Факторное пространство (топология) - Quotient space (topology)

Иллюстрация построения топологической сферы как фактор-пространства диска путем склеивания в одну точку точек (отмеченных синим цветом) границы диска.

В топологии и смежных областях математики , то фактор - пространство из топологического пространства при заданной эквивалентности является новым топологическим пространством , построенное на наделении фактормножества исходного топологического пространства с топологией фактора , то есть, с лучшей топологией , что делает непрерывное каноническое отображение проекции (функция , которая отображает точки их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество фактор-пространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз под каноническим отображением проекции открыт в исходном топологическом пространстве.

Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются вместе» для формирования нового топологического пространства. Например, определение точек сферы , принадлежащих одному диаметру, дает проективную плоскость как фактор-пространство.

Определение

Пусть будет топологическое пространство , и пусть быть отношение эквивалентности на The фактор множества , есть множество классов эквивалентности элементов класса эквивалентности обозначим В фактор , каноническое , картографической проекции , связанные с относится к следующему сюръективного карте:

Для любого подмножества (в частности, для каждого ) выполняется следующее:

Фактор - пространство под это фактор - множество оснащен топологией фактор , который является топология , чьи открытые множества являются все эти подмножества таким образом, что представляет собой открытое подмножество в том , что есть, открыта в топологии фактор на тогда и только тогда , когда Таким образом,

Эквивалентно, открытые множества фактор-топологии - это подмножества, которые имеют открытый прообраз под каноническим отображением (которое определяется как ). Аналогичным образом , подмножество является закрытым в том и только тогда , когда есть замкнутое подмножество

Фактор-топология - это окончательная топология на фактор-множестве по отношению к отображению

Факторная карта

Карта является

факторной картой (иногда называемой идентификационной картой ), если она сюръективна , и подмножество открыто тогда и только тогда, когда оно открыто. Эквивалентно сюръекция является факторной картой тогда и только тогда, когда для каждого подмножества замкнуто в том и только в том случае, если оно замкнуто в

Окончательное определение топологии

В качестве альтернативы, это фактор-карта, если она находится на и оснащена

окончательной топологией относительно

Насыщенные множества и фактор-карты

Подмножество из называется

насыщенным (относительно ) , если она имеет вид для некоторого множества , которое истинно тогда и только тогда , когда (хотя всегда имеет место для каждого подмножества равенство в общем случае не гарантируется, а ненасыщенными множество существует , если и только если не является инъекционным ). Отнесение устанавливает взаимно однозначное соответствие (которого обратный ) между подмножествами из и насыщенных подмножеств С этой терминологией сюръекцией является факторным , если и только если для каждого насыщенного подмножества из открыто в том и только в том случае открыто в частности, открытые подмножества , которые не являются насыщенными, не влияют на то, является ли функция факторной картой; ненасыщенные подмножества не имеют никакого отношения к определению «фактор карты» так же , как они не имеют отношение к открытому посаженному определению непрерывности (поскольку функция непрерывна тогда и только тогда , когда для любого насыщенного подмножества из будучи открытым в подразумевает открыто в ) .

Каждая фактор-карта непрерывна, но не каждая непрерывная карта является фактор-картой. Непрерывная сюръекция

не может быть факторным тогда и только тогда , когда имеют некоторое насыщенное открытое подмножество такого , что это не открыто в (это утверждение остается верным , если оба экземпляр слова «открытого» заменяется на «закрытый»).

Факторное пространство характеристики волокон

Учитывая отношение эквивалентности на каноническом отображении, которое передает его

класс эквивалентности, является фактор-карта, удовлетворяющая для всех ; кроме того, для всех

В самом деле, пусть будет сюръекция топологических пространств (еще не предполагаются непрерывными или карта фактор) и объявить всем , что тогда это отношение эквивалентности на таким образом, что для каждого , так что это

одноточечное множество , которое , таким образом , индуцирует взаимно однозначное соответствие определенное by (это хорошо определено, потому что это одноэлементный набор и просто его уникальный элемент, то есть для каждого ). Определите карту, как указано выше (с помощью ), и задайте факторную топологию (которая создает факторную карту). Эти отображения связаны между собой: и Из этого и того факта, что это фактор-отображение, следует, что оно непрерывно тогда и только тогда, когда это верно для Более того, является фактор-отображением тогда и только тогда, когда оба являются гомеоморфизмом (или, что эквивалентно, если и только если оба и обратный ему непрерывны).

Связанные определения

А наследственно факторное отображение - это сюръективное отображениесо свойством, что для каждого подмножестваограничениетакже является факторным отображением. Существуют факторные карты, которые не являются наследственно факторными.

Примеры

  • Склеивание . Топологи говорят о склейке точек. Если - топологическое пространство, склейка точек и in означает рассмотрение фактор-пространства, полученного из отношения эквивалентности, тогда и только тогда, когда или (или ).
  • Рассмотрим единичный квадрат и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием, чтобы все граничные точки были эквивалентны, тем самым отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности. Тогда это
гомеоморфно в сфере
Например, гомеоморфен кругу
  • Прилегающее пространство . В более общем, предположитчтоэто пространство иявляется подпространство водном можно определить все точкик одному классу эквивалентности и оставить точки за пределамиэквивалента только для себя. Полученное фактор-пространство обозначается.Тогда 2-сфера гомеоморфна замкнутому диску, граница которого отождествляется с единственной точкой:
  • Рассмотрим множество из действительных чисел с обычной топологией, и писать тогда и только тогда является целым числом . Тогда фактор - пространство является гомеоморфным к единичной окружности через гомеоморфизм , который посылает класс эквивалентности к
  • Обобщение предыдущего примера следующее: предположим, что топологическая группа действует непрерывно в пространстве. Можно сформировать отношение эквивалентности на пространстве , сказав, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат на одной орбите . Фактор - пространство под этой связью называется пространство орбит , обозначенное В предыдущем примере действует на на переводе. Пространство орбит гомеоморфно
    • Примечание . Обозначения несколько неоднозначны. Если понимается группа, действующая посредством сложения, то
    частное - это круг. Однако, если он рассматривается как топологическое подпространство (которое идентифицируется как одна точка), то фактор (который идентифицируется с множеством ) представляет собой счетно бесконечный букет окружностей, соединенных в одной точке.
  • Следующий пример показывает , что в общем случае не верно , что если это фактор - отображение , то каждая последовательность сходится (соответственно, каждое сходящееся нетто ) в имеет подъемную силу (по ) к сходящейся последовательности (или сходящейся сети ) в Пусть и Пусть и пусть быть фактор-отображением, так что и для каждого Отображение, определенное с помощью, является корректно определенным (потому что ) и является гомеоморфизмом . Пусть и пусть быть любыми последовательностями (или, в более общем смысле, любыми сетями), оцененными в таких, что в Тогда последовательность
    сходится к in, но не существует никакого сходящегося подъема этой последовательности посредством фактор-отображения (то есть нет последовательности, в которой оба сходятся к некоторому и удовлетворяют для каждого ). Этот контрпример можно обобщить на
    сети , допустив любое направленное множество , и превратив его в сеть, объявив, что для любого выполняется тогда и только тогда, когда и (1), и (2), если тогда -индексированная сеть, определяемая как равное и равное не имеет подъема (на ) к конвергентно- индексированной сети в
  • Характеристики

    Факторные отображения среди сюръективных отображений характеризуются следующим свойством: если есть любое топологическое пространство и является любой функцией, то непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно.

    Характеристическое свойство фактор-топологии

    Факторпространство вместе с фактор-отображением характеризуется следующим универсальным свойством : если это непрерывное отображение такое, что подразумевает для всех, то существует единственное непрерывное отображение такое, что Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:

    Универсальное свойство частных пространствs.svg

    Мы говорим, что спускается до частного . Следовательно, непрерывные отображения, определенные на, являются в точности теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных на том, что уважает отношение эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в одно и то же изображение). Этот критерий обильно используется при изучении факторпространств.

    Учитывая непрерывную сюръекцию, полезно иметь критерии, по которым можно определить, является ли это фактор-карта. Два достаточных критерия: быть открытым или закрытым . Обратите внимание, что этих условий достаточно , но не обязательно . Легко построить примеры факторных отображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп фактор-карта открыта.

    Совместимость с другими топологическими понятиями

    Разделение

    • В общем, фактор-пространства плохо себя ведут по отношению к аксиомам разделения. Свойства разделения не обязательно должны быть унаследованы и могут иметь свойства разделения, не общие для
    • является пространством T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности замкнут в
    • Если фактор-отображение открыто , то является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ - замкнутое подмножество пространства произведения.

    Связность

    • Если пространство связано или связано путем , то все его факторпространства тоже.
    • Факторное пространство односвязного или стягиваемого пространства не обязательно разделяет эти свойства.

    Компактность

    • Если пространство компактно, то все его фактор-пространства тоже.
    • Факторпространство локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным.

    Измерение

    Смотрите также

    Топология

    Алгебра

    использованная литература