Конформная группа - Conformal group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то конформная группа пространства является группа преобразований из пространства на себя, сохраняющие углы. Более формально это группа преобразований, сохраняющих конформную геометрию пространства.

Особенно важны несколько конкретных конформных групп:

• Конформно ортогональная группа . Если V - векторное пространство с квадратичной формой Q , то конформная ортогональная группа CO ( V , Q ) - это группа линейных преобразований T группы V, для которой существует скаляр λ такой, что для всех x в V

  ${\ Displaystyle Q (Tx) = \ lambda ^ {2} Q (x)}$

Для определенной квадратичной формы конформная ортогональная группа равна ортогональной группе, умноженной на группу растяжений .

• Конформная группа сферы порождается инверсиями в окружностях . Эта группа также известна как группа Мёбиуса .
• В евклидовом пространстве E ⁿ , n > 2 , конформная группа порождается инверсиями в гиперсферах .
• В псевдоевклидовом пространстве E ^{p , q} конформная группа - это Conf ( p , q ) ≃ O ( p + 1, q + 1) / Z ₂ .

Все конформные группы являются группами Ли .

Угловой анализ

В евклидовой геометрии можно ожидать, что стандартный круговой угол будет характерным, но в псевдоевклидовом пространстве также существует гиперболический угол . При изучении специальной теории относительности различные системы отсчета для изменения скорости относительно системы покоя связаны быстротой , гиперболическим углом. Один из способов описания повышения Лоренца - это гиперболическое вращение, которое сохраняет дифференциальный угол между скоростями. Таким образом, они являются конформными преобразованиями относительно гиперболического угла.

Метод создания соответствующей конформной группы состоит в том, чтобы имитировать шаги группы Мёбиуса как конформной группы обычной комплексной плоскости . Псевдоевклидова геометрия поддерживается альтернативными комплексными плоскостями, где точки представляют собой разделенные комплексные числа или двойные числа . Подобно тому, как группе Мёбиуса требуется сфера Римана , компактное пространство , для полного описания, альтернативные комплексные плоскости требуют компактификации для полного описания конформного отображения. Тем не менее конформная группа в каждом случае задается дробно-линейными преобразованиями на соответствующей плоскости.

Конформная группа пространства-времени

В 1908 году Гарри Bateman и Ebenezer Cunningham , два молодых исследователей в Университете Ливерпуля , затронул идею конформной группы пространства - времени Они утверждали , что кинематика группы неволей конформной они сохраняют квадратичную форму пространства - времени и сродни ортогональных преобразований , хотя по отношению к изотропной квадратичной форме . Свобода электромагнитного поля не ограничивается кинематическими движениями, а скорее требуется, чтобы они были только локально пропорциональными преобразованию, сохраняющему квадратичную форму. В статье Гарри Бейтмана 1910 года была изучена матрица Якоби преобразования, сохраняющего световой конус, и показано, что оно обладает конформным свойством (пропорциональным сохранению формы). Бейтман и Каннингем показали, что эта конформная группа является «самой большой группой преобразований, оставляющих уравнения Максвелла структурно инвариантными». Конформная группа пространства-времени была обозначена C (1,3)

Исаак Яглом внес свой вклад в математику конформных преобразований пространства-времени в расщепленных комплексных и двойственных числах . Поскольку расщепляемые комплексные числа и двойственные числа образуют кольца , а не поля , дробно-линейные преобразования требуют, чтобы проективная линия над кольцом была биективным отображением.

Со времен работы Людвика Зильберштейна в 1914 году было принято использовать кольцо бикватернионов для представления группы Лоренца. Для конформной группы пространства-времени достаточно рассмотреть дробно-линейные преобразования на проективной прямой над этим кольцом. Элементы конформной группы пространства-времени были названы Бейтманом преобразованиями сферических волн . Детали изучения квадратичной формы пространства-времени были поглощены геометрией сферы Ли .

Комментируя непрекращающийся интерес к физической науке, А.О. Барут писал в 1985 году: «Одна из основных причин интереса к конформной группе состоит в том, что она, возможно, является наиболее важной из более крупных групп, содержащих группу Пуанкаре» .

Смотрите также

• Конформная карта
• Конформная симметрия

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кобаяши, С. (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии . Классика по математике. Springer. ISBN 3-540-58659-8. OCLC  31374337 .
• Шарп, Р.В. (1997), Дифференциальная геометрия: Обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
• Питер Шерк (1960) "Некоторые концепции конформной геометрии", American Mathematical Monthly 67 (1): 1-30 doi : 10.2307 / 2308920