что это доказывает, что это произведение является четко определенным отображением между смежными классами.

С помощью этой операции набор смежных классов сам по себе является группой, называемой фактор-группой и обозначаемой как Существует естественный

гомоморфизм , заданный как Этот гомоморфизм отображается в единицу, элемент которой является смежным классом, т. Е.

В общем, групповой гомоморфизм, посылают подгруппы подгрупп Кроме того , прообраз любой подгруппы является подгруппа мы называют прообразы тривиальной группы в к

ядру гомоморфизма и обозначит его , как выясняется, ядро всегда нормально и образ всегда изоморфно к (в первой теореме изоморфизма ). Фактически это соответствие является биекцией между множеством всех фактор-групп и множеством всех гомоморфных образов (с точностью до изоморфизма). Также легко видеть, что ядро ​​фактор-отображения - это само, поэтому нормальные подгруппы - это в точности ядра гомоморфизмов с областью определения

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Бергвалль, Олоф; Хайннинг, Элин; Хедберг, Микаэль; Микелин, Джоэл; Масаве, Патрик (16 мая 2010 г.). «На кубике Рубика» (PDF) . KTH . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  • Кантрелл, CD (2000). Современные математические методы для физиков и инженеров . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59180-5.
  • Дымоси, Пал; Неханив, Кристофер Л. (2004). Алгебраическая теория сетей автоматов . Монографии SIAM по дискретной математике и приложениям. СИАМ.
  • Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-43334-9.
  • Фрали, Джон Б. (2003). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-15608-2.
  • Холл, Маршалл (1999). Теория групп . Провиденс: Издательство Челси. ISBN 978-0-8218-1967-8.
  • Хангерфорд, Томас (2003). Алгебра . Тексты для выпускников по математике. Springer.
  • Джадсон, Томас В. (2020). Абстрактная алгебра: теория и приложения .
  • Робинсон, Дерек JS (1996). Курс теории групп . Тексты для выпускников по математике. 80 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl  0836.20001 .
  • Терстон, Уильям (1997). Леви, Сильвио (ред.). Трехмерная геометрия и топология, Vol. 1 . Принстонский математический ряд. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08304-9.
  • Брэдли, CJ (2010). Математическая теория симметрии в твердых телах: теория представлений точечных и пространственных групп . Оксфорд, Нью-Йорк: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC  859155300 .

дальнейшее чтение

  • И. Н. Герштейн , Разделы алгебры. Второе издание. Издательство Xerox College Publishing, Лексингтон, Массачусетс - Торонто, Онтарио, 1975. xi + 388 с.

внешние ссылки