Конечная группа - Finite group

В абстрактной алгебре , А конечная группа представляет собой группу , которой основное множество является конечным . Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Важные примеры конечных групп включают циклические группы и группы перестановок .

Изучение конечных групп было неотъемлемой частью теории групп с момента ее зарождения в 19 веке. Одной из основных областей исследования была классификация: классификация конечных простых групп (без нетривиальных нормальных подгрупп ) была завершена в 2004 году.

История

В течение двадцатого века математики очень глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп . Как следствие, была достигнута полная классификация конечных простых групп , а это означает, что теперь известны все те простые группы, из которых могут быть построены все конечные группы.

Во второй половине двадцатого века математики, такие как Шевалле и Стейнберг, также расширили наше понимание конечных аналогов классических групп и других родственных групп. Одним из таких семейств групп является семейство полных линейных групп над конечными полями .

Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Теория групп Ли , которую можно рассматривать как имеющую дело с « непрерывной симметрией », находится под сильным влиянием ассоциированных групп Вейля . Это конечные группы, порожденные отражениями, действующими в конечномерном евклидовом пространстве . Таким образом, свойства конечных групп могут играть роль в таких предметах, как теоретическая физика и химия .

Примеры

Группы перестановок

Граф Кэли симметрической группы S 4

Симметричная группа S п на конечное множество из п символов является группой , элементы которой являются все перестановками этого п символов, и чья группа операция представляет собой композицию из таких перестановок, которые рассматриваются как биективная функция из набора символов , сами по себе . Поскольку есть n ! ( n факториал ) возможных перестановок набора из n символов, отсюда следует, что порядок (количество элементов) симметрической группы S n равен n !.

Циклические группы

Циклическая группа Z n - это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента a, где a n = a 0 = e , тождество. Типичная реализация этой группы - это комплексные корни n- й степени из единства . Отправка a к первообразному корню из единицы дает изоморфизм между ними. Это можно сделать с любой конечной циклической группой.

Конечные абелевы группы

Абелева группа , которая также называется коммутативной группой , представляет собой группу , в которой результат применения групповой операции двух элементов группы не зависит от их порядка (аксиома коммутативности ). Они названы в честь Нильса Хенрика Абеля .

Произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп степенного порядка простых чисел, и эти порядки определены однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть непосредственно описана в терминах этих инвариантов. Теория была впервые развита в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера, а затем была упрощена и обобщена на конечно порожденные модули над областью главных идеалов, составив важную главу линейной алгебры .

Группы лиева типа

Группа типа Ли является группой тесно связан с группой G ( K ) рациональных точек восстановительной линейной алгебраической группы G со значениями в поле к . Конечные группы лиева типа составляют основную массу неабелевых конечных простых групп . Частные случаи включают классические группы , группы Шевалле, группы Стейнберга и группы Сузуки – Ри.

Конечные группы лиева типа были среди первых групп, которые стали рассматриваться в математике, после циклических , симметрических и знакопеременных групп, с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL (2, p ), построенными Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с теоремы Камиллы Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL (2, q ) проста при q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важный бесконечное семейство конечных простых групп PSL ( n , q ) . Другие классические группы изучал Леонард Диксон в начале 20 века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k , что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалле . Более того, как и в случае компактных простых групп Ли, соответствующие группы оказались почти простыми, как абстрактные группы ( теорема Титса о простоте ). Хотя с 19 века было известно, что существуют другие конечные простые группы (например, группы Матье ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы могут быть объяснены соответствующими расширениями конструкции Шевалле вместе с циклическими и знакопеременными группами. Более того, исключения, спорадические группы , имеют много общих свойств с конечными группами лиева типа и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса.

Вера теперь превратилась в теорему - классификацию конечных простых групп . Изучение списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических, знакопеременных групп, группы Титса и 26 спорадических простых групп .

Основные теоремы

Теорема Лагранжа

Для любой конечной группы G , то порядок (число элементов) каждой подгруппы H из G делит порядок G . Теорема названа в честь Жозефа-Луи Лагранжа .

Теоремы Силова

Это обеспечивает частичное обращение к теореме дает информацию Лагранжа о том , сколько подгрупп данного порядка содержится в G .

Теорема Кэли

Теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли , утверждает , что каждая группа G является изоморфной к подгруппе из симметрической группы , действующей на G . Это может быть понято как пример действия группы из G на элементах G .

Теорема Бернсайда

Теорема Бернсайд в теории групп утверждают , что если G является конечной группой порядка р а Q б , где р и д являются простыми числами , а и б являются неотрицательными целыми числами , то G является разрешимой . Следовательно, каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся по крайней мере на три различных простых числа.

Теорема Фейта – Томпсона

Теорема Фейта-Томпсона , или теорема нечетный порядок , утверждает , что любая конечная группа нечетного порядка является разрешимой . Это доказали Уолтер Фейт и Джон Григгс Томпсон  ( 1962 , 1963 ).

Классификация конечных простых групп

Классификация конечных простых групп является теорема о том , что каждая конечная простая группа принадлежит к одному из следующих семейств:

Конечные простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп, что напоминает способ, которым простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел . Теорема Жордана – Гёльдера - более точный способ сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенное отличие от случая целочисленной факторизации состоит в том, что такие «строительные блоки» не обязательно определяют группу однозначно, поскольку может быть много неизоморфных групп с одним и тем же композиционным рядом или, другими словами, проблема расширения не имеет однозначного решения.

Доказательство теоремы состоит из десятков тысяч страниц в нескольких сотнях журнальных статей, написанных примерно 100 авторами, опубликованных в основном в период с 1955 по 2004 год. Горенштейн (ум. 1992), Лайонс и Соломон постепенно публикуют упрощенную и исправленную версию доказательство.

Количество групп данного заказа

Учитывая положительное целое число n , определение количества типов изоморфизма групп порядка n вовсе не является рутинным делом . Каждая группа простого порядка является циклической , поскольку из теоремы Лагранжа следует, что циклическая подгруппа, порожденная любым из ее неединичных элементов, является всей группой. Если n - квадрат простого числа, то существует ровно два возможных типа изоморфизма группы порядка n , оба из которых абелевы. Если n - более высокая степень простого числа, то результаты Грэма Хигмана и Чарльза Симса дают асимптотически правильные оценки количества типов изоморфизма групп порядка n , и это число очень быстро растет с увеличением степени.

В зависимости от факторизации n на простые множители могут быть наложены некоторые ограничения на структуру групп порядка n , как следствие, например, таких результатов, как теоремы Силова . Например, каждая группа порядка pq является циклической, если q < p - простые числа с p - 1, не делящимся на q . О необходимых и достаточных условиях см. Циклическое число .

Если п является бесквадратным , то любая группа порядка п разрешима. Теорема Бернсайда , доказанная с использованием групповых характеров , утверждает, что каждая группа порядка n разрешима, когда n делится менее чем на три различных простых числа, то есть если n = p a q b , где p и q - простые числа, а a и b - неотрицательные целые числа. По теореме Фейта – Томпсона , имеющей длинное и сложное доказательство, любая группа порядка n разрешима, когда n нечетно.

Для любого натурального п , большинство групп порядка п являются разрешимы . Увидеть это для любого конкретного порядка обычно нетрудно (например, существует с точностью до изоморфизма одна неразрешимая группа и 12 разрешимых групп порядка 60), но для доказательства этого для всех порядков используется классификация конечных простых групп . Для любого натурального числа n существует не более двух простых групп порядка n , и существует бесконечно много натуральных чисел n, для которых существуют две неизоморфные простые группы порядка n .

Таблица различных групп порядка n

Заказать n # Группы Абелев Неабелева
0 0 0 0
1 1 1 0
2 1 1 0
3 1 1 0
4 2 2 0
5 1 1 0
6 2 1 1
7 1 1 0
8 5 3 2
9 2 2 0
10 2 1 1
11 1 1 0
12 5 2 3
13 1 1 0
14 2 1 1
15 1 1 0
16 14 5 9
17 1 1 0
18 5 2 3
19 1 1 0
20 5 2 3
21 год 2 1 1
22 2 1 1
23 1 1 0
24 15 3 12
25 2 2 0
26 год 2 1 1
27 5 3 2
28 год 4 2 2
29 1 1 0
30 4 1 3

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

Внешние ссылки