Теоремы Силова - Sylow theorems

В математике, особенно в области теории конечных групп , теоремы Силова представляют собой набор теорем, названных в честь норвежского математика Питера Людвига Силова, которые дают подробную информацию о количестве подгрупп фиксированного порядка, которые содержит данная конечная группа . Теоремы Силова составляют фундаментальную часть теории конечных групп и имеют очень важные приложения в классификации конечных простых групп .

Для простого числа , Силов р -подгруппы (иногда р -Sylow подгруппа ) группы является максимальной -подгруппа , т.е. подгруппа , которая является р -группа (так что порядок каждого элемента группы является силой of ), которая не является собственной подгруппой какой-либо другой -подгруппы группы . Иногда записывается множество всех силовских -подгрупп для данного простого числа .

Теоремы Силова утверждают частичное обращение к теореме Лагранжа . Теорема Лагранжа утверждает, что для любой конечной группы порядок (количество элементов) каждой подгруппы делит порядок . Теоремы Силова утверждают, что для каждого простого фактора порядка конечной группы существует силовская -подгруппа порядка , высшая степень которой делит порядок . Более того, каждая подгруппа порядка является силовской -подгруппой группы , а силовские -подгруппы группы (для данного простого числа ) сопряжены друг с другом. Кроме того, количество силовских -подгрупп группы для данного простого числа сравнимо с .

Теоремы

Мотивация

Теоремы Силова - мощное утверждение о структуре групп в целом, но также мощное средство в приложениях теории конечных групп. Это связано с тем, что они дают метод использования простого разложения мощности конечной группы для формулировки утверждений о структуре ее подгрупп: по сути, они дают метод передачи базовой теоретико-числовой информации о группе в ее групповую структуру. Исходя из этого наблюдения, классификация конечных групп превращается в игру по поиску того, какие комбинации / конструкции групп меньшего порядка можно применять для построения группы. Например, типичное применение этих теорем - в классификации конечных групп некоторой фиксированной мощности, например .

Заявление

Коллекции подгрупп, каждая из которых максимальна в том или ином смысле, обычны в теории групп. Удивительный результат здесь состоит в том, что в случае , все члены фактически изоморфны друг другу и имеют максимально возможный порядок: если with where p не делит m , то каждая силовская p -подгруппа P имеет порядок . То есть P является p -группой и . Эти свойства могут быть использованы для дальнейшего анализа структуры G .

Следующие теоремы были впервые предложены и доказаны Людвигом Силовым в 1872 году и опубликованы в Mathematische Annalen .

Теорема  (1)  -  Для каждого простого множителя р с кратностью п порядка конечной группы G , существует силовская р -подгруппа G , порядка .

Следующая более слабая версия теоремы 1 была впервые доказана Огюстэном-Луи Коши и известна как теорема Коши .

Следствие  -  Учитывая , конечная группа G и простое число р деления порядка G , то существует элемент (и , следовательно , циклическую подгруппу , порожденную этим элементом) порядка р в G .

Теорема  (2)  -  Учитывая , конечная группа G и простое число р , все силовские р -подгрупп G являются сопряжены друг с другом. То есть, если H и K силовские p -подгруппы группы G , то существует элемент с .

Теорема  (3)  -  Пусть p - простой множитель с кратностью n порядка конечной группы G , так что порядок группы G можно записать как , где и p не делит m . Пусть -число Силова р -подгрупп G . Тогда имеет место следующее:

  • делит м , который является индексом силовской р -подгруппы в G .
  • , где P - любая силовская p -подгруппа группы G и обозначает нормализатор .

Последствия

Теоремы Силова следует , что для простого числа каждого Силов -подгруппа имеет тот же порядок, . Наоборот, если подгруппа имеет порядок , то она является силовской -подгруппой, а значит, изоморфна любой другой силовской -подгруппе. В силу условия максимальности, если является любой -подгруппой в , то является подгруппой -подгруппы порядка .

Очень важным следствием теоремы 2 является то, что это условие эквивалентно утверждению, что силовская -подгруппа группы является нормальной подгруппой . Однако есть группы, у которых есть нормальные подгруппы, но нет нормальных силовских подгрупп, например .

Теоремы Силова для бесконечных групп

Имеется аналог теорем Силова для бесконечных групп. Силовскую p -подгруппу в бесконечной группе определяют как p -подгруппу (то есть каждый элемент в ней имеет p -степенный порядок), максимальную для включения среди всех p -подгрупп в группе. Такие подгруппы существуют по лемме Цорна . Обозначим через множество классов сопряженности подгруппы

Теорема  -  Если K силовского р -подгруппа G , и конечно, то всякий силовская р -подгруппа сопряжена с K , и .

Примеры

В D 6 все отражения сопряжены, так как отражения соответствуют силовским 2-подгруппам.

Простая иллюстрация силовских подгрупп и теорема Силова является группой диэдра из п -угольника, D 2 н . Для нечетного n 2 = 2 1 - это наивысшая степень двойки, делящая порядок, и, следовательно, подгруппы порядка 2 являются силовскими подгруппами. Это группы, порожденные отражением, их n , и все они сопряжены при поворотах; геометрически оси симметрии проходят через вершину и грань.

В D 12 отражения больше не соответствуют силовским 2-подгруппам и распадаются на два класса сопряженности.

Напротив, если n четно, то 4 делит порядок группы, и подгруппы порядка 2 больше не являются силовскими подгруппами, и фактически они попадают в два класса сопряженности, геометрически в зависимости от того, проходят ли они через две вершины или две. лица. Они связаны внешним автоморфизмом , который может быть представлен поворотом на π / n , половиной минимального вращения в группе диэдра.

Другой пример - силовские p-подгруппы в GL 2 ( F q ), где p и q простые числа ≥ 3 и p  ≡ 1 (mod  q ) , которые все абелевы . Порядок GL 2 ( F q ) равен ( q 2  - 1) ( q 2  -  q ) = ( q ) ( q  + 1) ( q  - 1) 2 . Поскольку q  =  p n m  + 1 , порядок GL 2 ( F q ) =  p 2 n m . Таким образом, по теореме 1 порядок силовских p -подгрупп равен p 2 n .

Одна такая подгруппа Р , есть множество диагональных матриц , х является любой примитивный корень из F ц . Поскольку порядок F q равен q  - 1 , его примитивные корни имеют порядок q - 1, что означает, что x ( q  - 1) / p n или x m и все его степени имеют порядок, который является степенью  p . Итак, P - подгруппа, все элементы которой имеют порядки, равные степеням  p . Есть p n вариантов для a и b , в результате чего | P | p 2 n . Это означает, что P силовская p -подгруппа, которая является абелевой, поскольку все диагональные матрицы коммутируют, и поскольку теорема 2 утверждает, что все силовские p -подгруппы сопряжены друг с другом, силовские p -подгруппы в GL 2 ( F q ) являются все абелевы.

Примеры приложений

Поскольку теорема Силова гарантирует существование p-подгрупп конечной группы, стоит более внимательно изучить группы порядка мощности простых чисел. Большинство примеров используют теорему Силова для доказательства того, что группа определенного порядка не проста . Для групп малого порядка условия конгруэнтности теоремы Силова часто достаточно, чтобы вызвать существование нормальной подгруппы .

Пример-1
Группы порядка pq , p и q простые, p  <  q .
Пример-2
Группа порядка 30, группы порядка 20, группы порядка p 2 q , p и q различных простых чисел - вот некоторые из приложений.
Пример-3
(Группы порядка 60): Если заказ | G | = 60 и G имеет более одной силовской 5-подгруппы, то G проста.

Циклические групповые заказы

Некоторые непростые числа n таковы, что каждая группа порядка n циклическая. Можно показать, что n = 15 - такое число, используя теоремы Силова: пусть G - группа порядка 15 = 3 · 5, а n 3 - количество силовских 3-подгрупп. Тогда n 3 5 и n 3 ≡ 1 (mod 3). Единственное значение, удовлетворяющее этим ограничениям, - 1; следовательно, существует только одна подгруппа порядка 3, и она должна быть нормальной (так как не имеет различных сопряженных). Точно так же n 5 должно делить 3, а n 5 должно быть равно 1 (mod 5); таким образом, она также должна иметь одну нормальную подгруппу порядка 5. Поскольку 3 и 5 взаимно просты , пересечение этих двух подгрупп тривиально, и поэтому G должна быть внутренним прямым произведением групп порядка 3 и 5, то есть циклической группа порядка 15. Таким образом, существует только одна группа порядка 15 (с точностью до изоморфизма).

Маленькие группы не просты

Более сложный пример включает порядок наименьшей простой группы, которая не является циклической . Теорема Бернсайда p a q b утверждает, что если порядок группы является произведением одной или двух степеней простых чисел , то она разрешима , и поэтому группа не является простой или имеет простой порядок и является циклической. Это исключает каждую группу до порядка 30 (= 2 · 3 · 5) .

Если G простая и | G | = 30, тогда n 3 должно делить 10 (= 2 · 5), а n 3 должно равняться 1 (mod 3). Следовательно, n 3 = 10, поскольку ни 4, ни 7 не делят 10, и если n 3 = 1, то, как и выше, G будет иметь нормальную подгруппу порядка 3 и не может быть простой. G тогда имеет 10 различных циклических подгрупп порядка 3, каждая из которых имеет 2 элемента порядка 3 (плюс единица). Это означает, что G имеет не менее 20 различных элементов порядка 3.

Также n 5 = 6, поскольку n 5 должно делить 6 (= 2 · 3), а n 5 должно равняться 1 (mod 5). Таким образом, G также имеет 24 различных элемента порядка 5. Но порядок G равен только 30, поэтому простая группа порядка 30 не может существовать.

Далее предположим | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Здесь n 7 должно делить 6 (= 2 · 3), а n 7 должно равняться 1 (mod 7), поэтому n 7 = 1. Итак, как и раньше, G не может быть простой.

С другой стороны, для | G | = 60 = 2 2 · 3 · 5, тогда n 3 = 10 и n 5 = 6 вполне возможно. И на самом деле, самая маленькая простая нециклическая группа - это A 5 , альтернированная группа из пяти элементов. Он имеет порядок 60 и 24 циклических перестановки порядка 5 и 20 - порядка 3.

Теорема Вильсона

Часть теоремы Вильсона утверждает, что

для каждого простого p . Эту теорему легко доказать с помощью третьей теоремы Силова. В самом деле, заметим, что число n p силовских p -подгрупп в симметрической группе S p равно ( p  - 2)! . С другой стороны, n p ≡ 1 (mod  p ) . Следовательно, ( p  - 2)! ≡ 1 (мод.  P ) . Итак, ( p  - 1)! −1 (по модулю  p ) .

Результаты слияния

Аргумент Фраттини показывает, что силовская подгруппа нормальной подгруппы обеспечивает факторизацию конечной группы. Небольшое обобщение известно как теорема слитого Бернсайд состояния , что если G является конечной группа с силовским р -подгруппы Р и два подмножества A и B нормирована P , то A и B являются G -сопряжена тогда и только тогда , когда они являются N G ( P ) -сопряженные. Доказательство является простым применением теоремы Силова: если B = A g , то нормализатор B содержит не только P, но и P g (поскольку P g содержится в нормализаторе A g ). По теореме Силова Р и Р г сопряжена не только в G , но в нормализаторе B . Следовательно, gh −1 нормализует P для некоторого h, которое нормализует B , и тогда A gh −1 = B h −1 = B , так что A и B являются N G ( P ) -сопряженными. Теорема Бернсайда слияния может быть использована для получения более мощной факторизации, называемой полупрямым произведением : если G - конечная группа, силовская p -подгруппа P которой содержится в центре ее нормализатора, то G имеет нормальную подгруппу K порядка, взаимно простого с P , G = PK и PK = {1}, то есть G является р нильпотентным .

Менее тривиальные приложения теорем Силова включают теорему о фокальной подгруппе , которая изучает контроль силовской p -подгруппы производной подгруппы над структурой всей группы. Этот контроль используется на нескольких этапах классификации конечных простых групп и, например, определяет деления случаев, используемых в теореме Альперина – Брауэра – Горенштейна, классифицирующей конечные простые группы , силовская 2-подгруппа которых является квазидиэдральной группой . Они полагаются на усиление Дж. Л. Альпериным части теоремы Силова о сопряжении, чтобы контролировать, какие типы элементов используются в сопряжении.

Доказательство теорем Силова.

Теоремы Силова доказывались разными способами, и история самих доказательств является предметом многих статей, в том числе Уотерхауса, Шарлау, Касадио и Заппа, Гоу и в некоторой степени Мео.

Одно доказательство теорем Силова использует понятие группового действия различными творческими способами. Группа G действует на себя или на множестве своих p -подгрупп различными способами, и каждое такое действие может быть использовано для доказательства одной из теорем Силова. Следующие доказательства основаны на комбинаторных рассуждениях Виландта. Далее мы используем обозначения для «a делит b» и для отрицания этого утверждения.

Теорема  (1)  -  конечная группа G , порядок которой делится на простой мощность р к имеет подгруппу порядка р к .

Доказательство  -

Пусть | G | = p k m = p k + r u такое, что , и пусть Ω обозначает множество подмножеств G размера p k . G действует на Q , левым умножением: для гG и ш ∈ Ом , гш = { г х | xω } . Для заданного множества & omega Е П , записи G со для ее стабилизирующего подгруппы { гG | gω = ω } и G ω для его орбиты { gω | gG } в Ω.

Доказательство покажет существование некоторого ω ∈ Ω, для которого G ω имеет p k элементов, дающих искомую подгруппу. Это максимально возможный размер стабилизирующей подгруппы G ω , поскольку для любого фиксированного элемента αωG правый смежный класс G ω α содержится в ω ; следовательно, | G ω | = | G ω α | ≤ | ω | = p k .

По теореме орбиты стабилизатора мы имеем | G ω | | G ω | = | G | для каждого ω ∈ Ω , и, следовательно, используя аддитивное p-адическое нормирование ν p , которое подсчитывает количество множителей p , получаем ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| G |) = к + г . Это означает, что для тех ω с | G ω | = Р к , те , которых мы ищем, один имеет v , р (| G ш |) = г , в то время как для любого другого со один имеет v , р (| G ш |)> г (как 0 <| G ш | < p k влечет ν p (| G ω |) < k ) . Поскольку | Ω | сумма | G ω | по всем различным орбитам G ω можно показать существование ω первого типа, показав, что ν p (| Ω |) = r (если бы их не было, то оценка превысила бы r ). Это пример теоремы Куммера (поскольку в системе счисления с основанием p число | G | заканчивается ровно k + r цифрами ноль, вычитание p k из него приводит к переносу в r разрядах ), и его также можно показать простым вычислением:

и никакой степени p не остается ни в одном из факторов внутри продукта справа. Следовательно, ν p (| Ω |) = ν p ( m ) = r , что завершает доказательство.

Можно отметить, что, наоборот, каждая подгруппа H порядка p k порождает множества ω ∈ Ω, для которых G ω = H , а именно любой из m различных классов смежности Hg .

Лемма  -  Пусть H конечная р -группа, пусть Ω конечное множество с действием H , и пусть Q , 0 обозначим множество точек Q , которые фиксируются под действием Н . Тогда | Ω | ≡ | Ω 0 | (мод.  p ) .

Доказательство  -

Любой элемент x ∈ Ω, не фиксируемый H, будет лежать на орбите порядка | H | / | H x | (где H x обозначает стабилизатор ), который по предположению кратен p . Результат следует сразу после записи | Ω | как сумма | H x | по всем различным орбитам H x и редуцируя mod p .

Теорема  (2)  -  Если Н является р -подгруппой G и Р является силовским р -подгруппой G , то существует элемент г в G таким образом, что г -1 рт.ст.P . В частности, все силовские р -подгруппа G является сопряженным друг к другу (и , следовательно , изоморфно ), то есть, если Н и К является силовскими р -подгруппы G , то существует элемент г в G с г -1 Hg = K .

Доказательство  -

Пусть Ω множество левых смежных классов из P в G , и пусть H действует на Q , левым умножением. Применяя лемму к H на Ω, мы видим, что | Ω 0 | ≡ | Ω | = [ G  : P ] (mod  p ) . Теперь по определению так , следовательно, в частности | Ω 0 | ≠ 0, значит, существует некоторый gP ∈ Ω 0 . С помощью этого гР , мы имеем HGP = Gp для всех чH , поэтому г -1 HGP = Р и , следовательно , г -1 HgP . Кроме того, если H силовская p -подгруппа, то | г −1 Hg | = | H | = | P | так , что г -1 Hg = Р .

Теорема  (3)  -  Пусть д обозначит порядок любого Силов р -подгруппа P конечной группы G . Пусть п р обозначим число Силова р -подгрупп G . Тогда (а) п р = [ G  : N G ( P )] (где N G ( P ) является нормализатор из Р ), (б) п р делит | G | / q , и (c) n p ≡ 1 (mod  p ) .

Доказательство  -

Пусть Ω - множество всех силовских p -подгрупп группы G, и пусть G действует на Ω сопряжениями. Пусть P ∈ Ω - силовская p -подгруппа. По теореме 2 орбита P имеет размер n p , поэтому по теореме о стабилизаторе орбиты n p = [ G  : G P ] . Для этого группового действия стабилизатор G P задается формулой { gG | GPG -1 = Р } = N G ( P ) , нормализатор Р в G . Таким образом, n p = [ G  : N G ( P )] , и отсюда следует, что это число является делителем [ G  : P ] = | G | / q .

Пусть теперь P действует на Ω сопряжением, и снова пусть Ω 0 обозначает множество неподвижных точек этого действия. Пусть Q ∈ Ω 0 и заметим, что тогда Q = xQx −1 для всех xP, так что PN G ( Q ). По теореме 2, Р и Q сопряжены в N G ( Q ) , в частности, и Q является нормальным в N G ( Q ), так , то P = Q . Отсюда следует, что Ω 0 = { P }, так что по лемме | Ω | ≡ | Ω 0 | = 1 (по модулю  p ) .

Алгоритмы

Проблема поиска силовской подгруппы данной группы является важной проблемой вычислительной теории групп .

Одно доказательство существования силовских p -подгрупп является конструктивным: если H является p -подгруппой группы G и индекс [ G : H ] делится на p , то нормализатор N = N G ( H ) группы H в G равен также такой, что [ N  : H ] делится на p . Другими словами, полициклическую порождающую систему силовской p -подгруппы можно найти, начав с любой p -подгруппы H (включая тождество) и взяв элементы p -степенного порядка, содержащиеся в нормализаторе H, но не в самой H. Алгоритмическая версия этого (и многие улучшения) описана в форме учебника в Butler, включая алгоритм, описанный в Cannon. Эти версии до сих пор используются в системе компьютерной алгебры GAP .

В группах перестановок Кантор, Кантор и Тейлор доказали, что силовская p -подгруппа и ее нормализатор могут быть найдены за полиномиальное время ввода (степень группы, умноженная на количество образующих). Эти алгоритмы описаны в виде учебников в Seress и теперь становятся практическими, поскольку конструктивное распознавание конечных простых групп становится реальностью. В частности, версии этого алгоритма используются в системе компьютерной алгебры Magma .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Доказательства

Алгоритмы

внешние ссылки