Венок изделие - Wreath product

В теории групп , то сплетение представляет собой особое сочетание двух групп на основе полупрямого продукта . Он образуется действием одной группы на множество копий другой группы, что в некоторой степени аналогично возведению в степень . Сплетения используются при классификации групп перестановок, а также обеспечивают способ построения интересных примеров групп.

Указанные две группы и Н (иногда называют нижнюю и верхней ), существуют два варианта сплетения: на неограниченное сплетение  Wr  H и ограниченный продукт сплетение A  Wr  H . Общая форма, обозначаемая A  Wr Ω H или A  wr Ω H соответственно, использует множество Ω с H- действием ; если не указано иное , обычно Ω = H ( обычное сплетение ), хотя иногда подразумевается другое Ω . Эти две вариации совпадают, когда все A , H и Ω конечны. Любой вариант также обозначается как (с \ wr для символа латекса) или A  ≀  H ( Unicode U + 2240).   

Это понятие обобщается на полугруппы и является центральной конструкцией структурной теории Крона – Родса конечных полугрупп.

Определение

Пусть A и H - группы, а Ω - множество, на котором действует H (слева). Пусть K - прямое произведение

копий A ω  : = A, индексированных множеством Ω. Элементы K можно рассматривать как произвольные последовательности ( a ω ) элементов A, индексированных Ω, с покомпонентным умножением. Тогда действие H на Ω естественным образом продолжается до действия H на группе K посредством

Затем неограниченное сплетение  Wr Ω Н от А по H является полупрямым произведением К  ⋊  Н . Подгруппа K группы A  Wr Ω H называется базой сплетения.    

Ограниченное сплетение  WR Ом H построен таким же образом , как неограниченное сплетение за исключением того, что один использует прямую сумму 

в качестве основы для венка. В этом случае элементы K представляют собой последовательность ( omega ; ) элементов в A индексируется Омом из которых все , кроме конечного числа а ω является единичным элементом из A .

В наиболее частом случае берется Ω: =  H , где H естественным образом действует на себя левым умножением. В этом случае неограниченное и ограниченное сплетение можно обозначить как A  Wr  H и A  wr  H соответственно. Это называется обычным сплетением.

Обозначения и соглашения

Структура сплетения A посредством H зависит от H -множества Ω, а в случае бесконечности Ω также зависит от того, используется ли ограниченное или неограниченное сплетение. Однако в литературе используемые обозначения могут быть несовершенными, и нужно обращать внимание на обстоятельства.

  • В литературе ≀ Ом Н может стоять в течение неограниченного сплетении  Wr Ом H или ограниченного сплетения A  Wr Ом H .   
  • Точно так же, ≀ Н может стоять в течение неограниченного регулярного сплетении  Wr  H или ограниченное регулярное сплетение  Wr  H .
  • В литературе H -set Ω может быть опущен в обозначениях , даже если П ≠  H .
  • В частном случае, когда H  =  S n является симметрической группой степени n, в литературе принято считать, что Ω = {1, ..., n } (с естественным действием S n ), а затем опускать Ω из обозначение. То есть A S n обычно обозначает A {1, ..., n } S n вместо обычного сплетения A S n S n . В первом случае базовая группа - это произведение n копий A , во втором - произведение n ! копии  A .

Характеристики

Соглашение неограниченного и ограниченного сплетения на конечном Ω

Поскольку конечное прямое произведение совпадает с конечной прямой суммой групп, отсюда следует, что неограниченное сплетение A  Wr Ω   H и ограниченное сплетение A  wr Ω   H согласованы, если H -множество Ω конечно. В частности, это верно, когда Ω = H конечно.

Подгруппа

 Сог Ω   H всегда подгруппа в A  Wr Ом   H .

Мощность

Если A , H и Ω конечны, то

| A Ω H | = | А | | Ω | | H |.

Универсальная теорема вложения

Универсальная теорема вложение : Если G является продолжением из А по H , то существует подгруппу неограниченного сплетения ≀ Н , изоморфная G . Это также известно как теорема вложения Краснера – Калужнина . Теорема Крона – Родса включает то, что в основном является полугрупповым эквивалентом этого.

Канонические действия венков

Если группа A действует на множестве Λ, то есть два канонических способа построения множеств из Ω и Λ, на которых может действовать A  Wr Ω   H (а значит, и A  wr Ω   H ).

  • Действие импримитивного сплетения на Λ × Ω.
    Если (( a ω ), h ) ∈ A Wr Ω H и ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , то
  • Действие примитивного сплетения на Λ Ω .
    Элемент в Λ Ω - это последовательность ( λ ω ), индексированная H -множеством Ω. Для элемента (( a ω ), h ) ∈ A Wr Ω H его действие на ( λ ω ) ∈ Λ Ω задается формулой

Примеры

Базой этого сплетения является n- кратное прямое произведение
м п = ℤ м × ... × ℤ м
копий m, где действие φ:  S n → Aut (ℤ m n ) симметрической группы S n степени n задается формулой
φ ( σ ) (α 1 , ..., α n ): = ( α σ (1) , ..., α σ ( n ) ).
Действие S n на {1, ..., n } такое же, как и выше. Так как симметрическая группа S 2 степени 2 изоморфно к ℤ 2 гипероктаэдральной группа представляет собой частный случай обобщенной симметрической группы.
  • Наименьшее нетривиальное сплетение - это ℤ 2 ≀ℤ 2 , что является двумерным случаем указанной выше гипероктаэдрической группы. Это группа симметрии квадрата, также называемая Dih 4 , диэдральная группа порядка 8.
  • Пусть р будет простым и пусть п ≥1. Пусть Р быть Силова р -подгруппой симметрической группы S р н . Тогда P является изоморфным итерированным регулярным сплетением W п = ℤ р ≀ ℤ р ≀ ... ≀ℤ р о п копий ℤ р . Здесь W 1  : = ℤ p и W k  : = W k −1 ≀ℤ p для всех k  ≥ 2. Например, силовская 2-подгруппа группы S 4 - это указанная выше группа ℤ 2 ≀ℤ 2 .
  • Группа кубика Рубика - это подгруппа индекса 12 в произведении сплетений, (ℤ 3 S 8 ) × (ℤ 2 S 12 ), множители, соответствующие симметриям 8 углов и 12 ребер.
  • Группа преобразований с сохранением достоверности судоку (VPT) содержит двойное сплетение ( S 3 S 3 ) ≀ S 2 , где факторы представляют собой перестановку строк / столбцов в пределах 3-строчной или 3-колоночной полосы или стека ( S 3 ), перестановка самих полос / стопок ( S 3 ) и транспозиция, которая меняет местами ленты и стопки ( S 2 ). Здесь индексные множества Ω - это набор лент (соответственно стеки) (| Ω | = 3) и набор {band, stacks} (| Ω | = 2). Соответственно, | S 3 S 3 | = | S 3 | 3 | S 3 | = (3!) 4 и | ( S 3 S 3 ) ≀ S 2 | = | S 3 S 3 | 2 | S 2 | = (3!) 8 × 2.
  • Сплетения естественным образом возникают в группе симметрий полных корневых деревьев и их графов . Например, повторное (итерация) Сплетение S 2 S 2 ... S 2 является группой автоморфизмов полного двоичного дерева .

Рекомендации

Внешние ссылки