Иллюстрация построения
топологической сферы как фактор-пространства
диска путем
склеивания в одну точку точек (отмеченных синим цветом) границы диска.
В топологии и смежных областях математики , то фактор - пространство из топологического пространства при заданной эквивалентности является новым топологическим пространством , построенное на наделении фактормножества исходного топологического пространства с топологией фактора , то есть, с лучшей топологией , что делает непрерывное каноническое отображение проекции (функция , которая отображает точки их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество фактор-пространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз под каноническим отображением проекции открыт в исходном топологическом пространстве.
Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются вместе» для формирования нового топологического пространства. Например, определение точек сферы , принадлежащих одному диаметру, дает проективную плоскость как фактор-пространство.
Определение
Пусть будет топологическое пространство , и пусть быть отношение эквивалентности на The фактор множества , есть множество классов эквивалентности элементов класса эквивалентности обозначим
В фактор , каноническое , картографической проекции , связанные с относится к следующему сюръективного карте:
Для любого подмножества (в частности, для каждого ) выполняется следующее:
Фактор - пространство под это фактор - множество оснащен топологией фактор , который является топология , чьи открытые множества являются все эти подмножества таким образом, что представляет собой открытое подмножество в том , что есть, открыта в топологии фактор на тогда и только тогда , когда
Таким образом,
Эквивалентно, открытые множества фактор-топологии - это подмножества, которые имеют открытый
прообраз под каноническим отображением (которое определяется как ). Аналогичным образом , подмножество является закрытым в том и только тогда , когда есть замкнутое подмножество
Фактор-топология - это окончательная топология на фактор-множестве по отношению к отображению
Факторная карта
Карта является
факторной картой (иногда называемой идентификационной картой ), если она сюръективна , и подмножество открыто тогда и только тогда, когда оно открыто. Эквивалентно сюръекция является факторной картой тогда и только тогда, когда для каждого подмножества замкнуто в том и только в том случае, если оно замкнуто в
Окончательное определение топологии
В качестве альтернативы, это фактор-карта, если она находится на и оснащена
окончательной топологией относительно
Насыщенные множества и фактор-карты
Подмножество из называется
насыщенным (относительно ) , если она имеет вид для некоторого множества , которое истинно тогда и только тогда , когда (хотя всегда имеет место для каждого подмножества равенство в общем случае не гарантируется, а ненасыщенными множество существует , если и только если не является инъекционным ). Отнесение устанавливает взаимно однозначное соответствие (которого обратный ) между подмножествами из и насыщенных подмножеств
С этой терминологией сюръекцией является факторным , если и только если для каждого насыщенного подмножества из открыто в том и только в том случае открыто в
частности, открытые подмножества , которые не являются насыщенными, не влияют на то, является ли функция факторной картой; ненасыщенные подмножества не имеют никакого отношения к определению «фактор карты» так же , как они не имеют отношение к открытому посаженному определению непрерывности (поскольку функция непрерывна тогда и только тогда , когда для любого насыщенного подмножества из будучи открытым в подразумевает открыто в ) .
Каждая фактор-карта непрерывна, но не каждая непрерывная карта является фактор-картой. Непрерывная сюръекция
не может быть факторным тогда и только тогда , когда имеют некоторое насыщенное открытое подмножество такого , что это не открыто в (это утверждение остается верным , если оба экземпляр слова «открытого» заменяется на «закрытый»).
Факторное пространство характеристики волокон
Учитывая отношение эквивалентности на каноническом отображении, которое передает его
класс эквивалентности, является фактор-карта, удовлетворяющая для всех ; кроме того, для всех
В самом деле, пусть будет сюръекция топологических пространств (еще не предполагаются непрерывными или карта фактор) и объявить всем , что тогда это отношение эквивалентности на таким образом, что для каждого , так что это
одноточечное множество , которое , таким образом , индуцирует взаимно однозначное соответствие определенное by (это хорошо определено, потому что это одноэлементный набор и просто его уникальный элемент, то есть для каждого ). Определите карту, как указано выше (с помощью ), и задайте факторную топологию (которая создает факторную карту). Эти отображения связаны между собой: и Из этого и того факта, что это фактор-отображение, следует, что оно непрерывно тогда и только тогда, когда это верно для Более того, является фактор-отображением тогда и только тогда, когда оба являются гомеоморфизмом (или, что эквивалентно, если и только если оба и обратный ему непрерывны).
Связанные определения
А
наследственно факторное отображение - это сюръективное отображениесо свойством, что для каждого подмножестваограничениетакже является факторным отображением. Существуют факторные карты, которые не являются наследственно факторными.
Примеры
-
Склеивание . Топологи говорят о склейке точек. Если - топологическое пространство, склейка точек и in означает рассмотрение фактор-пространства, полученного из отношения эквивалентности, тогда и только тогда, когда или (или ).
- Рассмотрим единичный квадрат и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием, чтобы все граничные точки были эквивалентны, тем самым отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности. Тогда это
гомеоморфно в сфере
-
Прилегающее пространство . В более общем, предположитчтоэто пространство иявляется подпространство водном можно определить все точкик одному классу эквивалентности и оставить точки за пределамиэквивалента только для себя. Полученное фактор-пространство обозначается.Тогда 2-сфера гомеоморфна замкнутому диску, граница которого отождествляется с единственной точкой:
- Рассмотрим множество из действительных чисел с обычной топологией, и писать тогда и только тогда является целым числом . Тогда фактор - пространство является гомеоморфным к единичной окружности через гомеоморфизм , который посылает класс эквивалентности к
- Обобщение предыдущего примера следующее: предположим, что топологическая группа действует непрерывно в пространстве. Можно сформировать отношение эквивалентности на пространстве , сказав, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат на одной орбите . Фактор - пространство под этой связью называется пространство орбит , обозначенное В предыдущем примере действует на на переводе. Пространство орбит гомеоморфно
-
Примечание . Обозначения несколько неоднозначны. Если понимается группа, действующая посредством сложения, то
частное - это круг. Однако, если он рассматривается как топологическое подпространство (которое идентифицируется как одна точка), то фактор (который идентифицируется с множеством ) представляет собой счетно бесконечный букет окружностей, соединенных в одной точке.
Следующий пример показывает , что в общем случае не верно , что если это фактор - отображение , то каждая последовательность сходится (соответственно, каждое сходящееся нетто ) в имеет подъемную силу (по ) к сходящейся последовательности (или сходящейся сети ) в Пусть и Пусть и пусть быть фактор-отображением, так что и для каждого Отображение, определенное с помощью, является корректно определенным (потому что ) и является гомеоморфизмом . Пусть и пусть быть любыми последовательностями (или, в более общем смысле, любыми сетями), оцененными в таких, что в Тогда последовательность
сходится к in, но не существует никакого сходящегося подъема этой последовательности посредством фактор-отображения (то есть нет последовательности, в которой оба сходятся к некоторому и удовлетворяют для каждого ). Этот контрпример можно обобщить на сети , допустив любое направленное множество , и превратив его в сеть, объявив, что для любого выполняется тогда и только тогда, когда и (1), и (2), если тогда -индексированная сеть, определяемая как равное и равное не имеет подъема (на ) к конвергентно- индексированной сети в
Характеристики
Факторные отображения среди сюръективных отображений характеризуются следующим свойством: если есть любое топологическое пространство и является любой функцией, то непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно.
Факторпространство вместе с фактор-отображением характеризуется следующим универсальным свойством : если это непрерывное отображение такое, что подразумевает для всех, то существует единственное непрерывное отображение такое, что Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:
Мы говорим, что спускается до частного . Следовательно, непрерывные отображения, определенные на, являются в точности теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных на том, что уважает отношение эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в одно и то же изображение). Этот критерий обильно используется при изучении факторпространств.
Учитывая непрерывную сюръекцию, полезно иметь критерии, по которым можно определить, является ли это фактор-карта. Два достаточных критерия: быть открытым или закрытым . Обратите внимание, что этих условий достаточно , но не обязательно . Легко построить примеры факторных отображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп фактор-карта открыта.
Совместимость с другими топологическими понятиями
Разделение
- В общем, фактор-пространства плохо себя ведут по отношению к аксиомам разделения. Свойства разделения не обязательно должны быть унаследованы и могут иметь свойства разделения, не общие для
-
является пространством T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности замкнут в
- Если фактор-отображение открыто , то является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ - замкнутое подмножество пространства произведения.
Связность
- Если пространство связано или связано путем , то все его факторпространства тоже.
- Факторное пространство односвязного или стягиваемого пространства не обязательно разделяет эти свойства.
Компактность
- Если пространство компактно, то все его фактор-пространства тоже.
- Факторпространство локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным.
Измерение
Смотрите также
Топология
Алгебра
использованная литература
-
Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
-
Бурбаки, Николас (1989) [1967]. Общая топология 2: главы 5–10 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . 4 . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 .
-
Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 .
-
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
-
Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047 .
-
Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
-
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .
-
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли . ISBN 0-486-43479-6.