Евклидова группа - Euclidean group

В математике , А евклидова группа является группой (евклидовы) изометрия одного евклидова пространства ; то есть преобразования этого пространства, которые сохраняют евклидово расстояние между любыми двумя точками (также называемые евклидовыми преобразованиями ). Группа зависит только от размерности n пространства и обычно обозначается E ( n ) или ISO ( n ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Евклидова группа Е ( п ) содержит все переводы , повороты и отражения от ; и произвольные конечные их комбинации. Евклидова группа может рассматриваться как группа симметрии самого пространства и содержит группу симметрий любой фигуры (подмножества) этого пространства. ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Евклидова изометрия может быть прямой или косвенной , в зависимости от того, сохраняет ли она ручность фигур. Прямые евклидовы изометрии образуют подгруппу, специальную евклидову группу , элементы которой называются жесткими движениями или евклидовыми движениями. Они состоят из произвольных комбинаций перемещений и поворотов, но не отражений.

Эти группы являются одними из самых старых и наиболее изученных, по крайней мере, в случаях размерностей 2 и 3 - неявно, задолго до изобретения концепции группы.

Обзор

Размерность

Число степеней свободы для E ( n ) равно n ( n + 1) / 2 , что дает 3 в случае n = 2 и 6 для n = 3 . Из них n можно отнести к имеющейся трансляционной симметрии , а оставшиеся n ( n - 1) / 2 - к вращательной симметрии .

Прямая и косвенная изометрии

Прямые изометрии (то есть изометрии , сохраняющая беспристрастность из хиральных подмножеств) содержать подгруппу Е ( п ), называются специальной евклидовой группа и обычно обозначаются через Е ⁺ ( п ) или SE ( п ). Они включают переводы и вращения, а также их комбинации; включая преобразование идентичности, но исключая любые отражения.

Изометрии обратной руки называются косвенными или противоположными . Для любой фиксированной косвенной изометрии R , такой как отражение относительно некоторой гиперплоскости, любая другая косвенная изометрия может быть получена путем композиции R с некоторой прямой изометрией. Следовательно, косвенные изометрии являются смежным классом E ⁺ ( n ), который можно обозначить E ^- ( n ). Отсюда следует, что подгруппа E ⁺ ( n ) имеет индекс 2 в E ( n ).

Топология группы

Естественная топология евклидова пространства влечет топологию евклидовой группы E ( n ). А именно, последовательность f _i изометрий ( i ∈ ) определяется как сходящаяся тогда и только тогда, когда для любой точки p из последовательность точек p _i сходится. ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Из этого определения следует, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда для любой точки p из функция, определяемая формулой f _p ( t ) = ( f (t)) ( p ), является непрерывной. Такая функция называется «непрерывной траекторией» в E ( n ). ${\ displaystyle f: [0,1] \ rightarrow E (n)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {p}: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {E} ^ {n}}$

Оказывается, специальная евклидова группа SE ( n ) = E ⁺ ( n ) связна в этой топологии. То есть, учитывая любые два прямых изометрии A и B из , существует непрерывная траектория F в E ⁺ ( п ) такая , что F (0) = и F (1) = B . То же верно и для непрямых изометрий E ^- ( n ). С другой стороны, группа E ( n ) в целом не связна: не существует непрерывной траектории, которая начинается в E ⁺ ( n ) и заканчивается в E ^- ( n ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Непрерывные траектории в E (3) играют важную роль в классической механике , поскольку они описывают физически возможные движения твердого тела в трехмерном пространстве во времени. Берут е (0) , чтобы быть тождественное преобразование я из , который описывает начальное положение тела. Положение и ориентация тела в любой более поздний момент времени t будет описываться преобразованием f (t). Поскольку f (0) = I находится в E ⁺ (3), то же самое должно относиться к f (t) в любое более позднее время. По этой причине прямые евклидовы изометрии также называют «жесткими движениями». ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {3}}$

Структура лжи

Евклидовы группы - это не только топологические группы , но и группы Ли , так что понятия исчисления могут быть немедленно адаптированы к этой ситуации.

Отношение к аффинной группе

Евклидова группа E ( n ) является подгруппой аффинной группы для n измерений и таким образом, чтобы уважать структуру полупрямого произведения обеих групп. Это дает, a fortiori , два способа записи элементов в явной нотации. Эти:

с помощью пары ( A , B ) , с А п × п ортогональной матрицы , а б реального вектор - столбец размера п ; или же
единственной квадратной матрицей размера n + 1 , как объяснено для аффинной группы .

Подробности первого представления приведены в следующем разделе.

В терминах Феликс Клейн «s программы Эрлангена , мы считывать из этого , что евклидовой геометрии , геометрия Евклида группы симметрий, является, следовательно, специализацией аффинной геометрии . Применяются все аффинные теоремы. Происхождение евклидовой геометрии позволяет определить понятие расстояния , из которого затем можно вывести угол .

Подробное обсуждение

Структура подгруппы, матричное и векторное представление

Евклидова группа - это подгруппа группы аффинных преобразований .

Он имеет в качестве подгрупп трансляционную группу T ( n ) и ортогональную группу O ( n ). Любой элемент E ( n ) является переносом, за которым следует ортогональное преобразование (линейная часть изометрии) уникальным способом:

{\ Displaystyle х \ mapsto А (х + Ь)}

где A - ортогональная матрица

или то же ортогональное преобразование с последующим переводом:

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + c,}

с $c = Ab$

Т ( п ) является нормальной подгруппой Е ( п ): для каждого перевод т и каждый изометрии у , в состав

u ⁻¹tu

это снова перевод.

Вместе эти факты означают, что E ( n ) является полупрямым произведением O ( n ), расширенного с помощью T ( n ), которое записывается как . Другими словами, O ( n ) (естественным образом) также является фактор-группой E ( n ) по T ( n ): ${\ displaystyle {\ text {E}} (n) = {\ text {T}} (n) \ rtimes {\ text {O}} (n)}$

{\ Displaystyle {\ текст {O}} (п) \ cong {\ текст {E}} (п) / {\ текст {T}} (п)}

Теперь SO ( n ), специальная ортогональная группа , является подгруппой O ( n ) индекса два. Следовательно, в E ( n ) есть подгруппа E ⁺ ( n ), также второго индекса, состоящая из прямых изометрий. В этих случаях определитель A равен 1.

Они представлены как перенос, за которым следует вращение , а не как перенос, за которым следует какое-то отражение (в размерах 2 и 3 это знакомые отражения в зеркальной линии или плоскости, которые могут быть приняты за начало координат , или в 3D, роторное отражение ).

Это отношение обычно записывается как:

{\ Displaystyle {\ текст {SO}} (п) \ cong {\ текст {E}} ^ {+} (п) / {\ текст {T}} (п)}

или, что то же самое:

{\ displaystyle {\ text {E}} ^ {+} (n) = {\ text {SO}} (n) \ ltimes {\ text {T}} (n)}

.

Подгруппы

Типы подгрупп E ( n ):

Конечные группы .

У них всегда есть фиксированная точка. В 3D для каждой точки существуют две максимальные (по включению) среди конечных групп две ориентации: O _h и I _h . Группы I _h даже максимальны среди групп, включающих следующую категорию.

Счетно бесконечные группы без сколь угодно малых перемещений, поворотов или комбинаций

т.е. для каждой точки множество изображений при изометриях топологически дискретно (например, для 1 ≤ m ≤ n группа, порожденная m переводами в независимых направлениях, и, возможно, конечная точечная группа). Сюда входят решетки . Примерами более общих, чем те, являются дискретные пространственные группы .

Счетно бесконечные группы с произвольно малыми перемещениями, поворотами или комбинациями

В этом случае есть точки, для которых множество изображений при изометриях не замкнуто. Примерами таких групп являются в 1D группа, порожденная сдвигом 1 и одного из √ 2 , а в 2D - группа, порожденная вращением вокруг начала координат на 1 радиан.

Несчетные группы, где есть точки, для которых множество изображений при изометриях не замкнуто

(например, в 2D все переводы в одном направлении и все переводы на рациональные расстояния в другом направлении).

Несчетные группы, где для всех точек множество изображений при изометриях замкнуто

например:

все прямые изометрии, которые фиксируют начало координат или, в более общем смысле, некоторую точку (в 3D, называемую группой вращения )
все изометрии, которые фиксируют начало координат или, в более общем смысле, некоторую точку ( ортогональную группу )
все прямые изометрии E ⁺ ( n )
вся евклидова группа E ( n )
одна из этих групп в m -мерном подпространстве в сочетании с дискретной группой изометрий в ортогональном ( n - m ) -мерном пространстве
одна из этих групп в m -мерном подпространстве совмещена с другой в ортогональном ( n - m ) -мерном пространстве

Примеры комбинаций в 3D:

все вращения вокруг одной фиксированной оси
то же самое в сочетании с отражением в плоскостях, проходящих через ось и / или в плоскости, перпендикулярной оси
то же самое в сочетании с дискретным переносом по оси или со всеми изометриями по оси
дискретная точечная группа, группа фризов или группа обоев на плоскости в сочетании с любой группой симметрии в перпендикулярном направлении
все изометрии, которые представляют собой комбинацию вращения вокруг некоторой оси и пропорционального перемещения вдоль оси; в общем, это сочетается с k- кратными изометриями вращения вокруг одной и той же оси ( k ≥ 1 ); множество изображений точки под изометриями представляет собой k -кратную спираль ; кроме того, возможен двукратный поворот вокруг перпендикулярно пересекающейся оси и, следовательно, k- кратная спираль таких осей.
для любой точечной группы: группа всех изометрий, которые являются комбинацией изометрии в точечной группе и трансляции; например, в случае группы, порожденной инверсией в начале координат: группа всех переводов и инверсия во всех точках; это обобщенная группа диэдра R ³ , Dih (R ³ ).

Обзор изометрий в трех измерениях

E (1), E (2) и E (3) можно разделить на следующие категории со степенями свободы :

Изометрии E (1)
Тип изометрии	Степени свободы	Сохраняет ориентацию?
Личность	0	да
Перевод	1	да
Отражение в точке	1	Нет

Изометрии E (2)
Тип изометрии	Степени свободы	Сохраняет ориентацию?
Личность	0	да
Перевод	2	да
Вращение вокруг точки	3	да
Отражение в строке	2	Нет
Скользящее отражение	3	Нет

Изометрии E (3)
Тип изометрии	Степени свободы	Сохраняет ориентацию?
Личность	0	да
Перевод	3	да
Вращение вокруг оси	5	да
Смещение винта	6	да
Отражение в плоскости	3	Нет
Операция на глиссирующем самолете	5	Нет
Неправильное вращение	6	Нет
Инверсия в точке	3	Нет

Теорема Часлеса утверждает, что любой элемент E ⁺ (3) является винтовым перемещением .

См. Также трехмерные изометрии, которые оставляют исходную точку фиксированной , пространственная группа , инволюция .

Коммутирующие изометрии

Для некоторых пар изометрий состав не зависит от порядка:

два перевода
два вращения или винта вокруг одной оси
отражение относительно плоскости и перенос в этой плоскости, вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости, или отражение относительно перпендикулярной плоскости
скользящее отражение относительно плоскости, и перевод в этой плоскости
инверсия в точке и любая изометрия, сохраняющая точку фиксированной
поворот на 180 ° вокруг оси и отражение в плоскости через эту ось
поворот на 180 ° вокруг оси и поворот на 180 ° вокруг перпендикулярной оси (приводит к повороту на 180 ° вокруг оси, перпендикулярной обоим)
два вращения вокруг одной оси относительно одной плоскости
два скользящих отражения относительно одной плоскости

Классы сопряженности

Переводы на заданное расстояние в любом направлении образуют класс сопряженности ; группа трансляции - это объединение таковых для всех расстояний.

В 1D все отражения относятся к одному классу.

В 2D повороты на один и тот же угол в любом направлении относятся к одному классу. Скользящие отражения с переносом на одинаковое расстояние относятся к одному классу.

В 3D:

Инверсии по всем точкам относятся к одному классу.
Повороты на один и тот же угол относятся к одному классу.
Вращения вокруг оси в сочетании с перемещением по этой оси относятся к одному классу, если угол одинаков и расстояние перемещения одинаково.
Отражения в самолете относятся к одному классу
Отражения в плоскости в сочетании с перемещением в этой плоскости на одинаковое расстояние относятся к одному классу.
Вращения вокруг оси на один и тот же угол, не равный 180 °, в сочетании с отражением в плоскости, перпендикулярной этой оси, относятся к тому же классу.

Languages

In other projects