Кляйн четыре группы - Klein four-group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то Клейн четыре-группа представляет собой группа с четырьмя элементов, в котором каждый элемент является самим-обратным (составляющие его с собой производит идентичность) , и в которой составляя любые два из трех элементов неединичных производит третью. Его можно описать как группу симметрии неквадратного прямоугольника (с тремя неидентичными элементами, являющимися горизонтальным и вертикальным отражением и поворотом на 180 градусов), как группу побитовых исключающих или операций над двухразрядными двоичными значениями, или более абстрактно , как Z ₂ × Z ₂ , то прямое произведение двух экземпляров циклической группы из порядка 2. Он был названы Вьерерграппы (то есть четыре группы) от Феликса Клейна в 1884. это также называют группой Клейна , и часто обозначается буквой V или K ₄ .

Четырехэлементная группа Клейна с четырьмя элементами является наименьшей группой, которая не является циклической группой . Есть только одна другая группа четвертого порядка, с точностью до изоморфизма , циклическая группа порядка 4. Обе группы абелевы . Наименьшей неабелевой группой является симметрическая группа степени 3 , которая имеет порядок 6.

Презентаций

Таблица Кэли группы Кляйна представлена:

Четыре группы Клейна также определяются групповым представлением

${\ displaystyle \ mathrm {V} = \ left \ langle a, b \ mid a ^ {2} = b ^ {2} = (ab) ^ {2} = e \ right \ rangle.}$

Все не- тождественных элементы группы Клейна имеют порядок 2, таким образом , любые два элемента неединичных может служить в качестве генераторов в вышеуказанной презентации. Четырехгруппа Клейна - наименьшая нециклическая группа . Однако это абелева группа и изоморфна группе диэдра порядка (мощности) 4, то есть D ₄ (или D ₂ , используя геометрическое соглашение); кроме группы порядка 2, это единственная группа диэдра, которая является абелевой.

Четырехгруппа Клейна также изоморфна прямой сумме Z ₂ ⊕ Z ₂ , так что ее можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1 )} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или эквивалентно битовые строки {00, 01, 10, 11} при побитовом XOR ); где (0,0) является элементом идентичности группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарной абелевой 2-группы , которую также называют булевой группой . Клейн четыре группы, таким образом , также группа , порожденная симметрической разности в качестве бинарной операции на подмножества одного Powerset набора с двумя элементами, то есть над полем множеств с четырьмя элементами, например ; пустое множество является единичным элементом группы в данном случае. ${\ Displaystyle \ {\ emptyset, \ {\ альфа \}, \ {\ бета \}, \ {\ альфа, \ бета \} \}}$

Другой числовой конструкцией четырехгруппы Клейна является множество {1, 3, 5, 7} с операцией умножения по модулю 8 . Здесь a равно 3, b равно 5, а c = ab равно 3 × 5 = 15 7 (mod 8) .

Четырехгруппа Клейна имеет представление в виде вещественных матриц 2 × 2 с операцией умножения матриц:

${\ displaystyle e = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad a = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, \ quad b = { \ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad c = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$

Геометрия

Группа симметрии этого креста - четырехгруппа Клейна. Его можно перевернуть по горизонтали ( а ), по вертикали ( b ) или по обоим направлениям ( ab ) и оставить без изменений. Однако, в отличие от квадрата, поворот на четверть оборота изменит фигуру.

Геометрически, в двух измерениях Клейна четыре-группа является группой симметрии из ромба и прямоугольников , которые не являются квадратами , четыре элемента являются идентичность, вертикальное отражение, горизонтальное отражение, и вращение на 180 градусов.

В трех измерениях есть три различные группы симметрии, которые алгебраически представляют собой четырехгруппу Клейна V:

• один с тремя перпендикулярными осями 2-х кратного вращения: D ₂
• один с 2-кратной осью вращения и перпендикулярной плоскостью отражения: C _{2 h} = D _{1 d}
• один с 2-кратной осью вращения в плоскости отражения (и, следовательно, также в перпендикулярной плоскости отражения): C _{2 v} = D _{1 h} .

Представление перестановки

Идентичность и двойные транспозиции четырех объектов образуют V

Другие перестановки четырех объектов, также образующих V.

См. 4 подмножества элементов S ₄

Три элемента второго порядка в четырехгруппе Клейна взаимозаменяемы: группа автоморфизмов V - это группа перестановок этих трех элементов.

Перестановки собственных элементов четырехгруппы Клейна можно рассматривать абстрактно как ее перестановочное представление по четырем точкам:

V = {(), (1,2) (3,4), (1,3) (2,4), (1,4) (2,3)}

В этом представлении, V является нормальной подгруппой из знакопеременной группы A ₄ (а также симметричная группа S ₄ ) на четырех букв. Фактически, это ядро гомоморфизма сюръективных групп из S ₄ в S ₃ .

Другие представления в S ₄ :

{(), (1,2), (3,4), (1,2) (3,4)}

{(), (1,3), (2,4), (1,3) (2,4)}

{(), (1,4), (2,3), (1,4) (2,3)}

Они не являются нормальными подгруппами в S _4.

Алгебра

Согласно теории Галуа , существование четырехгруппы Клейна (и, в частности, ее перестановочное представление) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвертой степени в терминах радикалов , установленной Лодовико Феррари : S ₄ → S ₃ соответствует резольвентной кубике в терминах резольвент Лагранжа .

При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют четырехгруппу Клейна в качестве аддитивной подструктуры.

Если R ^× обозначает мультипликативную группу ненулевых действительных чисел и R ⁺ мультипликативную группу положительных действительных чисел , R ^× × R ^× - это группа единиц кольца R × R , а R ⁺ × R ⁺ - подгруппа R ^× × R ^× (на самом деле он является компонентом идентичности из R ^× × R ^× ). Фактор - группа ( R ^× × R ^× ) / ( R ⁺ × R ⁺ ) изоморфна четверной группе Клейна. Аналогичным образом группа единиц кольца расщепленных комплексных чисел при делении на ее компонент идентичности также приводит к четырехгруппе Клейна.

Теория графов

Простейший простой связный граф , допускающий четырехгруппу Клейна в качестве группы автоморфизмов, - это ромбовидный граф, показанный ниже. Это также группа автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что в них меньше сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связанным, но теряет простоту.

Музыка

В музыкальной композиции четыре группы - основная группа перестановок в технике двенадцати тонов . В этом случае записывается таблица Кэли;

Смотрите также

• Группа кватернионов
• Список малых групп

использованная литература

дальнейшее чтение

• М.А. Армстронг (1988) Группы и симметрия , Springer Verlag , стр. 53 .
• У. Е. Барнс (1963) Введение в абстрактную алгебру , DC Heath & Co., стр. 20.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Vierergruppe" . MathWorld .